Theorem supminfex 9875

Description: A supremum is the negation of the infimum of that set's image under negation. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
supminfex.ex	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
supminfex.ss	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
supminfex	⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐴,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑤)

Proof of Theorem supminfex

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supminfex.ex	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
2		supminfex.ss	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
3	1, 2	supinfneg 9873	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴} ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}𝑧 < 𝑦)))
4		ssrab2 3313	. . . . 5 ⊢ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴} ⊆ ℝ
5	4	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴} ⊆ ℝ)
6	3, 5	infrenegsupex 9872	. . 3 ⊢ (𝜑 → inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}}, ℝ, < ))
7		elrabi 2960	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}} → 𝑥 ∈ ℝ)
8	7	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}}) → 𝑥 ∈ ℝ)
9	2	sselda 3228	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
10		negeq 8414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → -𝑧 = -𝑥)
11	10	eleq1d 2300	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (-𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴} ↔ -𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}))
12	11	elrab3 2964	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}} ↔ -𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}))
13		renegcl 8482	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
14		negeq 8414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = -𝑥 → -𝑤 = --𝑥)
15	14	eleq1d 2300	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = -𝑥 → (-𝑤 ∈ 𝐴 ↔ --𝑥 ∈ 𝐴))
16	15	elrab3 2964	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝑥 ∈ ℝ → (-𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴} ↔ --𝑥 ∈ 𝐴))
17	13, 16	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴} ↔ --𝑥 ∈ 𝐴))
18		recn 8208	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
19	18	negnegd 8523	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → --𝑥 = 𝑥)
20	19	eleq1d 2300	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (--𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
21	12, 17, 20	3bitrd 214	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}} ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
22	21	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}} ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
23	8, 9, 22	eqrdav 2230	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}} = 𝐴)
24	23	supeq1d 7229	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}}, ℝ, < ) = sup(𝐴, ℝ, < ))
25	24	negeqd 8416	. . 3 ⊢ (𝜑 → -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ))
26	6, 25	eqtrd 2264	. 2 ⊢ (𝜑 → inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ))
27		lttri3 8301	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
28	27	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
29	28, 3	infclti 7265	. . . 4 ⊢ (𝜑 → inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
30	29	recnd 8250	. . 3 ⊢ (𝜑 → inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℂ)
31	28, 1	supclti 7240	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
32	31	recnd 8250	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℂ)
33		negcon2 8474	. . 3 ⊢ ((inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℂ ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℂ) → (inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < )))
34	30, 32, 33	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < )))
35	26, 34	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ∀wral 2511  ∃wrex 2512  {crab 2515   ⊆ wss 3201   class class class wbr 4093  supcsup 7224  infcinf 7225  ℂcc 8073  ℝcr 8074   < clt 8256  -cneg 8393

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-sup 7226  df-inf 7227  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-ltxr 8261  df-sub 8394  df-neg 8395

This theorem is referenced by: (None)