ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fimax2gtri GIF version

Theorem fimax2gtri 6904
Description: A finite set has a maximum under a trichotomous order. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Sep-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
fimax2gtri.po (𝜑𝑅 Po 𝐴)
fimax2gtri.tri (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦𝑥 = 𝑦𝑦𝑅𝑥))
fimax2gtri.fin (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fimax2gtri.n0 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
fimax2gtri (𝜑 → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem fimax2gtri
Dummy variables 𝑧 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 raleq 2673 . . 3 (𝑤 = ∅ → (∀𝑦𝑤 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑥𝑅𝑦))
21rexbidv 2478 . 2 (𝑤 = ∅ → (∃𝑥𝐴𝑦𝑤 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ∃𝑥𝐴𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑥𝑅𝑦))
3 raleq 2673 . . 3 (𝑤 = 𝑢 → (∀𝑦𝑤 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ∀𝑦𝑢 ¬ 𝑥𝑅𝑦))
43rexbidv 2478 . 2 (𝑤 = 𝑢 → (∃𝑥𝐴𝑦𝑤 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝑢 ¬ 𝑥𝑅𝑦))
5 raleq 2673 . . 3 (𝑤 = (𝑢 ∪ {𝑣}) → (∀𝑦𝑤 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣}) ¬ 𝑥𝑅𝑦))
65rexbidv 2478 . 2 (𝑤 = (𝑢 ∪ {𝑣}) → (∃𝑥𝐴𝑦𝑤 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ∃𝑥𝐴𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣}) ¬ 𝑥𝑅𝑦))
7 raleq 2673 . . 3 (𝑤 = 𝐴 → (∀𝑦𝑤 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦))
87rexbidv 2478 . 2 (𝑤 = 𝐴 → (∃𝑥𝐴𝑦𝑤 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦))
9 fimax2gtri.n0 . . . . 5 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
10 fimax2gtri.fin . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
11 fin0 6888 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐴))
1210, 11syl 14 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐴))
139, 12mpbid 147 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑥 𝑥𝐴)
14 ral0 3526 . . . . . 6 𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑥𝑅𝑦
1514biantru 302 . . . . 5 (𝑥𝐴 ↔ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑥𝑅𝑦))
1615exbii 1605 . . . 4 (∃𝑥 𝑥𝐴 ↔ ∃𝑥(𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑥𝑅𝑦))
1713, 16sylib 122 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥(𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑥𝑅𝑦))
18 df-rex 2461 . . 3 (∃𝑥𝐴𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ∃𝑥(𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑥𝑅𝑦))
1917, 18sylibr 134 . 2 (𝜑 → ∃𝑥𝐴𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑥𝑅𝑦)
20 breq1 4008 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝑅𝑦𝑧𝑅𝑦))
2120notbid 667 . . . . 5 (𝑥 = 𝑧 → (¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ¬ 𝑧𝑅𝑦))
2221ralbidv 2477 . . . 4 (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑦𝑢 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ∀𝑦𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦))
2322cbvrexv 2706 . . 3 (∃𝑥𝐴𝑦𝑢 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ∃𝑧𝐴𝑦𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦)
24 fimax2gtri.po . . . . . . 7 (𝜑𝑅 Po 𝐴)
2524ad4antr 494 . . . . . 6 (((((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ∀𝑦𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦) → 𝑅 Po 𝐴)
26 fimax2gtri.tri . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦𝑥 = 𝑦𝑦𝑅𝑥))
2726ad4antr 494 . . . . . 6 (((((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ∀𝑦𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦𝑥 = 𝑦𝑦𝑅𝑥))
2810ad4antr 494 . . . . . 6 (((((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ∀𝑦𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦) → 𝐴 ∈ Fin)
299ad4antr 494 . . . . . 6 (((((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ∀𝑦𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦) → 𝐴 ≠ ∅)
30 simp-4r 542 . . . . . 6 (((((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ∀𝑦𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦) → 𝑢 ∈ Fin)
31 simprl 529 . . . . . . 7 (((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) → 𝑢𝐴)
3231ad2antrr 488 . . . . . 6 (((((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ∀𝑦𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦) → 𝑢𝐴)
33 simplr 528 . . . . . 6 (((((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ∀𝑦𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦) → 𝑧𝐴)
34 simprr 531 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) → 𝑣 ∈ (𝐴𝑢))
3534ad2antrr 488 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ∀𝑦𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦) → 𝑣 ∈ (𝐴𝑢))
3635eldifad 3142 . . . . . 6 (((((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ∀𝑦𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦) → 𝑣𝐴)
3735eldifbd 3143 . . . . . 6 (((((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ∀𝑦𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦) → ¬ 𝑣𝑢)
38 simpr 110 . . . . . 6 (((((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ∀𝑦𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦) → ∀𝑦𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦)
3925, 27, 28, 29, 30, 32, 33, 36, 37, 38fimax2gtrilemstep 6903 . . . . 5 (((((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ∀𝑦𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦) → ∃𝑥𝐴𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣}) ¬ 𝑥𝑅𝑦)
4039ex 115 . . . 4 ((((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) ∧ 𝑧𝐴) → (∀𝑦𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦 → ∃𝑥𝐴𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣}) ¬ 𝑥𝑅𝑦))
4140rexlimdva 2594 . . 3 (((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) → (∃𝑧𝐴𝑦𝑢 ¬ 𝑧𝑅𝑦 → ∃𝑥𝐴𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣}) ¬ 𝑥𝑅𝑦))
4223, 41biimtrid 152 . 2 (((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) → (∃𝑥𝐴𝑦𝑢 ¬ 𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑥𝐴𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣}) ¬ 𝑥𝑅𝑦))
432, 4, 6, 8, 19, 42, 10findcard2sd 6895 1 (𝜑 → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  w3o 977   = wceq 1353  wex 1492  wcel 2148  wne 2347  wral 2455  wrex 2456  cdif 3128  cun 3129  wss 3131  c0 3424  {csn 3594   class class class wbr 4005   Po wpo 4296  Fincfn 6743
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-er 6538  df-en 6744  df-fin 6746
This theorem is referenced by:  fimaxq  10810
  Copyright terms: Public domain W3C validator