ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  modqmuladdnn0 GIF version

Theorem modqmuladdnn0 10367
Description: Implication of a decomposition of a nonnegative integer into a multiple of a modulus and a remainder. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
modqmuladdnn0 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โ†’ ((๐ด mod ๐‘€) = ๐ต โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ๐ด = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต)))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐ต,๐‘˜   ๐‘˜,๐‘€

Proof of Theorem modqmuladdnn0
Dummy variable ๐‘– is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 110 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„ค)
21adantr 276 . . . . 5 (((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต)) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„ค)
3 eqcom 2179 . . . . . . . . 9 (๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต) โ†” ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต) = ๐ด)
4 nn0cn 9185 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
543ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
65ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
7 nn0z 9272 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
8 zq 9625 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š)
97, 8syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š)
1093ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š)
1110adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š)
12 simpl2 1001 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„š)
13 simpl3 1002 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โ†’ 0 < ๐‘€)
1411, 12, 13modqcld 10327 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โ†’ (๐ด mod ๐‘€) โˆˆ โ„š)
15 qcn 9633 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด mod ๐‘€) โˆˆ โ„š โ†’ (๐ด mod ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
1614, 15syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โ†’ (๐ด mod ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
17 eleq1 2240 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด mod ๐‘€) = ๐ต โ†’ ((๐ด mod ๐‘€) โˆˆ โ„‚ โ†” ๐ต โˆˆ โ„‚))
1817adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โ†’ ((๐ด mod ๐‘€) โˆˆ โ„‚ โ†” ๐ต โˆˆ โ„‚))
1916, 18mpbid 147 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
2019adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
21 zcn 9257 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘– โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„‚)
2221adantl 277 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„‚)
23 qcn 9633 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘€ โˆˆ โ„š โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
2412, 23syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
2524adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
2622, 25mulcld 7977 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘– ยท ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
276, 20, 26subadd2d 8286 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) = (๐‘– ยท ๐‘€) โ†” ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต) = ๐ด))
283, 27bitr4id 199 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต) โ†” (๐ด โˆ’ ๐ต) = (๐‘– ยท ๐‘€)))
295adantr 276 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3029, 19subcld 8267 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
3130adantr 276 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
32 qre 9624 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘€ โˆˆ โ„š โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
33323ad2ant2 1019 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
3433ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
3513adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ 0 < ๐‘€)
3634, 35gt0ap0d 8585 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘€ # 0)
3731, 22, 25, 36divmulap3d 8781 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐‘€) = ๐‘– โ†” (๐ด โˆ’ ๐ต) = (๐‘– ยท ๐‘€)))
38 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ต = (๐ด mod ๐‘€) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) = (๐ด โˆ’ (๐ด mod ๐‘€)))
3938oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ต = (๐ด mod ๐‘€) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐‘€) = ((๐ด โˆ’ (๐ด mod ๐‘€)) / ๐‘€))
4039eqcoms 2180 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด mod ๐‘€) = ๐ต โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐‘€) = ((๐ด โˆ’ (๐ด mod ๐‘€)) / ๐‘€))
4140adantl 277 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐‘€) = ((๐ด โˆ’ (๐ด mod ๐‘€)) / ๐‘€))
4241adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐‘€) = ((๐ด โˆ’ (๐ด mod ๐‘€)) / ๐‘€))
43 modqdiffl 10334 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โ†’ ((๐ด โˆ’ (๐ด mod ๐‘€)) / ๐‘€) = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)))
449, 43syl3an1 1271 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โ†’ ((๐ด โˆ’ (๐ด mod ๐‘€)) / ๐‘€) = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)))
4544ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด โˆ’ (๐ด mod ๐‘€)) / ๐‘€) = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)))
4642, 45eqtrd 2210 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐‘€) = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)))
4746eqeq1d 2186 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐‘€) = ๐‘– โ†” (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)) = ๐‘–))
4828, 37, 473bitr2d 216 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต) โ†” (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)) = ๐‘–))
49 qre 9624 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„š โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
5010, 49syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
51 nn0ge0 9200 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
52513ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
53 simp3 999 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โ†’ 0 < ๐‘€)
54 divge0 8829 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘€)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด / ๐‘€))
5550, 52, 33, 53, 54syl22anc 1239 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด / ๐‘€))
56 simp2 998 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„š)
5753gt0ne0d 8468 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
58 qdivcl 9642 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘€ โ‰  0) โ†’ (๐ด / ๐‘€) โˆˆ โ„š)
5910, 56, 57, 58syl3anc 1238 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โ†’ (๐ด / ๐‘€) โˆˆ โ„š)
60 0z 9263 . . . . . . . . . . 11 0 โˆˆ โ„ค
61 flqge 10281 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด / ๐‘€) โˆˆ โ„š โˆง 0 โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 โ‰ค (๐ด / ๐‘€) โ†” 0 โ‰ค (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€))))
6259, 60, 61sylancl 413 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โ†’ (0 โ‰ค (๐ด / ๐‘€) โ†” 0 โ‰ค (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€))))
6355, 62mpbid 147 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โ†’ 0 โ‰ค (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)))
64 breq2 4007 . . . . . . . . 9 ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)) = ๐‘– โ†’ (0 โ‰ค (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)) โ†” 0 โ‰ค ๐‘–))
6563, 64syl5ibcom 155 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)) = ๐‘– โ†’ 0 โ‰ค ๐‘–))
6665ad2antrr 488 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)) = ๐‘– โ†’ 0 โ‰ค ๐‘–))
6748, 66sylbid 150 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘–))
6867imp 124 . . . . 5 (((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘–)
69 elnn0z 9265 . . . . 5 (๐‘– โˆˆ โ„•0 โ†” (๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค ๐‘–))
702, 68, 69sylanbrc 417 . . . 4 (((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต)) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•0)
71 oveq1 5881 . . . . . . 7 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ (๐‘˜ ยท ๐‘€) = (๐‘– ยท ๐‘€))
7271oveq1d 5889 . . . . . 6 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต) = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต))
7372eqeq2d 2189 . . . . 5 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ (๐ด = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต) โ†” ๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต)))
7473adantl 277 . . . 4 ((((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต)) โˆง ๐‘˜ = ๐‘–) โ†’ (๐ด = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต) โ†” ๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต)))
75 simpr 110 . . . 4 (((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต)) โ†’ ๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต))
7670, 74, 75rspcedvd 2847 . . 3 (((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต)) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ๐ด = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต))
77 modqmuladdim 10366 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โ†’ ((๐ด mod ๐‘€) = ๐ต โ†’ โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„ค ๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต)))
787, 77syl3an1 1271 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โ†’ ((๐ด mod ๐‘€) = ๐ต โ†’ โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„ค ๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต)))
7978imp 124 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„ค ๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต))
8076, 79r19.29a 2620 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ๐ด = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต))
8180ex 115 1 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โ†’ ((๐ด mod ๐‘€) = ๐ต โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ๐ด = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148   โ‰  wne 2347  โˆƒwrex 2456   class class class wbr 4003  โ€˜cfv 5216  (class class class)co 5874  โ„‚cc 7808  โ„cr 7809  0cc0 7810   + caddc 7813   ยท cmul 7815   < clt 7991   โ‰ค cle 7992   โˆ’ cmin 8127   / cdiv 8628  โ„•0cn0 9175  โ„คcz 9252  โ„šcq 9618  โŒŠcfl 10267   mod cmo 10321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-n0 9176  df-z 9253  df-q 9619  df-rp 9653  df-ico 9893  df-fl 10269  df-mod 10322
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator