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Theorem negfi 11011
Description: The negation of a finite set of real numbers is finite. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
negfi ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴} ∈ Fin)
Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem negfi
Dummy variables 𝑎 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 3091 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑎𝐴𝑎 ∈ ℝ))
2 renegcl 8035 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ ℝ → -𝑎 ∈ ℝ)
31, 2syl6 33 . . . . . . . . 9 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑎𝐴 → -𝑎 ∈ ℝ))
43imp 123 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎𝐴) → -𝑎 ∈ ℝ)
54ralrimiva 2505 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℝ → ∀𝑎𝐴 -𝑎 ∈ ℝ)
6 dmmptg 5036 . . . . . . 7 (∀𝑎𝐴 -𝑎 ∈ ℝ → dom (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) = 𝐴)
75, 6syl 14 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℝ → dom (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) = 𝐴)
87eqcomd 2145 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 = dom (𝑎𝐴 ↦ -𝑎))
98eleq1d 2208 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐴 ∈ Fin ↔ dom (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin))
10 funmpt 5161 . . . . 5 Fun (𝑎𝐴 ↦ -𝑎)
11 fundmfibi 6827 . . . . 5 (Fun (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) → ((𝑎𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin ↔ dom (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin))
1210, 11mp1i 10 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑎𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin ↔ dom (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin))
139, 12bitr4d 190 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐴 ∈ Fin ↔ (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin))
14 reex 7766 . . . . . 6 ℝ ∈ V
1514ssex 4065 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 ∈ V)
16 mptexg 5645 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) ∈ V)
1715, 16syl 14 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) ∈ V)
18 eqid 2139 . . . . . 6 (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) = (𝑎𝐴 ↦ -𝑎)
1918negf1o 8156 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑎𝐴 ↦ -𝑎):𝐴1-1-onto→{𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴})
20 f1of1 5366 . . . . 5 ((𝑎𝐴 ↦ -𝑎):𝐴1-1-onto→{𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴} → (𝑎𝐴 ↦ -𝑎):𝐴1-1→{𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴})
2119, 20syl 14 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑎𝐴 ↦ -𝑎):𝐴1-1→{𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴})
22 f1vrnfibi 6833 . . . 4 (((𝑎𝐴 ↦ -𝑎) ∈ V ∧ (𝑎𝐴 ↦ -𝑎):𝐴1-1→{𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}) → ((𝑎𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin ↔ ran (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin))
2317, 21, 22syl2anc 408 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑎𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin ↔ ran (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin))
241imp 123 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎𝐴) → 𝑎 ∈ ℝ)
252adantl 275 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎𝐴) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → -𝑎 ∈ ℝ)
26 recn 7765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℂ)
2726negnegd 8076 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 ∈ ℝ → --𝑎 = 𝑎)
2827eqcomd 2145 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 = --𝑎)
2928eleq1d 2208 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 ∈ ℝ → (𝑎𝐴 ↔ --𝑎𝐴))
3029biimpcd 158 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎𝐴 → (𝑎 ∈ ℝ → --𝑎𝐴))
3130adantl 275 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎𝐴) → (𝑎 ∈ ℝ → --𝑎𝐴))
3231imp 123 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎𝐴) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → --𝑎𝐴)
3325, 32jca 304 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎𝐴) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (-𝑎 ∈ ℝ ∧ --𝑎𝐴))
3424, 33mpdan 417 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎𝐴) → (-𝑎 ∈ ℝ ∧ --𝑎𝐴))
35 eleq1 2202 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = -𝑎 → (𝑛 ∈ ℝ ↔ -𝑎 ∈ ℝ))
36 negeq 7967 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = -𝑎 → -𝑛 = --𝑎)
3736eleq1d 2208 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = -𝑎 → (-𝑛𝐴 ↔ --𝑎𝐴))
3835, 37anbi12d 464 . . . . . . . . 9 (𝑛 = -𝑎 → ((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴) ↔ (-𝑎 ∈ ℝ ∧ --𝑎𝐴)))
3934, 38syl5ibrcom 156 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎𝐴) → (𝑛 = -𝑎 → (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴)))
4039rexlimdva 2549 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑎𝐴 𝑛 = -𝑎 → (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴)))
41 simprr 521 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴)) → -𝑛𝐴)
42 negeq 7967 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = -𝑛 → -𝑎 = --𝑛)
4342eqeq2d 2151 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = -𝑛 → (𝑛 = -𝑎𝑛 = --𝑛))
4443adantl 275 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴)) ∧ 𝑎 = -𝑛) → (𝑛 = -𝑎𝑛 = --𝑛))
45 recn 7765 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℝ → 𝑛 ∈ ℂ)
46 negneg 8024 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℂ → --𝑛 = 𝑛)
4746eqcomd 2145 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℂ → 𝑛 = --𝑛)
4845, 47syl 14 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℝ → 𝑛 = --𝑛)
4948ad2antrl 481 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴)) → 𝑛 = --𝑛)
5041, 44, 49rspcedvd 2795 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴)) → ∃𝑎𝐴 𝑛 = -𝑎)
5150ex 114 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴) → ∃𝑎𝐴 𝑛 = -𝑎))
5240, 51impbid 128 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑎𝐴 𝑛 = -𝑎 ↔ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴)))
5352abbidv 2257 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ → {𝑛 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑛 = -𝑎} = {𝑛 ∣ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴)})
5418rnmpt 4787 . . . . 5 ran (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) = {𝑛 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑛 = -𝑎}
55 df-rab 2425 . . . . 5 {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴} = {𝑛 ∣ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴)}
5653, 54, 553eqtr4g 2197 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → ran (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) = {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴})
5756eleq1d 2208 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ → (ran (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin ↔ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴} ∈ Fin))
5813, 23, 573bitrd 213 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐴 ∈ Fin ↔ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴} ∈ Fin))
5958biimpa 294 1 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴} ∈ Fin)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1331  wcel 1480  {cab 2125  wral 2416  wrex 2417  {crab 2420  Vcvv 2686  wss 3071  cmpt 3989  dom cdm 4539  ran crn 4540  Fun wfun 5117  1-1wf1 5120  1-1-ontowf1o 5122  Fincfn 6634  cc 7630  cr 7631  -cneg 7946
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-addcom 7732  ax-addass 7734  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-cnre 7743
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-1o 6313  df-er 6429  df-en 6635  df-fin 6637  df-sub 7947  df-neg 7948
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