Theorem fimaxre2 11653

Description: A nonempty finite set of real numbers has an upper bound. (Contributed by Jeff Madsen, 27-May-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fimaxre2	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem fimaxre2

Dummy variables 𝑠 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3224	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝑤 ⊆ ℝ ↔ ∅ ⊆ ℝ))
2		raleq 2705	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ∅ → (∀𝑦 ∈ 𝑤 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤ 𝑥))
3	2	rexbidv 2509	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑤 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤ 𝑥))
4	1, 3	imbi12d 234	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝑤 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑤 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ (∅ ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤ 𝑥)))
5		sseq1 3224	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (𝑤 ⊆ ℝ ↔ 𝑢 ⊆ ℝ))
6		raleq 2705	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (∀𝑦 ∈ 𝑤 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥))
7	6	rexbidv 2509	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑤 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥))
8	5, 7	imbi12d 234	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → ((𝑤 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑤 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)))
9		sseq1 3224	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑢 ∪ {𝑣}) → (𝑤 ⊆ ℝ ↔ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ))
10		raleq 2705	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑢 ∪ {𝑣}) → (∀𝑦 ∈ 𝑤 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦 ≤ 𝑥))
11	10	rexbidv 2509	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑢 ∪ {𝑣}) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑤 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦 ≤ 𝑥))
12	9, 11	imbi12d 234	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑢 ∪ {𝑣}) → ((𝑤 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑤 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ ((𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦 ≤ 𝑥)))
13		sseq1 3224	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (𝑤 ⊆ ℝ ↔ 𝐴 ⊆ ℝ))
14		raleq 2705	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (∀𝑦 ∈ 𝑤 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))
15	14	rexbidv 2509	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑤 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))
16	13, 15	imbi12d 234	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → ((𝑤 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑤 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ (𝐴 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)))
17		0re 8107	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
18		ral0 3570	. . . . 5 ⊢ ∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤ 0
19		breq2 4063	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ 𝑦 ≤ 0))
20	19	ralbidv 2508	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤ 0))
21	20	rspcev 2884	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤ 𝑥)
22	17, 18, 21	mp2an 426	. . . 4 ⊢ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤ 𝑥
23	22	a1i 9	. . 3 ⊢ (∅ ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤ 𝑥)
24		unss 3355	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢 ⊆ ℝ ∧ {𝑣} ⊆ ℝ) ↔ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ)
25	24	biimpri 133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ → (𝑢 ⊆ ℝ ∧ {𝑣} ⊆ ℝ))
26	25	simpld 112	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ → 𝑢 ⊆ ℝ)
27	26	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) → 𝑢 ⊆ ℝ)
28		simplr 528	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) → (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥))
29	27, 28	mpd 13	. . . . . 6 ⊢ (((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)
30		breq2 4063	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ 𝑦 ≤ 𝑠))
31	30	ralbidv 2508	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠))
32	31	cbvrexv 2743	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑠 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)
33	29, 32	sylib 122	. . . . 5 ⊢ (((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) → ∃𝑠 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)
34		simprl 529	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) → 𝑠 ∈ ℝ)
35	25	simprd 114	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ → {𝑣} ⊆ ℝ)
36		vex 2779	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑣 ∈ V
37	36	snss 3779	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ ↔ {𝑣} ⊆ ℝ)
38	35, 37	sylibr 134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ → 𝑣 ∈ ℝ)
39	38	ad2antlr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) → 𝑣 ∈ ℝ)
40		maxcl 11636	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
41	34, 39, 40	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) → sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
42		nfv 1552	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑢 ∈ Fin
43		nfv 1552	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑢 ⊆ ℝ
44		nfcv 2350	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦ℝ
45		nfra1 2539	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥
46	44, 45	nfrexw 2547	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥
47	43, 46	nfim 1596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)
48	42, 47	nfan 1589	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥))
49		nfv 1552	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ
50	48, 49	nfan 1589	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ)
51		nfv 1552	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑠 ∈ ℝ
52		nfra1 2539	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠
53	51, 52	nfan 1589	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)
54	50, 53	nfan 1589	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦(((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠))
55		simprr 531	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) → ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)
56		maxle1 11637	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → 𝑠 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ))
57	34, 39, 56	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) → 𝑠 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ))
58		r19.27av 2643	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )) → ∀𝑦 ∈ 𝑢 (𝑦 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )))
59	55, 57, 58	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) → ∀𝑦 ∈ 𝑢 (𝑦 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )))
60	59	r19.21bi 2596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑢) → (𝑦 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )))
61	27	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑢) → 𝑢 ⊆ ℝ)
62		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ 𝑢)
63	61, 62	sseldd 3202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ ℝ)
64	34	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑢) → 𝑠 ∈ ℝ)
65	41	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑢) → sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
66		letr 8190	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ ∧ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ) ∈ ℝ) → ((𝑦 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )) → 𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )))
67	63, 64, 65, 66	syl3anc 1250	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑢) → ((𝑦 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )) → 𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )))
68	60, 67	mpd 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑢) → 𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ))
69	68	ex 115	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) → (𝑦 ∈ 𝑢 → 𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )))
70	54, 69	ralrimi 2579	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) → ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ))
71		maxle2 11638	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → 𝑣 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ))
72	34, 39, 71	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) → 𝑣 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ))
73		breq1 4062	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ) ↔ 𝑣 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )))
74	73	ralsng 3683	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ → (∀𝑦 ∈ {𝑣}𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ) ↔ 𝑣 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )))
75	39, 74	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) → (∀𝑦 ∈ {𝑣}𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ) ↔ 𝑣 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )))
76	72, 75	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) → ∀𝑦 ∈ {𝑣}𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ))
77		ralun 3363	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ) ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑣}𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )) → ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ))
78	70, 76, 77	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) → ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ))
79		breq2 4063	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ) → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ 𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )))
80	79	ralbidv 2508	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ) → (∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )))
81	80	rspcev 2884	. . . . . 6 ⊢ ((sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦 ≤ 𝑥)
82	41, 78, 81	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦 ≤ 𝑥)
83	33, 82	rexlimddv 2630	. . . 4 ⊢ (((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦 ≤ 𝑥)
84	83	exp31 364	. . 3 ⊢ (𝑢 ∈ Fin → ((𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥) → ((𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦 ≤ 𝑥)))
85	4, 8, 12, 16, 23, 84	findcard2 7012	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))
86	85	impcom 125	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2178  ∀wral 2486  ∃wrex 2487   ∪ cun 3172   ⊆ wss 3174  ∅c0 3468  {csn 3643  {cpr 3644   class class class wbr 4059  Fincfn 6850  supcsup 7110  ℝcr 7959  0cc0 7960   < clt 8142   ≤ cle 8143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078  ax-arch 8079  ax-caucvg 8080

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-frec 6500  df-er 6643  df-en 6851  df-fin 6853  df-sup 7112  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-rp 9811  df-seqfrec 10630  df-exp 10721  df-cj 11268  df-re 11269  df-im 11270  df-rsqrt 11424  df-abs 11425

This theorem is referenced by:  fsum3cvg3  11822