Theorem fvunsng 5709

Description: Remove an ordered pair not participating in a function value. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fvunsng	⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) → ((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩})‘𝐷) = (𝐴‘𝐷))

Proof of Theorem fvunsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snidg 3621	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐷 ∈ {𝐷})
2		fvres 5538	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ {𝐷} → (((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩}) ↾ {𝐷})‘𝐷) = ((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩})‘𝐷))
3	1, 2	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩}) ↾ {𝐷})‘𝐷) = ((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩})‘𝐷))
4		resundir 4920	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩}) ↾ {𝐷}) = ((𝐴 ↾ {𝐷}) ∪ ({⟨𝐵, 𝐶⟩} ↾ {𝐷}))
5		elsni 3610	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ {𝐷} → 𝐵 = 𝐷)
6	5	necon3ai 2396	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐷 → ¬ 𝐵 ∈ {𝐷})
7		ressnop0 5696	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ {𝐷} → ({⟨𝐵, 𝐶⟩} ↾ {𝐷}) = ∅)
8	6, 7	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐷 → ({⟨𝐵, 𝐶⟩} ↾ {𝐷}) = ∅)
9	8	uneq2d 3289	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐷 → ((𝐴 ↾ {𝐷}) ∪ ({⟨𝐵, 𝐶⟩} ↾ {𝐷})) = ((𝐴 ↾ {𝐷}) ∪ ∅))
10		un0 3456	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ↾ {𝐷}) ∪ ∅) = (𝐴 ↾ {𝐷})
11	9, 10	eqtrdi 2226	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐷 → ((𝐴 ↾ {𝐷}) ∪ ({⟨𝐵, 𝐶⟩} ↾ {𝐷})) = (𝐴 ↾ {𝐷}))
12	4, 11	eqtrid 2222	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐷 → ((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩}) ↾ {𝐷}) = (𝐴 ↾ {𝐷}))
13	12	fveq1d 5516	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐷 → (((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩}) ↾ {𝐷})‘𝐷) = ((𝐴 ↾ {𝐷})‘𝐷))
14	3, 13	sylan9req 2231	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) → ((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩})‘𝐷) = ((𝐴 ↾ {𝐷})‘𝐷))
15		fvres 5538	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ {𝐷} → ((𝐴 ↾ {𝐷})‘𝐷) = (𝐴‘𝐷))
16	1, 15	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ((𝐴 ↾ {𝐷})‘𝐷) = (𝐴‘𝐷))
17	16	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) → ((𝐴 ↾ {𝐷})‘𝐷) = (𝐴‘𝐷))
18	14, 17	eqtrd 2210	1 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) → ((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩})‘𝐷) = (𝐴‘𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ≠ wne 2347   ∪ cun 3127  ∅c0 3422  {csn 3592  ⟨cop 3595   ↾ cres 4627  ‘cfv 5215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4003  df-opab 4064  df-xp 4631  df-res 4637  df-iota 5177  df-fv 5223

This theorem is referenced by:  fvpr1  5719  fvpr1g  5721  fvpr2g  5722  fvtp1g  5723  tfrlemisucaccv  6323  tfr1onlemsucaccv  6339  tfrcllemsucaccv  6352  ac6sfi  6895  0tonninf  10434  1tonninf  10435  hashennn  10753  zfz1isolemiso  10812