Theorem negfi 11371

Description: The negation of a finite set of real numbers is finite. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
negfi	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛 ∈ 𝐴} ∈ Fin)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem negfi

Dummy variables 𝑎 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3173	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑎 ∈ 𝐴 → 𝑎 ∈ ℝ))
2		renegcl 8280	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → -𝑎 ∈ ℝ)
3	1, 2	syl6 33	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑎 ∈ 𝐴 → -𝑎 ∈ ℝ))
4	3	imp 124	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → -𝑎 ∈ ℝ)
5	4	ralrimiva 2567	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ∀𝑎 ∈ 𝐴 -𝑎 ∈ ℝ)
6		dmmptg 5163	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝐴 -𝑎 ∈ ℝ → dom (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) = 𝐴)
7	5, 6	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → dom (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) = 𝐴)
8	7	eqcomd 2199	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 = dom (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎))
9	8	eleq1d 2262	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐴 ∈ Fin ↔ dom (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin))
10		funmpt 5292	. . . . 5 ⊢ Fun (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎)
11		fundmfibi 6997	. . . . 5 ⊢ (Fun (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) → ((𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin ↔ dom (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin))
12	10, 11	mp1i 10	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin ↔ dom (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin))
13	9, 12	bitr4d 191	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐴 ∈ Fin ↔ (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin))
14		reex 8006	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
15	14	ssex 4166	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 ∈ V)
16		mptexg 5783	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) ∈ V)
17	15, 16	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) ∈ V)
18		eqid 2193	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) = (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎)
19	18	negf1o 8401	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎):𝐴–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴})
20		f1of1 5499	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎):𝐴–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴} → (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎):𝐴–1-1→{𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴})
21	19, 20	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎):𝐴–1-1→{𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴})
22		f1vrnfibi 7004	. . . 4 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) ∈ V ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎):𝐴–1-1→{𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴}) → ((𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin ↔ ran (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin))
23	17, 21, 22	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin ↔ ran (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin))
24	1	imp 124	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 ∈ ℝ)
25	2	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → -𝑎 ∈ ℝ)
26		recn 8005	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℂ)
27	26	negnegd 8321	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → --𝑎 = 𝑎)
28	27	eqcomd 2199	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 = --𝑎)
29	28	eleq1d 2262	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (𝑎 ∈ 𝐴 ↔ --𝑎 ∈ 𝐴))
30	29	biimpcd 159	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → (𝑎 ∈ ℝ → --𝑎 ∈ 𝐴))
31	30	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑎 ∈ ℝ → --𝑎 ∈ 𝐴))
32	31	imp 124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → --𝑎 ∈ 𝐴)
33	25, 32	jca 306	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (-𝑎 ∈ ℝ ∧ --𝑎 ∈ 𝐴))
34	24, 33	mpdan 421	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (-𝑎 ∈ ℝ ∧ --𝑎 ∈ 𝐴))
35		eleq1 2256	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = -𝑎 → (𝑛 ∈ ℝ ↔ -𝑎 ∈ ℝ))
36		negeq 8212	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = -𝑎 → -𝑛 = --𝑎)
37	36	eleq1d 2262	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = -𝑎 → (-𝑛 ∈ 𝐴 ↔ --𝑎 ∈ 𝐴))
38	35, 37	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = -𝑎 → ((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ↔ (-𝑎 ∈ ℝ ∧ --𝑎 ∈ 𝐴)))
39	34, 38	syl5ibrcom 157	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑛 = -𝑎 → (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴)))
40	39	rexlimdva 2611	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑛 = -𝑎 → (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴)))
41		simprr 531	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴)) → -𝑛 ∈ 𝐴)
42		negeq 8212	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = -𝑛 → -𝑎 = --𝑛)
43	42	eqeq2d 2205	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = -𝑛 → (𝑛 = -𝑎 ↔ 𝑛 = --𝑛))
44	43	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑎 = -𝑛) → (𝑛 = -𝑎 ↔ 𝑛 = --𝑛))
45		recn 8005	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ → 𝑛 ∈ ℂ)
46		negneg 8269	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → --𝑛 = 𝑛)
47	46	eqcomd 2199	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → 𝑛 = --𝑛)
48	45, 47	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ → 𝑛 = --𝑛)
49	48	ad2antrl 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴)) → 𝑛 = --𝑛)
50	41, 44, 49	rspcedvd 2870	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑛 = -𝑎)
51	50	ex 115	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑛 = -𝑎))
52	40, 51	impbid 129	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑛 = -𝑎 ↔ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴)))
53	52	abbidv 2311	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → {𝑛 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑛 = -𝑎} = {𝑛 ∣ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴)})
54	18	rnmpt 4910	. . . . 5 ⊢ ran (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) = {𝑛 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑛 = -𝑎}
55		df-rab 2481	. . . . 5 ⊢ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛 ∈ 𝐴} = {𝑛 ∣ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴)}
56	53, 54, 55	3eqtr4g 2251	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ran (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) = {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛 ∈ 𝐴})
57	56	eleq1d 2262	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (ran (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin ↔ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛 ∈ 𝐴} ∈ Fin))
58	13, 23, 57	3bitrd 214	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐴 ∈ Fin ↔ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛 ∈ 𝐴} ∈ Fin))
59	58	biimpa 296	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛 ∈ 𝐴} ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  {cab 2179  ∀wral 2472  ∃wrex 2473  {crab 2476  Vcvv 2760   ⊆ wss 3153   ↦ cmpt 4090  dom cdm 4659  ran crn 4660  Fun wfun 5248  –1-1→wf1 5251  –1-1-onto→wf1o 5253  Fincfn 6794  ℂcc 7870  ℝcr 7871  -cneg 8191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-1o 6469  df-er 6587  df-en 6795  df-fin 6797  df-sub 8192  df-neg 8193

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