Theorem nninfisollem0 7191

Description: Lemma for nninfisol 7194. The case where 𝑁 is zero. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfisol.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ∞)
nninfisol.0	⊢ (𝜑 → (𝑋‘𝑁) = ∅)
nninfisol.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ω)
nninfisollem0.0	⊢ (𝜑 → 𝑁 = ∅)

Assertion

Ref	Expression
nninfisollem0	⊢ (𝜑 → DECID (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑖,𝑁   𝜑,𝑖

Allowed substitution hint:   𝑋(𝑖)

Proof of Theorem nninfisollem0

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfisol.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ∞)
2		nninfisol.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ω)
3		ral0 3549	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑗 ∈ ∅ (𝑋‘𝑗) = 1o
4		nninfisollem0.0	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = ∅)
5	4	raleqdv 2696	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑋‘𝑗) = 1o ↔ ∀𝑗 ∈ ∅ (𝑋‘𝑗) = 1o))
6	3, 5	mpbiri 168	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑋‘𝑗) = 1o)
7		nninfisol.0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘𝑁) = ∅)
8	1, 2, 6, 7	nnnninfeq 7189	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)))
9	8	eqcomd 2199	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋)
10	9	orcd 734	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋 ∨ ¬ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋))
11		df-dc 836	. 2 ⊢ (DECID (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋 ↔ ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋 ∨ ¬ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋))
12	10, 11	sylibr 134	1 ⊢ (𝜑 → DECID (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472  ∅c0 3447  ifcif 3558   ↦ cmpt 4091  ωcom 4623  ‘cfv 5255  1_oc1o 6464  ℕ_∞xnninf 7180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1o 6471  df-2o 6472  df-map 6706  df-nninf 7181

This theorem is referenced by:  nninfisol  7194