Theorem suprzubdc 10497

Description: The supremum of a bounded-above decidable set of integers is greater than any member of the set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
suprzubdc.ss	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℤ)
suprzubdc.dc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℤ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
suprzubdc.ub	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
suprzubdc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
suprzubdc	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑥   𝑦,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem suprzubdc

Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suprzubdc.ub	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
2		breq2 4092	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ 𝑦 ≤ 𝑢))
3	2	ralbidv 2532	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢))
4	3	cbvrexv 2768	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑢 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)
5	1, 4	sylib 122	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑢 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)
6		dfin5 3207	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ ∩ 𝐴) = {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑧 ∈ 𝐴}
7		suprzubdc.ss	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℤ)
8		sseqin2 3426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ ↔ (ℤ ∩ 𝐴) = 𝐴)
9	7, 8	sylib 122	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℤ ∩ 𝐴) = 𝐴)
10	6, 9	eqtr3id 2278	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑧 ∈ 𝐴} = 𝐴)
11	10	supeq1d 7186	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup({𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = sup(𝐴, ℝ, < ))
12	11	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → sup({𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = sup(𝐴, ℝ, < ))
13		suprzubdc.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
14	7, 13	sseldd 3228	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
15	14	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → 𝐵 ∈ ℤ)
16		eleq1 2294	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↔ 𝐵 ∈ 𝐴))
17	13	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → 𝐵 ∈ 𝐴)
18		eleq1w 2292	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑧 ∈ 𝐴))
19	18	dcbid 845	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ DECID 𝑧 ∈ 𝐴))
20		suprzubdc.dc	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℤ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
21	20	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) → ∀𝑥 ∈ ℤ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
22		eluzelz 9765	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝐵) → 𝑧 ∈ ℤ)
23	22	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) → 𝑧 ∈ ℤ)
24	19, 21, 23	rspcdva 2915	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) → DECID 𝑧 ∈ 𝐴)
25		simprl 531	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → 𝑢 ∈ ℤ)
26	25	peano2zd 9605	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → (𝑢 + 1) ∈ ℤ)
27	15	zred 9602	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → 𝐵 ∈ ℝ)
28	25	zred 9602	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → 𝑢 ∈ ℝ)
29	26	zred 9602	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → (𝑢 + 1) ∈ ℝ)
30		breq1 4091	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 ≤ 𝑢 ↔ 𝐵 ≤ 𝑢))
31		simprr 533	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)
32	30, 31, 17	rspcdva 2915	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → 𝐵 ≤ 𝑢)
33	28	lep1d 9111	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → 𝑢 ≤ (𝑢 + 1))
34	27, 28, 29, 32, 33	letrd 8303	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → 𝐵 ≤ (𝑢 + 1))
35		eluz2 9761	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑢 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝑢 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝑢 + 1)))
36	15, 26, 34, 35	syl3anbrc 1207	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → (𝑢 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐵))
37		eluzle 9768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑢 + 1)) → (𝑢 + 1) ≤ 𝑧)
38	37	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑢 + 1))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑢 + 1) ≤ 𝑧)
39	25	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑢 + 1))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑢 ∈ ℤ)
40		eluzelz 9765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑢 + 1)) → 𝑧 ∈ ℤ)
41	40	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑢 + 1))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℤ)
42		zltp1le 9534	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑢 < 𝑧 ↔ (𝑢 + 1) ≤ 𝑧))
43	39, 41, 42	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑢 + 1))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑢 < 𝑧 ↔ (𝑢 + 1) ≤ 𝑧))
44	38, 43	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑢 + 1))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑢 < 𝑧)
45	41	zred 9602	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑢 + 1))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
46	28	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑢 + 1))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑢 ∈ ℝ)
47		breq1 4091	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 ≤ 𝑢 ↔ 𝑧 ≤ 𝑢))
48	31	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑢 + 1))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)
49		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑢 + 1))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴)
50	47, 48, 49	rspcdva 2915	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑢 + 1))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ≤ 𝑢)
51	45, 46, 50	lensymd 8301	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑢 + 1))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑢 < 𝑧)
52	44, 51	pm2.65da 667	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑢 + 1))) → ¬ 𝑧 ∈ 𝐴)
53	52	ralrimiva 2605	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑢 + 1)) ¬ 𝑧 ∈ 𝐴)
54		fveq2 5639	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = (𝑢 + 1) → (ℤ≥‘𝑣) = (ℤ≥‘(𝑢 + 1)))
55	54	raleqdv 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = (𝑢 + 1) → (∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑣) ¬ 𝑧 ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑢 + 1)) ¬ 𝑧 ∈ 𝐴))
56	55	rspcev 2910	. . . . . 6 ⊢ (((𝑢 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐵) ∧ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑢 + 1)) ¬ 𝑧 ∈ 𝐴) → ∃𝑣 ∈ (ℤ≥‘𝐵)∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑣) ¬ 𝑧 ∈ 𝐴)
57	36, 53, 56	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → ∃𝑣 ∈ (ℤ≥‘𝐵)∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑣) ¬ 𝑧 ∈ 𝐴)
58	15, 16, 17, 24, 57	zsupcl 10492	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → sup({𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ (ℤ≥‘𝐵))
59	12, 58	eqeltrrd 2309	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ (ℤ≥‘𝐵))
60		eluzle 9768	. . 3 ⊢ (sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ (ℤ≥‘𝐵) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
61	59, 60	syl 14	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
62	5, 61	rexlimddv 2655	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 841   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510  ∃wrex 2511  {crab 2514   ∩ cin 3199   ⊆ wss 3200   class class class wbr 4088  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  supcsup 7181  ℝcr 8031  1c1 8033   + caddc 8035   < clt 8214   ≤ cle 8215  ℤcz 9479  ℤ_≥cuz 9755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-sup 7183  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-fz 10244  df-fzo 10378

This theorem is referenced by:  pcprendvds  12868  pcpremul  12871