ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nninfisollem0 GIF version

Theorem nninfisollem0 7189
Description: Lemma for nninfisol 7192. The case where 𝑁 is zero. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
nninfisol.x (𝜑𝑋 ∈ ℕ)
nninfisol.0 (𝜑 → (𝑋𝑁) = ∅)
nninfisol.n (𝜑𝑁 ∈ ω)
nninfisollem0.0 (𝜑𝑁 = ∅)
Assertion
Ref Expression
nninfisollem0 (𝜑DECID (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋)
Distinct variable groups:   𝑖,𝑁   𝜑,𝑖
Allowed substitution hint:   𝑋(𝑖)

Proof of Theorem nninfisollem0
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nninfisol.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ℕ)
2 nninfisol.n . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ω)
3 ral0 3548 . . . . . 6 𝑗 ∈ ∅ (𝑋𝑗) = 1o
4 nninfisollem0.0 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 = ∅)
54raleqdv 2696 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑗𝑁 (𝑋𝑗) = 1o ↔ ∀𝑗 ∈ ∅ (𝑋𝑗) = 1o))
63, 5mpbiri 168 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑗𝑁 (𝑋𝑗) = 1o)
7 nninfisol.0 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋𝑁) = ∅)
81, 2, 6, 7nnnninfeq 7187 . . . 4 (𝜑𝑋 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅)))
98eqcomd 2199 . . 3 (𝜑 → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋)
109orcd 734 . 2 (𝜑 → ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋 ∨ ¬ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋))
11 df-dc 836 . 2 (DECID (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋 ↔ ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋 ∨ ¬ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋))
1210, 11sylibr 134 1 (𝜑DECID (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364  wcel 2164  wral 2472  c0 3446  ifcif 3557  cmpt 4090  ωcom 4622  cfv 5254  1oc1o 6462  xnninf 7178
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1o 6469  df-2o 6470  df-map 6704  df-nninf 7179
This theorem is referenced by:  nninfisol  7192
  Copyright terms: Public domain W3C validator