Theorem fimax2gtri 6867

Description: A finite set has a maximum under a trichotomous order. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Sep-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fimax2gtri.po	⊢ (𝜑 → 𝑅 Po 𝐴)
fimax2gtri.tri	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦𝑅𝑥))
fimax2gtri.fin	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fimax2gtri.n0	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
fimax2gtri	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem fimax2gtri

Dummy variables 𝑧 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raleq 2661	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → (∀𝑦 ∈ 𝑤 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑥𝑅𝑦))
2	1	rexbidv 2467	. 2 ⊢ (𝑤 = ∅ → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝑤 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑥𝑅𝑦))
3		raleq 2661	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (∀𝑦 ∈ 𝑤 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑥𝑅𝑦))
4	3	rexbidv 2467	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝑤 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑥𝑅𝑦))
5		raleq 2661	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑢 ∪ {𝑣}) → (∀𝑦 ∈ 𝑤 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣}) ¬ 𝑥𝑅𝑦))
6	5	rexbidv 2467	. 2 ⊢ (𝑤 = (𝑢 ∪ {𝑣}) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝑤 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣}) ¬ 𝑥𝑅𝑦))
7		raleq 2661	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (∀𝑦 ∈ 𝑤 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦))
8	7	rexbidv 2467	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝑤 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦))
9		fimax2gtri.n0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
10		fimax2gtri.fin	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
11		fin0 6851	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴))
12	10, 11	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴))
13	9, 12	mpbid 146	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
14		ral0 3510	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑥𝑅𝑦
15	14	biantru 300	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑥𝑅𝑦))
16	15	exbii 1593	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑥𝑅𝑦))
17	13, 16	sylib 121	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑥𝑅𝑦))
18		df-rex 2450	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑥𝑅𝑦))
19	17, 18	sylibr 133	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑥𝑅𝑦)
20		breq1 3985	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑧𝑅𝑦))
21	20	notbid 657	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ¬ 𝑧𝑅𝑦))
22	21	ralbidv 2466	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦))
23	22	cbvrexv 2693	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦)
24		fimax2gtri.po	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Po 𝐴)
25	24	ad4antr 486	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦) → 𝑅 Po 𝐴)
26		fimax2gtri.tri	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦𝑅𝑥))
27	26	ad4antr 486	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦𝑅𝑥))
28	10	ad4antr 486	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦) → 𝐴 ∈ Fin)
29	9	ad4antr 486	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦) → 𝐴 ≠ ∅)
30		simp-4r 532	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦) → 𝑢 ∈ Fin)
31		simprl 521	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → 𝑢 ⊆ 𝐴)
32	31	ad2antrr 480	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦) → 𝑢 ⊆ 𝐴)
33		simplr 520	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦) → 𝑧 ∈ 𝐴)
34		simprr 522	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))
35	34	ad2antrr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦) → 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))
36	35	eldifad 3127	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦) → 𝑣 ∈ 𝐴)
37	35	eldifbd 3128	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦) → ¬ 𝑣 ∈ 𝑢)
38		simpr 109	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦) → ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦)
39	25, 27, 28, 29, 30, 32, 33, 36, 37, 38	fimax2gtrilemstep 6866	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣}) ¬ 𝑥𝑅𝑦)
40	39	ex 114	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣}) ¬ 𝑥𝑅𝑦))
41	40	rexlimdva 2583	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣}) ¬ 𝑥𝑅𝑦))
42	23, 41	syl5bi 151	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣}) ¬ 𝑥𝑅𝑦))
43	2, 4, 6, 8, 19, 42, 10	findcard2sd 6858	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ w3o 967   = wceq 1343  ∃wex 1480   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2336  ∀wral 2444  ∃wrex 2445   ∖ cdif 3113   ∪ cun 3114   ⊆ wss 3116  ∅c0 3409  {csn 3576   class class class wbr 3982   Po wpo 4272  Fincfn 6706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-er 6501  df-en 6707  df-fin 6709

This theorem is referenced by:  fimaxq  10740