ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  modqmuladd GIF version

Theorem modqmuladd 10365
Description: Decomposition of an integer into a multiple of a modulus and a remainder. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
modqmuladd.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
modqmuladd.bq (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„š)
modqmuladd.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ (0[,)๐‘€))
modqmuladd.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„š)
modqmuladd.mgt0 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐‘€)
Assertion
Ref Expression
modqmuladd (๐œ‘ โ†’ ((๐ด mod ๐‘€) = ๐ต โ†” โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค ๐ด = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต)))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐ต,๐‘˜   ๐‘˜,๐‘€   ๐œ‘,๐‘˜

Proof of Theorem modqmuladd
StepHypRef Expression
1 modqmuladd.a . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
2 zq 9625 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š)
31, 2syl 14 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š)
4 modqmuladd.m . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„š)
5 modqmuladd.mgt0 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐‘€)
65gt0ne0d 8468 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
7 qdivcl 9642 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘€ โ‰  0) โ†’ (๐ด / ๐‘€) โˆˆ โ„š)
83, 4, 6, 7syl3anc 1238 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด / ๐‘€) โˆˆ โ„š)
98flqcld 10276 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)) โˆˆ โ„ค)
10 oveq1 5881 . . . . . . 7 (๐‘˜ = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)) โ†’ (๐‘˜ ยท ๐‘€) = ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)) ยท ๐‘€))
1110oveq1d 5889 . . . . . 6 (๐‘˜ = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)) โ†’ ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + (๐ด mod ๐‘€)) = (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)) ยท ๐‘€) + (๐ด mod ๐‘€)))
1211eqeq2d 2189 . . . . 5 (๐‘˜ = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)) โ†’ (๐ด = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + (๐ด mod ๐‘€)) โ†” ๐ด = (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)) ยท ๐‘€) + (๐ด mod ๐‘€))))
1312adantl 277 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€))) โ†’ (๐ด = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + (๐ด mod ๐‘€)) โ†” ๐ด = (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)) ยท ๐‘€) + (๐ด mod ๐‘€))))
14 flqpmodeq 10326 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โ†’ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)) ยท ๐‘€) + (๐ด mod ๐‘€)) = ๐ด)
153, 4, 5, 14syl3anc 1238 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)) ยท ๐‘€) + (๐ด mod ๐‘€)) = ๐ด)
1615eqcomd 2183 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด = (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)) ยท ๐‘€) + (๐ด mod ๐‘€)))
179, 13, 16rspcedvd 2847 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค ๐ด = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + (๐ด mod ๐‘€)))
18 oveq2 5882 . . . . . 6 (๐ต = (๐ด mod ๐‘€) โ†’ ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต) = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + (๐ด mod ๐‘€)))
1918eqeq2d 2189 . . . . 5 (๐ต = (๐ด mod ๐‘€) โ†’ (๐ด = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต) โ†” ๐ด = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + (๐ด mod ๐‘€))))
2019eqcoms 2180 . . . 4 ((๐ด mod ๐‘€) = ๐ต โ†’ (๐ด = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต) โ†” ๐ด = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + (๐ด mod ๐‘€))))
2120rexbidv 2478 . . 3 ((๐ด mod ๐‘€) = ๐ต โ†’ (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค ๐ด = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต) โ†” โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค ๐ด = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + (๐ด mod ๐‘€))))
2217, 21syl5ibrcom 157 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด mod ๐‘€) = ๐ต โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค ๐ด = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต)))
23 oveq1 5881 . . . . . 6 (๐ด = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต) โ†’ (๐ด mod ๐‘€) = (((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต) mod ๐‘€))
2423adantl 277 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต)) โ†’ (๐ด mod ๐‘€) = (((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต) mod ๐‘€))
25 simplr 528 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
264ad2antrr 488 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„š)
27 modqmuladd.bq . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„š)
2827ad2antrr 488 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„š)
29 modqmuladd.b . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ (0[,)๐‘€))
3029ad2antrr 488 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ (0[,)๐‘€))
31 mulqaddmodid 10363 . . . . . 6 (((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)๐‘€))) โ†’ (((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต) mod ๐‘€) = ๐ต)
3225, 26, 28, 30, 31syl22anc 1239 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต)) โ†’ (((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต) mod ๐‘€) = ๐ต)
3324, 32eqtrd 2210 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต)) โ†’ (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต)
3433ex 115 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต) โ†’ (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต))
3534rexlimdva 2594 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค ๐ด = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต) โ†’ (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต))
3622, 35impbid 129 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด mod ๐‘€) = ๐ต โ†” โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค ๐ด = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148   โ‰  wne 2347  โˆƒwrex 2456   class class class wbr 4003  โ€˜cfv 5216  (class class class)co 5874  0cc0 7810   + caddc 7813   ยท cmul 7815   < clt 7991   / cdiv 8628  โ„คcz 9252  โ„šcq 9618  [,)cico 9889  โŒŠcfl 10267   mod cmo 10321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-n0 9176  df-z 9253  df-q 9619  df-rp 9653  df-ico 9893  df-fl 10269  df-mod 10322
This theorem is referenced by:  modqmuladdim  10366
  Copyright terms: Public domain W3C validator