Theorem pceulem 12812

Description: Lemma for pceu 12813. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcval.1	⊢ 𝑆 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑥}, ℝ, < )
pcval.2	⊢ 𝑇 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑦}, ℝ, < )
pceu.3	⊢ 𝑈 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < )
pceu.4	⊢ 𝑉 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )
pceu.5	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
pceu.6	⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
pceu.7	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ))
pceu.8	⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑥 / 𝑦))
pceu.9	⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℕ))
pceu.10	⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑠 / 𝑡))

Assertion

Ref	Expression
pceulem	⊢ (𝜑 → (𝑆 − 𝑇) = (𝑈 − 𝑉))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑁   𝑃,𝑛,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦   𝑆,𝑠,𝑡   𝑇,𝑠,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑡,𝑛,𝑠)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑡,𝑛,𝑠)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑡,𝑛,𝑠)

Proof of Theorem pceulem

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pceu.7	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ))
2	1	simprd 114	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ ℕ)
3	2	nncnd 9120	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ ℂ)
4		pceu.9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℕ))
5	4	simpld 112	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑠 ∈ ℤ)
6	5	zcnd 9566	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑠 ∈ ℂ)
7	3, 6	mulcomd 8164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 · 𝑠) = (𝑠 · 𝑦))
8		pceu.10	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑠 / 𝑡))
9		pceu.8	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑥 / 𝑦))
10	8, 9	eqtr3d 2264	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑠 / 𝑡) = (𝑥 / 𝑦))
11	4	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ℕ)
12	11	nncnd 9120	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ℂ)
13	1	simpld 112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ ℤ)
14	13	zcnd 9566	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ ℂ)
15	11	nnap0d 9152	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑡 # 0)
16	2	nnap0d 9152	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑦 # 0)
17	6, 12, 14, 3, 15, 16	divmuleqapd 8976	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑠 / 𝑡) = (𝑥 / 𝑦) ↔ (𝑠 · 𝑦) = (𝑥 · 𝑡)))
18	10, 17	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑠 · 𝑦) = (𝑥 · 𝑡))
19	7, 18	eqtrd 2262	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 · 𝑠) = (𝑥 · 𝑡))
20	19	breq2d 4094	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑𝑧) ∥ (𝑦 · 𝑠) ↔ (𝑃↑𝑧) ∥ (𝑥 · 𝑡)))
21	20	rabbidv 2788	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑧) ∥ (𝑦 · 𝑠)} = {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑧) ∥ (𝑥 · 𝑡)})
22		oveq2 6008	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → (𝑃↑𝑛) = (𝑃↑𝑧))
23	22	breq1d 4092	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → ((𝑃↑𝑛) ∥ (𝑦 · 𝑠) ↔ (𝑃↑𝑧) ∥ (𝑦 · 𝑠)))
24	23	cbvrabv 2798	. . . . 5 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑦 · 𝑠)} = {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑧) ∥ (𝑦 · 𝑠)}
25	22	breq1d 4092	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → ((𝑃↑𝑛) ∥ (𝑥 · 𝑡) ↔ (𝑃↑𝑧) ∥ (𝑥 · 𝑡)))
26	25	cbvrabv 2798	. . . . 5 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑥 · 𝑡)} = {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑧) ∥ (𝑥 · 𝑡)}
27	21, 24, 26	3eqtr4g 2287	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑦 · 𝑠)} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑥 · 𝑡)})
28	27	supeq1d 7150	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑦 · 𝑠)}, ℝ, < ) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑥 · 𝑡)}, ℝ, < ))
29		pceu.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
30	2	nnzd 9564	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ ℤ)
31	2	nnne0d 9151	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑦 ≠ 0)
32		pceu.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
33	12, 15	div0apd 8930	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 / 𝑡) = 0)
34		oveq1 6007	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = 0 → (𝑠 / 𝑡) = (0 / 𝑡))
35	34	eqeq1d 2238	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = 0 → ((𝑠 / 𝑡) = 0 ↔ (0 / 𝑡) = 0))
36	33, 35	syl5ibrcom 157	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑠 = 0 → (𝑠 / 𝑡) = 0))
37	8	eqeq1d 2238	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = 0 ↔ (𝑠 / 𝑡) = 0))
38	36, 37	sylibrd 169	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑠 = 0 → 𝑁 = 0))
39	38	necon3d 2444	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ≠ 0 → 𝑠 ≠ 0))
40	32, 39	mpd 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑠 ≠ 0)
41		pcval.2	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑦}, ℝ, < )
42		pceu.3	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < )
43		eqid 2229	. . . . 5 ⊢ sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑦 · 𝑠)}, ℝ, < ) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑦 · 𝑠)}, ℝ, < )
44	41, 42, 43	pcpremul 12811	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → (𝑇 + 𝑈) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑦 · 𝑠)}, ℝ, < ))
45	29, 30, 31, 5, 40, 44	syl122anc 1280	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 + 𝑈) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑦 · 𝑠)}, ℝ, < ))
46	3, 16	div0apd 8930	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 / 𝑦) = 0)
47		oveq1 6007	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 / 𝑦) = (0 / 𝑦))
48	47	eqeq1d 2238	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 / 𝑦) = 0 ↔ (0 / 𝑦) = 0))
49	46, 48	syl5ibrcom 157	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 = 0 → (𝑥 / 𝑦) = 0))
50	9	eqeq1d 2238	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = 0 ↔ (𝑥 / 𝑦) = 0))
51	49, 50	sylibrd 169	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 = 0 → 𝑁 = 0))
52	51	necon3d 2444	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ≠ 0 → 𝑥 ≠ 0))
53	32, 52	mpd 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ≠ 0)
54	11	nnzd 9564	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ℤ)
55	11	nnne0d 9151	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑡 ≠ 0)
56		pcval.1	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑥}, ℝ, < )
57		pceu.4	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )
58		eqid 2229	. . . . 5 ⊢ sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑥 · 𝑡)}, ℝ, < ) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑥 · 𝑡)}, ℝ, < )
59	56, 57, 58	pcpremul 12811	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑡 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (𝑆 + 𝑉) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑥 · 𝑡)}, ℝ, < ))
60	29, 13, 53, 54, 55, 59	syl122anc 1280	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 + 𝑉) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑥 · 𝑡)}, ℝ, < ))
61	28, 45, 60	3eqtr4d 2272	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 + 𝑈) = (𝑆 + 𝑉))
62		prmuz2 12648	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
63	29, 62	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
64		eqid 2229	. . . . . . 7 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑦} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑦}
65	64, 41	pcprecl 12807	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑇 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑇) ∥ 𝑦))
66	65	simpld 112	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → 𝑇 ∈ ℕ0)
67	63, 30, 31, 66	syl12anc 1269	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℕ0)
68	67	nn0cnd 9420	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
69		eqid 2229	. . . . . . 7 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}
70	69, 42	pcprecl 12807	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → (𝑈 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑈) ∥ 𝑠))
71	70	simpld 112	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → 𝑈 ∈ ℕ0)
72	63, 5, 40, 71	syl12anc 1269	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℕ0)
73	72	nn0cnd 9420	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂ)
74		eqid 2229	. . . . . . 7 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑥} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑥}
75	74, 56	pcprecl 12807	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑆) ∥ 𝑥))
76	75	simpld 112	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
77	63, 13, 53, 76	syl12anc 1269	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
78	77	nn0cnd 9420	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
79		eqid 2229	. . . . . . 7 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}
80	79, 57	pcprecl 12807	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑡 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (𝑉 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑉) ∥ 𝑡))
81	80	simpld 112	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑡 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → 𝑉 ∈ ℕ0)
82	63, 54, 55, 81	syl12anc 1269	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℕ0)
83	82	nn0cnd 9420	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℂ)
84	68, 73, 78, 83	addsubeq4d 8504	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 + 𝑈) = (𝑆 + 𝑉) ↔ (𝑆 − 𝑇) = (𝑈 − 𝑉)))
85	61, 84	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 − 𝑇) = (𝑈 − 𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400  {crab 2512   class class class wbr 4082  ‘cfv 5317  (class class class)co 6000  supcsup 7145  ℝcr 7994  0cc0 7995   + caddc 7998   · cmul 8000   < clt 8177   − cmin 8313   / cdiv 8815  ℕcn 9106  2c2 9157  ℕ₀cn0 9365  ℤcz 9442  ℤ_≥cuz 9718  ↑cexp 10755   ∥ cdvds 12293  ℙcprime 12624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113  ax-arch 8114  ax-caucvg 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-isom 5326  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-frec 6535  df-1o 6560  df-2o 6561  df-er 6678  df-en 6886  df-sup 7147  df-inf 7148  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-q 9811  df-rp 9846  df-fz 10201  df-fzo 10335  df-fl 10485  df-mod 10540  df-seqfrec 10665  df-exp 10756  df-cj 11348  df-re 11349  df-im 11350  df-rsqrt 11504  df-abs 11505  df-dvds 12294  df-gcd 12470  df-prm 12625

This theorem is referenced by:  pceu  12813