ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  supminfex GIF version

Theorem supminfex 8980
Description: A supremum is the negation of the infimum of that set's image under negation. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
supminfex.ex (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
supminfex.ss (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
Assertion
Ref Expression
supminfex (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ))
Distinct variable groups:   𝑤,𝐴,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑤)

Proof of Theorem supminfex
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 supminfex.ex . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
2 supminfex.ss . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
31, 2supinfneg 8978 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴} ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}𝑧 < 𝑦)))
4 ssrab2 3090 . . . . 5 {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴} ⊆ ℝ
54a1i 9 . . . 4 (𝜑 → {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴} ⊆ ℝ)
63, 5infrenegsupex 8977 . . 3 (𝜑 → inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) = -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}}, ℝ, < ))
7 elrabi 2756 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}} → 𝑥 ∈ ℝ)
87adantl 271 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}}) → 𝑥 ∈ ℝ)
92sselda 3010 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
10 negeq 7578 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑥 → -𝑧 = -𝑥)
1110eleq1d 2151 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑥 → (-𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴} ↔ -𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}))
1211elrab3 2760 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}} ↔ -𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}))
13 renegcl 7646 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
14 negeq 7578 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = -𝑥 → -𝑤 = --𝑥)
1514eleq1d 2151 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = -𝑥 → (-𝑤𝐴 ↔ --𝑥𝐴))
1615elrab3 2760 . . . . . . . . 9 (-𝑥 ∈ ℝ → (-𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴} ↔ --𝑥𝐴))
1713, 16syl 14 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (-𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴} ↔ --𝑥𝐴))
18 recn 7378 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
1918negnegd 7687 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → --𝑥 = 𝑥)
2019eleq1d 2151 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (--𝑥𝐴𝑥𝐴))
2112, 17, 203bitrd 212 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}} ↔ 𝑥𝐴))
2221adantl 271 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}} ↔ 𝑥𝐴))
238, 9, 22eqrdav 2082 . . . . 5 (𝜑 → {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}} = 𝐴)
2423supeq1d 6589 . . . 4 (𝜑 → sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}}, ℝ, < ) = sup(𝐴, ℝ, < ))
2524negeqd 7580 . . 3 (𝜑 → -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ))
266, 25eqtrd 2115 . 2 (𝜑 → inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ))
27 lttri3 7468 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
2827adantl 271 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
2928, 3infclti 6625 . . . 4 (𝜑 → inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
3029recnd 7419 . . 3 (𝜑 → inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℂ)
3128, 1supclti 6600 . . . 4 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
3231recnd 7419 . . 3 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℂ)
33 negcon2 7638 . . 3 ((inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℂ ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℂ) → (inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < )))
3430, 32, 33syl2anc 403 . 2 (𝜑 → (inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < )))
3526, 34mpbid 145 1 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1285  wcel 1434  wral 2353  wrex 2354  {crab 2357  wss 2984   class class class wbr 3811  supcsup 6584  infcinf 6585  cc 7251  cr 7252   < clt 7425  -cneg 7557
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-cnex 7339  ax-resscn 7340  ax-1cn 7341  ax-1re 7342  ax-icn 7343  ax-addcl 7344  ax-addrcl 7345  ax-mulcl 7346  ax-addcom 7348  ax-addass 7350  ax-distr 7352  ax-i2m1 7353  ax-0id 7356  ax-rnegex 7357  ax-cnre 7359  ax-pre-ltirr 7360  ax-pre-apti 7363  ax-pre-ltadd 7364
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-id 4084  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-f1 4974  df-fo 4975  df-f1o 4976  df-fv 4977  df-isom 4978  df-riota 5547  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-sup 6586  df-inf 6587  df-pnf 7427  df-mnf 7428  df-ltxr 7430  df-sub 7558  df-neg 7559
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator