Theorem modqmuladd 10823

Description: Decomposition of an integer into a multiple of a modulus and a remainder. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
modqmuladd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
modqmuladd.bq	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℚ)
modqmuladd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,)𝑀))
modqmuladd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℚ)
modqmuladd.mgt0	⊢ (𝜑 → 0 < 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
modqmuladd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘

Proof of Theorem modqmuladd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modqmuladd.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zq 10041	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
3	1, 2	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)
4		modqmuladd.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℚ)
5		modqmuladd.mgt0	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑀)
6	5	gt0ne0d 8847	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
7		qdivcl 10058	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝐴 / 𝑀) ∈ ℚ)
8	3, 4, 6, 7	syl3anc 1278	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝑀) ∈ ℚ)
9	8	flqcld 10730	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) ∈ ℤ)
10		oveq1 6095	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) → (𝑘 · 𝑀) = ((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) · 𝑀))
11	10	oveq1d 6103	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) → ((𝑘 · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)) = (((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)))
12	11	eqeq2d 2250	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) → (𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)) ↔ 𝐴 = (((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀))))
13	12	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = (⌊‘(𝐴 / 𝑀))) → (𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)) ↔ 𝐴 = (((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀))))
14		flqpmodeq 10784	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → (((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)) = 𝐴)
15	3, 4, 5, 14	syl3anc 1278	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)) = 𝐴)
16	15	eqcomd 2244	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)))
17	9, 13, 16	rspcedvd 2935	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)))
18		oveq2 6096	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = (𝐴 mod 𝑀) → ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) = ((𝑘 · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)))
19	18	eqeq2d 2250	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = (𝐴 mod 𝑀) → (𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) ↔ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀))))
20	19	eqcoms 2241	. . . 4 ⊢ ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → (𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) ↔ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀))))
21	20	rexbidv 2551	. . 3 ⊢ ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → (∃𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀))))
22	17, 21	syl5ibrcom 157	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ∃𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)))
23		oveq1 6095	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) → (𝐴 mod 𝑀) = (((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) mod 𝑀))
24	23	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)) → (𝐴 mod 𝑀) = (((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) mod 𝑀))
25		simplr 533	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)) → 𝑘 ∈ ℤ)
26	4	ad2antrr 492	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)) → 𝑀 ∈ ℚ)
27		modqmuladd.bq	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℚ)
28	27	ad2antrr 492	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℚ)
29		modqmuladd.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,)𝑀))
30	29	ad2antrr 492	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)) → 𝐵 ∈ (0[,)𝑀))
31		mulqaddmodid 10821	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)𝑀))) → (((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) mod 𝑀) = 𝐵)
32	25, 26, 28, 30, 31	syl22anc 1279	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)) → (((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) mod 𝑀) = 𝐵)
33	24, 32	eqtrd 2271	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)) → (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵)
34	33	ex 115	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) → (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵))
35	34	rexlimdva 2668	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) → (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵))
36	22, 35	impbid 129	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  ∃wrex 2529   class class class wbr 4131  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  0cc0 8185   + caddc 8188   · cmul 8190   < clt 8366   / cdiv 9010  ℤcz 9653  ℚcq 10034  [,)cico 10308  ⌊cfl 10719   mod cmo 10779

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9654  df-q 10035  df-rp 10071  df-ico 10312  df-fl 10721  df-mod 10780

This theorem is used by:  modqmuladdim  10824