Theorem nninfisollem0 7168

Description: Lemma for nninfisol 7171. The case where 𝑁 is zero. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfisol.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ∞)
nninfisol.0	⊢ (𝜑 → (𝑋‘𝑁) = ∅)
nninfisol.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ω)
nninfisollem0.0	⊢ (𝜑 → 𝑁 = ∅)

Assertion

Ref	Expression
nninfisollem0	⊢ (𝜑 → DECID (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑖,𝑁   𝜑,𝑖

Allowed substitution hint:   𝑋(𝑖)

Proof of Theorem nninfisollem0

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfisol.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ∞)
2		nninfisol.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ω)
3		ral0 3543	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑗 ∈ ∅ (𝑋‘𝑗) = 1o
4		nninfisollem0.0	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = ∅)
5	4	raleqdv 2692	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑋‘𝑗) = 1o ↔ ∀𝑗 ∈ ∅ (𝑋‘𝑗) = 1o))
6	3, 5	mpbiri 168	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑋‘𝑗) = 1o)
7		nninfisol.0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘𝑁) = ∅)
8	1, 2, 6, 7	nnnninfeq 7166	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)))
9	8	eqcomd 2195	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋)
10	9	orcd 734	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋 ∨ ¬ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋))
11		df-dc 836	. 2 ⊢ (DECID (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋 ↔ ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋 ∨ ¬ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋))
12	10, 11	sylibr 134	1 ⊢ (𝜑 → DECID (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  ∀wral 2468  ∅c0 3441  ifcif 3553   ↦ cmpt 4086  ωcom 4614  ‘cfv 5242  1_oc1o 6442  ℕ_∞xnninf 7157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4199  ax-pr 4234  ax-un 4458  ax-setind 4561  ax-iinf 4612

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2758  df-sbc 2982  df-csb 3077  df-dif 3150  df-un 3152  df-in 3154  df-ss 3161  df-nul 3442  df-if 3554  df-pw 3599  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3832  df-int 3867  df-br 4026  df-opab 4087  df-mpt 4088  df-tr 4124  df-id 4318  df-iord 4391  df-on 4393  df-suc 4396  df-iom 4615  df-xp 4657  df-rel 4658  df-cnv 4659  df-co 4660  df-dm 4661  df-rn 4662  df-iota 5203  df-fun 5244  df-fn 5245  df-f 5246  df-fv 5250  df-ov 5907  df-oprab 5908  df-mpo 5909  df-1o 6449  df-2o 6450  df-map 6684  df-nninf 7158

This theorem is referenced by:  nninfisol  7171