Theorem pceu 12249

Description: Uniqueness for the prime power function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcval.1	⊢ 𝑆 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑥}, ℝ, < )
pcval.2	⊢ 𝑇 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑦}, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
pceu	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ∃!𝑧∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝑧,𝑁   𝑃,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝑧,𝑆   𝑧,𝑇

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑛)

Proof of Theorem pceu

Dummy variables 𝑠 𝑡 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 526	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑁 ∈ ℚ)
2		elq 9581	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦))
3	1, 2	sylib 121	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦))
4		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑁 = (𝑥 / 𝑦))
5		simprr 527	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑁 ≠ 0)
6	5	ad3antrrr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑁 ≠ 0)
7	1	ad3antrrr 489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑁 ∈ ℚ)
8		0z 9223	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℤ
9		zq 9585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
10	8, 9	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)) → 0 ∈ ℚ)
11		qapne 9598	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℚ) → (𝑁 # 0 ↔ 𝑁 ≠ 0))
12	7, 10, 11	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑁 # 0 ↔ 𝑁 ≠ 0))
13	6, 12	mpbird 166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑁 # 0)
14	4, 13	eqbrtrrd 4013	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 / 𝑦) # 0)
15		simpllr 529	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℤ)
16	15	zcnd 9335	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℂ)
17		nnz 9231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
18	17	adantl 275	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℤ)
19	18	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℤ)
20	19	zcnd 9335	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℂ)
21		simplr 525	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℕ)
22	21	nnap0d 8924	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑦 # 0)
23	16, 20, 22	divap0bd 8719	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 # 0 ↔ (𝑥 / 𝑦) # 0))
24	14, 23	mpbird 166	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑥 # 0)
25		0zd 9224	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)) → 0 ∈ ℤ)
26		zapne 9286	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑥 # 0 ↔ 𝑥 ≠ 0))
27	15, 25, 26	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 # 0 ↔ 𝑥 ≠ 0))
28	24, 27	mpbid 146	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑥 ≠ 0)
29	28	ex 114	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) → 𝑥 ≠ 0))
30	29	adantrd 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)) → 𝑥 ≠ 0))
31	30	exlimdv 1812	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∃𝑧(𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)) → 𝑥 ≠ 0))
32		prmuz2 12085	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
33	32	ad3antrrr 489	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
34	33	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
35		simpllr 529	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) → 𝑥 ∈ ℤ)
36		simpr 109	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) → 𝑥 ≠ 0)
37		eqid 2170	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑥} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑥}
38		pcval.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑆 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑥}, ℝ, < )
39	37, 38	pcprecl 12243	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑆) ∥ 𝑥))
40	39	simpld 111	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
41	34, 35, 36, 40	syl12anc 1231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) → 𝑆 ∈ ℕ0)
42	41	nn0zd 9332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) → 𝑆 ∈ ℤ)
43		nnne0 8906	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ≠ 0)
44	43	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ≠ 0)
45		eqid 2170	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑦} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑦}
46		pcval.2	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑇 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑦}, ℝ, < )
47	45, 46	pcprecl 12243	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑇 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑇) ∥ 𝑦))
48	33, 18, 44, 47	syl12anc 1231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑇 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑇) ∥ 𝑦))
49	48	simpld 111	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑇 ∈ ℕ0)
50	49	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) → 𝑇 ∈ ℕ0)
51	50	nn0zd 9332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) → 𝑇 ∈ ℤ)
52	42, 51	zsubcld 9339	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑆 − 𝑇) ∈ ℤ)
53		biidd 171	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = (𝑆 − 𝑇) → (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ↔ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)))
54	53	ceqsexgv 2859	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 − 𝑇) ∈ ℤ → (∃𝑧(𝑧 = (𝑆 − 𝑇) ∧ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)) ↔ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)))
55	52, 54	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (∃𝑧(𝑧 = (𝑆 − 𝑇) ∧ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)) ↔ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)))
56		exancom 1601	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑧(𝑧 = (𝑆 − 𝑇) ∧ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦)) ↔ ∃𝑧(𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)))
57	55, 56	bitr3di 194	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ↔ ∃𝑧(𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇))))
58	57	ex 114	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 ≠ 0 → (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ↔ ∃𝑧(𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)))))
59	29, 31, 58	pm5.21ndd 700	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ↔ ∃𝑧(𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇))))
60	59	rexbidva 2467	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧(𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇))))
61	60	rexbidva 2467	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧(𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇))))
62		rexcom4 2753	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧(𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)) ↔ ∃𝑧∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)))
63	62	rexbii 2477	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧(𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑧∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)))
64		rexcom4 2753	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑧∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)) ↔ ∃𝑧∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)))
65	63, 64	bitri 183	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧(𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)) ↔ ∃𝑧∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)))
66	61, 65	bitrdi 195	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ↔ ∃𝑧∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇))))
67	3, 66	mpbid 146	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ∃𝑧∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)))
68		eqid 2170	. . . . . . . . . . 11 ⊢ sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < )
69		eqid 2170	. . . . . . . . . . 11 ⊢ sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < ) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )
70		simp11l 1103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇))) ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = (𝑠 / 𝑡) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )))) → 𝑃 ∈ ℙ)
71		simp11r 1104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇))) ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = (𝑠 / 𝑡) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )))) → 𝑁 ≠ 0)
72		simp12 1023	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇))) ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = (𝑠 / 𝑡) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )))) → (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ))
73		simp13l 1107	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇))) ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = (𝑠 / 𝑡) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )))) → 𝑁 = (𝑥 / 𝑦))
74		simp2 993	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇))) ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = (𝑠 / 𝑡) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )))) → (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℕ))
75		simp3l 1020	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇))) ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = (𝑠 / 𝑡) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )))) → 𝑁 = (𝑠 / 𝑡))
76	38, 46, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75	pceulem 12248	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇))) ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = (𝑠 / 𝑡) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )))) → (𝑆 − 𝑇) = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )))
77		simp13r 1108	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇))) ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = (𝑠 / 𝑡) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )))) → 𝑧 = (𝑆 − 𝑇))
78		simp3r 1021	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇))) ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = (𝑠 / 𝑡) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )))) → 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )))
79	76, 77, 78	3eqtr4d 2213	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇))) ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = (𝑠 / 𝑡) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )))) → 𝑧 = 𝑤)
80	79	3exp 1197	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇))) → ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → ((𝑁 = (𝑠 / 𝑡) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < ))) → 𝑧 = 𝑤)))
81	80	rexlimdvv 2594	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇))) → (∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑠 / 𝑡) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < ))) → 𝑧 = 𝑤))
82	81	3exp 1197	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)) → (∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑠 / 𝑡) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < ))) → 𝑧 = 𝑤))))
83	82	adantrl 475	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)) → (∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑠 / 𝑡) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < ))) → 𝑧 = 𝑤))))
84	83	rexlimdvv 2594	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)) → (∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑠 / 𝑡) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < ))) → 𝑧 = 𝑤)))
85	84	impd 252	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)) ∧ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑠 / 𝑡) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )))) → 𝑧 = 𝑤))
86	85	alrimivv 1868	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ∀𝑧∀𝑤((∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)) ∧ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑠 / 𝑡) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )))) → 𝑧 = 𝑤))
87		eqeq1 2177	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = (𝑆 − 𝑇) ↔ 𝑤 = (𝑆 − 𝑇)))
88	87	anbi2d 461	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)) ↔ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑤 = (𝑆 − 𝑇))))
89	88	2rexbidv 2495	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑤 = (𝑆 − 𝑇))))
90		oveq1 5860	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (𝑥 / 𝑦) = (𝑠 / 𝑦))
91	90	eqeq2d 2182	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ↔ 𝑁 = (𝑠 / 𝑦)))
92		breq2 3993	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → ((𝑃↑𝑛) ∥ 𝑥 ↔ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠))
93	92	rabbidv 2719	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑥} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠})
94	93	supeq1d 6964	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑥}, ℝ, < ) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ))
95	38, 94	eqtrid 2215	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → 𝑆 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ))
96	95	oveq1d 5868	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (𝑆 − 𝑇) = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − 𝑇))
97	96	eqeq2d 2182	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (𝑤 = (𝑆 − 𝑇) ↔ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − 𝑇)))
98	91, 97	anbi12d 470	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → ((𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑤 = (𝑆 − 𝑇)) ↔ (𝑁 = (𝑠 / 𝑦) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − 𝑇))))
99	98	rexbidv 2471	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑤 = (𝑆 − 𝑇)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑠 / 𝑦) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − 𝑇))))
100		oveq2 5861	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → (𝑠 / 𝑦) = (𝑠 / 𝑡))
101	100	eqeq2d 2182	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → (𝑁 = (𝑠 / 𝑦) ↔ 𝑁 = (𝑠 / 𝑡)))
102		breq2 3993	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → ((𝑃↑𝑛) ∥ 𝑦 ↔ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡))
103	102	rabbidv 2719	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑦} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡})
104	103	supeq1d 6964	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑦}, ℝ, < ) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < ))
105	46, 104	eqtrid 2215	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → 𝑇 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < ))
106	105	oveq2d 5869	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − 𝑇) = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )))
107	106	eqeq2d 2182	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → (𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − 𝑇) ↔ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < ))))
108	101, 107	anbi12d 470	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → ((𝑁 = (𝑠 / 𝑦) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − 𝑇)) ↔ (𝑁 = (𝑠 / 𝑡) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )))))
109	108	cbvrexvw 2701	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑠 / 𝑦) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − 𝑇)) ↔ ∃𝑡 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑠 / 𝑡) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < ))))
110	99, 109	bitrdi 195	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑤 = (𝑆 − 𝑇)) ↔ ∃𝑡 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑠 / 𝑡) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )))))
111	110	cbvrexvw 2701	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑤 = (𝑆 − 𝑇)) ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑠 / 𝑡) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < ))))
112	89, 111	bitrdi 195	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)) ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑠 / 𝑡) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )))))
113	112	eu4 2081	. 2 ⊢ (∃!𝑧∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)) ↔ (∃𝑧∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)) ∧ ∀𝑧∀𝑤((∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)) ∧ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑠 / 𝑡) ∧ 𝑤 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )))) → 𝑧 = 𝑤)))
114	67, 86, 113	sylanbrc 415	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ∃!𝑧∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑆 − 𝑇)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 973  ∀wal 1346   = wceq 1348  ∃wex 1485  ∃!weu 2019   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2340  ∃wrex 2449  {crab 2452   class class class wbr 3989  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  supcsup 6959  ℝcr 7773  0cc0 7774   < clt 7954   − cmin 8090   # cap 8500   / cdiv 8589  ℕcn 8878  2c2 8929  ℕ₀cn0 9135  ℤcz 9212  ℤ_≥cuz 9487  ℚcq 9578  ↑cexp 10475   ∥ cdvds 11749  ℙcprime 12061

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-1o 6395  df-2o 6396  df-er 6513  df-en 6719  df-sup 6961  df-inf 6962  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-fl 10226  df-mod 10279  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-dvds 11750  df-gcd 11898  df-prm 12062

This theorem is referenced by:  pcval  12250  pczpre  12251  pcdiv  12256