ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fimaxre2 GIF version

Theorem fimaxre2 10483
Description: A nonempty finite set of real numbers has an upper bound. (Contributed by Jeff Madsen, 27-May-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
fimaxre2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem fimaxre2
Dummy variables 𝑠 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq1 3031 . . . 4 (𝑤 = ∅ → (𝑤 ⊆ ℝ ↔ ∅ ⊆ ℝ))
2 raleq 2555 . . . . 5 (𝑤 = ∅ → (∀𝑦𝑤 𝑦𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦𝑥))
32rexbidv 2375 . . . 4 (𝑤 = ∅ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑤 𝑦𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦𝑥))
41, 3imbi12d 232 . . 3 (𝑤 = ∅ → ((𝑤 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑤 𝑦𝑥) ↔ (∅ ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦𝑥)))
5 sseq1 3031 . . . 4 (𝑤 = 𝑢 → (𝑤 ⊆ ℝ ↔ 𝑢 ⊆ ℝ))
6 raleq 2555 . . . . 5 (𝑤 = 𝑢 → (∀𝑦𝑤 𝑦𝑥 ↔ ∀𝑦𝑢 𝑦𝑥))
76rexbidv 2375 . . . 4 (𝑤 = 𝑢 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑤 𝑦𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑢 𝑦𝑥))
85, 7imbi12d 232 . . 3 (𝑤 = 𝑢 → ((𝑤 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑤 𝑦𝑥) ↔ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑢 𝑦𝑥)))
9 sseq1 3031 . . . 4 (𝑤 = (𝑢 ∪ {𝑣}) → (𝑤 ⊆ ℝ ↔ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ))
10 raleq 2555 . . . . 5 (𝑤 = (𝑢 ∪ {𝑣}) → (∀𝑦𝑤 𝑦𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦𝑥))
1110rexbidv 2375 . . . 4 (𝑤 = (𝑢 ∪ {𝑣}) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑤 𝑦𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦𝑥))
129, 11imbi12d 232 . . 3 (𝑤 = (𝑢 ∪ {𝑣}) → ((𝑤 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑤 𝑦𝑥) ↔ ((𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦𝑥)))
13 sseq1 3031 . . . 4 (𝑤 = 𝐴 → (𝑤 ⊆ ℝ ↔ 𝐴 ⊆ ℝ))
14 raleq 2555 . . . . 5 (𝑤 = 𝐴 → (∀𝑦𝑤 𝑦𝑥 ↔ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
1514rexbidv 2375 . . . 4 (𝑤 = 𝐴 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑤 𝑦𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
1613, 15imbi12d 232 . . 3 (𝑤 = 𝐴 → ((𝑤 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑤 𝑦𝑥) ↔ (𝐴 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)))
17 0re 7391 . . . . 5 0 ∈ ℝ
18 ral0 3364 . . . . 5 𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤ 0
19 breq2 3815 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (𝑦𝑥𝑦 ≤ 0))
2019ralbidv 2374 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤ 0))
2120rspcev 2712 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦𝑥)
2217, 18, 21mp2an 417 . . . 4 𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦𝑥
2322a1i 9 . . 3 (∅ ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦𝑥)
24 unss 3158 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 ⊆ ℝ ∧ {𝑣} ⊆ ℝ) ↔ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ)
2524biimpri 131 . . . . . . . . 9 ((𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ → (𝑢 ⊆ ℝ ∧ {𝑣} ⊆ ℝ))
2625simpld 110 . . . . . . . 8 ((𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ → 𝑢 ⊆ ℝ)
2726adantl 271 . . . . . . 7 (((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑢 𝑦𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) → 𝑢 ⊆ ℝ)
28 simplr 497 . . . . . . 7 (((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑢 𝑦𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) → (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑢 𝑦𝑥))
2927, 28mpd 13 . . . . . 6 (((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑢 𝑦𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑢 𝑦𝑥)
30 breq2 3815 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑠 → (𝑦𝑥𝑦𝑠))
3130ralbidv 2374 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑠 → (∀𝑦𝑢 𝑦𝑥 ↔ ∀𝑦𝑢 𝑦𝑠))
3231cbvrexv 2584 . . . . . 6 (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑢 𝑦𝑥 ↔ ∃𝑠 ∈ ℝ ∀𝑦𝑢 𝑦𝑠)
3329, 32sylib 120 . . . . 5 (((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑢 𝑦𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) → ∃𝑠 ∈ ℝ ∀𝑦𝑢 𝑦𝑠)
34 simprl 498 . . . . . . 7 ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑢 𝑦𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑢 𝑦𝑠)) → 𝑠 ∈ ℝ)
3525simprd 112 . . . . . . . . 9 ((𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ → {𝑣} ⊆ ℝ)
36 vex 2615 . . . . . . . . . 10 𝑣 ∈ V
3736snss 3540 . . . . . . . . 9 (𝑣 ∈ ℝ ↔ {𝑣} ⊆ ℝ)
3835, 37sylibr 132 . . . . . . . 8 ((𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ → 𝑣 ∈ ℝ)
3938ad2antlr 473 . . . . . . 7 ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑢 𝑦𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑢 𝑦𝑠)) → 𝑣 ∈ ℝ)
40 maxcl 10470 . . . . . . 7 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
4134, 39, 40syl2anc 403 . . . . . 6 ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑢 𝑦𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑢 𝑦𝑠)) → sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
42 nfv 1462 . . . . . . . . . . 11 𝑦 𝑢 ∈ Fin
43 nfv 1462 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 𝑢 ⊆ ℝ
44 nfcv 2223 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦
45 nfra1 2403 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦𝑦𝑢 𝑦𝑥
4644, 45nfrexxy 2409 . . . . . . . . . . . 12 𝑦𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑢 𝑦𝑥
4743, 46nfim 1505 . . . . . . . . . . 11 𝑦(𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑢 𝑦𝑥)
4842, 47nfan 1498 . . . . . . . . . 10 𝑦(𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑢 𝑦𝑥))
49 nfv 1462 . . . . . . . . . 10 𝑦(𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ
5048, 49nfan 1498 . . . . . . . . 9 𝑦((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑢 𝑦𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ)
51 nfv 1462 . . . . . . . . . 10 𝑦 𝑠 ∈ ℝ
52 nfra1 2403 . . . . . . . . . 10 𝑦𝑦𝑢 𝑦𝑠
5351, 52nfan 1498 . . . . . . . . 9 𝑦(𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑢 𝑦𝑠)
5450, 53nfan 1498 . . . . . . . 8 𝑦(((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑢 𝑦𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑢 𝑦𝑠))
55 simprr 499 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑢 𝑦𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑢 𝑦𝑠)) → ∀𝑦𝑢 𝑦𝑠)
56 maxle1 10471 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → 𝑠 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ))
5734, 39, 56syl2anc 403 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑢 𝑦𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑢 𝑦𝑠)) → 𝑠 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ))
58 r19.27av 2498 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑦𝑢 𝑦𝑠𝑠 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )) → ∀𝑦𝑢 (𝑦𝑠𝑠 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )))
5955, 57, 58syl2anc 403 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑢 𝑦𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑢 𝑦𝑠)) → ∀𝑦𝑢 (𝑦𝑠𝑠 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )))
6059r19.21bi 2455 . . . . . . . . . 10 (((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑢 𝑦𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑢 𝑦𝑠)) ∧ 𝑦𝑢) → (𝑦𝑠𝑠 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )))
6127ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑢 𝑦𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑢 𝑦𝑠)) ∧ 𝑦𝑢) → 𝑢 ⊆ ℝ)
62 simpr 108 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑢 𝑦𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑢 𝑦𝑠)) ∧ 𝑦𝑢) → 𝑦𝑢)
6361, 62sseldd 3011 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑢 𝑦𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑢 𝑦𝑠)) ∧ 𝑦𝑢) → 𝑦 ∈ ℝ)
6434adantr 270 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑢 𝑦𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑢 𝑦𝑠)) ∧ 𝑦𝑢) → 𝑠 ∈ ℝ)
6541adantr 270 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑢 𝑦𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑢 𝑦𝑠)) ∧ 𝑦𝑢) → sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
66 letr 7471 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ ∧ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ) ∈ ℝ) → ((𝑦𝑠𝑠 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )) → 𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )))
6763, 64, 65, 66syl3anc 1170 . . . . . . . . . 10 (((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑢 𝑦𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑢 𝑦𝑠)) ∧ 𝑦𝑢) → ((𝑦𝑠𝑠 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )) → 𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )))
6860, 67mpd 13 . . . . . . . . 9 (((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑢 𝑦𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑢 𝑦𝑠)) ∧ 𝑦𝑢) → 𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ))
6968ex 113 . . . . . . . 8 ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑢 𝑦𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑢 𝑦𝑠)) → (𝑦𝑢𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )))
7054, 69ralrimi 2438 . . . . . . 7 ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑢 𝑦𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑢 𝑦𝑠)) → ∀𝑦𝑢 𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ))
71 maxle2 10472 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → 𝑣 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ))
7234, 39, 71syl2anc 403 . . . . . . . 8 ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑢 𝑦𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑢 𝑦𝑠)) → 𝑣 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ))
73 breq1 3814 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑣 → (𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ) ↔ 𝑣 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )))
7473ralsng 3457 . . . . . . . . 9 (𝑣 ∈ ℝ → (∀𝑦 ∈ {𝑣}𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ) ↔ 𝑣 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )))
7539, 74syl 14 . . . . . . . 8 ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑢 𝑦𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑢 𝑦𝑠)) → (∀𝑦 ∈ {𝑣}𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ) ↔ 𝑣 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )))
7672, 75mpbird 165 . . . . . . 7 ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑢 𝑦𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑢 𝑦𝑠)) → ∀𝑦 ∈ {𝑣}𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ))
77 ralun 3166 . . . . . . 7 ((∀𝑦𝑢 𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ) ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑣}𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )) → ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ))
7870, 76, 77syl2anc 403 . . . . . 6 ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑢 𝑦𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑢 𝑦𝑠)) → ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ))
79 breq2 3815 . . . . . . . 8 (𝑥 = sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ) → (𝑦𝑥𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )))
8079ralbidv 2374 . . . . . . 7 (𝑥 = sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ) → (∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )))
8180rspcev 2712 . . . . . 6 ((sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦𝑥)
8241, 78, 81syl2anc 403 . . . . 5 ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑢 𝑦𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑢 𝑦𝑠)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦𝑥)
8333, 82rexlimddv 2487 . . . 4 (((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑢 𝑦𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦𝑥)
8483exp31 356 . . 3 (𝑢 ∈ Fin → ((𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑢 𝑦𝑥) → ((𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦𝑥)))
854, 8, 12, 16, 23, 84findcard2 6535 . 2 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
8685impcom 123 1 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1285  wcel 1434  wral 2353  wrex 2354  cun 2982  wss 2984  c0 3269  {csn 3422  {cpr 3423   class class class wbr 3811  Fincfn 6387  supcsup 6584  cr 7252  0cc0 7253   < clt 7425  cle 7426
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-iinf 4366  ax-cnex 7339  ax-resscn 7340  ax-1cn 7341  ax-1re 7342  ax-icn 7343  ax-addcl 7344  ax-addrcl 7345  ax-mulcl 7346  ax-mulrcl 7347  ax-addcom 7348  ax-mulcom 7349  ax-addass 7350  ax-mulass 7351  ax-distr 7352  ax-i2m1 7353  ax-0lt1 7354  ax-1rid 7355  ax-0id 7356  ax-rnegex 7357  ax-precex 7358  ax-cnre 7359  ax-pre-ltirr 7360  ax-pre-ltwlin 7361  ax-pre-lttrn 7362  ax-pre-apti 7363  ax-pre-ltadd 7364  ax-pre-mulgt0 7365  ax-pre-mulext 7366  ax-arch 7367  ax-caucvg 7368
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-if 3374  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-id 4084  df-po 4087  df-iso 4088  df-iord 4157  df-on 4159  df-ilim 4160  df-suc 4162  df-iom 4369  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-f1 4974  df-fo 4975  df-f1o 4976  df-fv 4977  df-riota 5547  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-1st 5846  df-2nd 5847  df-recs 6002  df-frec 6088  df-er 6222  df-en 6388  df-fin 6390  df-sup 6586  df-pnf 7427  df-mnf 7428  df-xr 7429  df-ltxr 7430  df-le 7431  df-sub 7558  df-neg 7559  df-reap 7952  df-ap 7959  df-div 8038  df-inn 8317  df-2 8375  df-3 8376  df-4 8377  df-n0 8566  df-z 8647  df-uz 8915  df-rp 9030  df-iseq 9741  df-iexp 9792  df-cj 10103  df-re 10104  df-im 10105  df-rsqrt 10258  df-abs 10259
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator