ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pceulem GIF version

Theorem pceulem 12294
Description: Lemma for pceu 12295. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcval.1 ๐‘† = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐‘ฅ}, โ„, < )
pcval.2 ๐‘‡ = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐‘ฆ}, โ„, < )
pceu.3 ๐‘ˆ = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐‘ }, โ„, < )
pceu.4 ๐‘‰ = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐‘ก}, โ„, < )
pceu.5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
pceu.6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โ‰  0)
pceu.7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•))
pceu.8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ))
pceu.9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘  โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„•))
pceu.10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ = (๐‘  / ๐‘ก))
Assertion
Ref Expression
pceulem (๐œ‘ โ†’ (๐‘† โˆ’ ๐‘‡) = (๐‘ˆ โˆ’ ๐‘‰))
Distinct variable groups:   ๐‘›,๐‘ ,๐‘ก,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘   ๐‘ƒ,๐‘›,๐‘ ,๐‘ก,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘†,๐‘ ,๐‘ก   ๐‘‡,๐‘ ,๐‘ก
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ก,๐‘›,๐‘ )   ๐‘†(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘›)   ๐‘‡(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘›)   ๐‘ˆ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ก,๐‘›,๐‘ )   ๐‘‰(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ก,๐‘›,๐‘ )

Proof of Theorem pceulem
Dummy variable ๐‘ง is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pceu.7 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•))
21simprd 114 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)
32nncnd 8933 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
4 pceu.9 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘  โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„•))
54simpld 112 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘  โˆˆ โ„ค)
65zcnd 9376 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘  โˆˆ โ„‚)
73, 6mulcomd 7979 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘ ) = (๐‘  ยท ๐‘ฆ))
8 pceu.10 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ = (๐‘  / ๐‘ก))
9 pceu.8 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ))
108, 9eqtr3d 2212 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘  / ๐‘ก) = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ))
114simprd 114 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ก โˆˆ โ„•)
1211nncnd 8933 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ก โˆˆ โ„‚)
131simpld 112 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
1413zcnd 9376 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
1511nnap0d 8965 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ก # 0)
162nnap0d 8965 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ฆ # 0)
176, 12, 14, 3, 15, 16divmuleqapd 8790 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘  / ๐‘ก) = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ†” (๐‘  ยท ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยท ๐‘ก)))
1810, 17mpbid 147 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘  ยท ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยท ๐‘ก))
197, 18eqtrd 2210 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘ ) = (๐‘ฅ ยท ๐‘ก))
2019breq2d 4016 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒโ†‘๐‘ง) โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ ) โ†” (๐‘ƒโ†‘๐‘ง) โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ก)))
2120rabbidv 2727 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ {๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘ง) โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ )} = {๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘ง) โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ก)})
22 oveq2 5883 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘ง โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) = (๐‘ƒโ†‘๐‘ง))
2322breq1d 4014 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘ง โ†’ ((๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ ) โ†” (๐‘ƒโ†‘๐‘ง) โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ )))
2423cbvrabv 2737 . . . . 5 {๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ )} = {๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘ง) โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ )}
2522breq1d 4014 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘ง โ†’ ((๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ก) โ†” (๐‘ƒโ†‘๐‘ง) โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ก)))
2625cbvrabv 2737 . . . . 5 {๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ก)} = {๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘ง) โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ก)}
2721, 24, 263eqtr4g 2235 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ {๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ )} = {๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ก)})
2827supeq1d 6986 . . 3 (๐œ‘ โ†’ sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ )}, โ„, < ) = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ก)}, โ„, < ))
29 pceu.5 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
302nnzd 9374 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
312nnne0d 8964 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ฆ โ‰  0)
32 pceu.6 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โ‰  0)
3312, 15div0apd 8744 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (0 / ๐‘ก) = 0)
34 oveq1 5882 . . . . . . . . 9 (๐‘  = 0 โ†’ (๐‘  / ๐‘ก) = (0 / ๐‘ก))
3534eqeq1d 2186 . . . . . . . 8 (๐‘  = 0 โ†’ ((๐‘  / ๐‘ก) = 0 โ†” (0 / ๐‘ก) = 0))
3633, 35syl5ibrcom 157 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘  = 0 โ†’ (๐‘  / ๐‘ก) = 0))
378eqeq1d 2186 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ = 0 โ†” (๐‘  / ๐‘ก) = 0))
3836, 37sylibrd 169 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘  = 0 โ†’ ๐‘ = 0))
3938necon3d 2391 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โ‰  0 โ†’ ๐‘  โ‰  0))
4032, 39mpd 13 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘  โ‰  0)
41 pcval.2 . . . . 5 ๐‘‡ = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐‘ฆ}, โ„, < )
42 pceu.3 . . . . 5 ๐‘ˆ = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐‘ }, โ„, < )
43 eqid 2177 . . . . 5 sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ )}, โ„, < ) = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ )}, โ„, < )
4441, 42, 43pcpremul 12293 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โ‰  0)) โ†’ (๐‘‡ + ๐‘ˆ) = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ )}, โ„, < ))
4529, 30, 31, 5, 40, 44syl122anc 1247 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡ + ๐‘ˆ) = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ )}, โ„, < ))
463, 16div0apd 8744 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (0 / ๐‘ฆ) = 0)
47 oveq1 5882 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) = (0 / ๐‘ฆ))
4847eqeq1d 2186 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = 0 โ†’ ((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) = 0 โ†” (0 / ๐‘ฆ) = 0))
4946, 48syl5ibrcom 157 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ = 0 โ†’ (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) = 0))
509eqeq1d 2186 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ = 0 โ†” (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) = 0))
5149, 50sylibrd 169 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ = 0 โ†’ ๐‘ = 0))
5251necon3d 2391 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โ‰  0 โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0))
5332, 52mpd 13 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0)
5411nnzd 9374 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ก โˆˆ โ„ค)
5511nnne0d 8964 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ก โ‰  0)
56 pcval.1 . . . . 5 ๐‘† = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐‘ฅ}, โ„, < )
57 pceu.4 . . . . 5 ๐‘‰ = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐‘ก}, โ„, < )
58 eqid 2177 . . . . 5 sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ก)}, โ„, < ) = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ก)}, โ„, < )
5956, 57, 58pcpremul 12293 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ก โ‰  0)) โ†’ (๐‘† + ๐‘‰) = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ก)}, โ„, < ))
6029, 13, 53, 54, 55, 59syl122anc 1247 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† + ๐‘‰) = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ก)}, โ„, < ))
6128, 45, 603eqtr4d 2220 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡ + ๐‘ˆ) = (๐‘† + ๐‘‰))
62 prmuz2 12131 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
6329, 62syl 14 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
64 eqid 2177 . . . . . . 7 {๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐‘ฆ} = {๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐‘ฆ}
6564, 41pcprecl 12289 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โ‰  0)) โ†’ (๐‘‡ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ƒโ†‘๐‘‡) โˆฅ ๐‘ฆ))
6665simpld 112 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โ‰  0)) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„•0)
6763, 30, 31, 66syl12anc 1236 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„•0)
6867nn0cnd 9231 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„‚)
69 eqid 2177 . . . . . . 7 {๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐‘ } = {๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐‘ }
7069, 42pcprecl 12289 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โ‰  0)) โ†’ (๐‘ˆ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ƒโ†‘๐‘ˆ) โˆฅ ๐‘ ))
7170simpld 112 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โ‰  0)) โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„•0)
7263, 5, 40, 71syl12anc 1236 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„•0)
7372nn0cnd 9231 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„‚)
74 eqid 2177 . . . . . . 7 {๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐‘ฅ} = {๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐‘ฅ}
7574, 56pcprecl 12289 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โ‰  0)) โ†’ (๐‘† โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ƒโ†‘๐‘†) โˆฅ ๐‘ฅ))
7675simpld 112 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โ‰  0)) โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„•0)
7763, 13, 53, 76syl12anc 1236 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„•0)
7877nn0cnd 9231 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„‚)
79 eqid 2177 . . . . . . 7 {๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐‘ก} = {๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐‘ก}
8079, 57pcprecl 12289 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ก โ‰  0)) โ†’ (๐‘‰ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ƒโ†‘๐‘‰) โˆฅ ๐‘ก))
8180simpld 112 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ก โ‰  0)) โ†’ ๐‘‰ โˆˆ โ„•0)
8263, 54, 55, 81syl12anc 1236 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ โˆˆ โ„•0)
8382nn0cnd 9231 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ โˆˆ โ„‚)
8468, 73, 78, 83addsubeq4d 8319 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‡ + ๐‘ˆ) = (๐‘† + ๐‘‰) โ†” (๐‘† โˆ’ ๐‘‡) = (๐‘ˆ โˆ’ ๐‘‰)))
8561, 84mpbid 147 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† โˆ’ ๐‘‡) = (๐‘ˆ โˆ’ ๐‘‰))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148   โ‰  wne 2347  {crab 2459   class class class wbr 4004  โ€˜cfv 5217  (class class class)co 5875  supcsup 6981  โ„cr 7810  0cc0 7811   + caddc 7814   ยท cmul 7816   < clt 7992   โˆ’ cmin 8128   / cdiv 8629  โ„•cn 8919  2c2 8970  โ„•0cn0 9176  โ„คcz 9253  โ„คโ‰ฅcuz 9528  โ†‘cexp 10519   โˆฅ cdvds 11794  โ„™cprime 12107
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-1o 6417  df-2o 6418  df-er 6535  df-en 6741  df-sup 6983  df-inf 6984  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-fl 10270  df-mod 10323  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-dvds 11795  df-gcd 11944  df-prm 12108
This theorem is referenced by:  pceu  12295
  Copyright terms: Public domain W3C validator