Theorem suprzubdc 11907

Description: The supremum of a bounded-above decidable set of integers is greater than any member of the set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
suprzubdc.ss	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℤ)
suprzubdc.dc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℤ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
suprzubdc.ub	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
suprzubdc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
suprzubdc	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑥   𝑦,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem suprzubdc

Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suprzubdc.ub	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
2		breq2 3993	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ 𝑦 ≤ 𝑢))
3	2	ralbidv 2470	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢))
4	3	cbvrexv 2697	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑢 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)
5	1, 4	sylib 121	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑢 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)
6		dfin5 3128	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ ∩ 𝐴) = {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑧 ∈ 𝐴}
7		suprzubdc.ss	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℤ)
8		sseqin2 3346	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ ↔ (ℤ ∩ 𝐴) = 𝐴)
9	7, 8	sylib 121	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℤ ∩ 𝐴) = 𝐴)
10	6, 9	eqtr3id 2217	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑧 ∈ 𝐴} = 𝐴)
11	10	supeq1d 6964	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup({𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = sup(𝐴, ℝ, < ))
12	11	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → sup({𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = sup(𝐴, ℝ, < ))
13		suprzubdc.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
14	7, 13	sseldd 3148	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
15	14	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → 𝐵 ∈ ℤ)
16		eleq1 2233	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↔ 𝐵 ∈ 𝐴))
17	13	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → 𝐵 ∈ 𝐴)
18		eleq1w 2231	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑧 ∈ 𝐴))
19	18	dcbid 833	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ DECID 𝑧 ∈ 𝐴))
20		suprzubdc.dc	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℤ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
21	20	ad2antrr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) → ∀𝑥 ∈ ℤ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
22		eluzelz 9496	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝐵) → 𝑧 ∈ ℤ)
23	22	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) → 𝑧 ∈ ℤ)
24	19, 21, 23	rspcdva 2839	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) → DECID 𝑧 ∈ 𝐴)
25		simprl 526	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → 𝑢 ∈ ℤ)
26	25	peano2zd 9337	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → (𝑢 + 1) ∈ ℤ)
27	15	zred 9334	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → 𝐵 ∈ ℝ)
28	25	zred 9334	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → 𝑢 ∈ ℝ)
29	26	zred 9334	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → (𝑢 + 1) ∈ ℝ)
30		breq1 3992	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 ≤ 𝑢 ↔ 𝐵 ≤ 𝑢))
31		simprr 527	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)
32	30, 31, 17	rspcdva 2839	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → 𝐵 ≤ 𝑢)
33	28	lep1d 8847	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → 𝑢 ≤ (𝑢 + 1))
34	27, 28, 29, 32, 33	letrd 8043	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → 𝐵 ≤ (𝑢 + 1))
35		eluz2 9493	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑢 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝑢 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝑢 + 1)))
36	15, 26, 34, 35	syl3anbrc 1176	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → (𝑢 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐵))
37		eluzle 9499	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑢 + 1)) → (𝑢 + 1) ≤ 𝑧)
38	37	ad2antlr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑢 + 1))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑢 + 1) ≤ 𝑧)
39	25	ad2antrr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑢 + 1))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑢 ∈ ℤ)
40		eluzelz 9496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑢 + 1)) → 𝑧 ∈ ℤ)
41	40	ad2antlr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑢 + 1))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℤ)
42		zltp1le 9266	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑢 < 𝑧 ↔ (𝑢 + 1) ≤ 𝑧))
43	39, 41, 42	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑢 + 1))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑢 < 𝑧 ↔ (𝑢 + 1) ≤ 𝑧))
44	38, 43	mpbird 166	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑢 + 1))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑢 < 𝑧)
45	41	zred 9334	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑢 + 1))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
46	28	ad2antrr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑢 + 1))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑢 ∈ ℝ)
47		breq1 3992	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 ≤ 𝑢 ↔ 𝑧 ≤ 𝑢))
48	31	ad2antrr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑢 + 1))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)
49		simpr 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑢 + 1))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴)
50	47, 48, 49	rspcdva 2839	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑢 + 1))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ≤ 𝑢)
51	45, 46, 50	lensymd 8041	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑢 + 1))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑢 < 𝑧)
52	44, 51	pm2.65da 656	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑢 + 1))) → ¬ 𝑧 ∈ 𝐴)
53	52	ralrimiva 2543	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑢 + 1)) ¬ 𝑧 ∈ 𝐴)
54		fveq2 5496	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = (𝑢 + 1) → (ℤ≥‘𝑣) = (ℤ≥‘(𝑢 + 1)))
55	54	raleqdv 2671	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = (𝑢 + 1) → (∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑣) ¬ 𝑧 ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑢 + 1)) ¬ 𝑧 ∈ 𝐴))
56	55	rspcev 2834	. . . . . 6 ⊢ (((𝑢 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐵) ∧ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑢 + 1)) ¬ 𝑧 ∈ 𝐴) → ∃𝑣 ∈ (ℤ≥‘𝐵)∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑣) ¬ 𝑧 ∈ 𝐴)
57	36, 53, 56	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → ∃𝑣 ∈ (ℤ≥‘𝐵)∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑣) ¬ 𝑧 ∈ 𝐴)
58	15, 16, 17, 24, 57	zsupcl 11902	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → sup({𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ (ℤ≥‘𝐵))
59	12, 58	eqeltrrd 2248	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ (ℤ≥‘𝐵))
60		eluzle 9499	. . 3 ⊢ (sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ (ℤ≥‘𝐵) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
61	59, 60	syl 14	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
62	5, 61	rexlimddv 2592	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104  DECID wdc 829   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  ∀wral 2448  ∃wrex 2449  {crab 2452   ∩ cin 3120   ⊆ wss 3121   class class class wbr 3989  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  supcsup 6959  ℝcr 7773  1c1 7775   + caddc 7777   < clt 7954   ≤ cle 7955  ℤcz 9212  ℤ_≥cuz 9487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-sup 6961  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-fz 9966  df-fzo 10099

This theorem is referenced by:  pcprendvds  12244  pcpremul  12247