Theorem gcdass 12647

Description: Associative law for gcd operator. Theorem 1.4(b) in [ApostolNT] p. 16. (Contributed by Scott Fenton, 2-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
gcdass	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd 𝑀) gcd 𝑃) = (𝑁 gcd (𝑀 gcd 𝑃)))

Proof of Theorem gcdass

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		anass 401	. . 3 ⊢ (((𝑁 = 0 ∧ 𝑀 = 0) ∧ 𝑃 = 0) ↔ (𝑁 = 0 ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑃 = 0)))
2		anass 401	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃) ↔ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ (𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)))
3	2	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (((𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃) ↔ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ (𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃))))
4	3	rabbiia 2789	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ ℤ ∣ ((𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ (𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃))}
5	4	supeq1i 7230	. . 3 ⊢ sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ ((𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)}, ℝ, < ) = sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ (𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃))}, ℝ, < )
6	1, 5	ifbieq2i 3633	. 2 ⊢ if(((𝑁 = 0 ∧ 𝑀 = 0) ∧ 𝑃 = 0), 0, sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ ((𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)}, ℝ, < )) = if((𝑁 = 0 ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑃 = 0)), 0, sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ (𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃))}, ℝ, < ))
7		gcdcl 12598	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd 𝑀) ∈ ℕ0)
8	7	3adant3 1044	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd 𝑀) ∈ ℕ0)
9	8	nn0zd 9643	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd 𝑀) ∈ ℤ)
10		simp3 1026	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℤ)
11		gcdval 12591	. . . 4 ⊢ (((𝑁 gcd 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd 𝑀) gcd 𝑃) = if(((𝑁 gcd 𝑀) = 0 ∧ 𝑃 = 0), 0, sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ (𝑁 gcd 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)}, ℝ, < )))
12	9, 10, 11	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd 𝑀) gcd 𝑃) = if(((𝑁 gcd 𝑀) = 0 ∧ 𝑃 = 0), 0, sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ (𝑁 gcd 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)}, ℝ, < )))
13		gcdeq0 12609	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd 𝑀) = 0 ↔ (𝑁 = 0 ∧ 𝑀 = 0)))
14	13	3adant3 1044	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd 𝑀) = 0 ↔ (𝑁 = 0 ∧ 𝑀 = 0)))
15	14	anbi1d 465	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (((𝑁 gcd 𝑀) = 0 ∧ 𝑃 = 0) ↔ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑀 = 0) ∧ 𝑃 = 0)))
16	15	bicomd 141	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (((𝑁 = 0 ∧ 𝑀 = 0) ∧ 𝑃 = 0) ↔ ((𝑁 gcd 𝑀) = 0 ∧ 𝑃 = 0)))
17		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
18		simpl1 1027	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
19		simpl2 1028	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
20		dvdsgcdb 12645	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ 𝑀) ↔ 𝑥 ∥ (𝑁 gcd 𝑀)))
21	17, 18, 19, 20	syl3anc 1274	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ 𝑀) ↔ 𝑥 ∥ (𝑁 gcd 𝑀)))
22	21	anbi1d 465	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃) ↔ (𝑥 ∥ (𝑁 gcd 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)))
23	22	rabbidva 2791	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℤ ∣ ((𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ (𝑁 gcd 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)})
24	23	supeq1d 7229	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ ((𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)}, ℝ, < ) = sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ (𝑁 gcd 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)}, ℝ, < ))
25	16, 24	ifbieq2d 3634	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → if(((𝑁 = 0 ∧ 𝑀 = 0) ∧ 𝑃 = 0), 0, sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ ((𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)}, ℝ, < )) = if(((𝑁 gcd 𝑀) = 0 ∧ 𝑃 = 0), 0, sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ (𝑁 gcd 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)}, ℝ, < )))
26	12, 25	eqtr4d 2267	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd 𝑀) gcd 𝑃) = if(((𝑁 = 0 ∧ 𝑀 = 0) ∧ 𝑃 = 0), 0, sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ ((𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)}, ℝ, < )))
27		simp1 1024	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
28		gcdcl 12598	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑃) ∈ ℕ0)
29	28	3adant1 1042	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑃) ∈ ℕ0)
30	29	nn0zd 9643	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑃) ∈ ℤ)
31		gcdval 12591	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 gcd 𝑃) ∈ ℤ) → (𝑁 gcd (𝑀 gcd 𝑃)) = if((𝑁 = 0 ∧ (𝑀 gcd 𝑃) = 0), 0, sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ (𝑀 gcd 𝑃))}, ℝ, < )))
32	27, 30, 31	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd (𝑀 gcd 𝑃)) = if((𝑁 = 0 ∧ (𝑀 gcd 𝑃) = 0), 0, sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ (𝑀 gcd 𝑃))}, ℝ, < )))
33		gcdeq0 12609	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑃) = 0 ↔ (𝑀 = 0 ∧ 𝑃 = 0)))
34	33	3adant1 1042	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑃) = 0 ↔ (𝑀 = 0 ∧ 𝑃 = 0)))
35	34	anbi2d 464	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑁 = 0 ∧ (𝑀 gcd 𝑃) = 0) ↔ (𝑁 = 0 ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑃 = 0))))
36	35	bicomd 141	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑁 = 0 ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑃 = 0)) ↔ (𝑁 = 0 ∧ (𝑀 gcd 𝑃) = 0)))
37		simpl3 1029	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℤ)
38		dvdsgcdb 12645	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃) ↔ 𝑥 ∥ (𝑀 gcd 𝑃)))
39	17, 19, 37, 38	syl3anc 1274	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃) ↔ 𝑥 ∥ (𝑀 gcd 𝑃)))
40	39	anbi2d 464	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∥ 𝑁 ∧ (𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)) ↔ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ (𝑀 gcd 𝑃))))
41	40	rabbidva 2791	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ (𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃))} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ (𝑀 gcd 𝑃))})
42	41	supeq1d 7229	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ (𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃))}, ℝ, < ) = sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ (𝑀 gcd 𝑃))}, ℝ, < ))
43	36, 42	ifbieq2d 3634	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → if((𝑁 = 0 ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑃 = 0)), 0, sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ (𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃))}, ℝ, < )) = if((𝑁 = 0 ∧ (𝑀 gcd 𝑃) = 0), 0, sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ (𝑀 gcd 𝑃))}, ℝ, < )))
44	32, 43	eqtr4d 2267	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd (𝑀 gcd 𝑃)) = if((𝑁 = 0 ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑃 = 0)), 0, sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ (𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃))}, ℝ, < )))
45	6, 26, 44	3eqtr4a 2290	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd 𝑀) gcd 𝑃) = (𝑁 gcd (𝑀 gcd 𝑃)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  {crab 2515  ifcif 3607   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028  supcsup 7224  ℝcr 8074  0cc0 8075   < clt 8257  ℕ₀cn0 9445  ℤcz 9522   ∥ cdvds 12409   gcd cgcd 12585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-sup 7226  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-reap 8798  df-ap 8805  df-div 8896  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-4 9247  df-n0 9446  df-z 9523  df-uz 9799  df-q 9897  df-rp 9932  df-fz 10287  df-fzo 10421  df-fl 10574  df-mod 10629  df-seqfrec 10754  df-exp 10845  df-cj 11463  df-re 11464  df-im 11465  df-rsqrt 11619  df-abs 11620  df-dvds 12410  df-gcd 12586

This theorem is referenced by:  rpmulgcd  12658  coprimeprodsq  12891