Theorem oddprmdvds 13116

Description: Every positive integer which is not a power of two is divisible by an odd prime number. (Contributed by AV, 6-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
oddprmdvds	⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝐾)

Distinct variable group:   𝑛,𝐾,𝑝

Proof of Theorem oddprmdvds

Dummy variables 𝑚 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2prm 12888	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℙ
2		pcndvds2 13081	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ¬ 2 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))))
3	1, 2	mpan 428	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ¬ 2 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))))
4		pcdvds 13077	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (2↑(2 pCnt 𝐾)) ∥ 𝐾)
5	1, 4	mpan 428	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (2↑(2 pCnt 𝐾)) ∥ 𝐾)
6		2nn 9449	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
7	6	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
8	1	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 2 ∈ ℙ)
9		id 19	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ)
10	8, 9	pccld 13062	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (2 pCnt 𝐾) ∈ ℕ0)
11	7, 10	nnexpcld 11116	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (2↑(2 pCnt 𝐾)) ∈ ℕ)
12		nndivdvds 12546	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (2↑(2 pCnt 𝐾)) ∈ ℕ) → ((2↑(2 pCnt 𝐾)) ∥ 𝐾 ↔ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) ∈ ℕ))
13	11, 12	mpdan 425	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((2↑(2 pCnt 𝐾)) ∥ 𝐾 ↔ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) ∈ ℕ))
14	13	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾)))) → ((2↑(2 pCnt 𝐾)) ∥ 𝐾 ↔ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) ∈ ℕ))
15		elnn1uz2 9990	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) ∈ ℕ ↔ ((𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) = 1 ∨ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) ∈ (ℤ≥‘2)))
16		nncn 9295	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℂ)
17	11	nncnd 9301	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (2↑(2 pCnt 𝐾)) ∈ ℂ)
18	11	nnap0d 9333	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (2↑(2 pCnt 𝐾)) # 0)
19	16, 17, 18	3jca 1208	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℂ ∧ (2↑(2 pCnt 𝐾)) ∈ ℂ ∧ (2↑(2 pCnt 𝐾)) # 0))
20	19	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾)))) → (𝐾 ∈ ℂ ∧ (2↑(2 pCnt 𝐾)) ∈ ℂ ∧ (2↑(2 pCnt 𝐾)) # 0))
21		diveqap1 9029	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (2↑(2 pCnt 𝐾)) ∈ ℂ ∧ (2↑(2 pCnt 𝐾)) # 0) → ((𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) = 1 ↔ 𝐾 = (2↑(2 pCnt 𝐾))))
22	20, 21	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾)))) → ((𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) = 1 ↔ 𝐾 = (2↑(2 pCnt 𝐾))))
23	10	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 = (2↑(2 pCnt 𝐾))) → (2 pCnt 𝐾) ∈ ℕ0)
24		oveq2 6087	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = (2 pCnt 𝐾) → (2↑𝑛) = (2↑(2 pCnt 𝐾)))
25	24	eqeq2d 2250	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = (2 pCnt 𝐾) → (𝐾 = (2↑𝑛) ↔ 𝐾 = (2↑(2 pCnt 𝐾))))
26	25	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 = (2↑(2 pCnt 𝐾))) ∧ 𝑛 = (2 pCnt 𝐾)) → (𝐾 = (2↑𝑛) ↔ 𝐾 = (2↑(2 pCnt 𝐾))))
27		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 = (2↑(2 pCnt 𝐾))) → 𝐾 = (2↑(2 pCnt 𝐾)))
28	23, 26, 27	rspcedvd 2935	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 = (2↑(2 pCnt 𝐾))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛))
29	28	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 = (2↑(2 pCnt 𝐾)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)))
30		pm2.24 630	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝐾))
31	29, 30	syl6 33	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 = (2↑(2 pCnt 𝐾)) → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝐾)))
32	31	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾)))) → (𝐾 = (2↑(2 pCnt 𝐾)) → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝐾)))
33	22, 32	sylbid 150	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾)))) → ((𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) = 1 → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝐾)))
34	33	com12 30	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) = 1 → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾)))) → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝐾)))
35		exprmfct 12899	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑞 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))))
36		breq1 4131	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑞 = 2 → (𝑞 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) ↔ 2 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾)))))
37	36	biimpcd 159	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑞 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) → (𝑞 = 2 → 2 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾)))))
38	37	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾)))) → (𝑞 = 2 → 2 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾)))))
39	38	necon3bd 2463	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾)))) → (¬ 2 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) → 𝑞 ≠ 2))
40	39	ex 115	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) → (¬ 2 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) → 𝑞 ≠ 2)))
41		prmnn 12871	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℕ)
42	5, 13	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) ∈ ℕ)
43		nndivides 12547	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) ∈ ℕ) → (𝑞 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ (𝑚 · 𝑞) = (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾)))))
44	41, 42, 43	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ (𝑚 · 𝑞) = (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾)))))
45		eqcom 2240	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑚 · 𝑞) = (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) ↔ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) = (𝑚 · 𝑞))
46	16	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℂ)
47		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
48	41	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑞 ∈ ℕ)
49	47, 48	nnmulcld 9336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 · 𝑞) ∈ ℕ)
50	49	nncnd 9301	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 · 𝑞) ∈ ℂ)
51	17, 18	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((2↑(2 pCnt 𝐾)) ∈ ℂ ∧ (2↑(2 pCnt 𝐾)) # 0))
52	51	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((2↑(2 pCnt 𝐾)) ∈ ℂ ∧ (2↑(2 pCnt 𝐾)) # 0))
53		divmulap 8999	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (𝑚 · 𝑞) ∈ ℂ ∧ ((2↑(2 pCnt 𝐾)) ∈ ℂ ∧ (2↑(2 pCnt 𝐾)) # 0)) → ((𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) = (𝑚 · 𝑞) ↔ ((2↑(2 pCnt 𝐾)) · (𝑚 · 𝑞)) = 𝐾))
54	46, 50, 52, 53	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) = (𝑚 · 𝑞) ↔ ((2↑(2 pCnt 𝐾)) · (𝑚 · 𝑞)) = 𝐾))
55	45, 54	bitrid 192	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 · 𝑞) = (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) ↔ ((2↑(2 pCnt 𝐾)) · (𝑚 · 𝑞)) = 𝐾))
56		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑞 ∈ ℙ)
57	56	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑞 ∈ ℙ)
58	57	anim1i 340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑞 ≠ 2) → (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ≠ 2))
59		eldifsn 3839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ≠ 2))
60	58, 59	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑞 ≠ 2) → 𝑞 ∈ (ℙ ∖ {2}))
61	60	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑞 ≠ 2) ∧ ((2↑(2 pCnt 𝐾)) · (𝑚 · 𝑞)) = 𝐾) → 𝑞 ∈ (ℙ ∖ {2}))
62		breq1 4131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑝 ∥ 𝐾 ↔ 𝑞 ∥ 𝐾))
63	62	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑞 ≠ 2) ∧ ((2↑(2 pCnt 𝐾)) · (𝑚 · 𝑞)) = 𝐾) ∧ 𝑝 = 𝑞) → (𝑝 ∥ 𝐾 ↔ 𝑞 ∥ 𝐾))
64	11	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (2↑(2 pCnt 𝐾)) ∈ ℕ)
65	64, 47	nnmulcld 9336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((2↑(2 pCnt 𝐾)) · 𝑚) ∈ ℕ)
66	65	nnzd 9750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((2↑(2 pCnt 𝐾)) · 𝑚) ∈ ℤ)
67	41	nnzd 9750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℤ)
68	67	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑞 ∈ ℤ)
69	66, 68	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((2↑(2 pCnt 𝐾)) · 𝑚) ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ))
70	69	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑞 ≠ 2) → (((2↑(2 pCnt 𝐾)) · 𝑚) ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ))
71		dvdsmul2 12564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((2↑(2 pCnt 𝐾)) · 𝑚) ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → 𝑞 ∥ (((2↑(2 pCnt 𝐾)) · 𝑚) · 𝑞))
72	70, 71	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑞 ≠ 2) → 𝑞 ∥ (((2↑(2 pCnt 𝐾)) · 𝑚) · 𝑞))
73		2nn0 9563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ 2 ∈ ℕ0
74	73	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ0)
75	74, 10	nn0expcld 11117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (2↑(2 pCnt 𝐾)) ∈ ℕ0)
76	75	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (2↑(2 pCnt 𝐾)) ∈ ℕ0)
77	76	nn0cnd 9605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (2↑(2 pCnt 𝐾)) ∈ ℂ)
78		nncn 9295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
79	78	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℂ)
80	41	nncnd 9301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℂ)
81	80	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑞 ∈ ℂ)
82	77, 79, 81	3jca 1208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((2↑(2 pCnt 𝐾)) ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑞 ∈ ℂ))
83	82	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑞 ≠ 2) → ((2↑(2 pCnt 𝐾)) ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑞 ∈ ℂ))
84		mulass 8304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((2↑(2 pCnt 𝐾)) ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑞 ∈ ℂ) → (((2↑(2 pCnt 𝐾)) · 𝑚) · 𝑞) = ((2↑(2 pCnt 𝐾)) · (𝑚 · 𝑞)))
85	83, 84	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑞 ≠ 2) → (((2↑(2 pCnt 𝐾)) · 𝑚) · 𝑞) = ((2↑(2 pCnt 𝐾)) · (𝑚 · 𝑞)))
86	72, 85	breqtrd 4154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑞 ≠ 2) → 𝑞 ∥ ((2↑(2 pCnt 𝐾)) · (𝑚 · 𝑞)))
87	86	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑞 ≠ 2) ∧ ((2↑(2 pCnt 𝐾)) · (𝑚 · 𝑞)) = 𝐾) → 𝑞 ∥ ((2↑(2 pCnt 𝐾)) · (𝑚 · 𝑞)))
88		breq2 4132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((2↑(2 pCnt 𝐾)) · (𝑚 · 𝑞)) = 𝐾 → (𝑞 ∥ ((2↑(2 pCnt 𝐾)) · (𝑚 · 𝑞)) ↔ 𝑞 ∥ 𝐾))
89	88	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑞 ≠ 2) ∧ ((2↑(2 pCnt 𝐾)) · (𝑚 · 𝑞)) = 𝐾) → (𝑞 ∥ ((2↑(2 pCnt 𝐾)) · (𝑚 · 𝑞)) ↔ 𝑞 ∥ 𝐾))
90	87, 89	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑞 ≠ 2) ∧ ((2↑(2 pCnt 𝐾)) · (𝑚 · 𝑞)) = 𝐾) → 𝑞 ∥ 𝐾)
91	61, 63, 90	rspcedvd 2935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑞 ≠ 2) ∧ ((2↑(2 pCnt 𝐾)) · (𝑚 · 𝑞)) = 𝐾) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝐾)
92	91	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑞 ≠ 2) ∧ ((2↑(2 pCnt 𝐾)) · (𝑚 · 𝑞)) = 𝐾) → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝐾))
93	92	exp31 364	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑞 ≠ 2 → (((2↑(2 pCnt 𝐾)) · (𝑚 · 𝑞)) = 𝐾 → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝐾))))
94	93	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((2↑(2 pCnt 𝐾)) · (𝑚 · 𝑞)) = 𝐾 → (𝑞 ≠ 2 → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝐾))))
95	55, 94	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 · 𝑞) = (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) → (𝑞 ≠ 2 → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝐾))))
96	95	rexlimdva 2668	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (∃𝑚 ∈ ℕ (𝑚 · 𝑞) = (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) → (𝑞 ≠ 2 → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝐾))))
97	44, 96	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) → (𝑞 ≠ 2 → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝐾))))
98	40, 97	syldd 67	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) → (¬ 2 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝐾))))
99	98	rexlimdva 2668	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (∃𝑞 ∈ ℙ 𝑞 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) → (¬ 2 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝐾))))
100	99	com12 30	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑞 ∈ ℙ 𝑞 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) → (𝐾 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝐾))))
101	100	impd 254	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑞 ∈ ℙ 𝑞 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾)))) → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝐾)))
102	35, 101	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾)))) → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝐾)))
103	34, 102	jaoi 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) = 1 ∨ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾)))) → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝐾)))
104	15, 103	sylbi 121	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) ∈ ℕ → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾)))) → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝐾)))
105	104	com12 30	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾)))) → ((𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) ∈ ℕ → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝐾)))
106	14, 105	sylbid 150	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾)))) → ((2↑(2 pCnt 𝐾)) ∥ 𝐾 → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝐾)))
107	106	ex 115	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) → ((2↑(2 pCnt 𝐾)) ∥ 𝐾 → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝐾))))
108	3, 5, 107	mp2d 47	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝐾))
109	108	imp 124	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝐾)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  ∃wrex 2529   ∖ cdif 3217  {csn 3708   class class class wbr 4128  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  ℂcc 8171  0cc0 8173  1c1 8174   · cmul 8178   # cap 8903   / cdiv 8996  ℕcn 9287  2c2 9338  ℕ₀cn0 9546  ℤcz 9627  ℤ_≥cuz 9904  ↑cexp 10958   ∥ cdvds 12537  ℙcprime 12868   pCnt cpc 13046

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291  ax-arch 8292  ax-caucvg 8293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-isom 5384  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-frec 6656  df-1o 6681  df-2o 6682  df-er 6801  df-en 7017  df-sup 7318  df-inf 7319  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-q 10003  df-rp 10038  df-fz 10395  df-fzo 10533  df-fl 10688  df-mod 10743  df-seqfrec 10868  df-exp 10959  df-cj 11590  df-re 11591  df-im 11592  df-rsqrt 11747  df-abs 11748  df-dvds 12538  df-gcd 12714  df-prm 12869  df-pc 13047

This theorem is referenced by: (None)