ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fvunsng GIF version

Theorem fvunsng 5711
Description: Remove an ordered pair not participating in a function value. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
fvunsng ((𝐷𝑉𝐵𝐷) → ((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩})‘𝐷) = (𝐴𝐷))

Proof of Theorem fvunsng
StepHypRef Expression
1 snidg 3622 . . . 4 (𝐷𝑉𝐷 ∈ {𝐷})
2 fvres 5540 . . . 4 (𝐷 ∈ {𝐷} → (((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩}) ↾ {𝐷})‘𝐷) = ((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩})‘𝐷))
31, 2syl 14 . . 3 (𝐷𝑉 → (((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩}) ↾ {𝐷})‘𝐷) = ((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩})‘𝐷))
4 resundir 4922 . . . . 5 ((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩}) ↾ {𝐷}) = ((𝐴 ↾ {𝐷}) ∪ ({⟨𝐵, 𝐶⟩} ↾ {𝐷}))
5 elsni 3611 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ {𝐷} → 𝐵 = 𝐷)
65necon3ai 2396 . . . . . . . 8 (𝐵𝐷 → ¬ 𝐵 ∈ {𝐷})
7 ressnop0 5698 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ {𝐷} → ({⟨𝐵, 𝐶⟩} ↾ {𝐷}) = ∅)
86, 7syl 14 . . . . . . 7 (𝐵𝐷 → ({⟨𝐵, 𝐶⟩} ↾ {𝐷}) = ∅)
98uneq2d 3290 . . . . . 6 (𝐵𝐷 → ((𝐴 ↾ {𝐷}) ∪ ({⟨𝐵, 𝐶⟩} ↾ {𝐷})) = ((𝐴 ↾ {𝐷}) ∪ ∅))
10 un0 3457 . . . . . 6 ((𝐴 ↾ {𝐷}) ∪ ∅) = (𝐴 ↾ {𝐷})
119, 10eqtrdi 2226 . . . . 5 (𝐵𝐷 → ((𝐴 ↾ {𝐷}) ∪ ({⟨𝐵, 𝐶⟩} ↾ {𝐷})) = (𝐴 ↾ {𝐷}))
124, 11eqtrid 2222 . . . 4 (𝐵𝐷 → ((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩}) ↾ {𝐷}) = (𝐴 ↾ {𝐷}))
1312fveq1d 5518 . . 3 (𝐵𝐷 → (((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩}) ↾ {𝐷})‘𝐷) = ((𝐴 ↾ {𝐷})‘𝐷))
143, 13sylan9req 2231 . 2 ((𝐷𝑉𝐵𝐷) → ((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩})‘𝐷) = ((𝐴 ↾ {𝐷})‘𝐷))
15 fvres 5540 . . . 4 (𝐷 ∈ {𝐷} → ((𝐴 ↾ {𝐷})‘𝐷) = (𝐴𝐷))
161, 15syl 14 . . 3 (𝐷𝑉 → ((𝐴 ↾ {𝐷})‘𝐷) = (𝐴𝐷))
1716adantr 276 . 2 ((𝐷𝑉𝐵𝐷) → ((𝐴 ↾ {𝐷})‘𝐷) = (𝐴𝐷))
1814, 17eqtrd 2210 1 ((𝐷𝑉𝐵𝐷) → ((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩})‘𝐷) = (𝐴𝐷))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148  wne 2347  cun 3128  c0 3423  {csn 3593  cop 3596  cres 4629  cfv 5217
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2740  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-xp 4633  df-res 4639  df-iota 5179  df-fv 5225
This theorem is referenced by:  fvpr1  5721  fvpr1g  5723  fvpr2g  5724  fvtp1g  5725  tfrlemisucaccv  6326  tfr1onlemsucaccv  6342  tfrcllemsucaccv  6355  ac6sfi  6898  0tonninf  10439  1tonninf  10440  hashennn  10760  zfz1isolemiso  10819
  Copyright terms: Public domain W3C validator