Theorem modqmuladd 9922

Description: Decomposition of an integer into a multiple of a modulus and a remainder. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
modqmuladd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
modqmuladd.bq	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℚ)
modqmuladd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,)𝑀))
modqmuladd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℚ)
modqmuladd.mgt0	⊢ (𝜑 → 0 < 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
modqmuladd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘

Proof of Theorem modqmuladd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modqmuladd.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zq 9210	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
3	1, 2	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)
4		modqmuladd.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℚ)
5		modqmuladd.mgt0	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑀)
6	5	gt0ne0d 8087	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
7		qdivcl 9227	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝐴 / 𝑀) ∈ ℚ)
8	3, 4, 6, 7	syl3anc 1181	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝑀) ∈ ℚ)
9	8	flqcld 9833	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) ∈ ℤ)
10		oveq1 5697	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) → (𝑘 · 𝑀) = ((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) · 𝑀))
11	10	oveq1d 5705	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) → ((𝑘 · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)) = (((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)))
12	11	eqeq2d 2106	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) → (𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)) ↔ 𝐴 = (((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀))))
13	12	adantl 272	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = (⌊‘(𝐴 / 𝑀))) → (𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)) ↔ 𝐴 = (((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀))))
14		flqpmodeq 9883	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → (((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)) = 𝐴)
15	3, 4, 5, 14	syl3anc 1181	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)) = 𝐴)
16	15	eqcomd 2100	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)))
17	9, 13, 16	rspcedvd 2742	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)))
18		oveq2 5698	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = (𝐴 mod 𝑀) → ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) = ((𝑘 · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)))
19	18	eqeq2d 2106	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = (𝐴 mod 𝑀) → (𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) ↔ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀))))
20	19	eqcoms 2098	. . . 4 ⊢ ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → (𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) ↔ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀))))
21	20	rexbidv 2392	. . 3 ⊢ ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → (∃𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀))))
22	17, 21	syl5ibrcom 156	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ∃𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)))
23		oveq1 5697	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) → (𝐴 mod 𝑀) = (((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) mod 𝑀))
24	23	adantl 272	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)) → (𝐴 mod 𝑀) = (((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) mod 𝑀))
25		simplr 498	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)) → 𝑘 ∈ ℤ)
26	4	ad2antrr 473	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)) → 𝑀 ∈ ℚ)
27		modqmuladd.bq	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℚ)
28	27	ad2antrr 473	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℚ)
29		modqmuladd.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,)𝑀))
30	29	ad2antrr 473	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)) → 𝐵 ∈ (0[,)𝑀))
31		mulqaddmodid 9920	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)𝑀))) → (((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) mod 𝑀) = 𝐵)
32	25, 26, 28, 30, 31	syl22anc 1182	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)) → (((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) mod 𝑀) = 𝐵)
33	24, 32	eqtrd 2127	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)) → (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵)
34	33	ex 114	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) → (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵))
35	34	rexlimdva 2502	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) → (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵))
36	22, 35	impbid 128	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1296   ∈ wcel 1445   ≠ wne 2262  ∃wrex 2371   class class class wbr 3867  ‘cfv 5049  (class class class)co 5690  0cc0 7447   + caddc 7450   · cmul 7452   < clt 7619   / cdiv 8236  ℤcz 8848  ℚcq 9203  [,)cico 9456  ⌊cfl 9824   mod cmo 9878

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-mulrcl 7541  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-precex 7552  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558  ax-pre-mulgt0 7559  ax-pre-mulext 7560  ax-arch 7561

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rmo 2378  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-reap 8149  df-ap 8156  df-div 8237  df-inn 8521  df-n0 8772  df-z 8849  df-q 9204  df-rp 9234  df-ico 9460  df-fl 9826  df-mod 9879

This theorem is referenced by:  modqmuladdim  9923