Theorem elpq 9535

Description: A positive rational is the quotient of two positive integers. (Contributed by AV, 29-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
elpq	⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem elpq

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 9509	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑧 / 𝑦))
2		rexcom 2618	. . . . 5 ⊢ (∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑧 / 𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑧 / 𝑦))
3	1, 2	bitri 183	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑧 / 𝑦))
4		breq2 3965	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = (𝑧 / 𝑦) → (0 < 𝐴 ↔ 0 < (𝑧 / 𝑦)))
5		zre 9150	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
6	5	adantl 275	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∈ ℝ)
7		nnre 8819	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
8	7	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ ℝ)
9		nngt0 8837	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 0 < 𝑦)
10	9	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 0 < 𝑦)
11		gt0div 8720	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑦) → (0 < 𝑧 ↔ 0 < (𝑧 / 𝑦)))
12	6, 8, 10, 11	syl3anc 1217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (0 < 𝑧 ↔ 0 < (𝑧 / 𝑦)))
13	12	bicomd 140	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (0 < (𝑧 / 𝑦) ↔ 0 < 𝑧))
14	4, 13	sylan9bb 458	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 = (𝑧 / 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (0 < 𝐴 ↔ 0 < 𝑧))
15		elnnz 9156	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ ↔ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑧))
16	15	simplbi2 383	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (0 < 𝑧 → 𝑧 ∈ ℕ))
17	16	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (0 < 𝑧 → 𝑧 ∈ ℕ))
18	17	adantl 275	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 = (𝑧 / 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (0 < 𝑧 → 𝑧 ∈ ℕ))
19	18	imp 123	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 = (𝑧 / 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ 0 < 𝑧) → 𝑧 ∈ ℕ)
20		oveq1 5821	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 / 𝑦) = (𝑧 / 𝑦))
21	20	eqeq2d 2166	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ↔ 𝐴 = (𝑧 / 𝑦)))
22	21	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 = (𝑧 / 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ 0 < 𝑧) ∧ 𝑥 = 𝑧) → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ↔ 𝐴 = (𝑧 / 𝑦)))
23		simpll 519	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 = (𝑧 / 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ 0 < 𝑧) → 𝐴 = (𝑧 / 𝑦))
24	19, 22, 23	rspcedvd 2819	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 = (𝑧 / 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ 0 < 𝑧) → ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
25	24	ex 114	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 = (𝑧 / 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (0 < 𝑧 → ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)))
26	14, 25	sylbid 149	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 = (𝑧 / 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (0 < 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)))
27	26	ex 114	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (𝑧 / 𝑦) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (0 < 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))))
28	27	com13 80	. . . . . . 7 ⊢ (0 < 𝐴 → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝐴 = (𝑧 / 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))))
29	28	impl 378	. . . . . 6 ⊢ (((0 < 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝐴 = (𝑧 / 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)))
30	29	rexlimdva 2571	. . . . 5 ⊢ ((0 < 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∃𝑧 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑧 / 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)))
31	30	reximdva 2556	. . . 4 ⊢ (0 < 𝐴 → (∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑧 / 𝑦) → ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)))
32	3, 31	syl5bi 151	. . 3 ⊢ (0 < 𝐴 → (𝐴 ∈ ℚ → ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)))
33	32	impcom 124	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
34		rexcom 2618	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
35	33, 34	sylibr 133	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1332   ∈ wcel 2125  ∃wrex 2433   class class class wbr 3961  (class class class)co 5814  ℝcr 7710  0cc0 7711   < clt 7891   / cdiv 8524  ℕcn 8812  ℤcz 9146  ℚcq 9506

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-sep 4078  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-1re 7805  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-mulrcl 7810  ax-addcom 7811  ax-mulcom 7812  ax-addass 7813  ax-mulass 7814  ax-distr 7815  ax-i2m1 7816  ax-0lt1 7817  ax-1rid 7818  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-precex 7821  ax-cnre 7822  ax-pre-ltirr 7823  ax-pre-ltwlin 7824  ax-pre-lttrn 7825  ax-pre-apti 7826  ax-pre-ltadd 7827  ax-pre-mulgt0 7828  ax-pre-mulext 7829

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rmo 2440  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3847  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-id 4248  df-po 4251  df-iso 4252  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-fv 5171  df-riota 5770  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-1st 6078  df-2nd 6079  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-ltxr 7896  df-le 7897  df-sub 8027  df-neg 8028  df-reap 8429  df-ap 8436  df-div 8525  df-inn 8813  df-z 9147  df-q 9507

This theorem is referenced by:  elpqb  9536  logbgcd1irr  13223