Theorem pceu 12278

Description: Uniqueness for the prime power function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcval.1	⊢ 𝑆 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑥}, ℝ, < )
pcval.2	⊢ 𝑇 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑦}, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
pceu	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ∃!𝑧∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝑧,𝑁   𝑃,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝑧,𝑆   𝑧,𝑇

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑛)

Proof of Theorem pceu

Dummy variables 𝑠 𝑡 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 529	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑁 ∈ ℚ)
2		elq 9611	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦))
3	1, 2	sylib 122	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦))
4		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑁 = (𝑥 / 𝑦))
5		simprr 531	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑁 ≠ 0)
6	5	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑁 ≠ 0)
7	1	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑁 ∈ ℚ)
8		0z 9253	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℤ
9		zq 9615	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
10	8, 9	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)) → 0 ∈ ℚ)
11		qapne 9628	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℚ) → (𝑁 # 0 ↔ 𝑁 ≠ 0))
12	7, 10, 11	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑁 # 0 ↔ 𝑁 ≠ 0))
13	6, 12	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑁 # 0)
14	4, 13	eqbrtrrd 4024	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 / 𝑦) # 0)
15		simpllr 534	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℤ)
16	15	zcnd 9365	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℂ)
17		nnz 9261	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
18	17	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℤ)
19	18	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℤ)
20	19	zcnd 9365	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℂ)
21		simplr 528	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℕ)
22	21	nnap0d 8954	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑦 # 0)
23	16, 20, 22	divap0bd 8748	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 # 0 ↔ (𝑥 / 𝑦) # 0))
24	14, 23	mpbird 167	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑥 # 0)
25		0zd 9254	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)) → 0 ∈ ℤ)
26		zapne 9316	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑥 # 0 ↔ 𝑥 ≠ 0))
27	15, 25, 26	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 # 0 ↔ 𝑥 ≠ 0))
28	24, 27	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑥 ≠ 0)
29	28	ex 115	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) → 𝑥 ≠ 0))
30	29	adantrd 279	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)) → 𝑥 ≠ 0))
31	30	exlimdv 1819	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∃𝑧(𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)) → 𝑥 ≠ 0))
32		prmuz2 12114	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
33	32	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
34	33	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
35		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) → 𝑥 ∈ ℤ)
36		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) → 𝑥 ≠ 0)
37		eqid 2177	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑥} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑥}
38		pcval.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑆 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑥}, ℝ, < )
39	37, 38	pcprecl 12272	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑆) ∥ 𝑥))
40	39	simpld 112	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
41	34, 35, 36, 40	syl12anc 1236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) → 𝑆 ∈ ℕ0)
42	41	nn0zd 9362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) → 𝑆 ∈ ℤ)
43		nnne0 8936	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ≠ 0)
44	43	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ≠ 0)
45		eqid 2177	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑦} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑦}
46		pcval.2	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑇 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑦}, ℝ, < )
47	45, 46	pcprecl 12272	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑇 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑇) ∥ 𝑦))
48	33, 18, 44, 47	syl12anc 1236	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑇 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑇) ∥ 𝑦))
49	48	simpld 112	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑇 ∈ ℕ0)
50	49	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) → 𝑇 ∈ ℕ0)
51	50	nn0zd 9362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) → 𝑇 ∈ ℤ)
52	42, 51	zsubcld 9369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑆 − 𝑇) ∈ ℤ)
53		biidd 172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = (𝑆 − 𝑇) → (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ↔ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)))
54	53	ceqsexgv 2866	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 − 𝑇) ∈ ℤ → (∃𝑧(𝑧 = (𝑆 − 𝑇) ∧ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)) ↔ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)))
55	52, 54	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (∃𝑧(𝑧 = (𝑆 − 𝑇) ∧ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)) ↔ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)))
56		exancom 1608	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑧(𝑧 = (𝑆 − 𝑇) ∧ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)) ↔ ∃𝑧(𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)))
57	55, 56	bitr3di 195	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ↔ ∃𝑧(𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇))))
58	57	ex 115	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 ≠ 0 → (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ↔ ∃𝑧(𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)))))
59	29, 31, 58	pm5.21ndd 705	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ↔ ∃𝑧(𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇))))
60	59	rexbidva 2474	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧(𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇))))
61	60	rexbidva 2474	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧(𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇))))
62		rexcom4 2760	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧(𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)) ↔ ∃𝑧∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)))
63	62	rexbii 2484	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧(𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑧∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)))
64		rexcom4 2760	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑧∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)) ↔ ∃𝑧∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)))
65	63, 64	bitri 184	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧(𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)) ↔ ∃𝑧∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)))
66	61, 65	bitrdi 196	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ↔ ∃𝑧∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇))))
67	3, 66	mpbid 147	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ∃𝑧∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)))
68		eqid 2177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < )
69		eqid 2177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < ) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )
70		simp11l 1108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇))) ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = (𝑠 / 𝑡) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )))) → 𝑃 ∈ ℙ)
71		simp11r 1109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇))) ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = (𝑠 / 𝑡) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )))) → 𝑁 ≠ 0)
72		simp12 1028	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇))) ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = (𝑠 / 𝑡) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )))) → (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ))
73		simp13l 1112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇))) ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = (𝑠 / 𝑡) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )))) → 𝑁 = (𝑥 / 𝑦))
74		simp2 998	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇))) ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = (𝑠 / 𝑡) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )))) → (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℕ))
75		simp3l 1025	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇))) ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = (𝑠 / 𝑡) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )))) → 𝑁 = (𝑠 / 𝑡))
76	38, 46, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75	pceulem 12277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇))) ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = (𝑠 / 𝑡) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )))) → (𝑆 − 𝑇) = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )))
77		simp13r 1113	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇))) ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = (𝑠 / 𝑡) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )))) → 𝑧 = (𝑆 − 𝑇))
78		simp3r 1026	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇))) ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = (𝑠 / 𝑡) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )))) → 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )))
79	76, 77, 78	3eqtr4d 2220	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇))) ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = (𝑠 / 𝑡) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )))) → 𝑧 = 𝑤)
80	79	3exp 1202	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇))) → ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → ((𝑁 = (𝑠 / 𝑡) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < ))) → 𝑧 = 𝑤)))
81	80	rexlimdvv 2601	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇))) → (∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑠 / 𝑡) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < ))) → 𝑧 = 𝑤))
82	81	3exp 1202	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)) → (∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑠 / 𝑡) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < ))) → 𝑧 = 𝑤))))
83	82	adantrl 478	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)) → (∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑠 / 𝑡) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < ))) → 𝑧 = 𝑤))))
84	83	rexlimdvv 2601	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)) → (∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑠 / 𝑡) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < ))) → 𝑧 = 𝑤)))
85	84	impd 254	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)) ∧ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑠 / 𝑡) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )))) → 𝑧 = 𝑤))
86	85	alrimivv 1875	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ∀𝑧∀𝑤((∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)) ∧ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑠 / 𝑡) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )))) → 𝑧 = 𝑤))
87		eqeq1 2184	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = (𝑆 − 𝑇) ↔ 𝑤 = (𝑆 − 𝑇)))
88	87	anbi2d 464	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)) ↔ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑤 = (𝑆 − 𝑇))))
89	88	2rexbidv 2502	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑤 = (𝑆 − 𝑇))))
90		oveq1 5876	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (𝑥 / 𝑦) = (𝑠 / 𝑦))
91	90	eqeq2d 2189	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ↔ 𝑁 = (𝑠 / 𝑦)))
92		breq2 4004	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → ((𝑃↑𝑛) ∥ 𝑥 ↔ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠))
93	92	rabbidv 2726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑥} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠})
94	93	supeq1d 6980	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑥}, ℝ, < ) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ))
95	38, 94	eqtrid 2222	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → 𝑆 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ))
96	95	oveq1d 5884	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (𝑆 − 𝑇) = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − 𝑇))
97	96	eqeq2d 2189	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (𝑤 = (𝑆 − 𝑇) ↔ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − 𝑇)))
98	91, 97	anbi12d 473	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → ((𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑤 = (𝑆 − 𝑇)) ↔ (𝑁 = (𝑠 / 𝑦) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − 𝑇))))
99	98	rexbidv 2478	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑤 = (𝑆 − 𝑇)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑠 / 𝑦) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − 𝑇))))
100		oveq2 5877	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → (𝑠 / 𝑦) = (𝑠 / 𝑡))
101	100	eqeq2d 2189	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → (𝑁 = (𝑠 / 𝑦) ↔ 𝑁 = (𝑠 / 𝑡)))
102		breq2 4004	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → ((𝑃↑𝑛) ∥ 𝑦 ↔ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡))
103	102	rabbidv 2726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑦} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡})
104	103	supeq1d 6980	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑦}, ℝ, < ) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < ))
105	46, 104	eqtrid 2222	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → 𝑇 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < ))
106	105	oveq2d 5885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − 𝑇) = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )))
107	106	eqeq2d 2189	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → (𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − 𝑇) ↔ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < ))))
108	101, 107	anbi12d 473	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → ((𝑁 = (𝑠 / 𝑦) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − 𝑇)) ↔ (𝑁 = (𝑠 / 𝑡) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )))))
109	108	cbvrexvw 2708	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑠 / 𝑦) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − 𝑇)) ↔ ∃𝑡 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑠 / 𝑡) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < ))))
110	99, 109	bitrdi 196	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑤 = (𝑆 − 𝑇)) ↔ ∃𝑡 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑠 / 𝑡) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )))))
111	110	cbvrexvw 2708	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑤 = (𝑆 − 𝑇)) ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑠 / 𝑡) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < ))))
112	89, 111	bitrdi 196	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)) ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑠 / 𝑡) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )))))
113	112	eu4 2088	. 2 ⊢ (∃!𝑧∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)) ↔ (∃𝑧∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)) ∧ ∀𝑧∀𝑤((∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)) ∧ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑠 / 𝑡) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )))) → 𝑧 = 𝑤)))
114	67, 86, 113	sylanbrc 417	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ∃!𝑧∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978  ∀wal 1351   = wceq 1353  ∃wex 1492  ∃!weu 2026   ∈ wcel 2148   ≠ wne 2347  ∃wrex 2456  {crab 2459   class class class wbr 4000  ‘cfv 5212  (class class class)co 5869  supcsup 6975  ℝcr 7801  0cc0 7802   < clt 7982   − cmin 8118   # cap 8528   / cdiv 8618  ℕcn 8908  2c2 8959  ℕ₀cn0 9165  ℤcz 9242  ℤ_≥cuz 9517  ℚcq 9608  ↑cexp 10505   ∥ cdvds 11778  ℙcprime 12090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-1o 6411  df-2o 6412  df-er 6529  df-en 6735  df-sup 6977  df-inf 6978  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-fl 10256  df-mod 10309  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-dvds 11779  df-gcd 11927  df-prm 12091

This theorem is referenced by:  pcval  12279  pczpre  12280  pcdiv  12285