Theorem pceulem 12463

Description: Lemma for pceu 12464. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcval.1	⊢ 𝑆 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑥}, ℝ, < )
pcval.2	⊢ 𝑇 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑦}, ℝ, < )
pceu.3	⊢ 𝑈 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < )
pceu.4	⊢ 𝑉 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )
pceu.5	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
pceu.6	⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
pceu.7	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ))
pceu.8	⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑥 / 𝑦))
pceu.9	⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℕ))
pceu.10	⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑠 / 𝑡))

Assertion

Ref	Expression
pceulem	⊢ (𝜑 → (𝑆 − 𝑇) = (𝑈 − 𝑉))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑁   𝑃,𝑛,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦   𝑆,𝑠,𝑡   𝑇,𝑠,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑡,𝑛,𝑠)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑡,𝑛,𝑠)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑡,𝑛,𝑠)

Proof of Theorem pceulem

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pceu.7	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ))
2	1	simprd 114	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ ℕ)
3	2	nncnd 9004	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ ℂ)
4		pceu.9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℕ))
5	4	simpld 112	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑠 ∈ ℤ)
6	5	zcnd 9449	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑠 ∈ ℂ)
7	3, 6	mulcomd 8048	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 · 𝑠) = (𝑠 · 𝑦))
8		pceu.10	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑠 / 𝑡))
9		pceu.8	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑥 / 𝑦))
10	8, 9	eqtr3d 2231	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑠 / 𝑡) = (𝑥 / 𝑦))
11	4	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ℕ)
12	11	nncnd 9004	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ℂ)
13	1	simpld 112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ ℤ)
14	13	zcnd 9449	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ ℂ)
15	11	nnap0d 9036	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑡 # 0)
16	2	nnap0d 9036	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑦 # 0)
17	6, 12, 14, 3, 15, 16	divmuleqapd 8860	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑠 / 𝑡) = (𝑥 / 𝑦) ↔ (𝑠 · 𝑦) = (𝑥 · 𝑡)))
18	10, 17	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑠 · 𝑦) = (𝑥 · 𝑡))
19	7, 18	eqtrd 2229	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 · 𝑠) = (𝑥 · 𝑡))
20	19	breq2d 4045	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑𝑧) ∥ (𝑦 · 𝑠) ↔ (𝑃↑𝑧) ∥ (𝑥 · 𝑡)))
21	20	rabbidv 2752	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑧) ∥ (𝑦 · 𝑠)} = {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑧) ∥ (𝑥 · 𝑡)})
22		oveq2 5930	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → (𝑃↑𝑛) = (𝑃↑𝑧))
23	22	breq1d 4043	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → ((𝑃↑𝑛) ∥ (𝑦 · 𝑠) ↔ (𝑃↑𝑧) ∥ (𝑦 · 𝑠)))
24	23	cbvrabv 2762	. . . . 5 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑦 · 𝑠)} = {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑧) ∥ (𝑦 · 𝑠)}
25	22	breq1d 4043	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → ((𝑃↑𝑛) ∥ (𝑥 · 𝑡) ↔ (𝑃↑𝑧) ∥ (𝑥 · 𝑡)))
26	25	cbvrabv 2762	. . . . 5 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑥 · 𝑡)} = {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑧) ∥ (𝑥 · 𝑡)}
27	21, 24, 26	3eqtr4g 2254	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑦 · 𝑠)} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑥 · 𝑡)})
28	27	supeq1d 7053	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑦 · 𝑠)}, ℝ, < ) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑥 · 𝑡)}, ℝ, < ))
29		pceu.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
30	2	nnzd 9447	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ ℤ)
31	2	nnne0d 9035	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑦 ≠ 0)
32		pceu.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
33	12, 15	div0apd 8814	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 / 𝑡) = 0)
34		oveq1 5929	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = 0 → (𝑠 / 𝑡) = (0 / 𝑡))
35	34	eqeq1d 2205	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = 0 → ((𝑠 / 𝑡) = 0 ↔ (0 / 𝑡) = 0))
36	33, 35	syl5ibrcom 157	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑠 = 0 → (𝑠 / 𝑡) = 0))
37	8	eqeq1d 2205	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = 0 ↔ (𝑠 / 𝑡) = 0))
38	36, 37	sylibrd 169	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑠 = 0 → 𝑁 = 0))
39	38	necon3d 2411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ≠ 0 → 𝑠 ≠ 0))
40	32, 39	mpd 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑠 ≠ 0)
41		pcval.2	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑦}, ℝ, < )
42		pceu.3	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < )
43		eqid 2196	. . . . 5 ⊢ sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑦 · 𝑠)}, ℝ, < ) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑦 · 𝑠)}, ℝ, < )
44	41, 42, 43	pcpremul 12462	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → (𝑇 + 𝑈) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑦 · 𝑠)}, ℝ, < ))
45	29, 30, 31, 5, 40, 44	syl122anc 1258	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 + 𝑈) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑦 · 𝑠)}, ℝ, < ))
46	3, 16	div0apd 8814	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 / 𝑦) = 0)
47		oveq1 5929	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 / 𝑦) = (0 / 𝑦))
48	47	eqeq1d 2205	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 / 𝑦) = 0 ↔ (0 / 𝑦) = 0))
49	46, 48	syl5ibrcom 157	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 = 0 → (𝑥 / 𝑦) = 0))
50	9	eqeq1d 2205	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = 0 ↔ (𝑥 / 𝑦) = 0))
51	49, 50	sylibrd 169	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 = 0 → 𝑁 = 0))
52	51	necon3d 2411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ≠ 0 → 𝑥 ≠ 0))
53	32, 52	mpd 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ≠ 0)
54	11	nnzd 9447	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ℤ)
55	11	nnne0d 9035	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑡 ≠ 0)
56		pcval.1	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑥}, ℝ, < )
57		pceu.4	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )
58		eqid 2196	. . . . 5 ⊢ sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑥 · 𝑡)}, ℝ, < ) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑥 · 𝑡)}, ℝ, < )
59	56, 57, 58	pcpremul 12462	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑡 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (𝑆 + 𝑉) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑥 · 𝑡)}, ℝ, < ))
60	29, 13, 53, 54, 55, 59	syl122anc 1258	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 + 𝑉) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑥 · 𝑡)}, ℝ, < ))
61	28, 45, 60	3eqtr4d 2239	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 + 𝑈) = (𝑆 + 𝑉))
62		prmuz2 12299	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
63	29, 62	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
64		eqid 2196	. . . . . . 7 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑦} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑦}
65	64, 41	pcprecl 12458	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑇 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑇) ∥ 𝑦))
66	65	simpld 112	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → 𝑇 ∈ ℕ0)
67	63, 30, 31, 66	syl12anc 1247	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℕ0)
68	67	nn0cnd 9304	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
69		eqid 2196	. . . . . . 7 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}
70	69, 42	pcprecl 12458	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → (𝑈 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑈) ∥ 𝑠))
71	70	simpld 112	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → 𝑈 ∈ ℕ0)
72	63, 5, 40, 71	syl12anc 1247	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℕ0)
73	72	nn0cnd 9304	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂ)
74		eqid 2196	. . . . . . 7 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑥} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑥}
75	74, 56	pcprecl 12458	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑆) ∥ 𝑥))
76	75	simpld 112	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
77	63, 13, 53, 76	syl12anc 1247	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
78	77	nn0cnd 9304	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
79		eqid 2196	. . . . . . 7 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}
80	79, 57	pcprecl 12458	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑡 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (𝑉 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑉) ∥ 𝑡))
81	80	simpld 112	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑡 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → 𝑉 ∈ ℕ0)
82	63, 54, 55, 81	syl12anc 1247	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℕ0)
83	82	nn0cnd 9304	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℂ)
84	68, 73, 78, 83	addsubeq4d 8388	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 + 𝑈) = (𝑆 + 𝑉) ↔ (𝑆 − 𝑇) = (𝑈 − 𝑉)))
85	61, 84	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 − 𝑇) = (𝑈 − 𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367  {crab 2479   class class class wbr 4033  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  supcsup 7048  ℝcr 7878  0cc0 7879   + caddc 7882   · cmul 7884   < clt 8061   − cmin 8197   / cdiv 8699  ℕcn 8990  2c2 9041  ℕ₀cn0 9249  ℤcz 9326  ℤ_≥cuz 9601  ↑cexp 10630   ∥ cdvds 11952  ℙcprime 12275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-1o 6474  df-2o 6475  df-er 6592  df-en 6800  df-sup 7050  df-inf 7051  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-fl 10360  df-mod 10415  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-dvds 11953  df-gcd 12121  df-prm 12276

This theorem is referenced by:  pceu  12464