Theorem modfzo0difsn 10425

Description: For a number within a half-open range of nonnegative integers with one excluded integer there is a positive integer so that the number is equal to the sum of the positive integer and the excluded integer modulo the upper bound of the range. (Contributed by AV, 19-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modfzo0difsn	⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → ∃𝑖 ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐽   𝑖,𝐾   𝑖,𝑁

Proof of Theorem modfzo0difsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 3272	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) → 𝐾 ∈ (0..^𝑁))
2		elfzoelz 10176	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) → 𝐾 ∈ ℤ)
4		elfzoelz 10176	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ)
5		zdcle 9358	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → DECID 𝐾 ≤ 𝐽)
6		exmiddc 837	. . . 4 ⊢ (DECID 𝐾 ≤ 𝐽 → (𝐾 ≤ 𝐽 ∨ ¬ 𝐾 ≤ 𝐽))
7	5, 6	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 𝐽 ∨ ¬ 𝐾 ≤ 𝐽))
8	3, 4, 7	syl2anr 290	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → (𝐾 ≤ 𝐽 ∨ ¬ 𝐾 ≤ 𝐽))
9		zleloe 9329	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 𝐽 ↔ (𝐾 < 𝐽 ∨ 𝐾 = 𝐽)))
10	3, 4, 9	syl2anr 290	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → (𝐾 ≤ 𝐽 ↔ (𝐾 < 𝐽 ∨ 𝐾 = 𝐽)))
11		elfzo0 10211	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
12		elfzo0 10211	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁))
13		nn0cn 9215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℂ)
14	13	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
15	14	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) → 𝐾 ∈ ℂ)
16		nn0cn 9215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ0 → 𝐽 ∈ ℂ)
17	16	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝐽 ∈ ℂ)
18	17	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) → 𝐽 ∈ ℂ)
19		nncn 8956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
20	19	3ad2ant2 1021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
21	20	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
22	15, 18, 21	subadd23d 8319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) → ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) = (𝐾 + (𝑁 − 𝐽)))
23		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
24		nn0z 9302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ0 → 𝐽 ∈ ℤ)
25		nnz 9301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
26		znnsub 9333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐽 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝐽) ∈ ℕ))
27	24, 25, 26	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐽 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝐽) ∈ ℕ))
28	27	biimp3a 1356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝑁 − 𝐽) ∈ ℕ)
29		nn0nnaddcl 9236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝐽) ∈ ℕ) → (𝐾 + (𝑁 − 𝐽)) ∈ ℕ)
30	23, 28, 29	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) → (𝐾 + (𝑁 − 𝐽)) ∈ ℕ)
31	22, 30	eqeltrd 2266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) → ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) ∈ ℕ)
32	31	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) ∧ 𝐾 < 𝐽) → ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) ∈ ℕ)
33		simp2 1000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
34	33	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
35	34	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) ∧ 𝐾 < 𝐽) → 𝑁 ∈ ℕ)
36		nn0re 9214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℝ)
37	36	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ)
38	37	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
39		nn0re 9214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ0 → 𝐽 ∈ ℝ)
40	39	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝐽 ∈ ℝ)
41	40	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) → 𝐽 ∈ ℝ)
42	38, 41	sublt0d 8556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) → ((𝐾 − 𝐽) < 0 ↔ 𝐾 < 𝐽))
43	42	bicomd 141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) → (𝐾 < 𝐽 ↔ (𝐾 − 𝐽) < 0))
44	43	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) ∧ 𝐾 < 𝐽) → (𝐾 − 𝐽) < 0)
45		resubcl 8250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) → (𝐾 − 𝐽) ∈ ℝ)
46	37, 40, 45	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) → (𝐾 − 𝐽) ∈ ℝ)
47		nnre 8955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
48	47	3ad2ant2 1021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
49	48	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
50	46, 49	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) → ((𝐾 − 𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
51	50	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) ∧ 𝐾 < 𝐽) → ((𝐾 − 𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
52		ltaddnegr 8411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐾 − 𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝐾 − 𝐽) < 0 ↔ ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) < 𝑁))
53	51, 52	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) ∧ 𝐾 < 𝐽) → ((𝐾 − 𝐽) < 0 ↔ ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) < 𝑁))
54	44, 53	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) ∧ 𝐾 < 𝐽) → ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) < 𝑁)
55		elfzo1 10219	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) ∈ (1..^𝑁) ↔ (((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) < 𝑁))
56	32, 35, 54, 55	syl3anbrc 1183	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) ∧ 𝐾 < 𝐽) → ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) ∈ (1..^𝑁))
57	56	exp31 364	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 < 𝐽 → ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) ∈ (1..^𝑁))))
58	12, 57	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 < 𝐽 → ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) ∈ (1..^𝑁))))
59	58	com12 30	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐾 < 𝐽 → ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) ∈ (1..^𝑁))))
60	59	3adant2 1018	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐾 < 𝐽 → ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) ∈ (1..^𝑁))))
61	11, 60	sylbi 121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐾 < 𝐽 → ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) ∈ (1..^𝑁))))
62	1, 61	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐾 < 𝐽 → ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) ∈ (1..^𝑁))))
63	62	impcom 125	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → (𝐾 < 𝐽 → ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) ∈ (1..^𝑁)))
64	63	impcom 125	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 < 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) → ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) ∈ (1..^𝑁))
65		oveq1 5902	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) → (𝑖 + 𝐽) = (((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) + 𝐽))
66	2	zcnd 9405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
67	66	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐾 ∈ ℂ)
68	16	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐽 ∈ ℂ)
69	68	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐽 ∈ ℂ)
70	19	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
71	70	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
72	67, 69, 71	3jca 1179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
73	72	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ)))
74	1, 73	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) → ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ)))
75	74	com12 30	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) → (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ)))
76	75	3adant3 1019	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) → (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ)))
77	12, 76	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) → (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ)))
78	77	imp 124	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
79	78	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 < 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) → (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
80		nppcan 8208	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) + 𝐽) = (𝐾 + 𝑁))
81	79, 80	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 < 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) → (((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) + 𝐽) = (𝐾 + 𝑁))
82	65, 81	sylan9eqr 2244	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 < 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) ∧ 𝑖 = ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁)) → (𝑖 + 𝐽) = (𝐾 + 𝑁))
83	82	oveq1d 5910	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 < 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) ∧ 𝑖 = ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁)) → ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁) = ((𝐾 + 𝑁) mod 𝑁))
84	83	eqeq2d 2201	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 < 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) ∧ 𝑖 = ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁)) → (𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁) ↔ 𝐾 = ((𝐾 + 𝑁) mod 𝑁)))
85	11	biimpi 120	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
86	85	a1d 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁)))
87	1, 86	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁)))
88	87	impcom 125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
89	88	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 < 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
90		addmodidr 10403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((𝐾 + 𝑁) mod 𝑁) = 𝐾)
91	90	eqcomd 2195	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 = ((𝐾 + 𝑁) mod 𝑁))
92	89, 91	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 < 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) → 𝐾 = ((𝐾 + 𝑁) mod 𝑁))
93	64, 84, 92	rspcedvd 2862	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 < 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) → ∃𝑖 ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁))
94	93	ex 115	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 < 𝐽 → ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → ∃𝑖 ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁)))
95		eldifsn 3734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) ↔ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 𝐽))
96		eqneqall 2370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 = 𝐽 → (𝐾 ≠ 𝐽 → ∃𝑖 ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁)))
97	96	com12 30	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ≠ 𝐽 → (𝐾 = 𝐽 → ∃𝑖 ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁)))
98	97	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 𝐽) → (𝐾 = 𝐽 → ∃𝑖 ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁)))
99	95, 98	sylbi 121	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) → (𝐾 = 𝐽 → ∃𝑖 ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁)))
100	99	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → (𝐾 = 𝐽 → ∃𝑖 ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁)))
101	100	com12 30	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 = 𝐽 → ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → ∃𝑖 ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁)))
102	94, 101	jaoi 717	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 < 𝐽 ∨ 𝐾 = 𝐽) → ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → ∃𝑖 ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁)))
103	102	com12 30	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → ((𝐾 < 𝐽 ∨ 𝐾 = 𝐽) → ∃𝑖 ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁)))
104	10, 103	sylbid 150	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → (𝐾 ≤ 𝐽 → ∃𝑖 ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁)))
105	104	com12 30	. . 3 ⊢ (𝐾 ≤ 𝐽 → ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → ∃𝑖 ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁)))
106		zltnle 9328	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐽 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 ≤ 𝐽))
107	4, 3, 106	syl2an 289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → (𝐽 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 ≤ 𝐽))
108	107	bicomd 141	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → (¬ 𝐾 ≤ 𝐽 ↔ 𝐽 < 𝐾))
109	24	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ)
110		nn0z 9302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℤ)
111	110	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
112		znnsub 9333	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐽 < 𝐾 ↔ (𝐾 − 𝐽) ∈ ℕ))
113	109, 111, 112	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝐽 < 𝐾 ↔ (𝐾 − 𝐽) ∈ ℕ))
114	113	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) ∧ 𝐽 < 𝐾) → (𝐾 − 𝐽) ∈ ℕ)
115	33	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
116	115	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) ∧ 𝐽 < 𝐾) → 𝑁 ∈ ℕ)
117		nn0ge0 9230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐽)
118	117	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 0 ≤ 𝐽)
119	118	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 0 ≤ 𝐽)
120		subge02 8464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐽 ↔ (𝐾 − 𝐽) ≤ 𝐾))
121	36, 40, 120	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (0 ≤ 𝐽 ↔ (𝐾 − 𝐽) ≤ 𝐾))
122	119, 121	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝐾 − 𝐽) ≤ 𝐾)
123	40	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝐽 ∈ ℝ)
124	36	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
125	48	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
126	123, 124, 125	3jca 1179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
127	45	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝐾 − 𝐽) ∈ ℝ)
128	127	3adant3 1019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐾 − 𝐽) ∈ ℝ)
129		simp2 1000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝐾 ∈ ℝ)
130		simp3 1001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℝ)
131	128, 129, 130	3jca 1179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝐾 − 𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
132	126, 131	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → ((𝐾 − 𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
133		lelttr 8075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐾 − 𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((𝐾 − 𝐽) ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 − 𝐽) < 𝑁))
134	132, 133	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (((𝐾 − 𝐽) ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 − 𝐽) < 𝑁))
135	122, 134	mpand 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝐾 < 𝑁 → (𝐾 − 𝐽) < 𝑁))
136	135	impancom 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝐾 − 𝐽) < 𝑁))
137	136	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝐾 − 𝐽) < 𝑁)
138	137	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) ∧ 𝐽 < 𝐾) → (𝐾 − 𝐽) < 𝑁)
139	114, 116, 138	3jca 1179	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) ∧ 𝐽 < 𝐾) → ((𝐾 − 𝐽) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 𝐽) < 𝑁))
140	139	exp31 364	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝐽 < 𝐾 → ((𝐾 − 𝐽) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 𝐽) < 𝑁))))
141	140	3adant2 1018	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝐽 < 𝐾 → ((𝐾 − 𝐽) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 𝐽) < 𝑁))))
142	11, 141	sylbi 121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝐽 < 𝐾 → ((𝐾 − 𝐽) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 𝐽) < 𝑁))))
143	1, 142	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) → ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝐽 < 𝐾 → ((𝐾 − 𝐽) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 𝐽) < 𝑁))))
144	143	com12 30	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) → (𝐽 < 𝐾 → ((𝐾 − 𝐽) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 𝐽) < 𝑁))))
145	12, 144	sylbi 121	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) → (𝐽 < 𝐾 → ((𝐾 − 𝐽) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 𝐽) < 𝑁))))
146	145	imp 124	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → (𝐽 < 𝐾 → ((𝐾 − 𝐽) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 𝐽) < 𝑁)))
147	108, 146	sylbid 150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → (¬ 𝐾 ≤ 𝐽 → ((𝐾 − 𝐽) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 𝐽) < 𝑁)))
148	147	impcom 125	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐾 ≤ 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) → ((𝐾 − 𝐽) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 𝐽) < 𝑁))
149		elfzo1 10219	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 − 𝐽) ∈ (1..^𝑁) ↔ ((𝐾 − 𝐽) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 𝐽) < 𝑁))
150	148, 149	sylibr 134	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐾 ≤ 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) → (𝐾 − 𝐽) ∈ (1..^𝑁))
151		oveq1 5902	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = (𝐾 − 𝐽) → (𝑖 + 𝐽) = ((𝐾 − 𝐽) + 𝐽))
152	1, 66	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) → 𝐾 ∈ ℂ)
153	4	zcnd 9405	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℂ)
154		npcan 8195	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ) → ((𝐾 − 𝐽) + 𝐽) = 𝐾)
155	152, 153, 154	syl2anr 290	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → ((𝐾 − 𝐽) + 𝐽) = 𝐾)
156	155	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝐾 ≤ 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) → ((𝐾 − 𝐽) + 𝐽) = 𝐾)
157	151, 156	sylan9eqr 2244	. . . . . . 7 ⊢ (((¬ 𝐾 ≤ 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) ∧ 𝑖 = (𝐾 − 𝐽)) → (𝑖 + 𝐽) = 𝐾)
158	157	oveq1d 5910	. . . . . 6 ⊢ (((¬ 𝐾 ≤ 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) ∧ 𝑖 = (𝐾 − 𝐽)) → ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁))
159	158	eqeq2d 2201	. . . . 5 ⊢ (((¬ 𝐾 ≤ 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) ∧ 𝑖 = (𝐾 − 𝐽)) → (𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁) ↔ 𝐾 = (𝐾 mod 𝑁)))
160		zmodidfzoimp 10384	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐾 mod 𝑁) = 𝐾)
161	1, 160	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) → (𝐾 mod 𝑁) = 𝐾)
162	161	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → (𝐾 mod 𝑁) = 𝐾)
163	162	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐾 ≤ 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) → (𝐾 mod 𝑁) = 𝐾)
164	163	eqcomd 2195	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐾 ≤ 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) → 𝐾 = (𝐾 mod 𝑁))
165	150, 159, 164	rspcedvd 2862	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐾 ≤ 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) → ∃𝑖 ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁))
166	165	ex 115	. . 3 ⊢ (¬ 𝐾 ≤ 𝐽 → ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → ∃𝑖 ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁)))
167	105, 166	jaoi 717	. 2 ⊢ ((𝐾 ≤ 𝐽 ∨ ¬ 𝐾 ≤ 𝐽) → ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → ∃𝑖 ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁)))
168	8, 167	mpcom 36	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → ∃𝑖 ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709  DECID wdc 835   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   ≠ wne 2360  ∃wrex 2469   ∖ cdif 3141  {csn 3607   class class class wbr 4018  (class class class)co 5895  ℂcc 7838  ℝcr 7839  0cc0 7840  1c1 7841   + caddc 7843   < clt 8021   ≤ cle 8022   − cmin 8157  ℕcn 8948  ℕ₀cn0 9205  ℤcz 9282  ..^cfzo 10171   mod cmo 10352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1cn 7933  ax-1re 7934  ax-icn 7935  ax-addcl 7936  ax-addrcl 7937  ax-mulcl 7938  ax-mulrcl 7939  ax-addcom 7940  ax-mulcom 7941  ax-addass 7942  ax-mulass 7943  ax-distr 7944  ax-i2m1 7945  ax-0lt1 7946  ax-1rid 7947  ax-0id 7948  ax-rnegex 7949  ax-precex 7950  ax-cnre 7951  ax-pre-ltirr 7952  ax-pre-ltwlin 7953  ax-pre-lttrn 7954  ax-pre-apti 7955  ax-pre-ltadd 7956  ax-pre-mulgt0 7957  ax-pre-mulext 7958  ax-arch 7959

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-riota 5851  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-pnf 8023  df-mnf 8024  df-xr 8025  df-ltxr 8026  df-le 8027  df-sub 8159  df-neg 8160  df-reap 8561  df-ap 8568  df-div 8659  df-inn 8949  df-n0 9206  df-z 9283  df-uz 9558  df-q 9649  df-rp 9683  df-ico 9923  df-fz 10038  df-fzo 10172  df-fl 10300  df-mod 10353

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