Theorem suprzubdc 10443

Description: The supremum of a bounded-above decidable set of integers is greater than any member of the set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
suprzubdc.ss	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℤ)
suprzubdc.dc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℤ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
suprzubdc.ub	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
suprzubdc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
suprzubdc	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑥   𝑦,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem suprzubdc

Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suprzubdc.ub	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
2		breq2 4086	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ 𝑦 ≤ 𝑢))
3	2	ralbidv 2530	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢))
4	3	cbvrexv 2766	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑢 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)
5	1, 4	sylib 122	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑢 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)
6		dfin5 3204	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ ∩ 𝐴) = {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑧 ∈ 𝐴}
7		suprzubdc.ss	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℤ)
8		sseqin2 3423	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ ↔ (ℤ ∩ 𝐴) = 𝐴)
9	7, 8	sylib 122	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℤ ∩ 𝐴) = 𝐴)
10	6, 9	eqtr3id 2276	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑧 ∈ 𝐴} = 𝐴)
11	10	supeq1d 7142	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup({𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = sup(𝐴, ℝ, < ))
12	11	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → sup({𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = sup(𝐴, ℝ, < ))
13		suprzubdc.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
14	7, 13	sseldd 3225	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
15	14	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → 𝐵 ∈ ℤ)
16		eleq1 2292	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↔ 𝐵 ∈ 𝐴))
17	13	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → 𝐵 ∈ 𝐴)
18		eleq1w 2290	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑧 ∈ 𝐴))
19	18	dcbid 843	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ DECID 𝑧 ∈ 𝐴))
20		suprzubdc.dc	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℤ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
21	20	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) → ∀𝑥 ∈ ℤ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
22		eluzelz 9719	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝐵) → 𝑧 ∈ ℤ)
23	22	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) → 𝑧 ∈ ℤ)
24	19, 21, 23	rspcdva 2912	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) → DECID 𝑧 ∈ 𝐴)
25		simprl 529	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → 𝑢 ∈ ℤ)
26	25	peano2zd 9560	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → (𝑢 + 1) ∈ ℤ)
27	15	zred 9557	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → 𝐵 ∈ ℝ)
28	25	zred 9557	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → 𝑢 ∈ ℝ)
29	26	zred 9557	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → (𝑢 + 1) ∈ ℝ)
30		breq1 4085	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 ≤ 𝑢 ↔ 𝐵 ≤ 𝑢))
31		simprr 531	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)
32	30, 31, 17	rspcdva 2912	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → 𝐵 ≤ 𝑢)
33	28	lep1d 9066	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → 𝑢 ≤ (𝑢 + 1))
34	27, 28, 29, 32, 33	letrd 8258	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → 𝐵 ≤ (𝑢 + 1))
35		eluz2 9716	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑢 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝑢 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝑢 + 1)))
36	15, 26, 34, 35	syl3anbrc 1205	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → (𝑢 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐵))
37		eluzle 9722	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑢 + 1)) → (𝑢 + 1) ≤ 𝑧)
38	37	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑢 + 1))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑢 + 1) ≤ 𝑧)
39	25	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑢 + 1))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑢 ∈ ℤ)
40		eluzelz 9719	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑢 + 1)) → 𝑧 ∈ ℤ)
41	40	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑢 + 1))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℤ)
42		zltp1le 9489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑢 < 𝑧 ↔ (𝑢 + 1) ≤ 𝑧))
43	39, 41, 42	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑢 + 1))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑢 < 𝑧 ↔ (𝑢 + 1) ≤ 𝑧))
44	38, 43	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑢 + 1))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑢 < 𝑧)
45	41	zred 9557	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑢 + 1))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
46	28	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑢 + 1))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑢 ∈ ℝ)
47		breq1 4085	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 ≤ 𝑢 ↔ 𝑧 ≤ 𝑢))
48	31	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑢 + 1))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)
49		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑢 + 1))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴)
50	47, 48, 49	rspcdva 2912	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑢 + 1))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ≤ 𝑢)
51	45, 46, 50	lensymd 8256	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑢 + 1))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑢 < 𝑧)
52	44, 51	pm2.65da 665	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑢 + 1))) → ¬ 𝑧 ∈ 𝐴)
53	52	ralrimiva 2603	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑢 + 1)) ¬ 𝑧 ∈ 𝐴)
54		fveq2 5623	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = (𝑢 + 1) → (ℤ≥‘𝑣) = (ℤ≥‘(𝑢 + 1)))
55	54	raleqdv 2734	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = (𝑢 + 1) → (∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑣) ¬ 𝑧 ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑢 + 1)) ¬ 𝑧 ∈ 𝐴))
56	55	rspcev 2907	. . . . . 6 ⊢ (((𝑢 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐵) ∧ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑢 + 1)) ¬ 𝑧 ∈ 𝐴) → ∃𝑣 ∈ (ℤ≥‘𝐵)∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑣) ¬ 𝑧 ∈ 𝐴)
57	36, 53, 56	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → ∃𝑣 ∈ (ℤ≥‘𝐵)∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑣) ¬ 𝑧 ∈ 𝐴)
58	15, 16, 17, 24, 57	zsupcl 10438	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → sup({𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ (ℤ≥‘𝐵))
59	12, 58	eqeltrrd 2307	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ (ℤ≥‘𝐵))
60		eluzle 9722	. . 3 ⊢ (sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ (ℤ≥‘𝐵) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
61	59, 60	syl 14	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
62	5, 61	rexlimddv 2653	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 839   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  ∃wrex 2509  {crab 2512   ∩ cin 3196   ⊆ wss 3197   class class class wbr 4082  ‘cfv 5314  (class class class)co 5994  supcsup 7137  ℝcr 7986  1c1 7988   + caddc 7990   < clt 8169   ≤ cle 8170  ℤcz 9434  ℤ_≥cuz 9710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-addcom 8087  ax-addass 8089  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-apti 8102  ax-pre-ltadd 8103

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4381  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-fv 5322  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-sup 7139  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-inn 9099  df-n0 9358  df-z 9435  df-uz 9711  df-fz 10193  df-fzo 10327

This theorem is referenced by:  pcprendvds  12799  pcpremul  12802