Theorem ringid 14162

Description: The multiplication operation of a unital ring has (one or more) identity elements. (Contributed by Steve Rodriguez, 9-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Dec-2013.) (Revised by AV, 24-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringid.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringid	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 ((𝑢 · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · 𝑢) = 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑢,𝐵   𝑢,𝑅   𝑢,𝑋   𝑢, ·

Proof of Theorem ringid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringid.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2232	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3	1, 2	ringidcl 14156	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
4	3	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
5		oveq1 6056	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = (1r‘𝑅) → (𝑢 · 𝑋) = ((1r‘𝑅) · 𝑋))
6	5	eqeq1d 2241	. . . 4 ⊢ (𝑢 = (1r‘𝑅) → ((𝑢 · 𝑋) = 𝑋 ↔ ((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑋))
7		oveq2 6057	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = (1r‘𝑅) → (𝑋 · 𝑢) = (𝑋 · (1r‘𝑅)))
8	7	eqeq1d 2241	. . . 4 ⊢ (𝑢 = (1r‘𝑅) → ((𝑋 · 𝑢) = 𝑋 ↔ (𝑋 · (1r‘𝑅)) = 𝑋))
9	6, 8	anbi12d 473	. . 3 ⊢ (𝑢 = (1r‘𝑅) → (((𝑢 · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · 𝑢) = 𝑋) ↔ (((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · (1r‘𝑅)) = 𝑋)))
10	9	adantl 277	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 = (1r‘𝑅)) → (((𝑢 · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · 𝑢) = 𝑋) ↔ (((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · (1r‘𝑅)) = 𝑋)))
11		ringid.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
12	1, 11, 2	ringidmlem 14158	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · (1r‘𝑅)) = 𝑋))
13	4, 10, 12	rspcedvd 2926	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 ((𝑢 · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · 𝑢) = 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ∃wrex 2521  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  Basecbs 13204  ._rcmulr 13283  1_rcur 14095  Ringcrg 14132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-addcom 8226  ax-addass 8228  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltadd 8242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-ltxr 8312  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-ndx 13207  df-slot 13208  df-base 13210  df-sets 13211  df-plusg 13295  df-mulr 13296  df-0g 13463  df-mgm 13561  df-sgrp 13607  df-mnd 13622  df-mgp 14057  df-ur 14096  df-ring 14134

This theorem is referenced by:  ringadd2  14163