Theorem fimaxre2 10719

Description: A nonempty finite set of real numbers has an upper bound. (Contributed by Jeff Madsen, 27-May-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fimaxre2	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem fimaxre2

Dummy variables 𝑠 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3048	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝑤 ⊆ ℝ ↔ ∅ ⊆ ℝ))
2		raleq 2563	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ∅ → (∀𝑦 ∈ 𝑤 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤ 𝑥))
3	2	rexbidv 2382	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑤 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤ 𝑥))
4	1, 3	imbi12d 233	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝑤 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑤 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ (∅ ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤ 𝑥)))
5		sseq1 3048	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (𝑤 ⊆ ℝ ↔ 𝑢 ⊆ ℝ))
6		raleq 2563	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (∀𝑦 ∈ 𝑤 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥))
7	6	rexbidv 2382	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑤 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥))
8	5, 7	imbi12d 233	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → ((𝑤 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑤 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)))
9		sseq1 3048	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑢 ∪ {𝑣}) → (𝑤 ⊆ ℝ ↔ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ))
10		raleq 2563	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑢 ∪ {𝑣}) → (∀𝑦 ∈ 𝑤 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦 ≤ 𝑥))
11	10	rexbidv 2382	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑢 ∪ {𝑣}) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑤 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦 ≤ 𝑥))
12	9, 11	imbi12d 233	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑢 ∪ {𝑣}) → ((𝑤 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑤 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ ((𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦 ≤ 𝑥)))
13		sseq1 3048	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (𝑤 ⊆ ℝ ↔ 𝐴 ⊆ ℝ))
14		raleq 2563	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (∀𝑦 ∈ 𝑤 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))
15	14	rexbidv 2382	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑤 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))
16	13, 15	imbi12d 233	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → ((𝑤 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑤 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ (𝐴 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)))
17		0re 7549	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
18		ral0 3387	. . . . 5 ⊢ ∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤ 0
19		breq2 3855	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ 𝑦 ≤ 0))
20	19	ralbidv 2381	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤ 0))
21	20	rspcev 2723	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤ 𝑥)
22	17, 18, 21	mp2an 418	. . . 4 ⊢ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤ 𝑥
23	22	a1i 9	. . 3 ⊢ (∅ ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤ 𝑥)
24		unss 3175	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢 ⊆ ℝ ∧ {𝑣} ⊆ ℝ) ↔ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ)
25	24	biimpri 132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ → (𝑢 ⊆ ℝ ∧ {𝑣} ⊆ ℝ))
26	25	simpld 111	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ → 𝑢 ⊆ ℝ)
27	26	adantl 272	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) → 𝑢 ⊆ ℝ)
28		simplr 498	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) → (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥))
29	27, 28	mpd 13	. . . . . 6 ⊢ (((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)
30		breq2 3855	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ 𝑦 ≤ 𝑠))
31	30	ralbidv 2381	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠))
32	31	cbvrexv 2592	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑠 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)
33	29, 32	sylib 121	. . . . 5 ⊢ (((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) → ∃𝑠 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)
34		simprl 499	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) → 𝑠 ∈ ℝ)
35	25	simprd 113	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ → {𝑣} ⊆ ℝ)
36		vex 2623	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑣 ∈ V
37	36	snss 3572	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ ↔ {𝑣} ⊆ ℝ)
38	35, 37	sylibr 133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ → 𝑣 ∈ ℝ)
39	38	ad2antlr 474	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) → 𝑣 ∈ ℝ)
40		maxcl 10704	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
41	34, 39, 40	syl2anc 404	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) → sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
42		nfv 1467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑢 ∈ Fin
43		nfv 1467	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑢 ⊆ ℝ
44		nfcv 2229	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦ℝ
45		nfra1 2410	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥
46	44, 45	nfrexxy 2416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥
47	43, 46	nfim 1510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)
48	42, 47	nfan 1503	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥))
49		nfv 1467	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ
50	48, 49	nfan 1503	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ)
51		nfv 1467	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑠 ∈ ℝ
52		nfra1 2410	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠
53	51, 52	nfan 1503	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)
54	50, 53	nfan 1503	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦(((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠))
55		simprr 500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) → ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)
56		maxle1 10705	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → 𝑠 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ))
57	34, 39, 56	syl2anc 404	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) → 𝑠 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ))
58		r19.27av 2505	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )) → ∀𝑦 ∈ 𝑢 (𝑦 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )))
59	55, 57, 58	syl2anc 404	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) → ∀𝑦 ∈ 𝑢 (𝑦 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )))
60	59	r19.21bi 2462	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑢) → (𝑦 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )))
61	27	ad2antrr 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑢) → 𝑢 ⊆ ℝ)
62		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ 𝑢)
63	61, 62	sseldd 3027	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ ℝ)
64	34	adantr 271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑢) → 𝑠 ∈ ℝ)
65	41	adantr 271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑢) → sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
66		letr 7629	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ ∧ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ) ∈ ℝ) → ((𝑦 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )) → 𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )))
67	63, 64, 65, 66	syl3anc 1175	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑢) → ((𝑦 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )) → 𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )))
68	60, 67	mpd 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑢) → 𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ))
69	68	ex 114	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) → (𝑦 ∈ 𝑢 → 𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )))
70	54, 69	ralrimi 2445	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) → ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ))
71		maxle2 10706	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → 𝑣 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ))
72	34, 39, 71	syl2anc 404	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) → 𝑣 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ))
73		breq1 3854	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ) ↔ 𝑣 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )))
74	73	ralsng 3487	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ → (∀𝑦 ∈ {𝑣}𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ) ↔ 𝑣 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )))
75	39, 74	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) → (∀𝑦 ∈ {𝑣}𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ) ↔ 𝑣 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )))
76	72, 75	mpbird 166	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) → ∀𝑦 ∈ {𝑣}𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ))
77		ralun 3183	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ) ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑣}𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )) → ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ))
78	70, 76, 77	syl2anc 404	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) → ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ))
79		breq2 3855	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ) → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ 𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )))
80	79	ralbidv 2381	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ) → (∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )))
81	80	rspcev 2723	. . . . . 6 ⊢ ((sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦 ≤ sup({𝑠, 𝑣}, ℝ, < )) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦 ≤ 𝑥)
82	41, 78, 81	syl2anc 404	. . . . 5 ⊢ ((((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑠)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦 ≤ 𝑥)
83	33, 82	rexlimddv 2494	. . . 4 ⊢ (((𝑢 ∈ Fin ∧ (𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦 ≤ 𝑥)
84	83	exp31 357	. . 3 ⊢ (𝑢 ∈ Fin → ((𝑢 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑢 𝑦 ≤ 𝑥) → ((𝑢 ∪ {𝑣}) ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝑦 ≤ 𝑥)))
85	4, 8, 12, 16, 23, 84	findcard2 6659	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))
86	85	impcom 124	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1290   ∈ wcel 1439  ∀wral 2360  ∃wrex 2361   ∪ cun 2998   ⊆ wss 3000  ∅c0 3287  {csn 3450  {cpr 3451   class class class wbr 3851  Fincfn 6511  supcsup 6731  ℝcr 7410  0cc0 7411   < clt 7583   ≤ cle 7584

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-mulrcl 7505  ax-addcom 7506  ax-mulcom 7507  ax-addass 7508  ax-mulass 7509  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-1rid 7513  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-precex 7516  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-apti 7521  ax-pre-ltadd 7522  ax-pre-mulgt0 7523  ax-pre-mulext 7524  ax-arch 7525  ax-caucvg 7526

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-if 3398  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-iord 4202  df-on 4204  df-ilim 4205  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-frec 6170  df-er 6306  df-en 6512  df-fin 6514  df-sup 6733  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-reap 8113  df-ap 8120  df-div 8201  df-inn 8484  df-2 8542  df-3 8543  df-4 8544  df-n0 8735  df-z 8812  df-uz 9081  df-rp 9196  df-iseq 9914  df-seq3 9915  df-exp 10016  df-cj 10337  df-re 10338  df-im 10339  df-rsqrt 10492  df-abs 10493

This theorem is referenced by:  fsum3cvg3  10850