Theorem fimax2gtri 6879

Description: A finite set has a maximum under a trichotomous order. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Sep-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fimax2gtri.po	⊢ (𝜑 → 𝑅 Po 𝐴)
fimax2gtri.tri	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦𝑅𝑥))
fimax2gtri.fin	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fimax2gtri.n0	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
fimax2gtri	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem fimax2gtri

Dummy variables 𝑧 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raleq 2665	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → (∀𝑦 ∈ 𝑤 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑥𝑅𝑦))
2	1	rexbidv 2471	. 2 ⊢ (𝑤 = ∅ → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝑤 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑥𝑅𝑦))
3		raleq 2665	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (∀𝑦 ∈ 𝑤 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑥𝑅𝑦))
4	3	rexbidv 2471	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝑤 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑥𝑅𝑦))
5		raleq 2665	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑢 ∪ {𝑣}) → (∀𝑦 ∈ 𝑤 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣}) ¬ 𝑥𝑅𝑦))
6	5	rexbidv 2471	. 2 ⊢ (𝑤 = (𝑢 ∪ {𝑣}) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝑤 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣}) ¬ 𝑥𝑅𝑦))
7		raleq 2665	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (∀𝑦 ∈ 𝑤 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦))
8	7	rexbidv 2471	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝑤 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦))
9		fimax2gtri.n0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
10		fimax2gtri.fin	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
11		fin0 6863	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴))
12	10, 11	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴))
13	9, 12	mpbid 146	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
14		ral0 3516	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑥𝑅𝑦
15	14	biantru 300	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑥𝑅𝑦))
16	15	exbii 1598	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑥𝑅𝑦))
17	13, 16	sylib 121	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑥𝑅𝑦))
18		df-rex 2454	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑥𝑅𝑦))
19	17, 18	sylibr 133	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑥𝑅𝑦)
20		breq1 3992	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑧𝑅𝑦))
21	20	notbid 662	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ¬ 𝑧𝑅𝑦))
22	21	ralbidv 2470	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦))
23	22	cbvrexv 2697	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦)
24		fimax2gtri.po	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Po 𝐴)
25	24	ad4antr 491	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦) → 𝑅 Po 𝐴)
26		fimax2gtri.tri	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦𝑅𝑥))
27	26	ad4antr 491	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦𝑅𝑥))
28	10	ad4antr 491	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦) → 𝐴 ∈ Fin)
29	9	ad4antr 491	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦) → 𝐴 ≠ ∅)
30		simp-4r 537	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦) → 𝑢 ∈ Fin)
31		simprl 526	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → 𝑢 ⊆ 𝐴)
32	31	ad2antrr 485	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦) → 𝑢 ⊆ 𝐴)
33		simplr 525	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦) → 𝑧 ∈ 𝐴)
34		simprr 527	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))
35	34	ad2antrr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦) → 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))
36	35	eldifad 3132	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦) → 𝑣 ∈ 𝐴)
37	35	eldifbd 3133	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦) → ¬ 𝑣 ∈ 𝑢)
38		simpr 109	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦) → ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦)
39	25, 27, 28, 29, 30, 32, 33, 36, 37, 38	fimax2gtrilemstep 6878	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣}) ¬ 𝑥𝑅𝑦)
40	39	ex 114	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣}) ¬ 𝑥𝑅𝑦))
41	40	rexlimdva 2587	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣}) ¬ 𝑥𝑅𝑦))
42	23, 41	syl5bi 151	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣}) ¬ 𝑥𝑅𝑦))
43	2, 4, 6, 8, 19, 42, 10	findcard2sd 6870	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ w3o 972   = wceq 1348  ∃wex 1485   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2340  ∀wral 2448  ∃wrex 2449   ∖ cdif 3118   ∪ cun 3119   ⊆ wss 3121  ∅c0 3414  {csn 3583   class class class wbr 3989   Po wpo 4279  Fincfn 6718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-er 6513  df-en 6719  df-fin 6721

This theorem is referenced by:  fimaxq  10762