Theorem fimax2gtri 7063

Description: A finite set has a maximum under a trichotomous order. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Sep-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fimax2gtri.po	⊢ (𝜑 → 𝑅 Po 𝐴)
fimax2gtri.tri	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦𝑅𝑥))
fimax2gtri.fin	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fimax2gtri.n0	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
fimax2gtri	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem fimax2gtri

Dummy variables 𝑧 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raleq 2728	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → (∀𝑦 ∈ 𝑤 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑥𝑅𝑦))
2	1	rexbidv 2531	. 2 ⊢ (𝑤 = ∅ → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝑤 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑥𝑅𝑦))
3		raleq 2728	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (∀𝑦 ∈ 𝑤 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑥𝑅𝑦))
4	3	rexbidv 2531	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝑤 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑥𝑅𝑦))
5		raleq 2728	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑢 ∪ {𝑣}) → (∀𝑦 ∈ 𝑤 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣}) ¬ 𝑥𝑅𝑦))
6	5	rexbidv 2531	. 2 ⊢ (𝑤 = (𝑢 ∪ {𝑣}) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝑤 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣}) ¬ 𝑥𝑅𝑦))
7		raleq 2728	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (∀𝑦 ∈ 𝑤 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦))
8	7	rexbidv 2531	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝑤 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦))
9		fimax2gtri.n0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
10		fimax2gtri.fin	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
11		fin0 7047	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴))
12	10, 11	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴))
13	9, 12	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
14		ral0 3593	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑥𝑅𝑦
15	14	biantru 302	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑥𝑅𝑦))
16	15	exbii 1651	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑥𝑅𝑦))
17	13, 16	sylib 122	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑥𝑅𝑦))
18		df-rex 2514	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑥𝑅𝑦))
19	17, 18	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑥𝑅𝑦)
20		breq1 4086	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑧𝑅𝑦))
21	20	notbid 671	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ¬ 𝑧𝑅𝑦))
22	21	ralbidv 2530	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦))
23	22	cbvrexv 2766	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦)
24		fimax2gtri.po	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Po 𝐴)
25	24	ad4antr 494	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦) → 𝑅 Po 𝐴)
26		fimax2gtri.tri	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦𝑅𝑥))
27	26	ad4antr 494	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦𝑅𝑥))
28	10	ad4antr 494	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦) → 𝐴 ∈ Fin)
29	9	ad4antr 494	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦) → 𝐴 ≠ ∅)
30		simp-4r 542	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦) → 𝑢 ∈ Fin)
31		simprl 529	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → 𝑢 ⊆ 𝐴)
32	31	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦) → 𝑢 ⊆ 𝐴)
33		simplr 528	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦) → 𝑧 ∈ 𝐴)
34		simprr 531	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))
35	34	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦) → 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))
36	35	eldifad 3208	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦) → 𝑣 ∈ 𝐴)
37	35	eldifbd 3209	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦) → ¬ 𝑣 ∈ 𝑢)
38		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦) → ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦)
39	25, 27, 28, 29, 30, 32, 33, 36, 37, 38	fimax2gtrilemstep 7062	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣}) ¬ 𝑥𝑅𝑦)
40	39	ex 115	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣}) ¬ 𝑥𝑅𝑦))
41	40	rexlimdva 2648	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣}) ¬ 𝑥𝑅𝑦))
42	23, 41	biimtrid 152	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣}) ¬ 𝑥𝑅𝑦))
43	2, 4, 6, 8, 19, 42, 10	findcard2sd 7054	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ w3o 1001   = wceq 1395  ∃wex 1538   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400  ∀wral 2508  ∃wrex 2509   ∖ cdif 3194   ∪ cun 3195   ⊆ wss 3197  ∅c0 3491  {csn 3666   class class class wbr 4083   Po wpo 4385  Fincfn 6887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-er 6680  df-en 6888  df-fin 6890

This theorem is referenced by:  fimaxq  11049