ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  modqmuladd GIF version

Theorem modqmuladd 9676
Description: Decomposition of an integer into a multiple of a modulus and a remainder. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
modqmuladd.a (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
modqmuladd.bq (𝜑𝐵 ∈ ℚ)
modqmuladd.b (𝜑𝐵 ∈ (0[,)𝑀))
modqmuladd.m (𝜑𝑀 ∈ ℚ)
modqmuladd.mgt0 (𝜑 → 0 < 𝑀)
Assertion
Ref Expression
modqmuladd (𝜑 → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘

Proof of Theorem modqmuladd
StepHypRef Expression
1 modqmuladd.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
2 zq 9020 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
31, 2syl 14 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℚ)
4 modqmuladd.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℚ)
5 modqmuladd.mgt0 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < 𝑀)
65gt0ne0d 7908 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ≠ 0)
7 qdivcl 9037 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝐴 / 𝑀) ∈ ℚ)
83, 4, 6, 7syl3anc 1172 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 / 𝑀) ∈ ℚ)
98flqcld 9587 . . . 4 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) ∈ ℤ)
10 oveq1 5601 . . . . . . 7 (𝑘 = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) → (𝑘 · 𝑀) = ((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) · 𝑀))
1110oveq1d 5609 . . . . . 6 (𝑘 = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) → ((𝑘 · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)) = (((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)))
1211eqeq2d 2096 . . . . 5 (𝑘 = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) → (𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)) ↔ 𝐴 = (((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀))))
1312adantl 271 . . . 4 ((𝜑𝑘 = (⌊‘(𝐴 / 𝑀))) → (𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)) ↔ 𝐴 = (((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀))))
14 flqpmodeq 9637 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → (((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)) = 𝐴)
153, 4, 5, 14syl3anc 1172 . . . . 5 (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)) = 𝐴)
1615eqcomd 2090 . . . 4 (𝜑𝐴 = (((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)))
179, 13, 16rspcedvd 2720 . . 3 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)))
18 oveq2 5602 . . . . . 6 (𝐵 = (𝐴 mod 𝑀) → ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) = ((𝑘 · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)))
1918eqeq2d 2096 . . . . 5 (𝐵 = (𝐴 mod 𝑀) → (𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) ↔ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀))))
2019eqcoms 2088 . . . 4 ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → (𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) ↔ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀))))
2120rexbidv 2377 . . 3 ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → (∃𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀))))
2217, 21syl5ibrcom 155 . 2 (𝜑 → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ∃𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)))
23 oveq1 5601 . . . . . 6 (𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) → (𝐴 mod 𝑀) = (((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) mod 𝑀))
2423adantl 271 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)) → (𝐴 mod 𝑀) = (((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) mod 𝑀))
25 simplr 497 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)) → 𝑘 ∈ ℤ)
264ad2antrr 472 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)) → 𝑀 ∈ ℚ)
27 modqmuladd.bq . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℚ)
2827ad2antrr 472 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℚ)
29 modqmuladd.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ (0[,)𝑀))
3029ad2antrr 472 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)) → 𝐵 ∈ (0[,)𝑀))
31 mulqaddmodid 9674 . . . . . 6 (((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)𝑀))) → (((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) mod 𝑀) = 𝐵)
3225, 26, 28, 30, 31syl22anc 1173 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)) → (((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) mod 𝑀) = 𝐵)
3324, 32eqtrd 2117 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)) → (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵)
3433ex 113 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) → (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵))
3534rexlimdva 2485 . 2 (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) → (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵))
3622, 35impbid 127 1 (𝜑 → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1287  wcel 1436  wne 2251  wrex 2356   class class class wbr 3814  cfv 4972  (class class class)co 5594  0cc0 7271   + caddc 7274   · cmul 7276   < clt 7443   / cdiv 8055  cz 8660  cq 9013  [,)cico 9217  cfl 9578   mod cmo 9632
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3925  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-cnex 7357  ax-resscn 7358  ax-1cn 7359  ax-1re 7360  ax-icn 7361  ax-addcl 7362  ax-addrcl 7363  ax-mulcl 7364  ax-mulrcl 7365  ax-addcom 7366  ax-mulcom 7367  ax-addass 7368  ax-mulass 7369  ax-distr 7370  ax-i2m1 7371  ax-0lt1 7372  ax-1rid 7373  ax-0id 7374  ax-rnegex 7375  ax-precex 7376  ax-cnre 7377  ax-pre-ltirr 7378  ax-pre-ltwlin 7379  ax-pre-lttrn 7380  ax-pre-apti 7381  ax-pre-ltadd 7382  ax-pre-mulgt0 7383  ax-pre-mulext 7384  ax-arch 7385
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-csb 2922  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-int 3666  df-iun 3709  df-br 3815  df-opab 3869  df-mpt 3870  df-id 4087  df-po 4090  df-iso 4091  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-rn 4415  df-res 4416  df-ima 4417  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fn 4975  df-f 4976  df-fv 4980  df-riota 5550  df-ov 5597  df-oprab 5598  df-mpt2 5599  df-1st 5849  df-2nd 5850  df-pnf 7445  df-mnf 7446  df-xr 7447  df-ltxr 7448  df-le 7449  df-sub 7576  df-neg 7577  df-reap 7970  df-ap 7977  df-div 8056  df-inn 8335  df-n0 8584  df-z 8661  df-q 9014  df-rp 9044  df-ico 9221  df-fl 9580  df-mod 9633
This theorem is referenced by:  modqmuladdim  9677
  Copyright terms: Public domain W3C validator