ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  supminfex GIF version

Theorem supminfex 9596
Description: A supremum is the negation of the infimum of that set's image under negation. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
supminfex.ex (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
supminfex.ss (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
Assertion
Ref Expression
supminfex (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ))
Distinct variable groups:   𝑤,𝐴,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑤)

Proof of Theorem supminfex
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 supminfex.ex . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
2 supminfex.ss . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
31, 2supinfneg 9594 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴} ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}𝑧 < 𝑦)))
4 ssrab2 3240 . . . . 5 {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴} ⊆ ℝ
54a1i 9 . . . 4 (𝜑 → {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴} ⊆ ℝ)
63, 5infrenegsupex 9593 . . 3 (𝜑 → inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) = -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}}, ℝ, < ))
7 elrabi 2890 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}} → 𝑥 ∈ ℝ)
87adantl 277 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}}) → 𝑥 ∈ ℝ)
92sselda 3155 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
10 negeq 8149 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑥 → -𝑧 = -𝑥)
1110eleq1d 2246 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑥 → (-𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴} ↔ -𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}))
1211elrab3 2894 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}} ↔ -𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}))
13 renegcl 8217 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
14 negeq 8149 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = -𝑥 → -𝑤 = --𝑥)
1514eleq1d 2246 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = -𝑥 → (-𝑤𝐴 ↔ --𝑥𝐴))
1615elrab3 2894 . . . . . . . . 9 (-𝑥 ∈ ℝ → (-𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴} ↔ --𝑥𝐴))
1713, 16syl 14 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (-𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴} ↔ --𝑥𝐴))
18 recn 7943 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
1918negnegd 8258 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → --𝑥 = 𝑥)
2019eleq1d 2246 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (--𝑥𝐴𝑥𝐴))
2112, 17, 203bitrd 214 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}} ↔ 𝑥𝐴))
2221adantl 277 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}} ↔ 𝑥𝐴))
238, 9, 22eqrdav 2176 . . . . 5 (𝜑 → {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}} = 𝐴)
2423supeq1d 6985 . . . 4 (𝜑 → sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}}, ℝ, < ) = sup(𝐴, ℝ, < ))
2524negeqd 8151 . . 3 (𝜑 → -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ))
266, 25eqtrd 2210 . 2 (𝜑 → inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ))
27 lttri3 8036 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
2827adantl 277 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
2928, 3infclti 7021 . . . 4 (𝜑 → inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
3029recnd 7985 . . 3 (𝜑 → inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℂ)
3128, 1supclti 6996 . . . 4 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
3231recnd 7985 . . 3 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℂ)
33 negcon2 8209 . . 3 ((inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℂ ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℂ) → (inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < )))
3430, 32, 33syl2anc 411 . 2 (𝜑 → (inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < )))
3526, 34mpbid 147 1 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  {crab 2459  wss 3129   class class class wbr 4003  supcsup 6980  infcinf 6981  cc 7808  cr 7809   < clt 7991  -cneg 8128
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-sup 6982  df-inf 6983  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-ltxr 7996  df-sub 8129  df-neg 8130
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator