Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  modqmuladdnn0 GIF version

 Description: Implication of a decomposition of a nonnegative integer into a multiple of a modulus and a remainder. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
modqmuladdnn0 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑀

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 109 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℤ)
21adantr 274 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) → 𝑖 ∈ ℤ)
3 nn0cn 8980 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℂ)
433ad2ant1 1002 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℂ)
54ad2antrr 479 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
6 nn0z 9067 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ)
7 zq 9411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
86, 7syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℚ)
983ad2ant1 1002 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℚ)
109adantr 274 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℚ)
11 simpl2 985 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 𝑀 ∈ ℚ)
12 simpl3 986 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 0 < 𝑀)
1310, 11, 12modqcld 10094 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℚ)
14 qcn 9419 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 mod 𝑀) ∈ ℚ → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℂ)
1513, 14syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℂ)
16 eleq1 2200 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ((𝐴 mod 𝑀) ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
1716adantl 275 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → ((𝐴 mod 𝑀) ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
1815, 17mpbid 146 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
1918adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
20 zcn 9052 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈ ℂ)
2120adantl 275 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℂ)
22 qcn 9419 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℚ → 𝑀 ∈ ℂ)
2311, 22syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 𝑀 ∈ ℂ)
2423adantr 274 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
2521, 24mulcld 7779 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑖 · 𝑀) ∈ ℂ)
265, 19, 25subadd2d 8085 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝐴𝐵) = (𝑖 · 𝑀) ↔ ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) = 𝐴))
27 eqcom 2139 . . . . . . . . 9 (𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) ↔ ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) = 𝐴)
2826, 27syl6rbbr 198 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) ↔ (𝐴𝐵) = (𝑖 · 𝑀)))
294adantr 274 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
3029, 18subcld 8066 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
3130adantr 274 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
32 qre 9410 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℚ → 𝑀 ∈ ℝ)
33323ad2ant2 1003 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
3433ad2antrr 479 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
3512adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 0 < 𝑀)
3634, 35gt0ap0d 8384 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑀 # 0)
3731, 21, 24, 36divmulap3d 8578 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (((𝐴𝐵) / 𝑀) = 𝑖 ↔ (𝐴𝐵) = (𝑖 · 𝑀)))
38 oveq2 5775 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 = (𝐴 mod 𝑀) → (𝐴𝐵) = (𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)))
3938oveq1d 5782 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 = (𝐴 mod 𝑀) → ((𝐴𝐵) / 𝑀) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀))
4039eqcoms 2140 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ((𝐴𝐵) / 𝑀) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀))
4140adantl 275 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → ((𝐴𝐵) / 𝑀) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀))
4241adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝐴𝐵) / 𝑀) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀))
43 modqdiffl 10101 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀) = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
448, 43syl3an1 1249 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀) = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
4544ad2antrr 479 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀) = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
4642, 45eqtrd 2170 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝐴𝐵) / 𝑀) = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
4746eqeq1d 2146 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (((𝐴𝐵) / 𝑀) = 𝑖 ↔ (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) = 𝑖))
4828, 37, 473bitr2d 215 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) ↔ (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) = 𝑖))
49 qre 9410 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
509, 49syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℝ)
51 nn0ge0 8995 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
52513ad2ant1 1002 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 0 ≤ 𝐴)
53 simp3 983 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 0 < 𝑀)
54 divge0 8624 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝑀))
5550, 52, 33, 53, 54syl22anc 1217 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 0 ≤ (𝐴 / 𝑀))
56 simp2 982 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℚ)
5753gt0ne0d 8267 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 𝑀 ≠ 0)
58 qdivcl 9428 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝐴 / 𝑀) ∈ ℚ)
599, 56, 57, 58syl3anc 1216 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → (𝐴 / 𝑀) ∈ ℚ)
60 0z 9058 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℤ
61 flqge 10048 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 / 𝑀) ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ (𝐴 / 𝑀) ↔ 0 ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝑀))))
6259, 60, 61sylancl 409 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → (0 ≤ (𝐴 / 𝑀) ↔ 0 ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝑀))))
6355, 62mpbid 146 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 0 ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
64 breq2 3928 . . . . . . . . 9 ((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) = 𝑖 → (0 ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) ↔ 0 ≤ 𝑖))
6563, 64syl5ibcom 154 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → ((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) = 𝑖 → 0 ≤ 𝑖))
6665ad2antrr 479 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) = 𝑖 → 0 ≤ 𝑖))
6748, 66sylbid 149 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) → 0 ≤ 𝑖))
6867imp 123 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) → 0 ≤ 𝑖)
69 elnn0z 9060 . . . . 5 (𝑖 ∈ ℕ0 ↔ (𝑖 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑖))
702, 68, 69sylanbrc 413 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
71 oveq1 5774 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 · 𝑀) = (𝑖 · 𝑀))
7271oveq1d 5782 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑖 → ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵))
7372eqeq2d 2149 . . . . 5 (𝑘 = 𝑖 → (𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) ↔ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)))
7473adantl 275 . . . 4 ((((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) ↔ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)))
75 simpr 109 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) → 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵))
7670, 74, 75rspcedvd 2790 . . 3 (((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵))
77 modqmuladdim 10133 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)))
786, 77syl3an1 1249 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)))
7978imp 123 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵))
8076, 79r19.29a 2573 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵))
8180ex 114 1 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 962   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   ≠ wne 2306  ∃wrex 2415   class class class wbr 3924  ‘cfv 5118  (class class class)co 5767  ℂcc 7611  ℝcr 7612  0cc0 7613   + caddc 7616   · cmul 7618   < clt 7793   ≤ cle 7794   − cmin 7926   / cdiv 8425  ℕ0cn0 8970  ℤcz 9047  ℚcq 9404  ⌊cfl 10034   mod cmo 10088 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-arch 7732 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-q 9405  df-rp 9435  df-ico 9670  df-fl 10036  df-mod 10089 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator