Theorem ringid 13522

Description: The multiplication operation of a unital ring has (one or more) identity elements. (Contributed by Steve Rodriguez, 9-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Dec-2013.) (Revised by AV, 24-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringid.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringid	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 ((𝑢 · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · 𝑢) = 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑢,𝐵   𝑢,𝑅   𝑢,𝑋   𝑢, ·

Proof of Theorem ringid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringid.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2193	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3	1, 2	ringidcl 13516	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
4	3	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
5		oveq1 5925	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = (1r‘𝑅) → (𝑢 · 𝑋) = ((1r‘𝑅) · 𝑋))
6	5	eqeq1d 2202	. . . 4 ⊢ (𝑢 = (1r‘𝑅) → ((𝑢 · 𝑋) = 𝑋 ↔ ((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑋))
7		oveq2 5926	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = (1r‘𝑅) → (𝑋 · 𝑢) = (𝑋 · (1r‘𝑅)))
8	7	eqeq1d 2202	. . . 4 ⊢ (𝑢 = (1r‘𝑅) → ((𝑋 · 𝑢) = 𝑋 ↔ (𝑋 · (1r‘𝑅)) = 𝑋))
9	6, 8	anbi12d 473	. . 3 ⊢ (𝑢 = (1r‘𝑅) → (((𝑢 · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · 𝑢) = 𝑋) ↔ (((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · (1r‘𝑅)) = 𝑋)))
10	9	adantl 277	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 = (1r‘𝑅)) → (((𝑢 · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · 𝑢) = 𝑋) ↔ (((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · (1r‘𝑅)) = 𝑋)))
11		ringid.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
12	1, 11, 2	ringidmlem 13518	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · (1r‘𝑅)) = 𝑋))
13	4, 10, 12	rspcedvd 2870	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 ((𝑢 · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · 𝑢) = 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∃wrex 2473  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  Basecbs 12618  ._rcmulr 12696  1_rcur 13455  Ringcrg 13492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-ltxr 8059  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-sets 12625  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-0g 12869  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-mgp 13417  df-ur 13456  df-ring 13494

This theorem is referenced by:  ringadd2  13523