Theorem gcdass 12522

Description: Associative law for gcd operator. Theorem 1.4(b) in [ApostolNT] p. 16. (Contributed by Scott Fenton, 2-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
gcdass	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd 𝑀) gcd 𝑃) = (𝑁 gcd (𝑀 gcd 𝑃)))

Proof of Theorem gcdass

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		anass 401	. . 3 ⊢ (((𝑁 = 0 ∧ 𝑀 = 0) ∧ 𝑃 = 0) ↔ (𝑁 = 0 ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑃 = 0)))
2		anass 401	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃) ↔ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ (𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)))
3	2	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (((𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃) ↔ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ (𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃))))
4	3	rabbiia 2784	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ ℤ ∣ ((𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ (𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃))}
5	4	supeq1i 7143	. . 3 ⊢ sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ ((𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)}, ℝ, < ) = sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ (𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃))}, ℝ, < )
6	1, 5	ifbieq2i 3626	. 2 ⊢ if(((𝑁 = 0 ∧ 𝑀 = 0) ∧ 𝑃 = 0), 0, sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ ((𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)}, ℝ, < )) = if((𝑁 = 0 ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑃 = 0)), 0, sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ (𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃))}, ℝ, < ))
7		gcdcl 12473	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd 𝑀) ∈ ℕ0)
8	7	3adant3 1041	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd 𝑀) ∈ ℕ0)
9	8	nn0zd 9555	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd 𝑀) ∈ ℤ)
10		simp3 1023	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℤ)
11		gcdval 12466	. . . 4 ⊢ (((𝑁 gcd 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd 𝑀) gcd 𝑃) = if(((𝑁 gcd 𝑀) = 0 ∧ 𝑃 = 0), 0, sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ (𝑁 gcd 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)}, ℝ, < )))
12	9, 10, 11	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd 𝑀) gcd 𝑃) = if(((𝑁 gcd 𝑀) = 0 ∧ 𝑃 = 0), 0, sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ (𝑁 gcd 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)}, ℝ, < )))
13		gcdeq0 12484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd 𝑀) = 0 ↔ (𝑁 = 0 ∧ 𝑀 = 0)))
14	13	3adant3 1041	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd 𝑀) = 0 ↔ (𝑁 = 0 ∧ 𝑀 = 0)))
15	14	anbi1d 465	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (((𝑁 gcd 𝑀) = 0 ∧ 𝑃 = 0) ↔ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑀 = 0) ∧ 𝑃 = 0)))
16	15	bicomd 141	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (((𝑁 = 0 ∧ 𝑀 = 0) ∧ 𝑃 = 0) ↔ ((𝑁 gcd 𝑀) = 0 ∧ 𝑃 = 0)))
17		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
18		simpl1 1024	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
19		simpl2 1025	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
20		dvdsgcdb 12520	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ 𝑀) ↔ 𝑥 ∥ (𝑁 gcd 𝑀)))
21	17, 18, 19, 20	syl3anc 1271	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ 𝑀) ↔ 𝑥 ∥ (𝑁 gcd 𝑀)))
22	21	anbi1d 465	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃) ↔ (𝑥 ∥ (𝑁 gcd 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)))
23	22	rabbidva 2787	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℤ ∣ ((𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ (𝑁 gcd 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)})
24	23	supeq1d 7142	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ ((𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)}, ℝ, < ) = sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ (𝑁 gcd 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)}, ℝ, < ))
25	16, 24	ifbieq2d 3627	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → if(((𝑁 = 0 ∧ 𝑀 = 0) ∧ 𝑃 = 0), 0, sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ ((𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)}, ℝ, < )) = if(((𝑁 gcd 𝑀) = 0 ∧ 𝑃 = 0), 0, sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ (𝑁 gcd 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)}, ℝ, < )))
26	12, 25	eqtr4d 2265	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd 𝑀) gcd 𝑃) = if(((𝑁 = 0 ∧ 𝑀 = 0) ∧ 𝑃 = 0), 0, sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ ((𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)}, ℝ, < )))
27		simp1 1021	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
28		gcdcl 12473	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑃) ∈ ℕ0)
29	28	3adant1 1039	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑃) ∈ ℕ0)
30	29	nn0zd 9555	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑃) ∈ ℤ)
31		gcdval 12466	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 gcd 𝑃) ∈ ℤ) → (𝑁 gcd (𝑀 gcd 𝑃)) = if((𝑁 = 0 ∧ (𝑀 gcd 𝑃) = 0), 0, sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ (𝑀 gcd 𝑃))}, ℝ, < )))
32	27, 30, 31	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd (𝑀 gcd 𝑃)) = if((𝑁 = 0 ∧ (𝑀 gcd 𝑃) = 0), 0, sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ (𝑀 gcd 𝑃))}, ℝ, < )))
33		gcdeq0 12484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑃) = 0 ↔ (𝑀 = 0 ∧ 𝑃 = 0)))
34	33	3adant1 1039	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑃) = 0 ↔ (𝑀 = 0 ∧ 𝑃 = 0)))
35	34	anbi2d 464	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑁 = 0 ∧ (𝑀 gcd 𝑃) = 0) ↔ (𝑁 = 0 ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑃 = 0))))
36	35	bicomd 141	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑁 = 0 ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑃 = 0)) ↔ (𝑁 = 0 ∧ (𝑀 gcd 𝑃) = 0)))
37		simpl3 1026	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℤ)
38		dvdsgcdb 12520	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃) ↔ 𝑥 ∥ (𝑀 gcd 𝑃)))
39	17, 19, 37, 38	syl3anc 1271	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃) ↔ 𝑥 ∥ (𝑀 gcd 𝑃)))
40	39	anbi2d 464	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∥ 𝑁 ∧ (𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)) ↔ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ (𝑀 gcd 𝑃))))
41	40	rabbidva 2787	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ (𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃))} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ (𝑀 gcd 𝑃))})
42	41	supeq1d 7142	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ (𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃))}, ℝ, < ) = sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ (𝑀 gcd 𝑃))}, ℝ, < ))
43	36, 42	ifbieq2d 3627	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → if((𝑁 = 0 ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑃 = 0)), 0, sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ (𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃))}, ℝ, < )) = if((𝑁 = 0 ∧ (𝑀 gcd 𝑃) = 0), 0, sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ (𝑀 gcd 𝑃))}, ℝ, < )))
44	32, 43	eqtr4d 2265	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd (𝑀 gcd 𝑃)) = if((𝑁 = 0 ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑃 = 0)), 0, sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ (𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃))}, ℝ, < )))
45	6, 26, 44	3eqtr4a 2288	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd 𝑀) gcd 𝑃) = (𝑁 gcd (𝑀 gcd 𝑃)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {crab 2512  ifcif 3602   class class class wbr 4082  (class class class)co 5994  supcsup 7137  ℝcr 7986  0cc0 7987   < clt 8169  ℕ₀cn0 9357  ℤcz 9434   ∥ cdvds 12284   gcd cgcd 12460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-iinf 4677  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-mulrcl 8086  ax-addcom 8087  ax-mulcom 8088  ax-addass 8089  ax-mulass 8090  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-1rid 8094  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-precex 8097  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-apti 8102  ax-pre-ltadd 8103  ax-pre-mulgt0 8104  ax-pre-mulext 8105  ax-arch 8106  ax-caucvg 8107

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4381  df-po 4384  df-iso 4385  df-iord 4454  df-on 4456  df-ilim 4457  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-recs 6441  df-frec 6527  df-sup 7139  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-reap 8710  df-ap 8717  df-div 8808  df-inn 9099  df-2 9157  df-3 9158  df-4 9159  df-n0 9358  df-z 9435  df-uz 9711  df-q 9803  df-rp 9838  df-fz 10193  df-fzo 10327  df-fl 10477  df-mod 10532  df-seqfrec 10657  df-exp 10748  df-cj 11339  df-re 11340  df-im 11341  df-rsqrt 11495  df-abs 11496  df-dvds 12285  df-gcd 12461

This theorem is referenced by:  rpmulgcd  12533  coprimeprodsq  12766