Theorem fimaxre2 11867

Description: A nonempty finite set of real numbers has an upper bound. (Contributed by Jeff Madsen, 27-May-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fimaxre2	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem fimaxre2

Dummy variables 𝑠 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3251	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝑤 ⊆ ℝ ↔ ∅ ⊆ ℝ))
2		raleq 2731	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ∅ → (∀𝑦 ∈ 𝑤 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤ 𝑥))
3	2	rexbidv 2534	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑤 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤ 𝑥))
4	1, 3	imbi12d 234	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝑤 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑤 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ (∅ ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤ 𝑥)))
5		sseq1 3251	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (𝑤 ⊆ ℝ ↔ 𝑢 ⊆ ℝ))
6		raleq 2731	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (∀𝑦 ∈ 𝑤 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥))
7	6	rexbidv 2534	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑤 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥))
8	5, 7	imbi12d 234	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → ((𝑤 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑤 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)))
9		sseq1 3251	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑢 ∪ {𝑣}) → (𝑤 ⊆ ℝ ↔ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ))
10		raleq 2731	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑢 ∪ {𝑣}) → (∀𝑦 ∈ 𝑤 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦 ≤ 𝑥))
11	10	rexbidv 2534	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑢 ∪ {𝑣}) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑤 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦 ≤ 𝑥))
12	9, 11	imbi12d 234	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑢 ∪ {𝑣}) → ((𝑤 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑤 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ ((𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦 ≤ 𝑥)))
13		sseq1 3251	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (𝑤 ⊆ ℝ ↔ 𝐴 ⊆ ℝ))
14		raleq 2731	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (∀𝑦 ∈ 𝑤 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))
15	14	rexbidv 2534	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑤 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))
16	13, 15	imbi12d 234	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → ((𝑤 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑤 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ (𝐴 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)))
17		0re 8239	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
18		ral0 3598	. . . . 5 ⊢ ∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤ 0
19		breq2 4097	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ 𝑦 ≤ 0))
20	19	ralbidv 2533	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤ 0))
21	20	rspcev 2911	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤ 𝑥)
22	17, 18, 21	mp2an 426	. . . 4 ⊢ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤ 𝑥
23	22	a1i 9	. . 3 ⊢ (∅ ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤ 𝑥)
24		unss 3383	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢 ⊆ ℝ ∧ {𝑣} ⊆ ℝ) ↔ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ)
25	24	biimpri 133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ → (𝑢 ⊆ ℝ ∧ {𝑣} ⊆ ℝ))
26	25	simpld 112	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ → 𝑢 ⊆ ℝ)
27	26	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) → 𝑢 ⊆ ℝ)
28		simplr 529	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) → (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥))
29	27, 28	mpd 13	. . . . . 6 ⊢ (((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)
30		breq2 4097	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ 𝑦 ≤ 𝑠))
31	30	ralbidv 2533	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠))
32	31	cbvrexv 2769	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑠 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)
33	29, 32	sylib 122	. . . . 5 ⊢ (((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) → ∃𝑠 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)
34		simprl 531	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) → 𝑠 ∈ ℝ)
35	25	simprd 114	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ → {𝑣} ⊆ ℝ)
36		vex 2806	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑣 ∈ V
37	36	snss 3813	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ ↔ {𝑣} ⊆ ℝ)
38	35, 37	sylibr 134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ → 𝑣 ∈ ℝ)
39	38	ad2antlr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) → 𝑣 ∈ ℝ)
40		maxcl 11850	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
41	34, 39, 40	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) → sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
42		nfv 1577	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑢 ∈ Fin
43		nfv 1577	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑢 ⊆ ℝ
44		nfcv 2375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦ℝ
45		nfra1 2564	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥
46	44, 45	nfrexw 2572	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥
47	43, 46	nfim 1621	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)
48	42, 47	nfan 1614	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥))
49		nfv 1577	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ
50	48, 49	nfan 1614	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ)
51		nfv 1577	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑠 ∈ ℝ
52		nfra1 2564	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠
53	51, 52	nfan 1614	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)
54	50, 53	nfan 1614	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦(((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠))
55		simprr 533	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) → ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)
56		maxle1 11851	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → 𝑠 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ))
57	34, 39, 56	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) → 𝑠 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ))
58		r19.27av 2669	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )) → ∀𝑦 ∈ 𝑢 (𝑦 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )))
59	55, 57, 58	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) → ∀𝑦 ∈ 𝑢 (𝑦 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )))
60	59	r19.21bi 2621	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑢) → (𝑦 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )))
61	27	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑢) → 𝑢 ⊆ ℝ)
62		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ 𝑢)
63	61, 62	sseldd 3229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ ℝ)
64	34	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑢) → 𝑠 ∈ ℝ)
65	41	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑢) → sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
66		letr 8321	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ ∧ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ) ∈ ℝ) → ((𝑦 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )) → 𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )))
67	63, 64, 65, 66	syl3anc 1274	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑢) → ((𝑦 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )) → 𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )))
68	60, 67	mpd 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑢) → 𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ))
69	68	ex 115	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) → (𝑦 ∈ 𝑢 → 𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )))
70	54, 69	ralrimi 2604	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) → ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ))
71		maxle2 11852	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → 𝑣 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ))
72	34, 39, 71	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) → 𝑣 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ))
73		breq1 4096	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ) ↔ 𝑣 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )))
74	73	ralsng 3713	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ → (∀𝑦 ∈ {𝑣}𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ) ↔ 𝑣 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )))
75	39, 74	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) → (∀𝑦 ∈ {𝑣}𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ) ↔ 𝑣 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )))
76	72, 75	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) → ∀𝑦 ∈ {𝑣}𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ))
77		ralun 3391	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ) ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑣}𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )) → ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ))
78	70, 76, 77	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) → ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ))
79		breq2 4097	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ) → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ 𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )))
80	79	ralbidv 2533	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ) → (∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )))
81	80	rspcev 2911	. . . . . 6 ⊢ ((sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦 ≤ 𝑥)
82	41, 78, 81	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦 ≤ 𝑥)
83	33, 82	rexlimddv 2656	. . . 4 ⊢ (((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦 ≤ 𝑥)
84	83	exp31 364	. . 3 ⊢ (𝑢 ∈ Fin → ((𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥) → ((𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦 ≤ 𝑥)))
85	4, 8, 12, 16, 23, 84	findcard2 7121	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))
86	85	impcom 125	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ∀wral 2511  ∃wrex 2512   ∪ cun 3199   ⊆ wss 3201  ∅c0 3496  {csn 3673  {cpr 3674   class class class wbr 4093  Fincfn 6952  supcsup 7241  ℝcr 8091  0cc0 8092   < clt 8273   ≤ cle 8274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210  ax-arch 8211  ax-caucvg 8212

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-er 6745  df-en 6953  df-fin 6955  df-sup 7243  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-rp 9950  df-seqfrec 10773  df-exp 10864  df-cj 11482  df-re 11483  df-im 11484  df-rsqrt 11638  df-abs 11639

This theorem is referenced by:  fsum3cvg3  12037