Theorem supminfex 9671

Description: A supremum is the negation of the infimum of that set's image under negation. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
supminfex.ex	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
supminfex.ss	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
supminfex	⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐴,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑤)

Proof of Theorem supminfex

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supminfex.ex	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
2		supminfex.ss	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
3	1, 2	supinfneg 9669	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴} ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}𝑧 < 𝑦)))
4		ssrab2 3268	. . . . 5 ⊢ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴} ⊆ ℝ
5	4	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴} ⊆ ℝ)
6	3, 5	infrenegsupex 9668	. . 3 ⊢ (𝜑 → inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}}, ℝ, < ))
7		elrabi 2917	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}} → 𝑥 ∈ ℝ)
8	7	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}}) → 𝑥 ∈ ℝ)
9	2	sselda 3183	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
10		negeq 8219	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → -𝑧 = -𝑥)
11	10	eleq1d 2265	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (-𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴} ↔ -𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}))
12	11	elrab3 2921	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}} ↔ -𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}))
13		renegcl 8287	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
14		negeq 8219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = -𝑥 → -𝑤 = --𝑥)
15	14	eleq1d 2265	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = -𝑥 → (-𝑤 ∈ 𝐴 ↔ --𝑥 ∈ 𝐴))
16	15	elrab3 2921	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝑥 ∈ ℝ → (-𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴} ↔ --𝑥 ∈ 𝐴))
17	13, 16	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴} ↔ --𝑥 ∈ 𝐴))
18		recn 8012	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
19	18	negnegd 8328	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → --𝑥 = 𝑥)
20	19	eleq1d 2265	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (--𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
21	12, 17, 20	3bitrd 214	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}} ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
22	21	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}} ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
23	8, 9, 22	eqrdav 2195	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}} = 𝐴)
24	23	supeq1d 7053	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}}, ℝ, < ) = sup(𝐴, ℝ, < ))
25	24	negeqd 8221	. . 3 ⊢ (𝜑 → -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ))
26	6, 25	eqtrd 2229	. 2 ⊢ (𝜑 → inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ))
27		lttri3 8106	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
28	27	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
29	28, 3	infclti 7089	. . . 4 ⊢ (𝜑 → inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
30	29	recnd 8055	. . 3 ⊢ (𝜑 → inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℂ)
31	28, 1	supclti 7064	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
32	31	recnd 8055	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℂ)
33		negcon2 8279	. . 3 ⊢ ((inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℂ ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℂ) → (inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < )))
34	30, 32, 33	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < )))
35	26, 34	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  ∃wrex 2476  {crab 2479   ⊆ wss 3157   class class class wbr 4033  supcsup 7048  infcinf 7049  ℂcc 7877  ℝcr 7878   < clt 8061  -cneg 8198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-sup 7050  df-inf 7051  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-ltxr 8066  df-sub 8199  df-neg 8200

This theorem is referenced by: (None)