Theorem suprzubdc 11852

Description: The supremum of a bounded-above decidable set of integers is greater than any member of the set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
suprzubdc.ss	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℤ)
suprzubdc.dc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℤ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
suprzubdc.ub	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
suprzubdc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
suprzubdc	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑥   𝑦,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem suprzubdc

Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suprzubdc.ub	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
2		breq2 3971	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ 𝑦 ≤ 𝑢))
3	2	ralbidv 2457	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢))
4	3	cbvrexv 2681	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑢 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)
5	1, 4	sylib 121	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑢 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)
6		dfin5 3109	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ ∩ 𝐴) = {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑧 ∈ 𝐴}
7		suprzubdc.ss	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℤ)
8		sseqin2 3327	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ ↔ (ℤ ∩ 𝐴) = 𝐴)
9	7, 8	sylib 121	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℤ ∩ 𝐴) = 𝐴)
10	6, 9	eqtr3id 2204	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑧 ∈ 𝐴} = 𝐴)
11	10	supeq1d 6934	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup({𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = sup(𝐴, ℝ, < ))
12	11	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → sup({𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = sup(𝐴, ℝ, < ))
13		suprzubdc.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
14	7, 13	sseldd 3129	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
15	14	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → 𝐵 ∈ ℤ)
16		eleq1 2220	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↔ 𝐵 ∈ 𝐴))
17	13	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → 𝐵 ∈ 𝐴)
18		eleq1w 2218	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑧 ∈ 𝐴))
19	18	dcbid 824	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ DECID 𝑧 ∈ 𝐴))
20		suprzubdc.dc	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℤ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
21	20	ad2antrr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) → ∀𝑥 ∈ ℤ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
22		eluzelz 9454	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝐵) → 𝑧 ∈ ℤ)
23	22	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) → 𝑧 ∈ ℤ)
24	19, 21, 23	rspcdva 2821	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) → DECID 𝑧 ∈ 𝐴)
25		simprl 521	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → 𝑢 ∈ ℤ)
26	25	peano2zd 9295	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → (𝑢 + 1) ∈ ℤ)
27	15	zred 9292	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → 𝐵 ∈ ℝ)
28	25	zred 9292	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → 𝑢 ∈ ℝ)
29	26	zred 9292	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → (𝑢 + 1) ∈ ℝ)
30		breq1 3970	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 ≤ 𝑢 ↔ 𝐵 ≤ 𝑢))
31		simprr 522	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)
32	30, 31, 17	rspcdva 2821	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → 𝐵 ≤ 𝑢)
33	28	lep1d 8808	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → 𝑢 ≤ (𝑢 + 1))
34	27, 28, 29, 32, 33	letrd 8004	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → 𝐵 ≤ (𝑢 + 1))
35		eluz2 9451	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑢 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝑢 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝑢 + 1)))
36	15, 26, 34, 35	syl3anbrc 1166	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → (𝑢 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐵))
37		eluzle 9457	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑢 + 1)) → (𝑢 + 1) ≤ 𝑧)
38	37	ad2antlr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑢 + 1))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑢 + 1) ≤ 𝑧)
39	25	ad2antrr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑢 + 1))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑢 ∈ ℤ)
40		eluzelz 9454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑢 + 1)) → 𝑧 ∈ ℤ)
41	40	ad2antlr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑢 + 1))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℤ)
42		zltp1le 9227	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑢 < 𝑧 ↔ (𝑢 + 1) ≤ 𝑧))
43	39, 41, 42	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑢 + 1))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑢 < 𝑧 ↔ (𝑢 + 1) ≤ 𝑧))
44	38, 43	mpbird 166	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑢 + 1))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑢 < 𝑧)
45	41	zred 9292	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑢 + 1))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
46	28	ad2antrr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑢 + 1))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑢 ∈ ℝ)
47		breq1 3970	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 ≤ 𝑢 ↔ 𝑧 ≤ 𝑢))
48	31	ad2antrr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑢 + 1))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)
49		simpr 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑢 + 1))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴)
50	47, 48, 49	rspcdva 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑢 + 1))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ≤ 𝑢)
51	45, 46, 50	lensymd 8002	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑢 + 1))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑢 < 𝑧)
52	44, 51	pm2.65da 651	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑢 + 1))) → ¬ 𝑧 ∈ 𝐴)
53	52	ralrimiva 2530	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑢 + 1)) ¬ 𝑧 ∈ 𝐴)
54		fveq2 5471	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = (𝑢 + 1) → (ℤ≥‘𝑣) = (ℤ≥‘(𝑢 + 1)))
55	54	raleqdv 2658	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = (𝑢 + 1) → (∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑣) ¬ 𝑧 ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑢 + 1)) ¬ 𝑧 ∈ 𝐴))
56	55	rspcev 2816	. . . . . 6 ⊢ (((𝑢 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐵) ∧ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑢 + 1)) ¬ 𝑧 ∈ 𝐴) → ∃𝑣 ∈ (ℤ≥‘𝐵)∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑣) ¬ 𝑧 ∈ 𝐴)
57	36, 53, 56	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → ∃𝑣 ∈ (ℤ≥‘𝐵)∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑣) ¬ 𝑧 ∈ 𝐴)
58	15, 16, 17, 24, 57	zsupcl 11847	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → sup({𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ (ℤ≥‘𝐵))
59	12, 58	eqeltrrd 2235	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ (ℤ≥‘𝐵))
60		eluzle 9457	. . 3 ⊢ (sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ (ℤ≥‘𝐵) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
61	59, 60	syl 14	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑢)) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
62	5, 61	rexlimddv 2579	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104  DECID wdc 820   = wceq 1335   ∈ wcel 2128  ∀wral 2435  ∃wrex 2436  {crab 2439   ∩ cin 3101   ⊆ wss 3102   class class class wbr 3967  ‘cfv 5173  (class class class)co 5827  supcsup 6929  ℝcr 7734  1c1 7736   + caddc 7738   < clt 7915   ≤ cle 7916  ℤcz 9173  ℤ_≥cuz 9445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4085  ax-pow 4138  ax-pr 4172  ax-un 4396  ax-setind 4499  ax-cnex 7826  ax-resscn 7827  ax-1cn 7828  ax-1re 7829  ax-icn 7830  ax-addcl 7831  ax-addrcl 7832  ax-mulcl 7833  ax-addcom 7835  ax-addass 7837  ax-distr 7839  ax-i2m1 7840  ax-0lt1 7841  ax-0id 7843  ax-rnegex 7844  ax-cnre 7846  ax-pre-ltirr 7847  ax-pre-ltwlin 7848  ax-pre-lttrn 7849  ax-pre-apti 7850  ax-pre-ltadd 7851

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-iun 3853  df-br 3968  df-opab 4029  df-mpt 4030  df-id 4256  df-xp 4595  df-rel 4596  df-cnv 4597  df-co 4598  df-dm 4599  df-rn 4600  df-res 4601  df-ima 4602  df-iota 5138  df-fun 5175  df-fn 5176  df-f 5177  df-fv 5181  df-riota 5783  df-ov 5830  df-oprab 5831  df-mpo 5832  df-1st 6091  df-2nd 6092  df-sup 6931  df-pnf 7917  df-mnf 7918  df-xr 7919  df-ltxr 7920  df-le 7921  df-sub 8053  df-neg 8054  df-inn 8840  df-n0 9097  df-z 9174  df-uz 9446  df-fz 9920  df-fzo 10052

This theorem is referenced by:  pcprendvds  12181  pcpremul  12184