Theorem elpq 9586

Description: A positive rational is the quotient of two positive integers. (Contributed by AV, 29-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
elpq	⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem elpq

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 9560	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑧 / 𝑦))
2		rexcom 2630	. . . . 5 ⊢ (∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑧 / 𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑧 / 𝑦))
3	1, 2	bitri 183	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑧 / 𝑦))
4		breq2 3986	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = (𝑧 / 𝑦) → (0 < 𝐴 ↔ 0 < (𝑧 / 𝑦)))
5		zre 9195	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
6	5	adantl 275	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∈ ℝ)
7		nnre 8864	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
8	7	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ ℝ)
9		nngt0 8882	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 0 < 𝑦)
10	9	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 0 < 𝑦)
11		gt0div 8765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑦) → (0 < 𝑧 ↔ 0 < (𝑧 / 𝑦)))
12	6, 8, 10, 11	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (0 < 𝑧 ↔ 0 < (𝑧 / 𝑦)))
13	12	bicomd 140	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (0 < (𝑧 / 𝑦) ↔ 0 < 𝑧))
14	4, 13	sylan9bb 458	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 = (𝑧 / 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (0 < 𝐴 ↔ 0 < 𝑧))
15		elnnz 9201	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ ↔ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑧))
16	15	simplbi2 383	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (0 < 𝑧 → 𝑧 ∈ ℕ))
17	16	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (0 < 𝑧 → 𝑧 ∈ ℕ))
18	17	adantl 275	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 = (𝑧 / 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (0 < 𝑧 → 𝑧 ∈ ℕ))
19	18	imp 123	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 = (𝑧 / 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ 0 < 𝑧) → 𝑧 ∈ ℕ)
20		oveq1 5849	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 / 𝑦) = (𝑧 / 𝑦))
21	20	eqeq2d 2177	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ↔ 𝐴 = (𝑧 / 𝑦)))
22	21	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 = (𝑧 / 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ 0 < 𝑧) ∧ 𝑥 = 𝑧) → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ↔ 𝐴 = (𝑧 / 𝑦)))
23		simpll 519	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 = (𝑧 / 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ 0 < 𝑧) → 𝐴 = (𝑧 / 𝑦))
24	19, 22, 23	rspcedvd 2836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 = (𝑧 / 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ 0 < 𝑧) → ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
25	24	ex 114	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 = (𝑧 / 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (0 < 𝑧 → ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)))
26	14, 25	sylbid 149	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 = (𝑧 / 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (0 < 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)))
27	26	ex 114	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (𝑧 / 𝑦) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (0 < 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))))
28	27	com13 80	. . . . . . 7 ⊢ (0 < 𝐴 → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝐴 = (𝑧 / 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))))
29	28	impl 378	. . . . . 6 ⊢ (((0 < 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝐴 = (𝑧 / 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)))
30	29	rexlimdva 2583	. . . . 5 ⊢ ((0 < 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∃𝑧 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑧 / 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)))
31	30	reximdva 2568	. . . 4 ⊢ (0 < 𝐴 → (∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑧 / 𝑦) → ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)))
32	3, 31	syl5bi 151	. . 3 ⊢ (0 < 𝐴 → (𝐴 ∈ ℚ → ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)))
33	32	impcom 124	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
34		rexcom 2630	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
35	33, 34	sylibr 133	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  ∃wrex 2445   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842  ℝcr 7752  0cc0 7753   < clt 7933   / cdiv 8568  ℕcn 8857  ℤcz 9191  ℚcq 9557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-z 9192  df-q 9558

This theorem is referenced by:  elpqb  9587  logbgcd1irr  13525