Theorem supminfex 9586

Description: A supremum is the negation of the infimum of that set's image under negation. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
supminfex.ex	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
supminfex.ss	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
supminfex	⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐴,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑤)

Proof of Theorem supminfex

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supminfex.ex	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
2		supminfex.ss	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
3	1, 2	supinfneg 9584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴} ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}𝑧 < 𝑦)))
4		ssrab2 3240	. . . . 5 ⊢ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴} ⊆ ℝ
5	4	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴} ⊆ ℝ)
6	3, 5	infrenegsupex 9583	. . 3 ⊢ (𝜑 → inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}}, ℝ, < ))
7		elrabi 2890	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}} → 𝑥 ∈ ℝ)
8	7	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}}) → 𝑥 ∈ ℝ)
9	2	sselda 3155	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
10		negeq 8140	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → -𝑧 = -𝑥)
11	10	eleq1d 2246	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (-𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴} ↔ -𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}))
12	11	elrab3 2894	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}} ↔ -𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}))
13		renegcl 8208	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
14		negeq 8140	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = -𝑥 → -𝑤 = --𝑥)
15	14	eleq1d 2246	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = -𝑥 → (-𝑤 ∈ 𝐴 ↔ --𝑥 ∈ 𝐴))
16	15	elrab3 2894	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝑥 ∈ ℝ → (-𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴} ↔ --𝑥 ∈ 𝐴))
17	13, 16	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴} ↔ --𝑥 ∈ 𝐴))
18		recn 7935	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
19	18	negnegd 8249	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → --𝑥 = 𝑥)
20	19	eleq1d 2246	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (--𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
21	12, 17, 20	3bitrd 214	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}} ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
22	21	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}} ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
23	8, 9, 22	eqrdav 2176	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}} = 𝐴)
24	23	supeq1d 6980	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}}, ℝ, < ) = sup(𝐴, ℝ, < ))
25	24	negeqd 8142	. . 3 ⊢ (𝜑 → -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ))
26	6, 25	eqtrd 2210	. 2 ⊢ (𝜑 → inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ))
27		lttri3 8027	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
28	27	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
29	28, 3	infclti 7016	. . . 4 ⊢ (𝜑 → inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
30	29	recnd 7976	. . 3 ⊢ (𝜑 → inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℂ)
31	28, 1	supclti 6991	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
32	31	recnd 7976	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℂ)
33		negcon2 8200	. . 3 ⊢ ((inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℂ ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℂ) → (inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < )))
34	30, 32, 33	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < )))
35	26, 34	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  ∃wrex 2456  {crab 2459   ⊆ wss 3129   class class class wbr 4000  supcsup 6975  infcinf 6976  ℂcc 7800  ℝcr 7801   < clt 7982  -cneg 8119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-addcom 7902  ax-addass 7904  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-sup 6977  df-inf 6978  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-ltxr 7987  df-sub 8120  df-neg 8121

This theorem is referenced by: (None)