Theorem modfzo0difsn 9730

Description: For a number within a half-open range of nonnegative integers with one excluded integer there is a positive integer so that the number is equal to the sum of the positive integer and the excluded integer modulo the upper bound of the range. (Contributed by AV, 19-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modfzo0difsn	⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → ∃𝑖 ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐽   𝑖,𝐾   𝑖,𝑁

Proof of Theorem modfzo0difsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 3111	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) → 𝐾 ∈ (0..^𝑁))
2		elfzoelz 9486	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) → 𝐾 ∈ ℤ)
4		elfzoelz 9486	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ)
5		zdcle 8756	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → DECID 𝐾 ≤ 𝐽)
6		exmiddc 780	. . . 4 ⊢ (DECID 𝐾 ≤ 𝐽 → (𝐾 ≤ 𝐽 ∨ ¬ 𝐾 ≤ 𝐽))
7	5, 6	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 𝐽 ∨ ¬ 𝐾 ≤ 𝐽))
8	3, 4, 7	syl2anr 284	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → (𝐾 ≤ 𝐽 ∨ ¬ 𝐾 ≤ 𝐽))
9		zleloe 8730	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 𝐽 ↔ (𝐾 < 𝐽 ∨ 𝐾 = 𝐽)))
10	3, 4, 9	syl2anr 284	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → (𝐾 ≤ 𝐽 ↔ (𝐾 < 𝐽 ∨ 𝐾 = 𝐽)))
11		elfzo0 9521	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
12		elfzo0 9521	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁))
13		nn0cn 8616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℂ)
14	13	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
15	14	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) → 𝐾 ∈ ℂ)
16		nn0cn 8616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ0 → 𝐽 ∈ ℂ)
17	16	3ad2ant1 962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝐽 ∈ ℂ)
18	17	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) → 𝐽 ∈ ℂ)
19		nncn 8365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
20	19	3ad2ant2 963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
21	20	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
22	15, 18, 21	subadd23d 7759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) → ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) = (𝐾 + (𝑁 − 𝐽)))
23		simpl 107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
24		nn0z 8703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ0 → 𝐽 ∈ ℤ)
25		nnz 8702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
26		znnsub 8734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐽 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝐽) ∈ ℕ))
27	24, 25, 26	syl2an 283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐽 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝐽) ∈ ℕ))
28	27	biimp3a 1279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝑁 − 𝐽) ∈ ℕ)
29		nn0nnaddcl 8637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝐽) ∈ ℕ) → (𝐾 + (𝑁 − 𝐽)) ∈ ℕ)
30	23, 28, 29	syl2anr 284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) → (𝐾 + (𝑁 − 𝐽)) ∈ ℕ)
31	22, 30	eqeltrd 2161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) → ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) ∈ ℕ)
32	31	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) ∧ 𝐾 < 𝐽) → ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) ∈ ℕ)
33		simp2 942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
34	33	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
35	34	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) ∧ 𝐾 < 𝐽) → 𝑁 ∈ ℕ)
36		nn0re 8615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℝ)
37	36	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ)
38	37	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
39		nn0re 8615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ0 → 𝐽 ∈ ℝ)
40	39	3ad2ant1 962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝐽 ∈ ℝ)
41	40	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) → 𝐽 ∈ ℝ)
42	38, 41	sublt0d 7988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) → ((𝐾 − 𝐽) < 0 ↔ 𝐾 < 𝐽))
43	42	bicomd 139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) → (𝐾 < 𝐽 ↔ (𝐾 − 𝐽) < 0))
44	43	biimpa 290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) ∧ 𝐾 < 𝐽) → (𝐾 − 𝐽) < 0)
45		resubcl 7690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) → (𝐾 − 𝐽) ∈ ℝ)
46	37, 40, 45	syl2anr 284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) → (𝐾 − 𝐽) ∈ ℝ)
47		nnre 8364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
48	47	3ad2ant2 963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
49	48	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
50	46, 49	jca 300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) → ((𝐾 − 𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
51	50	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) ∧ 𝐾 < 𝐽) → ((𝐾 − 𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
52		ltaddnegr 7847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐾 − 𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝐾 − 𝐽) < 0 ↔ ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) < 𝑁))
53	51, 52	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) ∧ 𝐾 < 𝐽) → ((𝐾 − 𝐽) < 0 ↔ ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) < 𝑁))
54	44, 53	mpbid 145	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) ∧ 𝐾 < 𝐽) → ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) < 𝑁)
55		elfzo1 9529	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) ∈ (1..^𝑁) ↔ (((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) < 𝑁))
56	32, 35, 54, 55	syl3anbrc 1125	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) ∧ 𝐾 < 𝐽) → ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) ∈ (1..^𝑁))
57	56	exp31 356	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 < 𝐽 → ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) ∈ (1..^𝑁))))
58	12, 57	sylbi 119	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 < 𝐽 → ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) ∈ (1..^𝑁))))
59	58	com12 30	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐾 < 𝐽 → ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) ∈ (1..^𝑁))))
60	59	3adant2 960	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐾 < 𝐽 → ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) ∈ (1..^𝑁))))
61	11, 60	sylbi 119	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐾 < 𝐽 → ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) ∈ (1..^𝑁))))
62	1, 61	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐾 < 𝐽 → ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) ∈ (1..^𝑁))))
63	62	impcom 123	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → (𝐾 < 𝐽 → ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) ∈ (1..^𝑁)))
64	63	impcom 123	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 < 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) → ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) ∈ (1..^𝑁))
65		oveq1 5620	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) → (𝑖 + 𝐽) = (((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) + 𝐽))
66	2	zcnd 8802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
67	66	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐾 ∈ ℂ)
68	16	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐽 ∈ ℂ)
69	68	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐽 ∈ ℂ)
70	19	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
71	70	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
72	67, 69, 71	3jca 1121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
73	72	ex 113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ)))
74	1, 73	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) → ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ)))
75	74	com12 30	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) → (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ)))
76	75	3adant3 961	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) → (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ)))
77	12, 76	sylbi 119	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) → (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ)))
78	77	imp 122	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
79	78	adantl 271	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 < 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) → (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
80		nppcan 7648	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) + 𝐽) = (𝐾 + 𝑁))
81	79, 80	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 < 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) → (((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) + 𝐽) = (𝐾 + 𝑁))
82	65, 81	sylan9eqr 2139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 < 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) ∧ 𝑖 = ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁)) → (𝑖 + 𝐽) = (𝐾 + 𝑁))
83	82	oveq1d 5628	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 < 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) ∧ 𝑖 = ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁)) → ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁) = ((𝐾 + 𝑁) mod 𝑁))
84	83	eqeq2d 2096	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 < 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) ∧ 𝑖 = ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁)) → (𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁) ↔ 𝐾 = ((𝐾 + 𝑁) mod 𝑁)))
85	11	biimpi 118	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
86	85	a1d 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁)))
87	1, 86	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁)))
88	87	impcom 123	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
89	88	adantl 271	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 < 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
90		addmodidr 9708	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((𝐾 + 𝑁) mod 𝑁) = 𝐾)
91	90	eqcomd 2090	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 = ((𝐾 + 𝑁) mod 𝑁))
92	89, 91	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 < 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) → 𝐾 = ((𝐾 + 𝑁) mod 𝑁))
93	64, 84, 92	rspcedvd 2721	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 < 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) → ∃𝑖 ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁))
94	93	ex 113	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 < 𝐽 → ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → ∃𝑖 ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁)))
95		eldifsn 3550	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) ↔ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 𝐽))
96		eqneqall 2261	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 = 𝐽 → (𝐾 ≠ 𝐽 → ∃𝑖 ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁)))
97	96	com12 30	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ≠ 𝐽 → (𝐾 = 𝐽 → ∃𝑖 ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁)))
98	97	adantl 271	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 𝐽) → (𝐾 = 𝐽 → ∃𝑖 ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁)))
99	95, 98	sylbi 119	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) → (𝐾 = 𝐽 → ∃𝑖 ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁)))
100	99	adantl 271	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → (𝐾 = 𝐽 → ∃𝑖 ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁)))
101	100	com12 30	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 = 𝐽 → ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → ∃𝑖 ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁)))
102	94, 101	jaoi 669	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 < 𝐽 ∨ 𝐾 = 𝐽) → ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → ∃𝑖 ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁)))
103	102	com12 30	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → ((𝐾 < 𝐽 ∨ 𝐾 = 𝐽) → ∃𝑖 ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁)))
104	10, 103	sylbid 148	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → (𝐾 ≤ 𝐽 → ∃𝑖 ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁)))
105	104	com12 30	. . 3 ⊢ (𝐾 ≤ 𝐽 → ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → ∃𝑖 ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁)))
106		zltnle 8729	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐽 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 ≤ 𝐽))
107	4, 3, 106	syl2an 283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → (𝐽 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 ≤ 𝐽))
108	107	bicomd 139	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → (¬ 𝐾 ≤ 𝐽 ↔ 𝐽 < 𝐾))
109	24	3ad2ant1 962	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ)
110		nn0z 8703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℤ)
111	110	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
112		znnsub 8734	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐽 < 𝐾 ↔ (𝐾 − 𝐽) ∈ ℕ))
113	109, 111, 112	syl2anr 284	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝐽 < 𝐾 ↔ (𝐾 − 𝐽) ∈ ℕ))
114	113	biimpa 290	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) ∧ 𝐽 < 𝐾) → (𝐾 − 𝐽) ∈ ℕ)
115	33	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
116	115	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) ∧ 𝐽 < 𝐾) → 𝑁 ∈ ℕ)
117		nn0ge0 8631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐽)
118	117	3ad2ant1 962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 0 ≤ 𝐽)
119	118	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 0 ≤ 𝐽)
120		subge02 7900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐽 ↔ (𝐾 − 𝐽) ≤ 𝐾))
121	36, 40, 120	syl2an 283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (0 ≤ 𝐽 ↔ (𝐾 − 𝐽) ≤ 𝐾))
122	119, 121	mpbid 145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝐾 − 𝐽) ≤ 𝐾)
123	40	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝐽 ∈ ℝ)
124	36	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
125	48	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
126	123, 124, 125	3jca 1121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
127	45	ancoms 264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝐾 − 𝐽) ∈ ℝ)
128	127	3adant3 961	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐾 − 𝐽) ∈ ℝ)
129		simp2 942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝐾 ∈ ℝ)
130		simp3 943	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℝ)
131	128, 129, 130	3jca 1121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝐾 − 𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
132	126, 131	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → ((𝐾 − 𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
133		lelttr 7517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐾 − 𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((𝐾 − 𝐽) ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 − 𝐽) < 𝑁))
134	132, 133	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (((𝐾 − 𝐽) ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 − 𝐽) < 𝑁))
135	122, 134	mpand 420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝐾 < 𝑁 → (𝐾 − 𝐽) < 𝑁))
136	135	impancom 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝐾 − 𝐽) < 𝑁))
137	136	imp 122	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝐾 − 𝐽) < 𝑁)
138	137	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) ∧ 𝐽 < 𝐾) → (𝐾 − 𝐽) < 𝑁)
139	114, 116, 138	3jca 1121	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) ∧ 𝐽 < 𝐾) → ((𝐾 − 𝐽) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 𝐽) < 𝑁))
140	139	exp31 356	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝐽 < 𝐾 → ((𝐾 − 𝐽) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 𝐽) < 𝑁))))
141	140	3adant2 960	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝐽 < 𝐾 → ((𝐾 − 𝐽) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 𝐽) < 𝑁))))
142	11, 141	sylbi 119	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝐽 < 𝐾 → ((𝐾 − 𝐽) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 𝐽) < 𝑁))))
143	1, 142	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) → ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝐽 < 𝐾 → ((𝐾 − 𝐽) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 𝐽) < 𝑁))))
144	143	com12 30	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) → (𝐽 < 𝐾 → ((𝐾 − 𝐽) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 𝐽) < 𝑁))))
145	12, 144	sylbi 119	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) → (𝐽 < 𝐾 → ((𝐾 − 𝐽) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 𝐽) < 𝑁))))
146	145	imp 122	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → (𝐽 < 𝐾 → ((𝐾 − 𝐽) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 𝐽) < 𝑁)))
147	108, 146	sylbid 148	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → (¬ 𝐾 ≤ 𝐽 → ((𝐾 − 𝐽) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 𝐽) < 𝑁)))
148	147	impcom 123	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐾 ≤ 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) → ((𝐾 − 𝐽) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 𝐽) < 𝑁))
149		elfzo1 9529	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 − 𝐽) ∈ (1..^𝑁) ↔ ((𝐾 − 𝐽) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 𝐽) < 𝑁))
150	148, 149	sylibr 132	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐾 ≤ 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) → (𝐾 − 𝐽) ∈ (1..^𝑁))
151		oveq1 5620	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = (𝐾 − 𝐽) → (𝑖 + 𝐽) = ((𝐾 − 𝐽) + 𝐽))
152	1, 66	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) → 𝐾 ∈ ℂ)
153	4	zcnd 8802	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℂ)
154		npcan 7635	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ) → ((𝐾 − 𝐽) + 𝐽) = 𝐾)
155	152, 153, 154	syl2anr 284	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → ((𝐾 − 𝐽) + 𝐽) = 𝐾)
156	155	adantl 271	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝐾 ≤ 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) → ((𝐾 − 𝐽) + 𝐽) = 𝐾)
157	151, 156	sylan9eqr 2139	. . . . . . 7 ⊢ (((¬ 𝐾 ≤ 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) ∧ 𝑖 = (𝐾 − 𝐽)) → (𝑖 + 𝐽) = 𝐾)
158	157	oveq1d 5628	. . . . . 6 ⊢ (((¬ 𝐾 ≤ 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) ∧ 𝑖 = (𝐾 − 𝐽)) → ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁))
159	158	eqeq2d 2096	. . . . 5 ⊢ (((¬ 𝐾 ≤ 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) ∧ 𝑖 = (𝐾 − 𝐽)) → (𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁) ↔ 𝐾 = (𝐾 mod 𝑁)))
160		zmodidfzoimp 9689	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐾 mod 𝑁) = 𝐾)
161	1, 160	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) → (𝐾 mod 𝑁) = 𝐾)
162	161	adantl 271	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → (𝐾 mod 𝑁) = 𝐾)
163	162	adantl 271	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐾 ≤ 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) → (𝐾 mod 𝑁) = 𝐾)
164	163	eqcomd 2090	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐾 ≤ 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) → 𝐾 = (𝐾 mod 𝑁))
165	150, 159, 164	rspcedvd 2721	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐾 ≤ 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) → ∃𝑖 ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁))
166	165	ex 113	. . 3 ⊢ (¬ 𝐾 ≤ 𝐽 → ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → ∃𝑖 ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁)))
167	105, 166	jaoi 669	. 2 ⊢ ((𝐾 ≤ 𝐽 ∨ ¬ 𝐾 ≤ 𝐽) → ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → ∃𝑖 ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁)))
168	8, 167	mpcom 36	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → ∃𝑖 ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   ∨ wo 662  DECID wdc 778   ∧ w3a 922   = wceq 1287   ∈ wcel 1436   ≠ wne 2251  ∃wrex 2356   ∖ cdif 2985  {csn 3431   class class class wbr 3820  (class class class)co 5613  ℂcc 7292  ℝcr 7293  0cc0 7294  1c1 7295   + caddc 7297   < clt 7466   ≤ cle 7467   − cmin 7597  ℕcn 8357  ℕ₀cn0 8606  ℤcz 8683  ..^cfzo 9481   mod cmo 9657

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3932  ax-pow 3984  ax-pr 4010  ax-un 4234  ax-setind 4326  ax-cnex 7380  ax-resscn 7381  ax-1cn 7382  ax-1re 7383  ax-icn 7384  ax-addcl 7385  ax-addrcl 7386  ax-mulcl 7387  ax-mulrcl 7388  ax-addcom 7389  ax-mulcom 7390  ax-addass 7391  ax-mulass 7392  ax-distr 7393  ax-i2m1 7394  ax-0lt1 7395  ax-1rid 7396  ax-0id 7397  ax-rnegex 7398  ax-precex 7399  ax-cnre 7400  ax-pre-ltirr 7401  ax-pre-ltwlin 7402  ax-pre-lttrn 7403  ax-pre-apti 7404  ax-pre-ltadd 7405  ax-pre-mulgt0 7406  ax-pre-mulext 7407  ax-arch 7408

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-int 3672  df-iun 3715  df-br 3821  df-opab 3875  df-mpt 3876  df-id 4094  df-po 4097  df-iso 4098  df-xp 4417  df-rel 4418  df-cnv 4419  df-co 4420  df-dm 4421  df-rn 4422  df-res 4423  df-ima 4424  df-iota 4946  df-fun 4983  df-fn 4984  df-f 4985  df-fv 4989  df-riota 5569  df-ov 5616  df-oprab 5617  df-mpt2 5618  df-1st 5868  df-2nd 5869  df-pnf 7468  df-mnf 7469  df-xr 7470  df-ltxr 7471  df-le 7472  df-sub 7599  df-neg 7600  df-reap 7993  df-ap 8000  df-div 8079  df-inn 8358  df-n0 8607  df-z 8684  df-uz 8952  df-q 9037  df-rp 9067  df-ico 9244  df-fz 9357  df-fzo 9482  df-fl 9605  df-mod 9658

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