ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xmettx GIF version

Theorem xmettx 14363
Description: The maximum metric (Chebyshev distance) on the product of two sets, expressed as a binary topological product. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Oct-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
xmetxp.p 𝑃 = (𝑒 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ), 𝑣 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) ↦ sup({((1st β€˜π‘’)𝑀(1st β€˜π‘£)), ((2nd β€˜π‘’)𝑁(2nd β€˜π‘£))}, ℝ*, < ))
xmetxp.1 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
xmetxp.2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
xmettx.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜π‘€)
xmettx.k 𝐾 = (MetOpenβ€˜π‘)
xmettx.l 𝐿 = (MetOpenβ€˜π‘ƒ)
Assertion
Ref Expression
xmettx (πœ‘ β†’ 𝐿 = (𝐽 Γ—t 𝐾))
Distinct variable groups:   𝑒,𝑀,𝑣   𝑒,𝑁,𝑣   𝑒,𝑋,𝑣   𝑒,π‘Œ,𝑣
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑣,𝑒)   𝑃(𝑣,𝑒)   𝐽(𝑣,𝑒)   𝐾(𝑣,𝑒)   𝐿(𝑣,𝑒)

Proof of Theorem xmettx
Dummy variables 𝑗 π‘˜ π‘š 𝑛 π‘₯ 𝑦 π‘Ÿ 𝑠 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xmetxp.p . . 3 𝑃 = (𝑒 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ), 𝑣 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) ↦ sup({((1st β€˜π‘’)𝑀(1st β€˜π‘£)), ((2nd β€˜π‘’)𝑁(2nd β€˜π‘£))}, ℝ*, < ))
2 xmetxp.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
3 xmetxp.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
4 xmettx.j . . 3 𝐽 = (MetOpenβ€˜π‘€)
5 xmettx.k . . 3 𝐾 = (MetOpenβ€˜π‘)
6 xmettx.l . . 3 𝐿 = (MetOpenβ€˜π‘ƒ)
71, 2, 3, 4, 5, 6xmettxlem 14362 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐿 βŠ† (𝐽 Γ—t 𝐾))
8 eqid 2187 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) = (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))
98elrnmpog 6001 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ V β†’ (𝑀 ∈ ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘  ∈ 𝐾 𝑀 = (π‘Ÿ Γ— 𝑠)))
109elv 2753 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘  ∈ 𝐾 𝑀 = (π‘Ÿ Γ— 𝑠))
1110biimpi 120 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘  ∈ 𝐾 𝑀 = (π‘Ÿ Γ— 𝑠))
1211adantl 277 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘  ∈ 𝐾 𝑀 = (π‘Ÿ Γ— 𝑠))
13 xpeq1 4652 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ = π‘₯ β†’ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) = (π‘₯ Γ— 𝑠))
1413eqeq2d 2199 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ = π‘₯ β†’ (𝑀 = (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ↔ 𝑀 = (π‘₯ Γ— 𝑠)))
15 xpeq2 4653 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑦 β†’ (π‘₯ Γ— 𝑠) = (π‘₯ Γ— 𝑦))
1615eqeq2d 2199 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑦 β†’ (𝑀 = (π‘₯ Γ— 𝑠) ↔ 𝑀 = (π‘₯ Γ— 𝑦)))
1714, 16cbvrex2v 2729 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘  ∈ 𝐾 𝑀 = (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐾 𝑀 = (π‘₯ Γ— 𝑦))
1812, 17sylib 122 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐾 𝑀 = (π‘₯ Γ— 𝑦))
19 simpr 110 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑀 = (π‘₯ Γ— 𝑦)) β†’ 𝑀 = (π‘₯ Γ— 𝑦))
20 simplll 533 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑀 = (π‘₯ Γ— 𝑦)) β†’ πœ‘)
21 simplrl 535 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑀 = (π‘₯ Γ— 𝑦)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽)
22 simplrr 536 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑀 = (π‘₯ Γ— 𝑦)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐾)
234mopntopon 14296 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
242, 23syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
2524adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
26 simprl 529 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽)
27 toponss 13879 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) β†’ π‘₯ βŠ† 𝑋)
2825, 26, 27syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) β†’ π‘₯ βŠ† 𝑋)
295mopntopon 14296 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
303, 29syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
3130adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
32 simprr 531 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐾)
33 toponss 13879 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) β†’ 𝑦 βŠ† π‘Œ)
3431, 32, 33syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) β†’ 𝑦 βŠ† π‘Œ)
35 xpss12 4745 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑦 βŠ† π‘Œ) β†’ (π‘₯ Γ— 𝑦) βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ))
3628, 34, 35syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) β†’ (π‘₯ Γ— 𝑦) βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ))
371, 2, 3xmetxp 14360 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (∞Metβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)))
38 unirnbl 14276 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ (∞Metβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)) β†’ βˆͺ ran (ballβ€˜π‘ƒ) = (𝑋 Γ— π‘Œ))
3937, 38syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ βˆͺ ran (ballβ€˜π‘ƒ) = (𝑋 Γ— π‘Œ))
4039adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) β†’ βˆͺ ran (ballβ€˜π‘ƒ) = (𝑋 Γ— π‘Œ))
4136, 40sseqtrrd 3206 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) β†’ (π‘₯ Γ— 𝑦) βŠ† βˆͺ ran (ballβ€˜π‘ƒ))
422ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β†’ 𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
43 simplrl 535 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽)
44 xp1st 6180 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦) β†’ (1st β€˜π‘—) ∈ π‘₯)
4544adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β†’ (1st β€˜π‘—) ∈ π‘₯)
464mopni2 14336 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ (1st β€˜π‘—) ∈ π‘₯) β†’ βˆƒπ‘š ∈ ℝ+ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š) βŠ† π‘₯)
4742, 43, 45, 46syl3anc 1248 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘š ∈ ℝ+ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š) βŠ† π‘₯)
483ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β†’ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
49 simplrr 536 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐾)
50 xp2nd 6181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦) β†’ (2nd β€˜π‘—) ∈ 𝑦)
5150adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β†’ (2nd β€˜π‘—) ∈ 𝑦)
525mopni2 14336 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ (2nd β€˜π‘—) ∈ 𝑦) β†’ βˆƒπ‘› ∈ ℝ+ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)𝑛) βŠ† 𝑦)
5348, 49, 51, 52syl3anc 1248 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ ℝ+ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)𝑛) βŠ† 𝑦)
5453adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∧ (π‘š ∈ ℝ+ ∧ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š) βŠ† π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ ℝ+ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)𝑛) βŠ† 𝑦)
55 blf 14263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ (∞Metβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)) β†’ (ballβ€˜π‘ƒ):((𝑋 Γ— π‘Œ) Γ— ℝ*)βŸΆπ’« (𝑋 Γ— π‘Œ))
5637, 55syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (ballβ€˜π‘ƒ):((𝑋 Γ— π‘Œ) Γ— ℝ*)βŸΆπ’« (𝑋 Γ— π‘Œ))
5756ffnd 5378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (ballβ€˜π‘ƒ) Fn ((𝑋 Γ— π‘Œ) Γ— ℝ*))
5857ad4antr 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∧ (π‘š ∈ ℝ+ ∧ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š) βŠ† π‘₯)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)𝑛) βŠ† 𝑦)) β†’ (ballβ€˜π‘ƒ) Fn ((𝑋 Γ— π‘Œ) Γ— ℝ*))
5936sselda 3167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β†’ 𝑗 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ))
6059ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∧ (π‘š ∈ ℝ+ ∧ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š) βŠ† π‘₯)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)𝑛) βŠ† 𝑦)) β†’ 𝑗 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ))
61 rpxr 9675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘š ∈ ℝ+ β†’ π‘š ∈ ℝ*)
6261ad2antrl 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∧ (π‘š ∈ ℝ+ ∧ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š) βŠ† π‘₯)) β†’ π‘š ∈ ℝ*)
6362adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∧ (π‘š ∈ ℝ+ ∧ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š) βŠ† π‘₯)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)𝑛) βŠ† 𝑦)) β†’ π‘š ∈ ℝ*)
64 rpxr 9675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℝ+ β†’ 𝑛 ∈ ℝ*)
6564ad2antrl 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∧ (π‘š ∈ ℝ+ ∧ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š) βŠ† π‘₯)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)𝑛) βŠ† 𝑦)) β†’ 𝑛 ∈ ℝ*)
66 xrmincl 11288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘š ∈ ℝ* ∧ 𝑛 ∈ ℝ*) β†’ inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
6763, 65, 66syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∧ (π‘š ∈ ℝ+ ∧ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š) βŠ† π‘₯)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)𝑛) βŠ† 𝑦)) β†’ inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
68 fnovrn 6036 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((ballβ€˜π‘ƒ) Fn ((𝑋 Γ— π‘Œ) Γ— ℝ*) ∧ 𝑗 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) β†’ (𝑗(ballβ€˜π‘ƒ)inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < )) ∈ ran (ballβ€˜π‘ƒ))
6958, 60, 67, 68syl3anc 1248 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∧ (π‘š ∈ ℝ+ ∧ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š) βŠ† π‘₯)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)𝑛) βŠ† 𝑦)) β†’ (𝑗(ballβ€˜π‘ƒ)inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < )) ∈ ran (ballβ€˜π‘ƒ))
70 eleq2 2251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ = (𝑗(ballβ€˜π‘ƒ)inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < )) β†’ (𝑗 ∈ π‘˜ ↔ 𝑗 ∈ (𝑗(ballβ€˜π‘ƒ)inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < ))))
71 sseq1 3190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ = (𝑗(ballβ€˜π‘ƒ)inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < )) β†’ (π‘˜ βŠ† (π‘₯ Γ— 𝑦) ↔ (𝑗(ballβ€˜π‘ƒ)inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < )) βŠ† (π‘₯ Γ— 𝑦)))
7270, 71anbi12d 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = (𝑗(ballβ€˜π‘ƒ)inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < )) β†’ ((𝑗 ∈ π‘˜ ∧ π‘˜ βŠ† (π‘₯ Γ— 𝑦)) ↔ (𝑗 ∈ (𝑗(ballβ€˜π‘ƒ)inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < )) ∧ (𝑗(ballβ€˜π‘ƒ)inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < )) βŠ† (π‘₯ Γ— 𝑦))))
7372adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∧ (π‘š ∈ ℝ+ ∧ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š) βŠ† π‘₯)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)𝑛) βŠ† 𝑦)) ∧ π‘˜ = (𝑗(ballβ€˜π‘ƒ)inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < ))) β†’ ((𝑗 ∈ π‘˜ ∧ π‘˜ βŠ† (π‘₯ Γ— 𝑦)) ↔ (𝑗 ∈ (𝑗(ballβ€˜π‘ƒ)inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < )) ∧ (𝑗(ballβ€˜π‘ƒ)inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < )) βŠ† (π‘₯ Γ— 𝑦))))
7437ad4antr 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∧ (π‘š ∈ ℝ+ ∧ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š) βŠ† π‘₯)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)𝑛) βŠ† 𝑦)) β†’ 𝑃 ∈ (∞Metβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)))
75 simplrl 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∧ (π‘š ∈ ℝ+ ∧ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š) βŠ† π‘₯)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)𝑛) βŠ† 𝑦)) β†’ π‘š ∈ ℝ+)
76 simprl 529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∧ (π‘š ∈ ℝ+ ∧ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š) βŠ† π‘₯)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)𝑛) βŠ† 𝑦)) β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
77 xrminrpcl 11296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘š ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < ) ∈ ℝ+)
7875, 76, 77syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∧ (π‘š ∈ ℝ+ ∧ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š) βŠ† π‘₯)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)𝑛) βŠ† 𝑦)) β†’ inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < ) ∈ ℝ+)
79 blcntr 14269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃 ∈ (∞Metβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)) ∧ 𝑗 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < ) ∈ ℝ+) β†’ 𝑗 ∈ (𝑗(ballβ€˜π‘ƒ)inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < )))
8074, 60, 78, 79syl3anc 1248 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∧ (π‘š ∈ ℝ+ ∧ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š) βŠ† π‘₯)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)𝑛) βŠ† 𝑦)) β†’ 𝑗 ∈ (𝑗(ballβ€˜π‘ƒ)inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < )))
8142ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∧ (π‘š ∈ ℝ+ ∧ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š) βŠ† π‘₯)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)𝑛) βŠ† 𝑦)) β†’ 𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
8248ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∧ (π‘š ∈ ℝ+ ∧ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š) βŠ† π‘₯)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)𝑛) βŠ† 𝑦)) β†’ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
831, 81, 82, 67, 60xmetxpbl 14361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∧ (π‘š ∈ ℝ+ ∧ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š) βŠ† π‘₯)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)𝑛) βŠ† 𝑦)) β†’ (𝑗(ballβ€˜π‘ƒ)inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < )) = (((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < )) Γ— ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < ))))
8428adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β†’ π‘₯ βŠ† 𝑋)
8584, 45sseldd 3168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β†’ (1st β€˜π‘—) ∈ 𝑋)
8685ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∧ (π‘š ∈ ℝ+ ∧ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š) βŠ† π‘₯)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)𝑛) βŠ† 𝑦)) β†’ (1st β€˜π‘—) ∈ 𝑋)
87 xrmin1inf 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((π‘š ∈ ℝ* ∧ 𝑛 ∈ ℝ*) β†’ inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < ) ≀ π‘š)
8863, 65, 87syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∧ (π‘š ∈ ℝ+ ∧ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š) βŠ† π‘₯)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)𝑛) βŠ† 𝑦)) β†’ inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < ) ≀ π‘š)
89 ssbl 14279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (1st β€˜π‘—) ∈ 𝑋) ∧ (inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ π‘š ∈ ℝ*) ∧ inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < ) ≀ π‘š) β†’ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < )) βŠ† ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š))
9081, 86, 67, 63, 88, 89syl221anc 1259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∧ (π‘š ∈ ℝ+ ∧ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š) βŠ† π‘₯)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)𝑛) βŠ† 𝑦)) β†’ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < )) βŠ† ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š))
91 simplrr 536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∧ (π‘š ∈ ℝ+ ∧ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š) βŠ† π‘₯)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)𝑛) βŠ† 𝑦)) β†’ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š) βŠ† π‘₯)
9290, 91sstrd 3177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∧ (π‘š ∈ ℝ+ ∧ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š) βŠ† π‘₯)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)𝑛) βŠ† 𝑦)) β†’ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < )) βŠ† π‘₯)
9334adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β†’ 𝑦 βŠ† π‘Œ)
9493, 51sseldd 3168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β†’ (2nd β€˜π‘—) ∈ π‘Œ)
9594ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∧ (π‘š ∈ ℝ+ ∧ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š) βŠ† π‘₯)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)𝑛) βŠ† 𝑦)) β†’ (2nd β€˜π‘—) ∈ π‘Œ)
96 xrmin2inf 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((π‘š ∈ ℝ* ∧ 𝑛 ∈ ℝ*) β†’ inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < ) ≀ 𝑛)
9763, 65, 96syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∧ (π‘š ∈ ℝ+ ∧ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š) βŠ† π‘₯)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)𝑛) βŠ† 𝑦)) β†’ inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < ) ≀ 𝑛)
98 ssbl 14279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ (2nd β€˜π‘—) ∈ π‘Œ) ∧ (inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ 𝑛 ∈ ℝ*) ∧ inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < ) ≀ 𝑛) β†’ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < )) βŠ† ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)𝑛))
9982, 95, 67, 65, 97, 98syl221anc 1259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∧ (π‘š ∈ ℝ+ ∧ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š) βŠ† π‘₯)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)𝑛) βŠ† 𝑦)) β†’ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < )) βŠ† ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)𝑛))
100 simprr 531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∧ (π‘š ∈ ℝ+ ∧ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š) βŠ† π‘₯)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)𝑛) βŠ† 𝑦)) β†’ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)𝑛) βŠ† 𝑦)
10199, 100sstrd 3177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∧ (π‘š ∈ ℝ+ ∧ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š) βŠ† π‘₯)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)𝑛) βŠ† 𝑦)) β†’ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < )) βŠ† 𝑦)
102 xpss12 4745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < )) βŠ† π‘₯ ∧ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < )) βŠ† 𝑦) β†’ (((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < )) Γ— ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < ))) βŠ† (π‘₯ Γ— 𝑦))
10392, 101, 102syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∧ (π‘š ∈ ℝ+ ∧ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š) βŠ† π‘₯)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)𝑛) βŠ† 𝑦)) β†’ (((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < )) Γ— ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < ))) βŠ† (π‘₯ Γ— 𝑦))
10483, 103eqsstrd 3203 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∧ (π‘š ∈ ℝ+ ∧ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š) βŠ† π‘₯)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)𝑛) βŠ† 𝑦)) β†’ (𝑗(ballβ€˜π‘ƒ)inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < )) βŠ† (π‘₯ Γ— 𝑦))
10580, 104jca 306 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∧ (π‘š ∈ ℝ+ ∧ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š) βŠ† π‘₯)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)𝑛) βŠ† 𝑦)) β†’ (𝑗 ∈ (𝑗(ballβ€˜π‘ƒ)inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < )) ∧ (𝑗(ballβ€˜π‘ƒ)inf({π‘š, 𝑛}, ℝ*, < )) βŠ† (π‘₯ Γ— 𝑦)))
10669, 73, 105rspcedvd 2859 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∧ (π‘š ∈ ℝ+ ∧ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š) βŠ† π‘₯)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((2nd β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘)𝑛) βŠ† 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ran (ballβ€˜π‘ƒ)(𝑗 ∈ π‘˜ ∧ π‘˜ βŠ† (π‘₯ Γ— 𝑦)))
10754, 106rexlimddv 2609 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∧ (π‘š ∈ ℝ+ ∧ ((1st β€˜π‘—)(ballβ€˜π‘€)π‘š) βŠ† π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ran (ballβ€˜π‘ƒ)(𝑗 ∈ π‘˜ ∧ π‘˜ βŠ† (π‘₯ Γ— 𝑦)))
10847, 107rexlimddv 2609 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑗 ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ran (ballβ€˜π‘ƒ)(𝑗 ∈ π‘˜ ∧ π‘˜ βŠ† (π‘₯ Γ— 𝑦)))
109108ralrimiva 2560 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) β†’ βˆ€π‘— ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)βˆƒπ‘˜ ∈ ran (ballβ€˜π‘ƒ)(𝑗 ∈ π‘˜ ∧ π‘˜ βŠ† (π‘₯ Γ— 𝑦)))
11041, 109jca 306 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) β†’ ((π‘₯ Γ— 𝑦) βŠ† βˆͺ ran (ballβ€˜π‘ƒ) ∧ βˆ€π‘— ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)βˆƒπ‘˜ ∈ ran (ballβ€˜π‘ƒ)(𝑗 ∈ π‘˜ ∧ π‘˜ βŠ† (π‘₯ Γ— 𝑦))))
111 blex 14240 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ (∞Metβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)) β†’ (ballβ€˜π‘ƒ) ∈ V)
11237, 111syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (ballβ€˜π‘ƒ) ∈ V)
113112adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) β†’ (ballβ€˜π‘ƒ) ∈ V)
114 rnexg 4904 . . . . . . . . . . . . 13 ((ballβ€˜π‘ƒ) ∈ V β†’ ran (ballβ€˜π‘ƒ) ∈ V)
115 eltg2 13906 . . . . . . . . . . . . 13 (ran (ballβ€˜π‘ƒ) ∈ V β†’ ((π‘₯ Γ— 𝑦) ∈ (topGenβ€˜ran (ballβ€˜π‘ƒ)) ↔ ((π‘₯ Γ— 𝑦) βŠ† βˆͺ ran (ballβ€˜π‘ƒ) ∧ βˆ€π‘— ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)βˆƒπ‘˜ ∈ ran (ballβ€˜π‘ƒ)(𝑗 ∈ π‘˜ ∧ π‘˜ βŠ† (π‘₯ Γ— 𝑦)))))
116113, 114, 1153syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) β†’ ((π‘₯ Γ— 𝑦) ∈ (topGenβ€˜ran (ballβ€˜π‘ƒ)) ↔ ((π‘₯ Γ— 𝑦) βŠ† βˆͺ ran (ballβ€˜π‘ƒ) ∧ βˆ€π‘— ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)βˆƒπ‘˜ ∈ ran (ballβ€˜π‘ƒ)(𝑗 ∈ π‘˜ ∧ π‘˜ βŠ† (π‘₯ Γ— 𝑦)))))
117110, 116mpbird 167 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) β†’ (π‘₯ Γ— 𝑦) ∈ (topGenβ€˜ran (ballβ€˜π‘ƒ)))
11820, 21, 22, 117syl12anc 1246 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑀 = (π‘₯ Γ— 𝑦)) β†’ (π‘₯ Γ— 𝑦) ∈ (topGenβ€˜ran (ballβ€˜π‘ƒ)))
11919, 118eqeltrd 2264 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑀 = (π‘₯ Γ— 𝑦)) β†’ 𝑀 ∈ (topGenβ€˜ran (ballβ€˜π‘ƒ)))
120119ex 115 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) β†’ (𝑀 = (π‘₯ Γ— 𝑦) β†’ 𝑀 ∈ (topGenβ€˜ran (ballβ€˜π‘ƒ))))
121120rexlimdvva 2612 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐾 𝑀 = (π‘₯ Γ— 𝑦) β†’ 𝑀 ∈ (topGenβ€˜ran (ballβ€˜π‘ƒ))))
12218, 121mpd 13 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))) β†’ 𝑀 ∈ (topGenβ€˜ran (ballβ€˜π‘ƒ)))
123122ex 115 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) β†’ 𝑀 ∈ (topGenβ€˜ran (ballβ€˜π‘ƒ))))
124123ssrdv 3173 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) βŠ† (topGenβ€˜ran (ballβ€˜π‘ƒ)))
1254mopntop 14297 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
1262, 125syl 14 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
1275mopntop 14297 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) β†’ 𝐾 ∈ Top)
1283, 127syl 14 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Top)
129 mpoexga 6227 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) ∈ V)
130126, 128, 129syl2anc 411 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) ∈ V)
131 rnexg 4904 . . . . . 6 ((π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) ∈ V β†’ ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) ∈ V)
132130, 131syl 14 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) ∈ V)
13337, 111, 1143syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran (ballβ€˜π‘ƒ) ∈ V)
134 tgss3 13931 . . . . 5 ((ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) ∈ V ∧ ran (ballβ€˜π‘ƒ) ∈ V) β†’ ((topGenβ€˜ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))) βŠ† (topGenβ€˜ran (ballβ€˜π‘ƒ)) ↔ ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) βŠ† (topGenβ€˜ran (ballβ€˜π‘ƒ))))
135132, 133, 134syl2anc 411 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((topGenβ€˜ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))) βŠ† (topGenβ€˜ran (ballβ€˜π‘ƒ)) ↔ ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) βŠ† (topGenβ€˜ran (ballβ€˜π‘ƒ))))
136124, 135mpbird 167 . . 3 (πœ‘ β†’ (topGenβ€˜ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))) βŠ† (topGenβ€˜ran (ballβ€˜π‘ƒ)))
137 eqid 2187 . . . . 5 ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) = ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))
138137txval 14108 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐾) = (topGenβ€˜ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))))
139126, 128, 138syl2anc 411 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐽 Γ—t 𝐾) = (topGenβ€˜ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))))
1406mopnval 14295 . . . 4 (𝑃 ∈ (∞Metβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)) β†’ 𝐿 = (topGenβ€˜ran (ballβ€˜π‘ƒ)))
14137, 140syl 14 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐿 = (topGenβ€˜ran (ballβ€˜π‘ƒ)))
142136, 139, 1413sstr4d 3212 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐽 Γ—t 𝐾) βŠ† 𝐿)
1437, 142eqssd 3184 1 (πœ‘ β†’ 𝐿 = (𝐽 Γ—t 𝐾))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1363   ∈ wcel 2158  βˆ€wral 2465  βˆƒwrex 2466  Vcvv 2749   βŠ† wss 3141  π’« cpw 3587  {cpr 3605  βˆͺ cuni 3821   class class class wbr 4015   Γ— cxp 4636  ran crn 4639   Fn wfn 5223  βŸΆwf 5224  β€˜cfv 5228  (class class class)co 5888   ∈ cmpo 5890  1st c1st 6153  2nd c2nd 6154  supcsup 6995  infcinf 6996  β„*cxr 8005   < clt 8006   ≀ cle 8007  β„+crp 9667  topGenctg 12721  βˆžMetcxmet 13779  ballcbl 13781  MetOpencmopn 13784  Topctop 13850  TopOnctopon 13863   Γ—t ctx 14105
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943  ax-arch 7944  ax-caucvg 7945
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-frec 6406  df-map 6664  df-sup 6997  df-inf 6998  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-4 8994  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-q 9634  df-rp 9668  df-xneg 9786  df-xadd 9787  df-seqfrec 10460  df-exp 10534  df-cj 10865  df-re 10866  df-im 10867  df-rsqrt 11021  df-abs 11022  df-topgen 12727  df-psmet 13786  df-xmet 13787  df-bl 13789  df-mopn 13790  df-top 13851  df-topon 13864  df-bases 13896  df-tx 14106
This theorem is referenced by:  txmetcnp  14371
  Copyright terms: Public domain W3C validator