ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  supminfex GIF version

Theorem supminfex 9385
Description: A supremum is the negation of the infimum of that set's image under negation. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
supminfex.ex (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
supminfex.ss (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
Assertion
Ref Expression
supminfex (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ))
Distinct variable groups:   𝑤,𝐴,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑤)

Proof of Theorem supminfex
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 supminfex.ex . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
2 supminfex.ss . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
31, 2supinfneg 9383 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴} ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}𝑧 < 𝑦)))
4 ssrab2 3177 . . . . 5 {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴} ⊆ ℝ
54a1i 9 . . . 4 (𝜑 → {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴} ⊆ ℝ)
63, 5infrenegsupex 9382 . . 3 (𝜑 → inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) = -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}}, ℝ, < ))
7 elrabi 2832 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}} → 𝑥 ∈ ℝ)
87adantl 275 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}}) → 𝑥 ∈ ℝ)
92sselda 3092 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
10 negeq 7948 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑥 → -𝑧 = -𝑥)
1110eleq1d 2206 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑥 → (-𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴} ↔ -𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}))
1211elrab3 2836 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}} ↔ -𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}))
13 renegcl 8016 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
14 negeq 7948 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = -𝑥 → -𝑤 = --𝑥)
1514eleq1d 2206 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = -𝑥 → (-𝑤𝐴 ↔ --𝑥𝐴))
1615elrab3 2836 . . . . . . . . 9 (-𝑥 ∈ ℝ → (-𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴} ↔ --𝑥𝐴))
1713, 16syl 14 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (-𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴} ↔ --𝑥𝐴))
18 recn 7746 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
1918negnegd 8057 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → --𝑥 = 𝑥)
2019eleq1d 2206 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (--𝑥𝐴𝑥𝐴))
2112, 17, 203bitrd 213 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}} ↔ 𝑥𝐴))
2221adantl 275 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}} ↔ 𝑥𝐴))
238, 9, 22eqrdav 2136 . . . . 5 (𝜑 → {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}} = 𝐴)
2423supeq1d 6867 . . . 4 (𝜑 → sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}}, ℝ, < ) = sup(𝐴, ℝ, < ))
2524negeqd 7950 . . 3 (𝜑 → -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ))
266, 25eqtrd 2170 . 2 (𝜑 → inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ))
27 lttri3 7837 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
2827adantl 275 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
2928, 3infclti 6903 . . . 4 (𝜑 → inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
3029recnd 7787 . . 3 (𝜑 → inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℂ)
3128, 1supclti 6878 . . . 4 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
3231recnd 7787 . . 3 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℂ)
33 negcon2 8008 . . 3 ((inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℂ ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℂ) → (inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < )))
3430, 32, 33syl2anc 408 . 2 (𝜑 → (inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < )))
3526, 34mpbid 146 1 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1331  wcel 1480  wral 2414  wrex 2415  {crab 2418  wss 3066   class class class wbr 3924  supcsup 6862  infcinf 6863  cc 7611  cr 7612   < clt 7793  -cneg 7927
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-isom 5127  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-sup 6864  df-inf 6865  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-ltxr 7798  df-sub 7928  df-neg 7929
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator