Theorem pceu 12186

Description: Uniqueness for the prime power function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcval.1	⊢ 𝑆 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑥}, ℝ, < )
pcval.2	⊢ 𝑇 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑦}, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
pceu	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ∃!𝑧∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝑧,𝑁   𝑃,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝑧,𝑆   𝑧,𝑇

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑛)

Proof of Theorem pceu

Dummy variables 𝑠 𝑡 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 521	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑁 ∈ ℚ)
2		elq 9538	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦))
3	1, 2	sylib 121	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦))
4		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑁 = (𝑥 / 𝑦))
5		simprr 522	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑁 ≠ 0)
6	5	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑁 ≠ 0)
7	1	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑁 ∈ ℚ)
8		0z 9184	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℤ
9		zq 9542	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
10	8, 9	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)) → 0 ∈ ℚ)
11		qapne 9555	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℚ) → (𝑁 # 0 ↔ 𝑁 ≠ 0))
12	7, 10, 11	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑁 # 0 ↔ 𝑁 ≠ 0))
13	6, 12	mpbird 166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑁 # 0)
14	4, 13	eqbrtrrd 3991	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 / 𝑦) # 0)
15		simpllr 524	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℤ)
16	15	zcnd 9293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℂ)
17		nnz 9192	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
18	17	adantl 275	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℤ)
19	18	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℤ)
20	19	zcnd 9293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℂ)
21		simplr 520	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℕ)
22	21	nnap0d 8885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑦 # 0)
23	16, 20, 22	divap0bd 8680	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 # 0 ↔ (𝑥 / 𝑦) # 0))
24	14, 23	mpbird 166	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑥 # 0)
25		0zd 9185	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)) → 0 ∈ ℤ)
26		zapne 9244	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑥 # 0 ↔ 𝑥 ≠ 0))
27	15, 25, 26	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 # 0 ↔ 𝑥 ≠ 0))
28	24, 27	mpbid 146	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑥 ≠ 0)
29	28	ex 114	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) → 𝑥 ≠ 0))
30	29	adantrd 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)) → 𝑥 ≠ 0))
31	30	exlimdv 1799	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∃𝑧(𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)) → 𝑥 ≠ 0))
32		prmuz2 12024	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
33	32	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
34	33	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
35		simpllr 524	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) → 𝑥 ∈ ℤ)
36		simpr 109	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) → 𝑥 ≠ 0)
37		eqid 2157	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑥} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑥}
38		pcval.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑆 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑥}, ℝ, < )
39	37, 38	pcprecl 12180	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑆) ∥ 𝑥))
40	39	simpld 111	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
41	34, 35, 36, 40	syl12anc 1218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) → 𝑆 ∈ ℕ0)
42	41	nn0zd 9290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) → 𝑆 ∈ ℤ)
43		nnne0 8867	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ≠ 0)
44	43	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ≠ 0)
45		eqid 2157	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑦} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑦}
46		pcval.2	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑇 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑦}, ℝ, < )
47	45, 46	pcprecl 12180	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑇 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑇) ∥ 𝑦))
48	33, 18, 44, 47	syl12anc 1218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑇 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑇) ∥ 𝑦))
49	48	simpld 111	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑇 ∈ ℕ0)
50	49	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) → 𝑇 ∈ ℕ0)
51	50	nn0zd 9290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) → 𝑇 ∈ ℤ)
52	42, 51	zsubcld 9297	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑆 − 𝑇) ∈ ℤ)
53		biidd 171	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = (𝑆 − 𝑇) → (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ↔ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)))
54	53	ceqsexgv 2841	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 − 𝑇) ∈ ℤ → (∃𝑧(𝑧 = (𝑆 − 𝑇) ∧ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)) ↔ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)))
55	52, 54	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (∃𝑧(𝑧 = (𝑆 − 𝑇) ∧ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)) ↔ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)))
56		exancom 1588	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑧(𝑧 = (𝑆 − 𝑇) ∧ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)) ↔ ∃𝑧(𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)))
57	55, 56	bitr3di 194	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ↔ ∃𝑧(𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇))))
58	57	ex 114	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 ≠ 0 → (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ↔ ∃𝑧(𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)))))
59	29, 31, 58	pm5.21ndd 695	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ↔ ∃𝑧(𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇))))
60	59	rexbidva 2454	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧(𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇))))
61	60	rexbidva 2454	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧(𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇))))
62		rexcom4 2735	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧(𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)) ↔ ∃𝑧∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)))
63	62	rexbii 2464	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧(𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑧∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)))
64		rexcom4 2735	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑧∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)) ↔ ∃𝑧∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)))
65	63, 64	bitri 183	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧(𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)) ↔ ∃𝑧∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)))
66	61, 65	bitrdi 195	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ↔ ∃𝑧∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇))))
67	3, 66	mpbid 146	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ∃𝑧∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)))
68		eqid 2157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < )
69		eqid 2157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < ) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )
70		simp11l 1093	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇))) ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = (𝑠 / 𝑡) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )))) → 𝑃 ∈ ℙ)
71		simp11r 1094	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇))) ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = (𝑠 / 𝑡) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )))) → 𝑁 ≠ 0)
72		simp12 1013	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇))) ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = (𝑠 / 𝑡) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )))) → (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ))
73		simp13l 1097	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇))) ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = (𝑠 / 𝑡) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )))) → 𝑁 = (𝑥 / 𝑦))
74		simp2 983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇))) ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = (𝑠 / 𝑡) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )))) → (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℕ))
75		simp3l 1010	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇))) ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = (𝑠 / 𝑡) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )))) → 𝑁 = (𝑠 / 𝑡))
76	38, 46, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75	pceulem 12185	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇))) ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = (𝑠 / 𝑡) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )))) → (𝑆 − 𝑇) = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )))
77		simp13r 1098	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇))) ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = (𝑠 / 𝑡) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )))) → 𝑧 = (𝑆 − 𝑇))
78		simp3r 1011	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇))) ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = (𝑠 / 𝑡) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )))) → 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )))
79	76, 77, 78	3eqtr4d 2200	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇))) ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = (𝑠 / 𝑡) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )))) → 𝑧 = 𝑤)
80	79	3exp 1184	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇))) → ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → ((𝑁 = (𝑠 / 𝑡) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < ))) → 𝑧 = 𝑤)))
81	80	rexlimdvv 2581	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇))) → (∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑠 / 𝑡) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < ))) → 𝑧 = 𝑤))
82	81	3exp 1184	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)) → (∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑠 / 𝑡) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < ))) → 𝑧 = 𝑤))))
83	82	adantrl 470	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)) → (∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑠 / 𝑡) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < ))) → 𝑧 = 𝑤))))
84	83	rexlimdvv 2581	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)) → (∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑠 / 𝑡) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < ))) → 𝑧 = 𝑤)))
85	84	impd 252	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)) ∧ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑠 / 𝑡) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )))) → 𝑧 = 𝑤))
86	85	alrimivv 1855	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ∀𝑧∀𝑤((∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)) ∧ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑠 / 𝑡) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )))) → 𝑧 = 𝑤))
87		eqeq1 2164	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = (𝑆 − 𝑇) ↔ 𝑤 = (𝑆 − 𝑇)))
88	87	anbi2d 460	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)) ↔ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑤 = (𝑆 − 𝑇))))
89	88	2rexbidv 2482	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑤 = (𝑆 − 𝑇))))
90		oveq1 5834	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (𝑥 / 𝑦) = (𝑠 / 𝑦))
91	90	eqeq2d 2169	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ↔ 𝑁 = (𝑠 / 𝑦)))
92		breq2 3971	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → ((𝑃↑𝑛) ∥ 𝑥 ↔ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠))
93	92	rabbidv 2701	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑥} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠})
94	93	supeq1d 6934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑥}, ℝ, < ) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ))
95	38, 94	syl5eq 2202	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → 𝑆 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ))
96	95	oveq1d 5842	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (𝑆 − 𝑇) = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − 𝑇))
97	96	eqeq2d 2169	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (𝑤 = (𝑆 − 𝑇) ↔ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − 𝑇)))
98	91, 97	anbi12d 465	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → ((𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑤 = (𝑆 − 𝑇)) ↔ (𝑁 = (𝑠 / 𝑦) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − 𝑇))))
99	98	rexbidv 2458	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑤 = (𝑆 − 𝑇)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑠 / 𝑦) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − 𝑇))))
100		oveq2 5835	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → (𝑠 / 𝑦) = (𝑠 / 𝑡))
101	100	eqeq2d 2169	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → (𝑁 = (𝑠 / 𝑦) ↔ 𝑁 = (𝑠 / 𝑡)))
102		breq2 3971	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → ((𝑃↑𝑛) ∥ 𝑦 ↔ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡))
103	102	rabbidv 2701	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑦} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡})
104	103	supeq1d 6934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑦}, ℝ, < ) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < ))
105	46, 104	syl5eq 2202	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → 𝑇 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < ))
106	105	oveq2d 5843	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − 𝑇) = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )))
107	106	eqeq2d 2169	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → (𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − 𝑇) ↔ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < ))))
108	101, 107	anbi12d 465	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → ((𝑁 = (𝑠 / 𝑦) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − 𝑇)) ↔ (𝑁 = (𝑠 / 𝑡) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )))))
109	108	cbvrexvw 2685	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑠 / 𝑦) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − 𝑇)) ↔ ∃𝑡 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑠 / 𝑡) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < ))))
110	99, 109	bitrdi 195	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑤 = (𝑆 − 𝑇)) ↔ ∃𝑡 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑠 / 𝑡) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )))))
111	110	cbvrexvw 2685	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑤 = (𝑆 − 𝑇)) ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑠 / 𝑡) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < ))))
112	89, 111	bitrdi 195	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)) ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑠 / 𝑡) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )))))
113	112	eu4 2068	. 2 ⊢ (∃!𝑧∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)) ↔ (∃𝑧∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)) ∧ ∀𝑧∀𝑤((∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)) ∧ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑠 / 𝑡) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )))) → 𝑧 = 𝑤)))
114	67, 86, 113	sylanbrc 414	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ∃!𝑧∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 963  ∀wal 1333   = wceq 1335  ∃wex 1472  ∃!weu 2006   ∈ wcel 2128   ≠ wne 2327  ∃wrex 2436  {crab 2439   class class class wbr 3967  ‘cfv 5173  (class class class)co 5827  supcsup 6929  ℝcr 7734  0cc0 7735   < clt 7915   − cmin 8051   # cap 8461   / cdiv 8550  ℕcn 8839  2c2 8890  ℕ₀cn0 9096  ℤcz 9173  ℤ_≥cuz 9445  ℚcq 9535  ↑cexp 10428   ∥ cdvds 11695  ℙcprime 12000

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4082  ax-sep 4085  ax-nul 4093  ax-pow 4138  ax-pr 4172  ax-un 4396  ax-setind 4499  ax-iinf 4550  ax-cnex 7826  ax-resscn 7827  ax-1cn 7828  ax-1re 7829  ax-icn 7830  ax-addcl 7831  ax-addrcl 7832  ax-mulcl 7833  ax-mulrcl 7834  ax-addcom 7835  ax-mulcom 7836  ax-addass 7837  ax-mulass 7838  ax-distr 7839  ax-i2m1 7840  ax-0lt1 7841  ax-1rid 7842  ax-0id 7843  ax-rnegex 7844  ax-precex 7845  ax-cnre 7846  ax-pre-ltirr 7847  ax-pre-ltwlin 7848  ax-pre-lttrn 7849  ax-pre-apti 7850  ax-pre-ltadd 7851  ax-pre-mulgt0 7852  ax-pre-mulext 7853  ax-arch 7854  ax-caucvg 7855

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3396  df-if 3507  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-iun 3853  df-br 3968  df-opab 4029  df-mpt 4030  df-tr 4066  df-id 4256  df-po 4259  df-iso 4260  df-iord 4329  df-on 4331  df-ilim 4332  df-suc 4334  df-iom 4553  df-xp 4595  df-rel 4596  df-cnv 4597  df-co 4598  df-dm 4599  df-rn 4600  df-res 4601  df-ima 4602  df-iota 5138  df-fun 5175  df-fn 5176  df-f 5177  df-f1 5178  df-fo 5179  df-f1o 5180  df-fv 5181  df-isom 5182  df-riota 5783  df-ov 5830  df-oprab 5831  df-mpo 5832  df-1st 6091  df-2nd 6092  df-recs 6255  df-frec 6341  df-1o 6366  df-2o 6367  df-er 6483  df-en 6689  df-sup 6931  df-inf 6932  df-pnf 7917  df-mnf 7918  df-xr 7919  df-ltxr 7920  df-le 7921  df-sub 8053  df-neg 8054  df-reap 8455  df-ap 8462  df-div 8551  df-inn 8840  df-2 8898  df-3 8899  df-4 8900  df-n0 9097  df-z 9174  df-uz 9446  df-q 9536  df-rp 9568  df-fz 9920  df-fzo 10052  df-fl 10179  df-mod 10232  df-seqfrec 10355  df-exp 10429  df-cj 10754  df-re 10755  df-im 10756  df-rsqrt 10910  df-abs 10911  df-dvds 11696  df-gcd 11843  df-prm 12001

This theorem is referenced by:  pcval  12187  pczpre  12188  pcdiv  12193