Theorem ringid 14314

Description: The multiplication operation of a unital ring has (one or more) identity elements. (Contributed by Steve Rodriguez, 9-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Dec-2013.) (Revised by AV, 24-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringid.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringid	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 ((𝑢 · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · 𝑢) = 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑢,𝐵   𝑢,𝑅   𝑢,𝑋   𝑢, ·

Proof of Theorem ringid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringid.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3	1, 2	ringidcl 14308	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
4	3	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
5		oveq1 6086	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = (1r‘𝑅) → (𝑢 · 𝑋) = ((1r‘𝑅) · 𝑋))
6	5	eqeq1d 2247	. . . 4 ⊢ (𝑢 = (1r‘𝑅) → ((𝑢 · 𝑋) = 𝑋 ↔ ((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑋))
7		oveq2 6087	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = (1r‘𝑅) → (𝑋 · 𝑢) = (𝑋 · (1r‘𝑅)))
8	7	eqeq1d 2247	. . . 4 ⊢ (𝑢 = (1r‘𝑅) → ((𝑋 · 𝑢) = 𝑋 ↔ (𝑋 · (1r‘𝑅)) = 𝑋))
9	6, 8	anbi12d 477	. . 3 ⊢ (𝑢 = (1r‘𝑅) → (((𝑢 · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · 𝑢) = 𝑋) ↔ (((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · (1r‘𝑅)) = 𝑋)))
10	9	adantl 277	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 = (1r‘𝑅)) → (((𝑢 · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · 𝑢) = 𝑋) ↔ (((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · (1r‘𝑅)) = 𝑋)))
11		ringid.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
12	1, 11, 2	ringidmlem 14310	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · (1r‘𝑅)) = 𝑋))
13	4, 10, 12	rspcedvd 2935	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 ((𝑢 · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · 𝑢) = 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  Basecbs 13335  ._rcmulr 13415  1_rcur 14245  Ringcrg 14283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-ltxr 8359  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-sets 13342  df-plusg 13427  df-mulr 13428  df-0g 13595  df-mgm 13659  df-sgrp 13700  df-mnd 13713  df-mgp 14201  df-ur 14246  df-ring 14285

This theorem is referenced by:  ringadd2  14315