Theorem supminfex 9599

Description: A supremum is the negation of the infimum of that set's image under negation. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
supminfex.ex	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
supminfex.ss	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
supminfex	⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐴,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑤)

Proof of Theorem supminfex

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supminfex.ex	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
2		supminfex.ss	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
3	1, 2	supinfneg 9597	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴} ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}𝑧 < 𝑦)))
4		ssrab2 3242	. . . . 5 ⊢ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴} ⊆ ℝ
5	4	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴} ⊆ ℝ)
6	3, 5	infrenegsupex 9596	. . 3 ⊢ (𝜑 → inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}}, ℝ, < ))
7		elrabi 2892	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}} → 𝑥 ∈ ℝ)
8	7	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}}) → 𝑥 ∈ ℝ)
9	2	sselda 3157	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
10		negeq 8152	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → -𝑧 = -𝑥)
11	10	eleq1d 2246	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (-𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴} ↔ -𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}))
12	11	elrab3 2896	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}} ↔ -𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}))
13		renegcl 8220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
14		negeq 8152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = -𝑥 → -𝑤 = --𝑥)
15	14	eleq1d 2246	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = -𝑥 → (-𝑤 ∈ 𝐴 ↔ --𝑥 ∈ 𝐴))
16	15	elrab3 2896	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝑥 ∈ ℝ → (-𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴} ↔ --𝑥 ∈ 𝐴))
17	13, 16	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴} ↔ --𝑥 ∈ 𝐴))
18		recn 7946	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
19	18	negnegd 8261	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → --𝑥 = 𝑥)
20	19	eleq1d 2246	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (--𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
21	12, 17, 20	3bitrd 214	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}} ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
22	21	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}} ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
23	8, 9, 22	eqrdav 2176	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}} = 𝐴)
24	23	supeq1d 6988	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}}, ℝ, < ) = sup(𝐴, ℝ, < ))
25	24	negeqd 8154	. . 3 ⊢ (𝜑 → -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ))
26	6, 25	eqtrd 2210	. 2 ⊢ (𝜑 → inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ))
27		lttri3 8039	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
28	27	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
29	28, 3	infclti 7024	. . . 4 ⊢ (𝜑 → inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
30	29	recnd 7988	. . 3 ⊢ (𝜑 → inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℂ)
31	28, 1	supclti 6999	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
32	31	recnd 7988	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℂ)
33		negcon2 8212	. . 3 ⊢ ((inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℂ ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℂ) → (inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < )))
34	30, 32, 33	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < )))
35	26, 34	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  ∃wrex 2456  {crab 2459   ⊆ wss 3131   class class class wbr 4005  supcsup 6983  infcinf 6984  ℂcc 7811  ℝcr 7812   < clt 7994  -cneg 8131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-sup 6985  df-inf 6986  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-ltxr 7999  df-sub 8132  df-neg 8133

This theorem is referenced by: (None)