Theorem fimaxre2 11993

Description: A nonempty finite set of real numbers has an upper bound. (Contributed by Jeff Madsen, 27-May-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fimaxre2	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem fimaxre2

Dummy variables 𝑠 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3271	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝑤 ⊆ ℝ ↔ ∅ ⊆ ℝ))
2		raleq 2749	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ∅ → (∀𝑦 ∈ 𝑤 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤ 𝑥))
3	2	rexbidv 2551	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑤 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤ 𝑥))
4	1, 3	imbi12d 234	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝑤 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑤 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ (∅ ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤ 𝑥)))
5		sseq1 3271	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (𝑤 ⊆ ℝ ↔ 𝑢 ⊆ ℝ))
6		raleq 2749	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (∀𝑦 ∈ 𝑤 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥))
7	6	rexbidv 2551	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑤 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥))
8	5, 7	imbi12d 234	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → ((𝑤 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑤 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)))
9		sseq1 3271	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑢 ∪ {𝑣}) → (𝑤 ⊆ ℝ ↔ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ))
10		raleq 2749	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑢 ∪ {𝑣}) → (∀𝑦 ∈ 𝑤 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦 ≤ 𝑥))
11	10	rexbidv 2551	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑢 ∪ {𝑣}) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑤 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦 ≤ 𝑥))
12	9, 11	imbi12d 234	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑢 ∪ {𝑣}) → ((𝑤 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑤 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ ((𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦 ≤ 𝑥)))
13		sseq1 3271	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (𝑤 ⊆ ℝ ↔ 𝐴 ⊆ ℝ))
14		raleq 2749	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (∀𝑦 ∈ 𝑤 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))
15	14	rexbidv 2551	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑤 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))
16	13, 15	imbi12d 234	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → ((𝑤 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑤 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ (𝐴 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)))
17		0re 8326	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
18		ral0 3629	. . . . 5 ⊢ ∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤ 0
19		breq2 4134	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ 𝑦 ≤ 0))
20	19	ralbidv 2550	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤ 0))
21	20	rspcev 2929	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤ 𝑥)
22	17, 18, 21	mp2an 430	. . . 4 ⊢ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤ 𝑥
23	22	a1i 9	. . 3 ⊢ (∅ ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤ 𝑥)
24		unss 3403	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢 ⊆ ℝ ∧ {𝑣} ⊆ ℝ) ↔ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ)
25	24	biimpri 133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ → (𝑢 ⊆ ℝ ∧ {𝑣} ⊆ ℝ))
26	25	simpld 112	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ → 𝑢 ⊆ ℝ)
27	26	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) → 𝑢 ⊆ ℝ)
28		simplr 533	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) → (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥))
29	27, 28	mpd 13	. . . . . 6 ⊢ (((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)
30		breq2 4134	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ 𝑦 ≤ 𝑠))
31	30	ralbidv 2550	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠))
32	31	cbvrexv 2787	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑠 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)
33	29, 32	sylib 122	. . . . 5 ⊢ (((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) → ∃𝑠 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)
34		simprl 535	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) → 𝑠 ∈ ℝ)
35	25	simprd 114	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ → {𝑣} ⊆ ℝ)
36		vex 2824	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑣 ∈ V
37	36	snss 3850	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ ↔ {𝑣} ⊆ ℝ)
38	35, 37	sylibr 134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ → 𝑣 ∈ ℝ)
39	38	ad2antlr 493	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) → 𝑣 ∈ ℝ)
40		maxcl 11976	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
41	34, 39, 40	syl2anc 415	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) → sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
42		nfv 1581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑢 ∈ Fin
43		nfv 1581	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑢 ⊆ ℝ
44		nfcv 2392	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦ℝ
45		nfra1 2581	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥
46	44, 45	nfrexw 2589	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥
47	43, 46	nfim 1625	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)
48	42, 47	nfan 1618	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥))
49		nfv 1581	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ
50	48, 49	nfan 1618	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ)
51		nfv 1581	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑠 ∈ ℝ
52		nfra1 2581	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠
53	51, 52	nfan 1618	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)
54	50, 53	nfan 1618	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦(((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠))
55		simprr 537	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) → ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)
56		maxle1 11977	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → 𝑠 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ))
57	34, 39, 56	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) → 𝑠 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ))
58		r19.27av 2686	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )) → ∀𝑦 ∈ 𝑢 (𝑦 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )))
59	55, 57, 58	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) → ∀𝑦 ∈ 𝑢 (𝑦 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )))
60	59	r19.21bi 2638	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑢) → (𝑦 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )))
61	27	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑢) → 𝑢 ⊆ ℝ)
62		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ 𝑢)
63	61, 62	sseldd 3249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ ℝ)
64	34	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑢) → 𝑠 ∈ ℝ)
65	41	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑢) → sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
66		letr 8408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ ∧ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ) ∈ ℝ) → ((𝑦 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )) → 𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )))
67	63, 64, 65, 66	syl3anc 1278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑢) → ((𝑦 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )) → 𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )))
68	60, 67	mpd 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑢) → 𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ))
69	68	ex 115	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) → (𝑦 ∈ 𝑢 → 𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )))
70	54, 69	ralrimi 2621	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) → ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ))
71		maxle2 11978	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → 𝑣 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ))
72	34, 39, 71	syl2anc 415	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) → 𝑣 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ))
73		breq1 4133	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ) ↔ 𝑣 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )))
74	73	ralsng 3749	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ → (∀𝑦 ∈ {𝑣}𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ) ↔ 𝑣 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )))
75	39, 74	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) → (∀𝑦 ∈ {𝑣}𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ) ↔ 𝑣 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )))
76	72, 75	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) → ∀𝑦 ∈ {𝑣}𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ))
77		ralun 3411	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ) ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑣}𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )) → ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ))
78	70, 76, 77	syl2anc 415	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) → ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ))
79		breq2 4134	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ) → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ 𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )))
80	79	ralbidv 2550	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ) → (∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )))
81	80	rspcev 2929	. . . . . 6 ⊢ ((sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦 ≤ 𝑥)
82	41, 78, 81	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦 ≤ 𝑥)
83	33, 82	rexlimddv 2673	. . . 4 ⊢ (((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦 ≤ 𝑥)
84	83	exp31 364	. . 3 ⊢ (𝑢 ∈ Fin → ((𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥) → ((𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦 ≤ 𝑥)))
85	4, 8, 12, 16, 23, 84	findcard2 7193	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))
86	85	impcom 125	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529   ∪ cun 3218   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520  {csn 3709  {cpr 3710   class class class wbr 4130  Fincfn 7022  supcsup 7322  ℝcr 8178  0cc0 8179   < clt 8360   ≤ cle 8361

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-er 6807  df-en 7023  df-fin 7025  df-sup 7324  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-rp 10055  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-cj 11607  df-re 11608  df-im 11609  df-rsqrt 11764  df-abs 11765

This theorem is used by:  fsum3cvg3  12163