Theorem prss 3800

Description: A pair of elements of a class is a subset of the class. Theorem 7.5 of [Quine] p. 49. (Contributed by NM, 30-May-1994.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 29-Jun-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
prss.1	⊢ 𝐴 ∈ V
prss.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
prss	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem prss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unss 3355	. 2 ⊢ (({𝐴} ⊆ 𝐶 ∧ {𝐵} ⊆ 𝐶) ↔ ({𝐴} ∪ {𝐵}) ⊆ 𝐶)
2		prss.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
3	2	snss 3779	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 ↔ {𝐴} ⊆ 𝐶)
4		prss.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	4	snss 3779	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 ↔ {𝐵} ⊆ 𝐶)
6	3, 5	anbi12i 460	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ↔ ({𝐴} ⊆ 𝐶 ∧ {𝐵} ⊆ 𝐶))
7		df-pr 3650	. . 3 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
8	7	sseq1i 3227	. 2 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶 ↔ ({𝐴} ∪ {𝐵}) ⊆ 𝐶)
9	1, 6, 8	3bitr4i 212	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶)

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2178  Vcvv 2776   ∪ cun 3172   ⊆ wss 3174  {csn 3643  {cpr 3644

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-v 2778  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-sn 3649  df-pr 3650

This theorem is referenced by:  tpss  3812  prsspw  3819  exmidpw  7031  pw1ne1  7375  prdsex  13216  prdsval  13220  prdsbaslemss  13221  releqgg  13671  eqgex  13672  eqgfval  13673  eqgval  13674  umgredg  15849