Theorem 2tp1odd 12052

Description: A number which is twice an integer increased by 1 is odd. (Contributed by AV, 16-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2tp1odd	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 = ((2 · 𝐴) + 1)) → ¬ 2 ∥ 𝐵)

Proof of Theorem 2tp1odd

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℤ)
2		oveq2 5931	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (2 · 𝑘) = (2 · 𝐴))
3	2	oveq1d 5938	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝐴) + 1))
4	3	eqeq1d 2205	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝐴) + 1) ↔ ((2 · 𝐴) + 1) = ((2 · 𝐴) + 1)))
5	4	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = 𝐴) → (((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝐴) + 1) ↔ ((2 · 𝐴) + 1) = ((2 · 𝐴) + 1)))
6		eqidd 2197	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((2 · 𝐴) + 1) = ((2 · 𝐴) + 1))
7	1, 5, 6	rspcedvd 2874	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ∃𝑘 ∈ ℤ ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝐴) + 1))
8		2z 9357	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
9	8	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
10	9, 1	zmulcld 9457	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (2 · 𝐴) ∈ ℤ)
11	10	peano2zd 9454	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((2 · 𝐴) + 1) ∈ ℤ)
12		odd2np1 12041	. . . . 5 ⊢ (((2 · 𝐴) + 1) ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ ((2 · 𝐴) + 1) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝐴) + 1)))
13	11, 12	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ ((2 · 𝐴) + 1) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝐴) + 1)))
14	7, 13	mpbird 167	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ¬ 2 ∥ ((2 · 𝐴) + 1))
15	14	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 = ((2 · 𝐴) + 1)) → ¬ 2 ∥ ((2 · 𝐴) + 1))
16		breq2 4038	. . 3 ⊢ (𝐵 = ((2 · 𝐴) + 1) → (2 ∥ 𝐵 ↔ 2 ∥ ((2 · 𝐴) + 1)))
17	16	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 = ((2 · 𝐴) + 1)) → (2 ∥ 𝐵 ↔ 2 ∥ ((2 · 𝐴) + 1)))
18	15, 17	mtbird 674	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 = ((2 · 𝐴) + 1)) → ¬ 2 ∥ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∃wrex 2476   class class class wbr 4034  (class class class)co 5923  1c1 7883   + caddc 7885   · cmul 7887  2c2 9044  ℤcz 9329   ∥ cdvds 11955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7973  ax-resscn 7974  ax-1cn 7975  ax-1re 7976  ax-icn 7977  ax-addcl 7978  ax-addrcl 7979  ax-mulcl 7980  ax-mulrcl 7981  ax-addcom 7982  ax-mulcom 7983  ax-addass 7984  ax-mulass 7985  ax-distr 7986  ax-i2m1 7987  ax-0lt1 7988  ax-1rid 7989  ax-0id 7990  ax-rnegex 7991  ax-precex 7992  ax-cnre 7993  ax-pre-ltirr 7994  ax-pre-ltwlin 7995  ax-pre-lttrn 7996  ax-pre-apti 7997  ax-pre-ltadd 7998  ax-pre-mulgt0 7999  ax-pre-mulext 8000

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-pnf 8066  df-mnf 8067  df-xr 8068  df-ltxr 8069  df-le 8070  df-sub 8202  df-neg 8203  df-reap 8605  df-ap 8612  df-div 8703  df-inn 8994  df-2 9052  df-n0 9253  df-z 9330  df-dvds 11956

This theorem is referenced by:  2lgslem3b1  15365  2lgslem3c1  15366