Theorem 2tp1odd 12677

Description: A number which is twice an integer increased by 1 is odd. (Contributed by AV, 16-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2tp1odd	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 = ((2 · 𝐴) + 1)) → ¬ 2 ∥ 𝐵)

Proof of Theorem 2tp1odd

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℤ)
2		oveq2 6096	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (2 · 𝑘) = (2 · 𝐴))
3	2	oveq1d 6103	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝐴) + 1))
4	3	eqeq1d 2247	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝐴) + 1) ↔ ((2 · 𝐴) + 1) = ((2 · 𝐴) + 1)))
5	4	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = 𝐴) → (((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝐴) + 1) ↔ ((2 · 𝐴) + 1) = ((2 · 𝐴) + 1)))
6		eqidd 2239	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((2 · 𝐴) + 1) = ((2 · 𝐴) + 1))
7	1, 5, 6	rspcedvd 2935	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ∃𝑘 ∈ ℤ ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝐴) + 1))
8		2z 9684	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
9	8	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
10	9, 1	zmulcld 9786	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (2 · 𝐴) ∈ ℤ)
11	10	peano2zd 9783	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((2 · 𝐴) + 1) ∈ ℤ)
12		odd2np1 12666	. . . . 5 ⊢ (((2 · 𝐴) + 1) ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ ((2 · 𝐴) + 1) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝐴) + 1)))
13	11, 12	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ ((2 · 𝐴) + 1) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝐴) + 1)))
14	7, 13	mpbird 167	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ¬ 2 ∥ ((2 · 𝐴) + 1))
15	14	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 = ((2 · 𝐴) + 1)) → ¬ 2 ∥ ((2 · 𝐴) + 1))
16		breq2 4135	. . 3 ⊢ (𝐵 = ((2 · 𝐴) + 1) → (2 ∥ 𝐵 ↔ 2 ∥ ((2 · 𝐴) + 1)))
17	16	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 = ((2 · 𝐴) + 1)) → (2 ∥ 𝐵 ↔ 2 ∥ ((2 · 𝐴) + 1)))
18	15, 17	mtbird 684	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 = ((2 · 𝐴) + 1)) → ¬ 2 ∥ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088  1c1 8187   + caddc 8189   · cmul 8191  2c2 9365  ℤcz 9656   ∥ cdvds 12580

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-2 9373  df-n0 9576  df-z 9657  df-dvds 12581

This theorem is used by:  2lgslem3b1  16434  2lgslem3c1  16435