ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  modqmuladdnn0 GIF version

Theorem modqmuladdnn0 9662
Description: Implication of a decomposition of a nonnegative integer into a multiple of a modulus and a remainder. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
modqmuladdnn0 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑀

Proof of Theorem modqmuladdnn0
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 108 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℤ)
21adantr 270 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) → 𝑖 ∈ ℤ)
3 nn0cn 8573 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℂ)
433ad2ant1 960 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℂ)
54ad2antrr 472 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
6 nn0z 8664 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ)
7 zq 9004 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
86, 7syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℚ)
983ad2ant1 960 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℚ)
109adantr 270 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℚ)
11 simpl2 943 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 𝑀 ∈ ℚ)
12 simpl3 944 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 0 < 𝑀)
1310, 11, 12modqcld 9622 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℚ)
14 qcn 9012 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 mod 𝑀) ∈ ℚ → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℂ)
1513, 14syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℂ)
16 eleq1 2145 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ((𝐴 mod 𝑀) ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
1716adantl 271 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → ((𝐴 mod 𝑀) ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
1815, 17mpbid 145 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
1918adantr 270 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
20 zcn 8649 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈ ℂ)
2120adantl 271 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℂ)
22 qcn 9012 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℚ → 𝑀 ∈ ℂ)
2311, 22syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 𝑀 ∈ ℂ)
2423adantr 270 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
2521, 24mulcld 7409 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑖 · 𝑀) ∈ ℂ)
265, 19, 25subadd2d 7713 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝐴𝐵) = (𝑖 · 𝑀) ↔ ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) = 𝐴))
27 eqcom 2085 . . . . . . . . 9 (𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) ↔ ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) = 𝐴)
2826, 27syl6rbbr 197 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) ↔ (𝐴𝐵) = (𝑖 · 𝑀)))
294adantr 270 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
3029, 18subcld 7694 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
3130adantr 270 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
32 qre 9003 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℚ → 𝑀 ∈ ℝ)
33323ad2ant2 961 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
3433ad2antrr 472 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
3512adantr 270 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 0 < 𝑀)
3634, 35gt0ap0d 8003 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑀 # 0)
3731, 21, 24, 36divmulap3d 8186 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (((𝐴𝐵) / 𝑀) = 𝑖 ↔ (𝐴𝐵) = (𝑖 · 𝑀)))
38 oveq2 5597 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 = (𝐴 mod 𝑀) → (𝐴𝐵) = (𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)))
3938oveq1d 5604 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 = (𝐴 mod 𝑀) → ((𝐴𝐵) / 𝑀) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀))
4039eqcoms 2086 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ((𝐴𝐵) / 𝑀) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀))
4140adantl 271 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → ((𝐴𝐵) / 𝑀) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀))
4241adantr 270 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝐴𝐵) / 𝑀) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀))
43 modqdiffl 9629 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀) = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
448, 43syl3an1 1203 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀) = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
4544ad2antrr 472 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀) = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
4642, 45eqtrd 2115 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝐴𝐵) / 𝑀) = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
4746eqeq1d 2091 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (((𝐴𝐵) / 𝑀) = 𝑖 ↔ (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) = 𝑖))
4828, 37, 473bitr2d 214 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) ↔ (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) = 𝑖))
49 qre 9003 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
509, 49syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℝ)
51 nn0ge0 8588 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
52513ad2ant1 960 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 0 ≤ 𝐴)
53 simp3 941 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 0 < 𝑀)
54 divge0 8226 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝑀))
5550, 52, 33, 53, 54syl22anc 1171 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 0 ≤ (𝐴 / 𝑀))
56 simp2 940 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℚ)
5753gt0ne0d 7888 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 𝑀 ≠ 0)
58 qdivcl 9021 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝐴 / 𝑀) ∈ ℚ)
599, 56, 57, 58syl3anc 1170 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → (𝐴 / 𝑀) ∈ ℚ)
60 0z 8655 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℤ
61 flqge 9576 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 / 𝑀) ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ (𝐴 / 𝑀) ↔ 0 ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝑀))))
6259, 60, 61sylancl 404 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → (0 ≤ (𝐴 / 𝑀) ↔ 0 ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝑀))))
6355, 62mpbid 145 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 0 ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
64 breq2 3815 . . . . . . . . 9 ((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) = 𝑖 → (0 ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) ↔ 0 ≤ 𝑖))
6563, 64syl5ibcom 153 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → ((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) = 𝑖 → 0 ≤ 𝑖))
6665ad2antrr 472 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) = 𝑖 → 0 ≤ 𝑖))
6748, 66sylbid 148 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) → 0 ≤ 𝑖))
6867imp 122 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) → 0 ≤ 𝑖)
69 elnn0z 8657 . . . . 5 (𝑖 ∈ ℕ0 ↔ (𝑖 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑖))
702, 68, 69sylanbrc 408 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
71 oveq1 5596 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 · 𝑀) = (𝑖 · 𝑀))
7271oveq1d 5604 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑖 → ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵))
7372eqeq2d 2094 . . . . 5 (𝑘 = 𝑖 → (𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) ↔ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)))
7473adantl 271 . . . 4 ((((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) ↔ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)))
75 simpr 108 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) → 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵))
7670, 74, 75rspcedvd 2718 . . 3 (((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵))
77 modqmuladdim 9661 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)))
786, 77syl3an1 1203 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)))
7978imp 122 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵))
8076, 79r19.29a 2504 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵))
8180ex 113 1 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  w3a 920   = wceq 1285  wcel 1434  wne 2249  wrex 2354   class class class wbr 3811  cfv 4967  (class class class)co 5589  cc 7249  cr 7250  0cc0 7251   + caddc 7254   · cmul 7256   < clt 7423  cle 7424  cmin 7554   / cdiv 8035  0cn0 8563  cz 8644  cq 8997  cfl 9562   mod cmo 9616
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-setind 4315  ax-cnex 7337  ax-resscn 7338  ax-1cn 7339  ax-1re 7340  ax-icn 7341  ax-addcl 7342  ax-addrcl 7343  ax-mulcl 7344  ax-mulrcl 7345  ax-addcom 7346  ax-mulcom 7347  ax-addass 7348  ax-mulass 7349  ax-distr 7350  ax-i2m1 7351  ax-0lt1 7352  ax-1rid 7353  ax-0id 7354  ax-rnegex 7355  ax-precex 7356  ax-cnre 7357  ax-pre-ltirr 7358  ax-pre-ltwlin 7359  ax-pre-lttrn 7360  ax-pre-apti 7361  ax-pre-ltadd 7362  ax-pre-mulgt0 7363  ax-pre-mulext 7364  ax-arch 7365
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-id 4083  df-po 4086  df-iso 4087  df-xp 4405  df-rel 4406  df-cnv 4407  df-co 4408  df-dm 4409  df-rn 4410  df-res 4411  df-ima 4412  df-iota 4932  df-fun 4969  df-fn 4970  df-f 4971  df-fv 4975  df-riota 5545  df-ov 5592  df-oprab 5593  df-mpt2 5594  df-1st 5844  df-2nd 5845  df-pnf 7425  df-mnf 7426  df-xr 7427  df-ltxr 7428  df-le 7429  df-sub 7556  df-neg 7557  df-reap 7950  df-ap 7957  df-div 8036  df-inn 8315  df-n0 8564  df-z 8645  df-q 8998  df-rp 9028  df-ico 9205  df-fl 9564  df-mod 9617
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator