ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fvunsng GIF version

Theorem fvunsng 5530
Description: Remove an ordered pair not participating in a function value. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
fvunsng ((𝐷𝑉𝐵𝐷) → ((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩})‘𝐷) = (𝐴𝐷))

Proof of Theorem fvunsng
StepHypRef Expression
1 snidg 3493 . . . 4 (𝐷𝑉𝐷 ∈ {𝐷})
2 fvres 5364 . . . 4 (𝐷 ∈ {𝐷} → (((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩}) ↾ {𝐷})‘𝐷) = ((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩})‘𝐷))
31, 2syl 14 . . 3 (𝐷𝑉 → (((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩}) ↾ {𝐷})‘𝐷) = ((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩})‘𝐷))
4 resundir 4759 . . . . 5 ((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩}) ↾ {𝐷}) = ((𝐴 ↾ {𝐷}) ∪ ({⟨𝐵, 𝐶⟩} ↾ {𝐷}))
5 elsni 3484 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ {𝐷} → 𝐵 = 𝐷)
65necon3ai 2311 . . . . . . . 8 (𝐵𝐷 → ¬ 𝐵 ∈ {𝐷})
7 ressnop0 5517 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ {𝐷} → ({⟨𝐵, 𝐶⟩} ↾ {𝐷}) = ∅)
86, 7syl 14 . . . . . . 7 (𝐵𝐷 → ({⟨𝐵, 𝐶⟩} ↾ {𝐷}) = ∅)
98uneq2d 3169 . . . . . 6 (𝐵𝐷 → ((𝐴 ↾ {𝐷}) ∪ ({⟨𝐵, 𝐶⟩} ↾ {𝐷})) = ((𝐴 ↾ {𝐷}) ∪ ∅))
10 un0 3335 . . . . . 6 ((𝐴 ↾ {𝐷}) ∪ ∅) = (𝐴 ↾ {𝐷})
119, 10syl6eq 2143 . . . . 5 (𝐵𝐷 → ((𝐴 ↾ {𝐷}) ∪ ({⟨𝐵, 𝐶⟩} ↾ {𝐷})) = (𝐴 ↾ {𝐷}))
124, 11syl5eq 2139 . . . 4 (𝐵𝐷 → ((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩}) ↾ {𝐷}) = (𝐴 ↾ {𝐷}))
1312fveq1d 5342 . . 3 (𝐵𝐷 → (((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩}) ↾ {𝐷})‘𝐷) = ((𝐴 ↾ {𝐷})‘𝐷))
143, 13sylan9req 2148 . 2 ((𝐷𝑉𝐵𝐷) → ((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩})‘𝐷) = ((𝐴 ↾ {𝐷})‘𝐷))
15 fvres 5364 . . . 4 (𝐷 ∈ {𝐷} → ((𝐴 ↾ {𝐷})‘𝐷) = (𝐴𝐷))
161, 15syl 14 . . 3 (𝐷𝑉 → ((𝐴 ↾ {𝐷})‘𝐷) = (𝐴𝐷))
1716adantr 271 . 2 ((𝐷𝑉𝐵𝐷) → ((𝐴 ↾ {𝐷})‘𝐷) = (𝐴𝐷))
1814, 17eqtrd 2127 1 ((𝐷𝑉𝐵𝐷) → ((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩})‘𝐷) = (𝐴𝐷))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103   = wceq 1296  wcel 1445  wne 2262  cun 3011  c0 3302  {csn 3466  cop 3469  cres 4469  cfv 5049
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-ral 2375  df-rex 2376  df-v 2635  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-br 3868  df-opab 3922  df-xp 4473  df-res 4479  df-iota 5014  df-fv 5057
This theorem is referenced by:  fvpr1  5540  fvpr1g  5542  fvpr2g  5543  fvtp1g  5544  tfrlemisucaccv  6128  tfr1onlemsucaccv  6144  tfrcllemsucaccv  6157  ac6sfi  6694  0tonninf  9994  1tonninf  9995  hashennn  10319  zfz1isolemiso  10375
  Copyright terms: Public domain W3C validator