ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0ssz GIF version

Theorem nn0ssz 8831
Description: Nonnegative integers are a subset of the integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
nn0ssz 0 ⊆ ℤ

Proof of Theorem nn0ssz
StepHypRef Expression
1 df-n0 8737 . 2 0 = (ℕ ∪ {0})
2 nnssz 8830 . . 3 ℕ ⊆ ℤ
3 0z 8824 . . . 4 0 ∈ ℤ
4 c0ex 7545 . . . . 5 0 ∈ V
54snss 3574 . . . 4 (0 ∈ ℤ ↔ {0} ⊆ ℤ)
63, 5mpbi 144 . . 3 {0} ⊆ ℤ
72, 6unssi 3178 . 2 (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℤ
81, 7eqsstri 3059 1 0 ⊆ ℤ
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wcel 1439  cun 3000  wss 3002  {csn 3452  0cc0 7413  cn 8485  0cn0 8736  cz 8813
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3965  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-addcom 7508  ax-addass 7510  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0lt1 7514  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-cnre 7519  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-ltwlin 7521  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-ltadd 7524
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-br 3854  df-opab 3908  df-id 4131  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fv 5038  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-sub 7718  df-neg 7719  df-inn 8486  df-n0 8737  df-z 8814
This theorem is referenced by:  nn0z  8833  nn0zi  8835  nn0zd  8929  nn0ssq  9176  oddnn02np1  11221  evennn02n  11223
  Copyright terms: Public domain W3C validator