ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  supminfex GIF version

Theorem supminfex 9184
Description: A supremum is the negation of the infimum of that set's image under negation. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
supminfex.ex (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
supminfex.ss (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
Assertion
Ref Expression
supminfex (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ))
Distinct variable groups:   𝑤,𝐴,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑤)

Proof of Theorem supminfex
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 supminfex.ex . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
2 supminfex.ss . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
31, 2supinfneg 9182 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴} ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}𝑧 < 𝑦)))
4 ssrab2 3121 . . . . 5 {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴} ⊆ ℝ
54a1i 9 . . . 4 (𝜑 → {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴} ⊆ ℝ)
63, 5infrenegsupex 9181 . . 3 (𝜑 → inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) = -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}}, ℝ, < ))
7 elrabi 2782 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}} → 𝑥 ∈ ℝ)
87adantl 272 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}}) → 𝑥 ∈ ℝ)
92sselda 3039 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
10 negeq 7772 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑥 → -𝑧 = -𝑥)
1110eleq1d 2163 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑥 → (-𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴} ↔ -𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}))
1211elrab3 2786 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}} ↔ -𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}))
13 renegcl 7840 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
14 negeq 7772 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = -𝑥 → -𝑤 = --𝑥)
1514eleq1d 2163 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = -𝑥 → (-𝑤𝐴 ↔ --𝑥𝐴))
1615elrab3 2786 . . . . . . . . 9 (-𝑥 ∈ ℝ → (-𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴} ↔ --𝑥𝐴))
1713, 16syl 14 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (-𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴} ↔ --𝑥𝐴))
18 recn 7572 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
1918negnegd 7881 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → --𝑥 = 𝑥)
2019eleq1d 2163 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (--𝑥𝐴𝑥𝐴))
2112, 17, 203bitrd 213 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}} ↔ 𝑥𝐴))
2221adantl 272 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}} ↔ 𝑥𝐴))
238, 9, 22eqrdav 2094 . . . . 5 (𝜑 → {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}} = 𝐴)
2423supeq1d 6762 . . . 4 (𝜑 → sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}}, ℝ, < ) = sup(𝐴, ℝ, < ))
2524negeqd 7774 . . 3 (𝜑 → -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ))
266, 25eqtrd 2127 . 2 (𝜑 → inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ))
27 lttri3 7662 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
2827adantl 272 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
2928, 3infclti 6798 . . . 4 (𝜑 → inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
3029recnd 7613 . . 3 (𝜑 → inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℂ)
3128, 1supclti 6773 . . . 4 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
3231recnd 7613 . . 3 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℂ)
33 negcon2 7832 . . 3 ((inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℂ ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℂ) → (inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < )))
3430, 32, 33syl2anc 404 . 2 (𝜑 → (inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < )))
3526, 34mpbid 146 1 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1296  wcel 1445  wral 2370  wrex 2371  {crab 2374  wss 3013   class class class wbr 3867  supcsup 6757  infcinf 6758  cc 7445  cr 7446   < clt 7619  -cneg 7751
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-addcom 7542  ax-addass 7544  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rmo 2378  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-isom 5058  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-sup 6759  df-inf 6760  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-ltxr 7624  df-sub 7752  df-neg 7753
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator