Theorem fvunsng 5856

Description: Remove an ordered pair not participating in a function value. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fvunsng	⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) → ((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩})‘𝐷) = (𝐴‘𝐷))

Proof of Theorem fvunsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snidg 3702	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐷 ∈ {𝐷})
2		fvres 5672	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ {𝐷} → (((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩}) ↾ {𝐷})‘𝐷) = ((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩})‘𝐷))
3	1, 2	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩}) ↾ {𝐷})‘𝐷) = ((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩})‘𝐷))
4		resundir 5033	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩}) ↾ {𝐷}) = ((𝐴 ↾ {𝐷}) ∪ ({⟨𝐵, 𝐶⟩} ↾ {𝐷}))
5		elsni 3691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ {𝐷} → 𝐵 = 𝐷)
6	5	necon3ai 2452	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐷 → ¬ 𝐵 ∈ {𝐷})
7		ressnop0 5843	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ {𝐷} → ({⟨𝐵, 𝐶⟩} ↾ {𝐷}) = ∅)
8	6, 7	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐷 → ({⟨𝐵, 𝐶⟩} ↾ {𝐷}) = ∅)
9	8	uneq2d 3363	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐷 → ((𝐴 ↾ {𝐷}) ∪ ({⟨𝐵, 𝐶⟩} ↾ {𝐷})) = ((𝐴 ↾ {𝐷}) ∪ ∅))
10		un0 3530	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ↾ {𝐷}) ∪ ∅) = (𝐴 ↾ {𝐷})
11	9, 10	eqtrdi 2280	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐷 → ((𝐴 ↾ {𝐷}) ∪ ({⟨𝐵, 𝐶⟩} ↾ {𝐷})) = (𝐴 ↾ {𝐷}))
12	4, 11	eqtrid 2276	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐷 → ((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩}) ↾ {𝐷}) = (𝐴 ↾ {𝐷}))
13	12	fveq1d 5650	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐷 → (((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩}) ↾ {𝐷})‘𝐷) = ((𝐴 ↾ {𝐷})‘𝐷))
14	3, 13	sylan9req 2285	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) → ((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩})‘𝐷) = ((𝐴 ↾ {𝐷})‘𝐷))
15		fvres 5672	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ {𝐷} → ((𝐴 ↾ {𝐷})‘𝐷) = (𝐴‘𝐷))
16	1, 15	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ((𝐴 ↾ {𝐷})‘𝐷) = (𝐴‘𝐷))
17	16	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) → ((𝐴 ↾ {𝐷})‘𝐷) = (𝐴‘𝐷))
18	14, 17	eqtrd 2264	1 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) → ((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩})‘𝐷) = (𝐴‘𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2403   ∪ cun 3199  ∅c0 3496  {csn 3673  ⟨cop 3676   ↾ cres 4733  ‘cfv 5333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-res 4743  df-iota 5293  df-fv 5341

This theorem is referenced by:  fvpr1  5866  fvpr1g  5868  fvpr2g  5869  fvtp1g  5870  tfrlemisucaccv  6534  tfr1onlemsucaccv  6550  tfrcllemsucaccv  6563  ac6sfi  7130  0tonninf  10748  1tonninf  10749  hashennn  11088  zfz1isolemiso  11149  cats1un  11351  nninfctlemfo  12674