ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xmettx GIF version

Theorem xmettx 14198
Description: The maximum metric (Chebyshev distance) on the product of two sets, expressed as a binary topological product. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Oct-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
xmetxp.p 𝑃 = (𝑒 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ), 𝑣 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) ↦ sup({((1st β€˜π‘’)𝑀(1st β€˜π‘£)), ((2nd β€˜π‘’)𝑁(2nd β€˜π‘£))}, ℝ*, < ))
xmetxp.1 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
xmetxp.2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
xmettx.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜π‘€)
xmettx.k 𝐾 = (MetOpenβ€˜π‘)
xmettx.l 𝐿 = (MetOpenβ€˜π‘ƒ)
Assertion
Ref Expression
xmettx (πœ‘ β†’ 𝐿 = (𝐽 Γ—t 𝐾))
Distinct variable groups:   𝑒,𝑀,𝑣   𝑒,𝑁,𝑣   𝑒,𝑋,𝑣   𝑒,π‘Œ,𝑣
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑣,𝑒)   𝑃(𝑣,𝑒)   𝐽(𝑣,𝑒)   𝐾(𝑣,𝑒)   𝐿(𝑣,𝑒)

Proof of Theorem xmettx
Dummy variables 𝑗 π‘˜ π‘š 𝑛 π‘₯ 𝑦 π‘Ÿ 𝑠 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xmetxp.p . . 3 𝑃 = (𝑒 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ), 𝑣 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) ↦ sup({((1st β€˜π‘’)𝑀(1st β€˜π‘£)), ((2nd β€˜π‘’)𝑁(2nd β€˜π‘£))}, ℝ*, < ))
2 xmetxp.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
3 xmetxp.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
4 xmettx.j . . 3 𝐽 = (MetOpenβ€˜π‘€)
5 xmettx.k . . 3 𝐾 = (MetOpenβ€˜π‘)
6 xmettx.l . . 3 𝐿 = (MetOpenβ€˜π‘ƒ)
71, 2, 3, 4, 5, 6xmettxlem 14197 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐿 βŠ† (𝐽 Γ—t 𝐾))
8 eqid 2177 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) = (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))
98elrnmpog 5990 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ V β†’ (𝑀 ∈ ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘  ∈ 𝐾 𝑀 = (π‘Ÿ Γ— 𝑠)))
109elv 2743 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘  ∈ 𝐾 𝑀 = (π‘Ÿ Γ— 𝑠))
1110biimpi 120 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘  ∈ 𝐾 𝑀 = (π‘Ÿ Γ— 𝑠))
1211adantl 277 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘  ∈ 𝐾 𝑀 = (π‘Ÿ Γ— 𝑠))
13 xpeq1 4642 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ = π‘₯ β†’ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) = (π‘₯ Γ— 𝑠))
1413eqeq2d 2189 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ = π‘₯ β†’ (𝑀 = (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ↔ 𝑀 = (π‘₯ Γ— 𝑠)))
15 xpeq2 4643 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑦 β†’ (π‘₯ Γ— 𝑠) = (π‘₯ Γ— 𝑦))
1615eqeq2d 2189 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑦 β†’ (𝑀 = (π‘₯ Γ— 𝑠) ↔ 𝑀 = (π‘₯ Γ— 𝑦)))
1714, 16cbvrex2v 2719 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘  ∈ 𝐾 𝑀 = (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐾 𝑀 = (π‘₯ Γ— 𝑦))
1812, 17sylib 122 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐾 𝑀 = (π‘₯ Γ— 𝑦))
19 simpr 110 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑀 = (π‘₯ Γ— 𝑦)) β†’ 𝑀 = (π‘₯ Γ— 𝑦))
20 simplll 533 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑀 = (π‘₯ Γ— 𝑦)) β†’ πœ‘)
21 simplrl 535 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑀 = (π‘₯ Γ— 𝑦)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽)
22 simplrr 536 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑀 = (π‘₯ Γ— 𝑦)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐾)
234mopntopon 14131 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
242, 23syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
2524adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
26 simprl 529 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽)
27 toponss 13714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) β†’ π‘₯ βŠ† 𝑋)
2825, 26, 27syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) β†’ π‘₯ βŠ† 𝑋)
295mopntopon 14131 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
303, 29syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
3130adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
32 simprr 531 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐾)
33 toponss 13714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) β†’ 𝑦 βŠ† π‘Œ)
3431, 32, 33syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) β†’ 𝑦 βŠ† π‘Œ)
35 xpss12 4735 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑦 βŠ† π‘Œ) β†’ (π‘₯ Γ— 𝑦) βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ))
3628, 34, 35syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) β†’ (π‘₯ Γ— 𝑦) βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ))
371, 2, 3xmetxp 14195 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (∞Metβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)))
38 unirnbl 14111 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ (∞Metβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)) β†’ βˆͺ ran (ballβ€˜π‘ƒ) = (𝑋 Γ— π‘Œ))
3937, 38syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ βˆͺ ran (ballβ€˜π‘ƒ) = (𝑋 Γ— π‘Œ))
4039adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) β†’ βˆͺ ran (ballβ€˜π‘ƒ) = (𝑋 Γ— π‘Œ))
4136, 40sseqtrrd 3196 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) β†’ (π‘₯ Γ— 𝑦) βŠ† βˆͺ ran (ballβ€˜π‘ƒ))
422ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β†’ 𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
43 simplrl 535 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽)
44 xp1st 6169 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦) β†’ (1st β€˜π‘—) ∈ π‘₯)
4544adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β†’ (1st β€˜π‘—) ∈ π‘₯)
464mopni2 14171 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ (1st β€˜π‘—) ∈ π‘₯) β†’ βˆƒπ‘š ∈ ℝ+ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š) βŠ† π‘₯)
4742, 43, 45, 46syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘š ∈ ℝ+ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š) βŠ† π‘₯)
483ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β†’ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
49 simplrr 536 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐾)
50 xp2nd 6170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦) β†’ (2nd β€˜π‘—) ∈ 𝑦)
5150adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β†’ (2nd β€˜π‘—) ∈ 𝑦)
525mopni2 14171 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ (2nd β€˜π‘—) ∈ 𝑦) β†’ βˆƒπ‘› ∈ ℝ+ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)𝑛) βŠ† 𝑦)
5348, 49, 51, 52syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ ℝ+ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)𝑛) βŠ† 𝑦)
5453adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∧ (π‘š ∈ ℝ+ ∧ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š) βŠ† π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ ℝ+ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)𝑛) βŠ† 𝑦)
55 blf 14098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ (∞Metβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)) β†’ (ballβ€˜π‘ƒ):((𝑋 Γ— π‘Œ) Γ— ℝ*)βŸΆπ’« (𝑋 Γ— π‘Œ))
5637, 55syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (ballβ€˜π‘ƒ):((𝑋 Γ— π‘Œ) Γ— ℝ*)βŸΆπ’« (𝑋 Γ— π‘Œ))
5756ffnd 5368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (ballβ€˜π‘ƒ) Fn ((𝑋 Γ— π‘Œ) Γ— ℝ*))
5857ad4antr 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∧ (π‘š ∈ ℝ+ ∧ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š) βŠ† π‘₯)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)𝑛) βŠ† 𝑦)) β†’ (ballβ€˜π‘ƒ) Fn ((𝑋 Γ— π‘Œ) Γ— ℝ*))
5936sselda 3157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β†’ 𝑗 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ))
6059ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∧ (π‘š ∈ ℝ+ ∧ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š) βŠ† π‘₯)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)𝑛) βŠ† 𝑦)) β†’ 𝑗 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ))
61 rpxr 9664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘š ∈ ℝ+ β†’ π‘š ∈ ℝ*)
6261ad2antrl 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∧ (π‘š ∈ ℝ+ ∧ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š) βŠ† π‘₯)) β†’ π‘š ∈ ℝ*)
6362adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∧ (π‘š ∈ ℝ+ ∧ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š) βŠ† π‘₯)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)𝑛) βŠ† 𝑦)) β†’ π‘š ∈ ℝ*)
64 rpxr 9664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℝ+ β†’ 𝑛 ∈ ℝ*)
6564ad2antrl 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∧ (π‘š ∈ ℝ+ ∧ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š) βŠ† π‘₯)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)𝑛) βŠ† 𝑦)) β†’ 𝑛 ∈ ℝ*)
66 xrmincl 11277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘š ∈ ℝ* ∧ 𝑛 ∈ ℝ*) β†’ inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
6763, 65, 66syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∧ (π‘š ∈ ℝ+ ∧ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š) βŠ† π‘₯)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)𝑛) βŠ† 𝑦)) β†’ inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
68 fnovrn 6025 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((ballβ€˜π‘ƒ) Fn ((𝑋 Γ— π‘Œ) Γ— ℝ*) ∧ 𝑗 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) β†’ (𝑗(ballβ€˜π‘ƒ)inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < )) ∈ ran (ballβ€˜π‘ƒ))
6958, 60, 67, 68syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∧ (π‘š ∈ ℝ+ ∧ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š) βŠ† π‘₯)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)𝑛) βŠ† 𝑦)) β†’ (𝑗(ballβ€˜π‘ƒ)inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < )) ∈ ran (ballβ€˜π‘ƒ))
70 eleq2 2241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ = (𝑗(ballβ€˜π‘ƒ)inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < )) β†’ (𝑗 ∈ π‘˜ ↔ 𝑗 ∈ (𝑗(ballβ€˜π‘ƒ)inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < ))))
71 sseq1 3180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ = (𝑗(ballβ€˜π‘ƒ)inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < )) β†’ (π‘˜ βŠ† (π‘₯ Γ— 𝑦) ↔ (𝑗(ballβ€˜π‘ƒ)inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < )) βŠ† (π‘₯ Γ— 𝑦)))
7270, 71anbi12d 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = (𝑗(ballβ€˜π‘ƒ)inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < )) β†’ ((𝑗 ∈ π‘˜ ∧ π‘˜ βŠ† (π‘₯ Γ— 𝑦)) ↔ (𝑗 ∈ (𝑗(ballβ€˜π‘ƒ)inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < )) ∧ (𝑗(ballβ€˜π‘ƒ)inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < )) βŠ† (π‘₯ Γ— 𝑦))))
7372adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∧ (π‘š ∈ ℝ+ ∧ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š) βŠ† π‘₯)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)𝑛) βŠ† 𝑦)) ∧ π‘˜ = (𝑗(ballβ€˜π‘ƒ)inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < ))) β†’ ((𝑗 ∈ π‘˜ ∧ π‘˜ βŠ† (π‘₯ Γ— 𝑦)) ↔ (𝑗 ∈ (𝑗(ballβ€˜π‘ƒ)inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < )) ∧ (𝑗(ballβ€˜π‘ƒ)inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < )) βŠ† (π‘₯ Γ— 𝑦))))
7437ad4antr 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∧ (π‘š ∈ ℝ+ ∧ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š) βŠ† π‘₯)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)𝑛) βŠ† 𝑦)) β†’ 𝑃 ∈ (∞Metβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)))
75 simplrl 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∧ (π‘š ∈ ℝ+ ∧ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š) βŠ† π‘₯)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)𝑛) βŠ† 𝑦)) β†’ π‘š ∈ ℝ+)
76 simprl 529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∧ (π‘š ∈ ℝ+ ∧ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š) βŠ† π‘₯)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)𝑛) βŠ† 𝑦)) β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
77 xrminrpcl 11285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘š ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < ) ∈ ℝ+)
7875, 76, 77syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∧ (π‘š ∈ ℝ+ ∧ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š) βŠ† π‘₯)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)𝑛) βŠ† 𝑦)) β†’ inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < ) ∈ ℝ+)
79 blcntr 14104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃 ∈ (∞Metβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)) ∧ 𝑗 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < ) ∈ ℝ+) β†’ 𝑗 ∈ (𝑗(ballβ€˜π‘ƒ)inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < )))
8074, 60, 78, 79syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∧ (π‘š ∈ ℝ+ ∧ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š) βŠ† π‘₯)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)𝑛) βŠ† 𝑦)) β†’ 𝑗 ∈ (𝑗(ballβ€˜π‘ƒ)inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < )))
8142ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∧ (π‘š ∈ ℝ+ ∧ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š) βŠ† π‘₯)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)𝑛) βŠ† 𝑦)) β†’ 𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
8248ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∧ (π‘š ∈ ℝ+ ∧ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š) βŠ† π‘₯)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)𝑛) βŠ† 𝑦)) β†’ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
831, 81, 82, 67, 60xmetxpbl 14196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∧ (π‘š ∈ ℝ+ ∧ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š) βŠ† π‘₯)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)𝑛) βŠ† 𝑦)) β†’ (𝑗(ballβ€˜π‘ƒ)inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < )) = (((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < )) Γ— ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < ))))
8428adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β†’ π‘₯ βŠ† 𝑋)
8584, 45sseldd 3158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β†’ (1st β€˜π‘—) ∈ 𝑋)
8685ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∧ (π‘š ∈ ℝ+ ∧ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š) βŠ† π‘₯)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)𝑛) βŠ† 𝑦)) β†’ (1st β€˜π‘—) ∈ 𝑋)
87 xrmin1inf 11278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((π‘š ∈ ℝ* ∧ 𝑛 ∈ ℝ*) β†’ inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < ) ≀ π‘š)
8863, 65, 87syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∧ (π‘š ∈ ℝ+ ∧ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š) βŠ† π‘₯)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)𝑛) βŠ† 𝑦)) β†’ inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < ) ≀ π‘š)
89 ssbl 14114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (1st β€˜π‘—) ∈ 𝑋) ∧ (inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ π‘š ∈ ℝ*) ∧ inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < ) ≀ π‘š) β†’ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < )) βŠ† ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š))
9081, 86, 67, 63, 88, 89syl221anc 1249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∧ (π‘š ∈ ℝ+ ∧ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š) βŠ† π‘₯)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)𝑛) βŠ† 𝑦)) β†’ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < )) βŠ† ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š))
91 simplrr 536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∧ (π‘š ∈ ℝ+ ∧ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š) βŠ† π‘₯)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)𝑛) βŠ† 𝑦)) β†’ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š) βŠ† π‘₯)
9290, 91sstrd 3167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∧ (π‘š ∈ ℝ+ ∧ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š) βŠ† π‘₯)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)𝑛) βŠ† 𝑦)) β†’ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < )) βŠ† π‘₯)
9334adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β†’ 𝑦 βŠ† π‘Œ)
9493, 51sseldd 3158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β†’ (2nd β€˜π‘—) ∈ π‘Œ)
9594ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∧ (π‘š ∈ ℝ+ ∧ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š) βŠ† π‘₯)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)𝑛) βŠ† 𝑦)) β†’ (2nd β€˜π‘—) ∈ π‘Œ)
96 xrmin2inf 11279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((π‘š ∈ ℝ* ∧ 𝑛 ∈ ℝ*) β†’ inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < ) ≀ 𝑛)
9763, 65, 96syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∧ (π‘š ∈ ℝ+ ∧ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š) βŠ† π‘₯)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)𝑛) βŠ† 𝑦)) β†’ inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < ) ≀ 𝑛)
98 ssbl 14114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ (2nd β€˜π‘—) ∈ π‘Œ) ∧ (inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ 𝑛 ∈ ℝ*) ∧ inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < ) ≀ 𝑛) β†’ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < )) βŠ† ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)𝑛))
9982, 95, 67, 65, 97, 98syl221anc 1249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∧ (π‘š ∈ ℝ+ ∧ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š) βŠ† π‘₯)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)𝑛) βŠ† 𝑦)) β†’ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < )) βŠ† ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)𝑛))
100 simprr 531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∧ (π‘š ∈ ℝ+ ∧ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š) βŠ† π‘₯)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)𝑛) βŠ† 𝑦)) β†’ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)𝑛) βŠ† 𝑦)
10199, 100sstrd 3167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∧ (π‘š ∈ ℝ+ ∧ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š) βŠ† π‘₯)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)𝑛) βŠ† 𝑦)) β†’ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < )) βŠ† 𝑦)
102 xpss12 4735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < )) βŠ† π‘₯ ∧ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < )) βŠ† 𝑦) β†’ (((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < )) Γ— ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < ))) βŠ† (π‘₯ Γ— 𝑦))
10392, 101, 102syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∧ (π‘š ∈ ℝ+ ∧ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š) βŠ† π‘₯)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)𝑛) βŠ† 𝑦)) β†’ (((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < )) Γ— ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < ))) βŠ† (π‘₯ Γ— 𝑦))
10483, 103eqsstrd 3193 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∧ (π‘š ∈ ℝ+ ∧ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š) βŠ† π‘₯)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)𝑛) βŠ† 𝑦)) β†’ (𝑗(ballβ€˜π‘ƒ)inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < )) βŠ† (π‘₯ Γ— 𝑦))
10580, 104jca 306 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∧ (π‘š ∈ ℝ+ ∧ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š) βŠ† π‘₯)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)𝑛) βŠ† 𝑦)) β†’ (𝑗 ∈ (𝑗(ballβ€˜π‘ƒ)inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < )) ∧ (𝑗(ballβ€˜π‘ƒ)inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < )) βŠ† (π‘₯ Γ— 𝑦)))
10669, 73, 105rspcedvd 2849 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∧ (π‘š ∈ ℝ+ ∧ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š) βŠ† π‘₯)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)𝑛) βŠ† 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ran (ballβ€˜π‘ƒ)(𝑗 ∈ π‘˜ ∧ π‘˜ βŠ† (π‘₯ Γ— 𝑦)))
10754, 106rexlimddv 2599 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∧ (π‘š ∈ ℝ+ ∧ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š) βŠ† π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ran (ballβ€˜π‘ƒ)(𝑗 ∈ π‘˜ ∧ π‘˜ βŠ† (π‘₯ Γ— 𝑦)))
10847, 107rexlimddv 2599 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ran (ballβ€˜π‘ƒ)(𝑗 ∈ π‘˜ ∧ π‘˜ βŠ† (π‘₯ Γ— 𝑦)))
109108ralrimiva 2550 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) β†’ βˆ€π‘— ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)βˆƒπ‘˜ ∈ ran (ballβ€˜π‘ƒ)(𝑗 ∈ π‘˜ ∧ π‘˜ βŠ† (π‘₯ Γ— 𝑦)))
11041, 109jca 306 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) β†’ ((π‘₯ Γ— 𝑦) βŠ† βˆͺ ran (ballβ€˜π‘ƒ) ∧ βˆ€π‘— ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)βˆƒπ‘˜ ∈ ran (ballβ€˜π‘ƒ)(𝑗 ∈ π‘˜ ∧ π‘˜ βŠ† (π‘₯ Γ— 𝑦))))
111 blex 14075 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ (∞Metβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)) β†’ (ballβ€˜π‘ƒ) ∈ V)
11237, 111syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (ballβ€˜π‘ƒ) ∈ V)
113112adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) β†’ (ballβ€˜π‘ƒ) ∈ V)
114 rnexg 4894 . . . . . . . . . . . . 13 ((ballβ€˜π‘ƒ) ∈ V β†’ ran (ballβ€˜π‘ƒ) ∈ V)
115 eltg2 13741 . . . . . . . . . . . . 13 (ran (ballβ€˜π‘ƒ) ∈ V β†’ ((π‘₯ Γ— 𝑦) ∈ (topGenβ€˜ran (ballβ€˜π‘ƒ)) ↔ ((π‘₯ Γ— 𝑦) βŠ† βˆͺ ran (ballβ€˜π‘ƒ) ∧ βˆ€π‘— ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)βˆƒπ‘˜ ∈ ran (ballβ€˜π‘ƒ)(𝑗 ∈ π‘˜ ∧ π‘˜ βŠ† (π‘₯ Γ— 𝑦)))))
116113, 114, 1153syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) β†’ ((π‘₯ Γ— 𝑦) ∈ (topGenβ€˜ran (ballβ€˜π‘ƒ)) ↔ ((π‘₯ Γ— 𝑦) βŠ† βˆͺ ran (ballβ€˜π‘ƒ) ∧ βˆ€π‘— ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)βˆƒπ‘˜ ∈ ran (ballβ€˜π‘ƒ)(𝑗 ∈ π‘˜ ∧ π‘˜ βŠ† (π‘₯ Γ— 𝑦)))))
117110, 116mpbird 167 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) β†’ (π‘₯ Γ— 𝑦) ∈ (topGenβ€˜ran (ballβ€˜π‘ƒ)))
11820, 21, 22, 117syl12anc 1236 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑀 = (π‘₯ Γ— 𝑦)) β†’ (π‘₯ Γ— 𝑦) ∈ (topGenβ€˜ran (ballβ€˜π‘ƒ)))
11919, 118eqeltrd 2254 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑀 = (π‘₯ Γ— 𝑦)) β†’ 𝑀 ∈ (topGenβ€˜ran (ballβ€˜π‘ƒ)))
120119ex 115 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) β†’ (𝑀 = (π‘₯ Γ— 𝑦) β†’ 𝑀 ∈ (topGenβ€˜ran (ballβ€˜π‘ƒ))))
121120rexlimdvva 2602 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐾 𝑀 = (π‘₯ Γ— 𝑦) β†’ 𝑀 ∈ (topGenβ€˜ran (ballβ€˜π‘ƒ))))
12218, 121mpd 13 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))) β†’ 𝑀 ∈ (topGenβ€˜ran (ballβ€˜π‘ƒ)))
123122ex 115 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) β†’ 𝑀 ∈ (topGenβ€˜ran (ballβ€˜π‘ƒ))))
124123ssrdv 3163 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) βŠ† (topGenβ€˜ran (ballβ€˜π‘ƒ)))
1254mopntop 14132 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
1262, 125syl 14 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
1275mopntop 14132 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) β†’ 𝐾 ∈ Top)
1283, 127syl 14 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Top)
129 mpoexga 6216 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) ∈ V)
130126, 128, 129syl2anc 411 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) ∈ V)
131 rnexg 4894 . . . . . 6 ((π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) ∈ V β†’ ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) ∈ V)
132130, 131syl 14 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) ∈ V)
13337, 111, 1143syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran (ballβ€˜π‘ƒ) ∈ V)
134 tgss3 13766 . . . . 5 ((ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) ∈ V ∧ ran (ballβ€˜π‘ƒ) ∈ V) β†’ ((topGenβ€˜ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))) βŠ† (topGenβ€˜ran (ballβ€˜π‘ƒ)) ↔ ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) βŠ† (topGenβ€˜ran (ballβ€˜π‘ƒ))))
135132, 133, 134syl2anc 411 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((topGenβ€˜ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))) βŠ† (topGenβ€˜ran (ballβ€˜π‘ƒ)) ↔ ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) βŠ† (topGenβ€˜ran (ballβ€˜π‘ƒ))))
136124, 135mpbird 167 . . 3 (πœ‘ β†’ (topGenβ€˜ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))) βŠ† (topGenβ€˜ran (ballβ€˜π‘ƒ)))
137 eqid 2177 . . . . 5 ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) = ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))
138137txval 13943 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐾) = (topGenβ€˜ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))))
139126, 128, 138syl2anc 411 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐽 Γ—t 𝐾) = (topGenβ€˜ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))))
1406mopnval 14130 . . . 4 (𝑃 ∈ (∞Metβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)) β†’ 𝐿 = (topGenβ€˜ran (ballβ€˜π‘ƒ)))
14137, 140syl 14 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐿 = (topGenβ€˜ran (ballβ€˜π‘ƒ)))
142136, 139, 1413sstr4d 3202 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐽 Γ—t 𝐾) βŠ† 𝐿)
1437, 142eqssd 3174 1 (πœ‘ β†’ 𝐿 = (𝐽 Γ—t 𝐾))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455  βˆƒwrex 2456  Vcvv 2739   βŠ† wss 3131  π’« cpw 3577  {cpr 3595  βˆͺ cuni 3811   class class class wbr 4005   Γ— cxp 4626  ran crn 4629   Fn wfn 5213  βŸΆwf 5214  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5878   ∈ cmpo 5880  1st c1st 6142  2nd c2nd 6143  supcsup 6984  infcinf 6985  β„*cxr 7994   < clt 7995   ≀ cle 7996  β„+crp 9656  topGenctg 12709  βˆžMetcxmet 13614  ballcbl 13616  MetOpencmopn 13619  Topctop 13685  TopOnctopon 13698   Γ—t ctx 13940
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932  ax-arch 7933  ax-caucvg 7934
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-frec 6395  df-map 6653  df-sup 6986  df-inf 6987  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-q 9623  df-rp 9657  df-xneg 9775  df-xadd 9776  df-seqfrec 10449  df-exp 10523  df-cj 10854  df-re 10855  df-im 10856  df-rsqrt 11010  df-abs 11011  df-topgen 12715  df-psmet 13621  df-xmet 13622  df-bl 13624  df-mopn 13625  df-top 13686  df-topon 13699  df-bases 13731  df-tx 13941
This theorem is referenced by:  txmetcnp  14206
  Copyright terms: Public domain W3C validator