Theorem fimaxre2 11168

Description: A nonempty finite set of real numbers has an upper bound. (Contributed by Jeff Madsen, 27-May-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fimaxre2	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem fimaxre2

Dummy variables 𝑠 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3165	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝑤 ⊆ ℝ ↔ ∅ ⊆ ℝ))
2		raleq 2661	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ∅ → (∀𝑦 ∈ 𝑤 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤ 𝑥))
3	2	rexbidv 2467	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑤 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤ 𝑥))
4	1, 3	imbi12d 233	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝑤 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑤 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ (∅ ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤ 𝑥)))
5		sseq1 3165	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (𝑤 ⊆ ℝ ↔ 𝑢 ⊆ ℝ))
6		raleq 2661	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (∀𝑦 ∈ 𝑤 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥))
7	6	rexbidv 2467	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑤 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥))
8	5, 7	imbi12d 233	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → ((𝑤 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑤 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)))
9		sseq1 3165	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑢 ∪ {𝑣}) → (𝑤 ⊆ ℝ ↔ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ))
10		raleq 2661	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑢 ∪ {𝑣}) → (∀𝑦 ∈ 𝑤 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦 ≤ 𝑥))
11	10	rexbidv 2467	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑢 ∪ {𝑣}) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑤 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦 ≤ 𝑥))
12	9, 11	imbi12d 233	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑢 ∪ {𝑣}) → ((𝑤 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑤 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ ((𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦 ≤ 𝑥)))
13		sseq1 3165	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (𝑤 ⊆ ℝ ↔ 𝐴 ⊆ ℝ))
14		raleq 2661	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (∀𝑦 ∈ 𝑤 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))
15	14	rexbidv 2467	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑤 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))
16	13, 15	imbi12d 233	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → ((𝑤 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑤 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ (𝐴 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)))
17		0re 7899	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
18		ral0 3510	. . . . 5 ⊢ ∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤ 0
19		breq2 3986	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ 𝑦 ≤ 0))
20	19	ralbidv 2466	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤ 0))
21	20	rspcev 2830	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤ 𝑥)
22	17, 18, 21	mp2an 423	. . . 4 ⊢ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤ 𝑥
23	22	a1i 9	. . 3 ⊢ (∅ ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤ 𝑥)
24		unss 3296	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢 ⊆ ℝ ∧ {𝑣} ⊆ ℝ) ↔ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ)
25	24	biimpri 132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ → (𝑢 ⊆ ℝ ∧ {𝑣} ⊆ ℝ))
26	25	simpld 111	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ → 𝑢 ⊆ ℝ)
27	26	adantl 275	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) → 𝑢 ⊆ ℝ)
28		simplr 520	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) → (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥))
29	27, 28	mpd 13	. . . . . 6 ⊢ (((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)
30		breq2 3986	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ 𝑦 ≤ 𝑠))
31	30	ralbidv 2466	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠))
32	31	cbvrexv 2693	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑠 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)
33	29, 32	sylib 121	. . . . 5 ⊢ (((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) → ∃𝑠 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)
34		simprl 521	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) → 𝑠 ∈ ℝ)
35	25	simprd 113	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ → {𝑣} ⊆ ℝ)
36		vex 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑣 ∈ V
37	36	snss 3702	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ ↔ {𝑣} ⊆ ℝ)
38	35, 37	sylibr 133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ → 𝑣 ∈ ℝ)
39	38	ad2antlr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) → 𝑣 ∈ ℝ)
40		maxcl 11152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
41	34, 39, 40	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) → sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
42		nfv 1516	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑢 ∈ Fin
43		nfv 1516	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑢 ⊆ ℝ
44		nfcv 2308	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦ℝ
45		nfra1 2497	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥
46	44, 45	nfrexxy 2505	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥
47	43, 46	nfim 1560	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)
48	42, 47	nfan 1553	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥))
49		nfv 1516	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ
50	48, 49	nfan 1553	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ)
51		nfv 1516	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑠 ∈ ℝ
52		nfra1 2497	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠
53	51, 52	nfan 1553	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)
54	50, 53	nfan 1553	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦(((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠))
55		simprr 522	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) → ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)
56		maxle1 11153	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → 𝑠 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ))
57	34, 39, 56	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) → 𝑠 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ))
58		r19.27av 2601	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )) → ∀𝑦 ∈ 𝑢 (𝑦 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )))
59	55, 57, 58	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) → ∀𝑦 ∈ 𝑢 (𝑦 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )))
60	59	r19.21bi 2554	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑢) → (𝑦 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )))
61	27	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑢) → 𝑢 ⊆ ℝ)
62		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ 𝑢)
63	61, 62	sseldd 3143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ ℝ)
64	34	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑢) → 𝑠 ∈ ℝ)
65	41	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑢) → sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
66		letr 7981	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ ∧ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ) ∈ ℝ) → ((𝑦 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )) → 𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )))
67	63, 64, 65, 66	syl3anc 1228	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑢) → ((𝑦 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )) → 𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )))
68	60, 67	mpd 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑢) → 𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ))
69	68	ex 114	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) → (𝑦 ∈ 𝑢 → 𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )))
70	54, 69	ralrimi 2537	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) → ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ))
71		maxle2 11154	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → 𝑣 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ))
72	34, 39, 71	syl2anc 409	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) → 𝑣 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ))
73		breq1 3985	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ) ↔ 𝑣 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )))
74	73	ralsng 3616	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ → (∀𝑦 ∈ {𝑣}𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ) ↔ 𝑣 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )))
75	39, 74	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) → (∀𝑦 ∈ {𝑣}𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ) ↔ 𝑣 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )))
76	72, 75	mpbird 166	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) → ∀𝑦 ∈ {𝑣}𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ))
77		ralun 3304	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ) ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑣}𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )) → ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ))
78	70, 76, 77	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) → ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ))
79		breq2 3986	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ) → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ 𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )))
80	79	ralbidv 2466	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ) → (∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )))
81	80	rspcev 2830	. . . . . 6 ⊢ ((sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦 ≤ 𝑥)
82	41, 78, 81	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦 ≤ 𝑥)
83	33, 82	rexlimddv 2588	. . . 4 ⊢ (((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦 ≤ 𝑥)
84	83	exp31 362	. . 3 ⊢ (𝑢 ∈ Fin → ((𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥) → ((𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦 ≤ 𝑥)))
85	4, 8, 12, 16, 23, 84	findcard2 6855	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))
86	85	impcom 124	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  ∀wral 2444  ∃wrex 2445   ∪ cun 3114   ⊆ wss 3116  ∅c0 3409  {csn 3576  {cpr 3577   class class class wbr 3982  Fincfn 6706  supcsup 6947  ℝcr 7752  0cc0 7753   < clt 7933   ≤ cle 7934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-er 6501  df-en 6707  df-fin 6709  df-sup 6949  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-rp 9590  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941

This theorem is referenced by:  fsum3cvg3  11337