Theorem supminfex 9700

Description: A supremum is the negation of the infimum of that set's image under negation. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
supminfex.ex	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
supminfex.ss	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
supminfex	⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐴,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑤)

Proof of Theorem supminfex

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supminfex.ex	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
2		supminfex.ss	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
3	1, 2	supinfneg 9698	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴} ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}𝑧 < 𝑦)))
4		ssrab2 3277	. . . . 5 ⊢ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴} ⊆ ℝ
5	4	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴} ⊆ ℝ)
6	3, 5	infrenegsupex 9697	. . 3 ⊢ (𝜑 → inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}}, ℝ, < ))
7		elrabi 2925	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}} → 𝑥 ∈ ℝ)
8	7	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}}) → 𝑥 ∈ ℝ)
9	2	sselda 3192	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
10		negeq 8247	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → -𝑧 = -𝑥)
11	10	eleq1d 2273	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (-𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴} ↔ -𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}))
12	11	elrab3 2929	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}} ↔ -𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}))
13		renegcl 8315	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
14		negeq 8247	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = -𝑥 → -𝑤 = --𝑥)
15	14	eleq1d 2273	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = -𝑥 → (-𝑤 ∈ 𝐴 ↔ --𝑥 ∈ 𝐴))
16	15	elrab3 2929	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝑥 ∈ ℝ → (-𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴} ↔ --𝑥 ∈ 𝐴))
17	13, 16	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴} ↔ --𝑥 ∈ 𝐴))
18		recn 8040	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
19	18	negnegd 8356	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → --𝑥 = 𝑥)
20	19	eleq1d 2273	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (--𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
21	12, 17, 20	3bitrd 214	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}} ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
22	21	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}} ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
23	8, 9, 22	eqrdav 2203	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}} = 𝐴)
24	23	supeq1d 7071	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}}, ℝ, < ) = sup(𝐴, ℝ, < ))
25	24	negeqd 8249	. . 3 ⊢ (𝜑 → -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ))
26	6, 25	eqtrd 2237	. 2 ⊢ (𝜑 → inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ))
27		lttri3 8134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
28	27	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
29	28, 3	infclti 7107	. . . 4 ⊢ (𝜑 → inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
30	29	recnd 8083	. . 3 ⊢ (𝜑 → inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℂ)
31	28, 1	supclti 7082	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
32	31	recnd 8083	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℂ)
33		negcon2 8307	. . 3 ⊢ ((inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℂ ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℂ) → (inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < )))
34	30, 32, 33	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < )))
35	26, 34	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  ∀wral 2483  ∃wrex 2484  {crab 2487   ⊆ wss 3165   class class class wbr 4043  supcsup 7066  infcinf 7067  ℂcc 7905  ℝcr 7906   < clt 8089  -cneg 8226

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-addcom 8007  ax-addass 8009  ax-distr 8011  ax-i2m1 8012  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-cnre 8018  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-apti 8022  ax-pre-ltadd 8023

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4338  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-f1 5273  df-fo 5274  df-f1o 5275  df-fv 5276  df-isom 5277  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-sup 7068  df-inf 7069  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-ltxr 8094  df-sub 8227  df-neg 8228

This theorem is referenced by: (None)