Theorem modqmuladdnn0 10460

Description: Implication of a decomposition of a nonnegative integer into a multiple of a modulus and a remainder. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modqmuladdnn0	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑀

Proof of Theorem modqmuladdnn0

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℤ)
2	1	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) → 𝑖 ∈ ℤ)
3		eqcom 2198	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) ↔ ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) = 𝐴)
4		nn0cn 9259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℂ)
5	4	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℂ)
6	5	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
7		nn0z 9346	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℤ)
8		zq 9700	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
9	7, 8	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℚ)
10	9	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℚ)
11	10	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℚ)
12		simpl2 1003	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 𝑀 ∈ ℚ)
13		simpl3 1004	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 0 < 𝑀)
14	11, 12, 13	modqcld 10420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℚ)
15		qcn 9708	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 mod 𝑀) ∈ ℚ → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℂ)
16	14, 15	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℂ)
17		eleq1 2259	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ((𝐴 mod 𝑀) ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
18	17	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → ((𝐴 mod 𝑀) ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
19	16, 18	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
20	19	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
21		zcn 9331	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈ ℂ)
22	21	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℂ)
23		qcn 9708	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℚ → 𝑀 ∈ ℂ)
24	12, 23	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 𝑀 ∈ ℂ)
25	24	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
26	22, 25	mulcld 8047	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑖 · 𝑀) ∈ ℂ)
27	6, 20, 26	subadd2d 8356	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝐴 − 𝐵) = (𝑖 · 𝑀) ↔ ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) = 𝐴))
28	3, 27	bitr4id 199	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝑖 · 𝑀)))
29	5	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
30	29, 19	subcld 8337	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
31	30	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
32		qre 9699	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℚ → 𝑀 ∈ ℝ)
33	32	3ad2ant2 1021	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
34	33	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
35	13	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 0 < 𝑀)
36	34, 35	gt0ap0d 8656	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑀 # 0)
37	31, 22, 25, 36	divmulap3d 8852	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) = 𝑖 ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝑖 · 𝑀)))
38		oveq2 5930	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 = (𝐴 mod 𝑀) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)))
39	38	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 = (𝐴 mod 𝑀) → ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀))
40	39	eqcoms 2199	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀))
41	40	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀))
42	41	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀))
43		modqdiffl 10427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀) = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
44	9, 43	syl3an1 1282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀) = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
45	44	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀) = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
46	42, 45	eqtrd 2229	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
47	46	eqeq1d 2205	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) = 𝑖 ↔ (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) = 𝑖))
48	28, 37, 47	3bitr2d 216	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) ↔ (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) = 𝑖))
49		qre 9699	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
50	10, 49	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℝ)
51		nn0ge0 9274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
52	51	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 0 ≤ 𝐴)
53		simp3 1001	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 0 < 𝑀)
54		divge0 8900	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝑀))
55	50, 52, 33, 53, 54	syl22anc 1250	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 0 ≤ (𝐴 / 𝑀))
56		simp2 1000	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℚ)
57	53	gt0ne0d 8539	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 𝑀 ≠ 0)
58		qdivcl 9717	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝐴 / 𝑀) ∈ ℚ)
59	10, 56, 57, 58	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → (𝐴 / 𝑀) ∈ ℚ)
60		0z 9337	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℤ
61		flqge 10372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 / 𝑀) ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ (𝐴 / 𝑀) ↔ 0 ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝑀))))
62	59, 60, 61	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → (0 ≤ (𝐴 / 𝑀) ↔ 0 ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝑀))))
63	55, 62	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 0 ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
64		breq2 4037	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) = 𝑖 → (0 ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) ↔ 0 ≤ 𝑖))
65	63, 64	syl5ibcom 155	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → ((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) = 𝑖 → 0 ≤ 𝑖))
66	65	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) = 𝑖 → 0 ≤ 𝑖))
67	48, 66	sylbid 150	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) → 0 ≤ 𝑖))
68	67	imp 124	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) → 0 ≤ 𝑖)
69		elnn0z 9339	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 ↔ (𝑖 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑖))
70	2, 68, 69	sylanbrc 417	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
71		oveq1 5929	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 · 𝑀) = (𝑖 · 𝑀))
72	71	oveq1d 5937	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵))
73	72	eqeq2d 2208	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) ↔ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)))
74	73	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) ↔ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)))
75		simpr 110	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) → 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵))
76	70, 74, 75	rspcedvd 2874	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵))
77		modqmuladdim 10459	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)))
78	7, 77	syl3an1 1282	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)))
79	78	imp 124	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵))
80	76, 79	r19.29a 2640	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵))
81	80	ex 115	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367  ∃wrex 2476   class class class wbr 4033  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  ℂcc 7877  ℝcr 7878  0cc0 7879   + caddc 7882   · cmul 7884   < clt 8061   ≤ cle 8062   − cmin 8197   / cdiv 8699  ℕ₀cn0 9249  ℤcz 9326  ℚcq 9693  ⌊cfl 10358   mod cmo 10414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327  df-q 9694  df-rp 9729  df-ico 9969  df-fl 10360  df-mod 10415

This theorem is referenced by:  2lgslem3a1  15338  2lgslem3b1  15339  2lgslem3c1  15340  2lgslem3d1  15341