Theorem pceulem 12277

Description: Lemma for pceu 12278. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcval.1	⊢ 𝑆 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑥}, ℝ, < )
pcval.2	⊢ 𝑇 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑦}, ℝ, < )
pceu.3	⊢ 𝑈 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < )
pceu.4	⊢ 𝑉 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )
pceu.5	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
pceu.6	⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
pceu.7	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ))
pceu.8	⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑥 / 𝑦))
pceu.9	⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℕ))
pceu.10	⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑠 / 𝑡))

Assertion

Ref	Expression
pceulem	⊢ (𝜑 → (𝑆 − 𝑇) = (𝑈 − 𝑉))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑁   𝑃,𝑛,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦   𝑆,𝑠,𝑡   𝑇,𝑠,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑡,𝑛,𝑠)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑡,𝑛,𝑠)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑡,𝑛,𝑠)

Proof of Theorem pceulem

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pceu.7	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ))
2	1	simprd 114	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ ℕ)
3	2	nncnd 8922	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ ℂ)
4		pceu.9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℕ))
5	4	simpld 112	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑠 ∈ ℤ)
6	5	zcnd 9365	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑠 ∈ ℂ)
7	3, 6	mulcomd 7969	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 · 𝑠) = (𝑠 · 𝑦))
8		pceu.10	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑠 / 𝑡))
9		pceu.8	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑥 / 𝑦))
10	8, 9	eqtr3d 2212	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑠 / 𝑡) = (𝑥 / 𝑦))
11	4	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ℕ)
12	11	nncnd 8922	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ℂ)
13	1	simpld 112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ ℤ)
14	13	zcnd 9365	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ ℂ)
15	11	nnap0d 8954	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑡 # 0)
16	2	nnap0d 8954	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑦 # 0)
17	6, 12, 14, 3, 15, 16	divmuleqapd 8779	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑠 / 𝑡) = (𝑥 / 𝑦) ↔ (𝑠 · 𝑦) = (𝑥 · 𝑡)))
18	10, 17	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑠 · 𝑦) = (𝑥 · 𝑡))
19	7, 18	eqtrd 2210	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 · 𝑠) = (𝑥 · 𝑡))
20	19	breq2d 4012	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑𝑧) ∥ (𝑦 · 𝑠) ↔ (𝑃↑𝑧) ∥ (𝑥 · 𝑡)))
21	20	rabbidv 2726	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑧) ∥ (𝑦 · 𝑠)} = {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑧) ∥ (𝑥 · 𝑡)})
22		oveq2 5877	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → (𝑃↑𝑛) = (𝑃↑𝑧))
23	22	breq1d 4010	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → ((𝑃↑𝑛) ∥ (𝑦 · 𝑠) ↔ (𝑃↑𝑧) ∥ (𝑦 · 𝑠)))
24	23	cbvrabv 2736	. . . . 5 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑦 · 𝑠)} = {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑧) ∥ (𝑦 · 𝑠)}
25	22	breq1d 4010	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → ((𝑃↑𝑛) ∥ (𝑥 · 𝑡) ↔ (𝑃↑𝑧) ∥ (𝑥 · 𝑡)))
26	25	cbvrabv 2736	. . . . 5 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑥 · 𝑡)} = {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑧) ∥ (𝑥 · 𝑡)}
27	21, 24, 26	3eqtr4g 2235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑦 · 𝑠)} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑥 · 𝑡)})
28	27	supeq1d 6980	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑦 · 𝑠)}, ℝ, < ) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑥 · 𝑡)}, ℝ, < ))
29		pceu.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
30	2	nnzd 9363	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ ℤ)
31	2	nnne0d 8953	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑦 ≠ 0)
32		pceu.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
33	12, 15	div0apd 8733	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 / 𝑡) = 0)
34		oveq1 5876	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = 0 → (𝑠 / 𝑡) = (0 / 𝑡))
35	34	eqeq1d 2186	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = 0 → ((𝑠 / 𝑡) = 0 ↔ (0 / 𝑡) = 0))
36	33, 35	syl5ibrcom 157	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑠 = 0 → (𝑠 / 𝑡) = 0))
37	8	eqeq1d 2186	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = 0 ↔ (𝑠 / 𝑡) = 0))
38	36, 37	sylibrd 169	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑠 = 0 → 𝑁 = 0))
39	38	necon3d 2391	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ≠ 0 → 𝑠 ≠ 0))
40	32, 39	mpd 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑠 ≠ 0)
41		pcval.2	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑦}, ℝ, < )
42		pceu.3	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < )
43		eqid 2177	. . . . 5 ⊢ sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑦 · 𝑠)}, ℝ, < ) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑦 · 𝑠)}, ℝ, < )
44	41, 42, 43	pcpremul 12276	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → (𝑇 + 𝑈) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑦 · 𝑠)}, ℝ, < ))
45	29, 30, 31, 5, 40, 44	syl122anc 1247	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 + 𝑈) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑦 · 𝑠)}, ℝ, < ))
46	3, 16	div0apd 8733	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 / 𝑦) = 0)
47		oveq1 5876	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 / 𝑦) = (0 / 𝑦))
48	47	eqeq1d 2186	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 / 𝑦) = 0 ↔ (0 / 𝑦) = 0))
49	46, 48	syl5ibrcom 157	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 = 0 → (𝑥 / 𝑦) = 0))
50	9	eqeq1d 2186	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = 0 ↔ (𝑥 / 𝑦) = 0))
51	49, 50	sylibrd 169	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 = 0 → 𝑁 = 0))
52	51	necon3d 2391	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ≠ 0 → 𝑥 ≠ 0))
53	32, 52	mpd 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ≠ 0)
54	11	nnzd 9363	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ℤ)
55	11	nnne0d 8953	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑡 ≠ 0)
56		pcval.1	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑥}, ℝ, < )
57		pceu.4	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )
58		eqid 2177	. . . . 5 ⊢ sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑥 · 𝑡)}, ℝ, < ) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑥 · 𝑡)}, ℝ, < )
59	56, 57, 58	pcpremul 12276	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑡 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (𝑆 + 𝑉) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑥 · 𝑡)}, ℝ, < ))
60	29, 13, 53, 54, 55, 59	syl122anc 1247	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 + 𝑉) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑥 · 𝑡)}, ℝ, < ))
61	28, 45, 60	3eqtr4d 2220	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 + 𝑈) = (𝑆 + 𝑉))
62		prmuz2 12114	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
63	29, 62	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
64		eqid 2177	. . . . . . 7 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑦} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑦}
65	64, 41	pcprecl 12272	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑇 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑇) ∥ 𝑦))
66	65	simpld 112	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → 𝑇 ∈ ℕ0)
67	63, 30, 31, 66	syl12anc 1236	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℕ0)
68	67	nn0cnd 9220	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
69		eqid 2177	. . . . . . 7 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}
70	69, 42	pcprecl 12272	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → (𝑈 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑈) ∥ 𝑠))
71	70	simpld 112	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → 𝑈 ∈ ℕ0)
72	63, 5, 40, 71	syl12anc 1236	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℕ0)
73	72	nn0cnd 9220	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂ)
74		eqid 2177	. . . . . . 7 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑥} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑥}
75	74, 56	pcprecl 12272	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑆) ∥ 𝑥))
76	75	simpld 112	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
77	63, 13, 53, 76	syl12anc 1236	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
78	77	nn0cnd 9220	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
79		eqid 2177	. . . . . . 7 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}
80	79, 57	pcprecl 12272	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑡 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (𝑉 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑉) ∥ 𝑡))
81	80	simpld 112	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑡 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → 𝑉 ∈ ℕ0)
82	63, 54, 55, 81	syl12anc 1236	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℕ0)
83	82	nn0cnd 9220	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℂ)
84	68, 73, 78, 83	addsubeq4d 8309	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 + 𝑈) = (𝑆 + 𝑉) ↔ (𝑆 − 𝑇) = (𝑈 − 𝑉)))
85	61, 84	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 − 𝑇) = (𝑈 − 𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ≠ wne 2347  {crab 2459   class class class wbr 4000  ‘cfv 5212  (class class class)co 5869  supcsup 6975  ℝcr 7801  0cc0 7802   + caddc 7805   · cmul 7807   < clt 7982   − cmin 8118   / cdiv 8618  ℕcn 8908  2c2 8959  ℕ₀cn0 9165  ℤcz 9242  ℤ_≥cuz 9517  ↑cexp 10505   ∥ cdvds 11778  ℙcprime 12090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-1o 6411  df-2o 6412  df-er 6529  df-en 6735  df-sup 6977  df-inf 6978  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-fl 10256  df-mod 10309  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-dvds 11779  df-gcd 11927  df-prm 12091

This theorem is referenced by:  pceu  12278