Theorem nninfisollem0 7328

Description: Lemma for nninfisol 7331. The case where 𝑁 is zero. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfisol.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ∞)
nninfisol.0	⊢ (𝜑 → (𝑋‘𝑁) = ∅)
nninfisol.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ω)
nninfisollem0.0	⊢ (𝜑 → 𝑁 = ∅)

Assertion

Ref	Expression
nninfisollem0	⊢ (𝜑 → DECID (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑖,𝑁   𝜑,𝑖

Allowed substitution hint:   𝑋(𝑖)

Proof of Theorem nninfisollem0

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfisol.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ∞)
2		nninfisol.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ω)
3		ral0 3596	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑗 ∈ ∅ (𝑋‘𝑗) = 1o
4		nninfisollem0.0	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = ∅)
5	4	raleqdv 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑋‘𝑗) = 1o ↔ ∀𝑗 ∈ ∅ (𝑋‘𝑗) = 1o))
6	3, 5	mpbiri 168	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑋‘𝑗) = 1o)
7		nninfisol.0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘𝑁) = ∅)
8	1, 2, 6, 7	nnnninfeq 7326	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)))
9	8	eqcomd 2237	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋)
10	9	orcd 740	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋 ∨ ¬ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋))
11		df-dc 842	. 2 ⊢ (DECID (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋 ↔ ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋 ∨ ¬ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋))
12	10, 11	sylibr 134	1 ⊢ (𝜑 → DECID (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 715  DECID wdc 841   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510  ∅c0 3494  ifcif 3605   ↦ cmpt 4150  ωcom 4688  ‘cfv 5326  1_oc1o 6574  ℕ_∞xnninf 7317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1o 6581  df-2o 6582  df-map 6818  df-nninf 7318

This theorem is referenced by:  nninfisol  7331