Theorem modqmuladd 10139

Description: Decomposition of an integer into a multiple of a modulus and a remainder. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
modqmuladd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
modqmuladd.bq	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℚ)
modqmuladd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,)𝑀))
modqmuladd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℚ)
modqmuladd.mgt0	⊢ (𝜑 → 0 < 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
modqmuladd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘

Proof of Theorem modqmuladd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modqmuladd.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zq 9418	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
3	1, 2	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)
4		modqmuladd.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℚ)
5		modqmuladd.mgt0	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑀)
6	5	gt0ne0d 8274	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
7		qdivcl 9435	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝐴 / 𝑀) ∈ ℚ)
8	3, 4, 6, 7	syl3anc 1216	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝑀) ∈ ℚ)
9	8	flqcld 10050	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) ∈ ℤ)
10		oveq1 5781	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) → (𝑘 · 𝑀) = ((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) · 𝑀))
11	10	oveq1d 5789	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) → ((𝑘 · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)) = (((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)))
12	11	eqeq2d 2151	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) → (𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)) ↔ 𝐴 = (((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀))))
13	12	adantl 275	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = (⌊‘(𝐴 / 𝑀))) → (𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)) ↔ 𝐴 = (((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀))))
14		flqpmodeq 10100	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → (((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)) = 𝐴)
15	3, 4, 5, 14	syl3anc 1216	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)) = 𝐴)
16	15	eqcomd 2145	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)))
17	9, 13, 16	rspcedvd 2795	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)))
18		oveq2 5782	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = (𝐴 mod 𝑀) → ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) = ((𝑘 · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)))
19	18	eqeq2d 2151	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = (𝐴 mod 𝑀) → (𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) ↔ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀))))
20	19	eqcoms 2142	. . . 4 ⊢ ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → (𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) ↔ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀))))
21	20	rexbidv 2438	. . 3 ⊢ ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → (∃𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀))))
22	17, 21	syl5ibrcom 156	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ∃𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)))
23		oveq1 5781	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) → (𝐴 mod 𝑀) = (((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) mod 𝑀))
24	23	adantl 275	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)) → (𝐴 mod 𝑀) = (((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) mod 𝑀))
25		simplr 519	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)) → 𝑘 ∈ ℤ)
26	4	ad2antrr 479	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)) → 𝑀 ∈ ℚ)
27		modqmuladd.bq	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℚ)
28	27	ad2antrr 479	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℚ)
29		modqmuladd.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,)𝑀))
30	29	ad2antrr 479	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)) → 𝐵 ∈ (0[,)𝑀))
31		mulqaddmodid 10137	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)𝑀))) → (((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) mod 𝑀) = 𝐵)
32	25, 26, 28, 30, 31	syl22anc 1217	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)) → (((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) mod 𝑀) = 𝐵)
33	24, 32	eqtrd 2172	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)) → (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵)
34	33	ex 114	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) → (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵))
35	34	rexlimdva 2549	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) → (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵))
36	22, 35	impbid 128	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   ≠ wne 2308  ∃wrex 2417   class class class wbr 3929  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  0cc0 7620   + caddc 7623   · cmul 7625   < clt 7800   / cdiv 8432  ℤcz 9054  ℚcq 9411  [,)cico 9673  ⌊cfl 10041   mod cmo 10095

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-q 9412  df-rp 9442  df-ico 9677  df-fl 10043  df-mod 10096

This theorem is referenced by:  modqmuladdim  10140