Theorem fvunsng 5756

Description: Remove an ordered pair not participating in a function value. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fvunsng	⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) → ((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩})‘𝐷) = (𝐴‘𝐷))

Proof of Theorem fvunsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snidg 3651	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐷 ∈ {𝐷})
2		fvres 5582	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ {𝐷} → (((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩}) ↾ {𝐷})‘𝐷) = ((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩})‘𝐷))
3	1, 2	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩}) ↾ {𝐷})‘𝐷) = ((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩})‘𝐷))
4		resundir 4960	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩}) ↾ {𝐷}) = ((𝐴 ↾ {𝐷}) ∪ ({⟨𝐵, 𝐶⟩} ↾ {𝐷}))
5		elsni 3640	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ {𝐷} → 𝐵 = 𝐷)
6	5	necon3ai 2416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐷 → ¬ 𝐵 ∈ {𝐷})
7		ressnop0 5743	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ {𝐷} → ({⟨𝐵, 𝐶⟩} ↾ {𝐷}) = ∅)
8	6, 7	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐷 → ({⟨𝐵, 𝐶⟩} ↾ {𝐷}) = ∅)
9	8	uneq2d 3317	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐷 → ((𝐴 ↾ {𝐷}) ∪ ({⟨𝐵, 𝐶⟩} ↾ {𝐷})) = ((𝐴 ↾ {𝐷}) ∪ ∅))
10		un0 3484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ↾ {𝐷}) ∪ ∅) = (𝐴 ↾ {𝐷})
11	9, 10	eqtrdi 2245	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐷 → ((𝐴 ↾ {𝐷}) ∪ ({⟨𝐵, 𝐶⟩} ↾ {𝐷})) = (𝐴 ↾ {𝐷}))
12	4, 11	eqtrid 2241	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐷 → ((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩}) ↾ {𝐷}) = (𝐴 ↾ {𝐷}))
13	12	fveq1d 5560	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐷 → (((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩}) ↾ {𝐷})‘𝐷) = ((𝐴 ↾ {𝐷})‘𝐷))
14	3, 13	sylan9req 2250	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) → ((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩})‘𝐷) = ((𝐴 ↾ {𝐷})‘𝐷))
15		fvres 5582	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ {𝐷} → ((𝐴 ↾ {𝐷})‘𝐷) = (𝐴‘𝐷))
16	1, 15	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ((𝐴 ↾ {𝐷})‘𝐷) = (𝐴‘𝐷))
17	16	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) → ((𝐴 ↾ {𝐷})‘𝐷) = (𝐴‘𝐷))
18	14, 17	eqtrd 2229	1 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) → ((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩})‘𝐷) = (𝐴‘𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367   ∪ cun 3155  ∅c0 3450  {csn 3622  ⟨cop 3625   ↾ cres 4665  ‘cfv 5258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-xp 4669  df-res 4675  df-iota 5219  df-fv 5266

This theorem is referenced by:  fvpr1  5766  fvpr1g  5768  fvpr2g  5769  fvtp1g  5770  tfrlemisucaccv  6383  tfr1onlemsucaccv  6399  tfrcllemsucaccv  6412  ac6sfi  6959  0tonninf  10532  1tonninf  10533  hashennn  10872  zfz1isolemiso  10931  nninfctlemfo  12207