Theorem oddprmdvds 13060

Description: Every positive integer which is not a power of two is divisible by an odd prime number. (Contributed by AV, 6-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
oddprmdvds	⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝐾)

Distinct variable group:   𝑛,𝐾,𝑝

Proof of Theorem oddprmdvds

Dummy variables 𝑚 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2prm 12832	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℙ
2		pcndvds2 13025	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ¬ 2 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))))
3	1, 2	mpan 424	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ¬ 2 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))))
4		pcdvds 13021	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (2↑(2 pCnt 𝐾)) ∥ 𝐾)
5	1, 4	mpan 424	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (2↑(2 pCnt 𝐾)) ∥ 𝐾)
6		2nn 9404	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
7	6	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
8	1	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 2 ∈ ℙ)
9		id 19	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ)
10	8, 9	pccld 13006	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (2 pCnt 𝐾) ∈ ℕ0)
11	7, 10	nnexpcld 11065	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (2↑(2 pCnt 𝐾)) ∈ ℕ)
12		nndivdvds 12490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (2↑(2 pCnt 𝐾)) ∈ ℕ) → ((2↑(2 pCnt 𝐾)) ∥ 𝐾 ↔ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) ∈ ℕ))
13	11, 12	mpdan 421	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((2↑(2 pCnt 𝐾)) ∥ 𝐾 ↔ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) ∈ ℕ))
14	13	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾)))) → ((2↑(2 pCnt 𝐾)) ∥ 𝐾 ↔ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) ∈ ℕ))
15		elnn1uz2 9945	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) ∈ ℕ ↔ ((𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) = 1 ∨ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) ∈ (ℤ≥‘2)))
16		nncn 9250	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℂ)
17	11	nncnd 9256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (2↑(2 pCnt 𝐾)) ∈ ℂ)
18	11	nnap0d 9288	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (2↑(2 pCnt 𝐾)) # 0)
19	16, 17, 18	3jca 1204	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℂ ∧ (2↑(2 pCnt 𝐾)) ∈ ℂ ∧ (2↑(2 pCnt 𝐾)) # 0))
20	19	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾)))) → (𝐾 ∈ ℂ ∧ (2↑(2 pCnt 𝐾)) ∈ ℂ ∧ (2↑(2 pCnt 𝐾)) # 0))
21		diveqap1 8984	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (2↑(2 pCnt 𝐾)) ∈ ℂ ∧ (2↑(2 pCnt 𝐾)) # 0) → ((𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) = 1 ↔ 𝐾 = (2↑(2 pCnt 𝐾))))
22	20, 21	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾)))) → ((𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) = 1 ↔ 𝐾 = (2↑(2 pCnt 𝐾))))
23	10	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 = (2↑(2 pCnt 𝐾))) → (2 pCnt 𝐾) ∈ ℕ0)
24		oveq2 6060	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = (2 pCnt 𝐾) → (2↑𝑛) = (2↑(2 pCnt 𝐾)))
25	24	eqeq2d 2246	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = (2 pCnt 𝐾) → (𝐾 = (2↑𝑛) ↔ 𝐾 = (2↑(2 pCnt 𝐾))))
26	25	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 = (2↑(2 pCnt 𝐾))) ∧ 𝑛 = (2 pCnt 𝐾)) → (𝐾 = (2↑𝑛) ↔ 𝐾 = (2↑(2 pCnt 𝐾))))
27		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 = (2↑(2 pCnt 𝐾))) → 𝐾 = (2↑(2 pCnt 𝐾)))
28	23, 26, 27	rspcedvd 2929	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 = (2↑(2 pCnt 𝐾))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛))
29	28	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 = (2↑(2 pCnt 𝐾)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)))
30		pm2.24 626	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝐾))
31	29, 30	syl6 33	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 = (2↑(2 pCnt 𝐾)) → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝐾)))
32	31	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾)))) → (𝐾 = (2↑(2 pCnt 𝐾)) → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝐾)))
33	22, 32	sylbid 150	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾)))) → ((𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) = 1 → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝐾)))
34	33	com12 30	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) = 1 → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾)))) → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝐾)))
35		exprmfct 12843	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑞 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))))
36		breq1 4114	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑞 = 2 → (𝑞 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) ↔ 2 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾)))))
37	36	biimpcd 159	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑞 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) → (𝑞 = 2 → 2 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾)))))
38	37	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾)))) → (𝑞 = 2 → 2 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾)))))
39	38	necon3bd 2457	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾)))) → (¬ 2 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) → 𝑞 ≠ 2))
40	39	ex 115	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) → (¬ 2 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) → 𝑞 ≠ 2)))
41		prmnn 12815	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℕ)
42	5, 13	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) ∈ ℕ)
43		nndivides 12491	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) ∈ ℕ) → (𝑞 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ (𝑚 · 𝑞) = (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾)))))
44	41, 42, 43	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ (𝑚 · 𝑞) = (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾)))))
45		eqcom 2236	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑚 · 𝑞) = (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) ↔ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) = (𝑚 · 𝑞))
46	16	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℂ)
47		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
48	41	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑞 ∈ ℕ)
49	47, 48	nnmulcld 9291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 · 𝑞) ∈ ℕ)
50	49	nncnd 9256	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 · 𝑞) ∈ ℂ)
51	17, 18	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((2↑(2 pCnt 𝐾)) ∈ ℂ ∧ (2↑(2 pCnt 𝐾)) # 0))
52	51	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((2↑(2 pCnt 𝐾)) ∈ ℂ ∧ (2↑(2 pCnt 𝐾)) # 0))
53		divmulap 8954	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (𝑚 · 𝑞) ∈ ℂ ∧ ((2↑(2 pCnt 𝐾)) ∈ ℂ ∧ (2↑(2 pCnt 𝐾)) # 0)) → ((𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) = (𝑚 · 𝑞) ↔ ((2↑(2 pCnt 𝐾)) · (𝑚 · 𝑞)) = 𝐾))
54	46, 50, 52, 53	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) = (𝑚 · 𝑞) ↔ ((2↑(2 pCnt 𝐾)) · (𝑚 · 𝑞)) = 𝐾))
55	45, 54	bitrid 192	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 · 𝑞) = (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) ↔ ((2↑(2 pCnt 𝐾)) · (𝑚 · 𝑞)) = 𝐾))
56		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑞 ∈ ℙ)
57	56	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑞 ∈ ℙ)
58	57	anim1i 340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑞 ≠ 2) → (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ≠ 2))
59		eldifsn 3822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ≠ 2))
60	58, 59	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑞 ≠ 2) → 𝑞 ∈ (ℙ ∖ {2}))
61	60	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑞 ≠ 2) ∧ ((2↑(2 pCnt 𝐾)) · (𝑚 · 𝑞)) = 𝐾) → 𝑞 ∈ (ℙ ∖ {2}))
62		breq1 4114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑝 ∥ 𝐾 ↔ 𝑞 ∥ 𝐾))
63	62	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑞 ≠ 2) ∧ ((2↑(2 pCnt 𝐾)) · (𝑚 · 𝑞)) = 𝐾) ∧ 𝑝 = 𝑞) → (𝑝 ∥ 𝐾 ↔ 𝑞 ∥ 𝐾))
64	11	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (2↑(2 pCnt 𝐾)) ∈ ℕ)
65	64, 47	nnmulcld 9291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((2↑(2 pCnt 𝐾)) · 𝑚) ∈ ℕ)
66	65	nnzd 9705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((2↑(2 pCnt 𝐾)) · 𝑚) ∈ ℤ)
67	41	nnzd 9705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℤ)
68	67	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑞 ∈ ℤ)
69	66, 68	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((2↑(2 pCnt 𝐾)) · 𝑚) ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ))
70	69	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑞 ≠ 2) → (((2↑(2 pCnt 𝐾)) · 𝑚) ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ))
71		dvdsmul2 12508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((2↑(2 pCnt 𝐾)) · 𝑚) ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → 𝑞 ∥ (((2↑(2 pCnt 𝐾)) · 𝑚) · 𝑞))
72	70, 71	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑞 ≠ 2) → 𝑞 ∥ (((2↑(2 pCnt 𝐾)) · 𝑚) · 𝑞))
73		2nn0 9518	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ 2 ∈ ℕ0
74	73	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ0)
75	74, 10	nn0expcld 11066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (2↑(2 pCnt 𝐾)) ∈ ℕ0)
76	75	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (2↑(2 pCnt 𝐾)) ∈ ℕ0)
77	76	nn0cnd 9560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (2↑(2 pCnt 𝐾)) ∈ ℂ)
78		nncn 9250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
79	78	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℂ)
80	41	nncnd 9256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℂ)
81	80	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑞 ∈ ℂ)
82	77, 79, 81	3jca 1204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((2↑(2 pCnt 𝐾)) ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑞 ∈ ℂ))
83	82	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑞 ≠ 2) → ((2↑(2 pCnt 𝐾)) ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑞 ∈ ℂ))
84		mulass 8263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((2↑(2 pCnt 𝐾)) ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑞 ∈ ℂ) → (((2↑(2 pCnt 𝐾)) · 𝑚) · 𝑞) = ((2↑(2 pCnt 𝐾)) · (𝑚 · 𝑞)))
85	83, 84	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑞 ≠ 2) → (((2↑(2 pCnt 𝐾)) · 𝑚) · 𝑞) = ((2↑(2 pCnt 𝐾)) · (𝑚 · 𝑞)))
86	72, 85	breqtrd 4137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑞 ≠ 2) → 𝑞 ∥ ((2↑(2 pCnt 𝐾)) · (𝑚 · 𝑞)))
87	86	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑞 ≠ 2) ∧ ((2↑(2 pCnt 𝐾)) · (𝑚 · 𝑞)) = 𝐾) → 𝑞 ∥ ((2↑(2 pCnt 𝐾)) · (𝑚 · 𝑞)))
88		breq2 4115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((2↑(2 pCnt 𝐾)) · (𝑚 · 𝑞)) = 𝐾 → (𝑞 ∥ ((2↑(2 pCnt 𝐾)) · (𝑚 · 𝑞)) ↔ 𝑞 ∥ 𝐾))
89	88	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑞 ≠ 2) ∧ ((2↑(2 pCnt 𝐾)) · (𝑚 · 𝑞)) = 𝐾) → (𝑞 ∥ ((2↑(2 pCnt 𝐾)) · (𝑚 · 𝑞)) ↔ 𝑞 ∥ 𝐾))
90	87, 89	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑞 ≠ 2) ∧ ((2↑(2 pCnt 𝐾)) · (𝑚 · 𝑞)) = 𝐾) → 𝑞 ∥ 𝐾)
91	61, 63, 90	rspcedvd 2929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑞 ≠ 2) ∧ ((2↑(2 pCnt 𝐾)) · (𝑚 · 𝑞)) = 𝐾) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝐾)
92	91	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑞 ≠ 2) ∧ ((2↑(2 pCnt 𝐾)) · (𝑚 · 𝑞)) = 𝐾) → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝐾))
93	92	exp31 364	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑞 ≠ 2 → (((2↑(2 pCnt 𝐾)) · (𝑚 · 𝑞)) = 𝐾 → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝐾))))
94	93	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((2↑(2 pCnt 𝐾)) · (𝑚 · 𝑞)) = 𝐾 → (𝑞 ≠ 2 → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝐾))))
95	55, 94	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 · 𝑞) = (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) → (𝑞 ≠ 2 → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝐾))))
96	95	rexlimdva 2662	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (∃𝑚 ∈ ℕ (𝑚 · 𝑞) = (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) → (𝑞 ≠ 2 → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝐾))))
97	44, 96	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) → (𝑞 ≠ 2 → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝐾))))
98	40, 97	syldd 67	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) → (¬ 2 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝐾))))
99	98	rexlimdva 2662	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (∃𝑞 ∈ ℙ 𝑞 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) → (¬ 2 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝐾))))
100	99	com12 30	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑞 ∈ ℙ 𝑞 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) → (𝐾 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝐾))))
101	100	impd 254	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑞 ∈ ℙ 𝑞 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾)))) → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝐾)))
102	35, 101	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾)))) → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝐾)))
103	34, 102	jaoi 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) = 1 ∨ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾)))) → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝐾)))
104	15, 103	sylbi 121	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) ∈ ℕ → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾)))) → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝐾)))
105	104	com12 30	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾)))) → ((𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) ∈ ℕ → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝐾)))
106	14, 105	sylbid 150	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾)))) → ((2↑(2 pCnt 𝐾)) ∥ 𝐾 → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝐾)))
107	106	ex 115	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) → ((2↑(2 pCnt 𝐾)) ∥ 𝐾 → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝐾))))
108	3, 5, 107	mp2d 47	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝐾))
109	108	imp 124	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝐾)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ≠ wne 2414  ∃wrex 2523   ∖ cdif 3210  {csn 3691   class class class wbr 4111  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052  ℂcc 8130  0cc0 8132  1c1 8133   · cmul 8137   # cap 8860   / cdiv 8951  ℕcn 9242  2c2 9293  ℕ₀cn0 9501  ℤcz 9582  ℤ_≥cuz 9859  ↑cexp 10907   ∥ cdvds 12481  ℙcprime 12812   pCnt cpc 12990

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-mulrcl 8231  ax-addcom 8232  ax-mulcom 8233  ax-addass 8234  ax-mulass 8235  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-1rid 8239  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-precex 8242  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-apti 8247  ax-pre-ltadd 8248  ax-pre-mulgt0 8249  ax-pre-mulext 8250  ax-arch 8251  ax-caucvg 8252

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-isom 5363  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-frec 6624  df-1o 6649  df-2o 6650  df-er 6769  df-en 6978  df-sup 7277  df-inf 7278  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-reap 8854  df-ap 8861  df-div 8952  df-inn 9243  df-2 9301  df-3 9302  df-4 9303  df-n0 9502  df-z 9583  df-uz 9860  df-q 9958  df-rp 9993  df-fz 10349  df-fzo 10484  df-fl 10637  df-mod 10692  df-seqfrec 10817  df-exp 10908  df-cj 11535  df-re 11536  df-im 11537  df-rsqrt 11691  df-abs 11692  df-dvds 12482  df-gcd 12658  df-prm 12813  df-pc 12991

This theorem is referenced by: (None)