Theorem fimax2gtri 7172

Description: A finite set has a maximum under a trichotomous order. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Sep-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fimax2gtri.po	⊢ (𝜑 → 𝑅 Po 𝐴)
fimax2gtri.tri	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦𝑅𝑥))
fimax2gtri.fin	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fimax2gtri.n0	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
fimax2gtri	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem fimax2gtri

Dummy variables 𝑧 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raleq 2743	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → (∀𝑦 ∈ 𝑤 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑥𝑅𝑦))
2	1	rexbidv 2545	. 2 ⊢ (𝑤 = ∅ → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝑤 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑥𝑅𝑦))
3		raleq 2743	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (∀𝑦 ∈ 𝑤 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑥𝑅𝑦))
4	3	rexbidv 2545	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝑤 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑥𝑅𝑦))
5		raleq 2743	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑢 ∪ {𝑣}) → (∀𝑦 ∈ 𝑤 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣}) ¬ 𝑥𝑅𝑦))
6	5	rexbidv 2545	. 2 ⊢ (𝑤 = (𝑢 ∪ {𝑣}) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝑤 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣}) ¬ 𝑥𝑅𝑦))
7		raleq 2743	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (∀𝑦 ∈ 𝑤 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦))
8	7	rexbidv 2545	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝑤 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦))
9		fimax2gtri.n0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
10		fimax2gtri.fin	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
11		fin0 7155	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴))
12	10, 11	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴))
13	9, 12	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
14		ral0 3615	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑥𝑅𝑦
15	14	biantru 302	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑥𝑅𝑦))
16	15	exbii 1654	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑥𝑅𝑦))
17	13, 16	sylib 122	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑥𝑅𝑦))
18		df-rex 2528	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑥𝑅𝑦))
19	17, 18	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑥𝑅𝑦)
20		breq1 4117	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑧𝑅𝑦))
21	20	notbid 673	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ¬ 𝑧𝑅𝑦))
22	21	ralbidv 2544	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦))
23	22	cbvrexv 2781	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦)
24		fimax2gtri.po	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Po 𝐴)
25	24	ad4antr 494	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦) → 𝑅 Po 𝐴)
26		fimax2gtri.tri	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦𝑅𝑥))
27	26	ad4antr 494	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦𝑅𝑥))
28	10	ad4antr 494	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦) → 𝐴 ∈ Fin)
29	9	ad4antr 494	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦) → 𝐴 ≠ ∅)
30		simp-4r 544	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦) → 𝑢 ∈ Fin)
31		simprl 531	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → 𝑢 ⊆ 𝐴)
32	31	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦) → 𝑢 ⊆ 𝐴)
33		simplr 529	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦) → 𝑧 ∈ 𝐴)
34		simprr 533	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))
35	34	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦) → 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))
36	35	eldifad 3225	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦) → 𝑣 ∈ 𝐴)
37	35	eldifbd 3226	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦) → ¬ 𝑣 ∈ 𝑢)
38		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦) → ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦)
39	25, 27, 28, 29, 30, 32, 33, 36, 37, 38	fimax2gtrilemstep 7171	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣}) ¬ 𝑥𝑅𝑦)
40	39	ex 115	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣}) ¬ 𝑥𝑅𝑦))
41	40	rexlimdva 2662	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣}) ¬ 𝑥𝑅𝑦))
42	23, 41	biimtrid 152	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝑢 ¬ 𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣}) ¬ 𝑥𝑅𝑦))
43	2, 4, 6, 8, 19, 42, 10	findcard2sd 7162	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ w3o 1004   = wceq 1398  ∃wex 1541   ∈ wcel 2205   ≠ wne 2414  ∀wral 2522  ∃wrex 2523   ∖ cdif 3211   ∪ cun 3212   ⊆ wss 3214  ∅c0 3512  {csn 3694   class class class wbr 4114   Po wpo 4420  Fincfn 6988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-er 6780  df-en 6989  df-fin 6991

This theorem is referenced by:  fimaxq  11219