Theorem prss 3855

Description: A pair of elements of a class is a subset of the class. Theorem 7.5 of [Quine] p. 49. (Contributed by NM, 30-May-1994.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 29-Jun-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
prss.1	⊢ 𝐴 ∈ V
prss.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
prss	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem prss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unss 3397	. 2 ⊢ (({𝐴} ⊆ 𝐶 ∧ {𝐵} ⊆ 𝐶) ↔ ({𝐴} ∪ {𝐵}) ⊆ 𝐶)
2		prss.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
3	2	snss 3834	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 ↔ {𝐴} ⊆ 𝐶)
4		prss.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	4	snss 3834	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 ↔ {𝐵} ⊆ 𝐶)
6	3, 5	anbi12i 460	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ↔ ({𝐴} ⊆ 𝐶 ∧ {𝐵} ⊆ 𝐶))
7		df-pr 3701	. . 3 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
8	7	sseq1i 3268	. 2 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶 ↔ ({𝐴} ∪ {𝐵}) ⊆ 𝐶)
9	1, 6, 8	3bitr4i 212	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶)

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815   ∪ cun 3212   ⊆ wss 3214  {csn 3694  {cpr 3695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-v 2817  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-sn 3700  df-pr 3701

This theorem is referenced by:  tpss  3867  prsspw  3874  exmidpw  7181  pw1ne1  7552  releqgg  13973  eqgex  13974  eqgfval  13975  eqgval  13976  prdsex  14114  prdsval  14115  prdsbaslemss  14116  umgredg  16266