Theorem gcdass 12019

Description: Associative law for gcd operator. Theorem 1.4(b) in [ApostolNT] p. 16. (Contributed by Scott Fenton, 2-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
gcdass	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd 𝑀) gcd 𝑃) = (𝑁 gcd (𝑀 gcd 𝑃)))

Proof of Theorem gcdass

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		anass 401	. . 3 ⊢ (((𝑁 = 0 ∧ 𝑀 = 0) ∧ 𝑃 = 0) ↔ (𝑁 = 0 ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑃 = 0)))
2		anass 401	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃) ↔ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ (𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)))
3	2	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (((𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃) ↔ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ (𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃))))
4	3	rabbiia 2724	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ ℤ ∣ ((𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ (𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃))}
5	4	supeq1i 6990	. . 3 ⊢ sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ ((𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)}, ℝ, < ) = sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ (𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃))}, ℝ, < )
6	1, 5	ifbieq2i 3559	. 2 ⊢ if(((𝑁 = 0 ∧ 𝑀 = 0) ∧ 𝑃 = 0), 0, sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ ((𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)}, ℝ, < )) = if((𝑁 = 0 ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑃 = 0)), 0, sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ (𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃))}, ℝ, < ))
7		gcdcl 11970	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd 𝑀) ∈ ℕ0)
8	7	3adant3 1017	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd 𝑀) ∈ ℕ0)
9	8	nn0zd 9376	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd 𝑀) ∈ ℤ)
10		simp3 999	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℤ)
11		gcdval 11963	. . . 4 ⊢ (((𝑁 gcd 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd 𝑀) gcd 𝑃) = if(((𝑁 gcd 𝑀) = 0 ∧ 𝑃 = 0), 0, sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ (𝑁 gcd 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)}, ℝ, < )))
12	9, 10, 11	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd 𝑀) gcd 𝑃) = if(((𝑁 gcd 𝑀) = 0 ∧ 𝑃 = 0), 0, sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ (𝑁 gcd 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)}, ℝ, < )))
13		gcdeq0 11981	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd 𝑀) = 0 ↔ (𝑁 = 0 ∧ 𝑀 = 0)))
14	13	3adant3 1017	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd 𝑀) = 0 ↔ (𝑁 = 0 ∧ 𝑀 = 0)))
15	14	anbi1d 465	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (((𝑁 gcd 𝑀) = 0 ∧ 𝑃 = 0) ↔ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑀 = 0) ∧ 𝑃 = 0)))
16	15	bicomd 141	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (((𝑁 = 0 ∧ 𝑀 = 0) ∧ 𝑃 = 0) ↔ ((𝑁 gcd 𝑀) = 0 ∧ 𝑃 = 0)))
17		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
18		simpl1 1000	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
19		simpl2 1001	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
20		dvdsgcdb 12017	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ 𝑀) ↔ 𝑥 ∥ (𝑁 gcd 𝑀)))
21	17, 18, 19, 20	syl3anc 1238	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ 𝑀) ↔ 𝑥 ∥ (𝑁 gcd 𝑀)))
22	21	anbi1d 465	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃) ↔ (𝑥 ∥ (𝑁 gcd 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)))
23	22	rabbidva 2727	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℤ ∣ ((𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ (𝑁 gcd 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)})
24	23	supeq1d 6989	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ ((𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)}, ℝ, < ) = sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ (𝑁 gcd 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)}, ℝ, < ))
25	16, 24	ifbieq2d 3560	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → if(((𝑁 = 0 ∧ 𝑀 = 0) ∧ 𝑃 = 0), 0, sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ ((𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)}, ℝ, < )) = if(((𝑁 gcd 𝑀) = 0 ∧ 𝑃 = 0), 0, sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ (𝑁 gcd 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)}, ℝ, < )))
26	12, 25	eqtr4d 2213	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd 𝑀) gcd 𝑃) = if(((𝑁 = 0 ∧ 𝑀 = 0) ∧ 𝑃 = 0), 0, sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ ((𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)}, ℝ, < )))
27		simp1 997	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
28		gcdcl 11970	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑃) ∈ ℕ0)
29	28	3adant1 1015	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑃) ∈ ℕ0)
30	29	nn0zd 9376	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑃) ∈ ℤ)
31		gcdval 11963	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 gcd 𝑃) ∈ ℤ) → (𝑁 gcd (𝑀 gcd 𝑃)) = if((𝑁 = 0 ∧ (𝑀 gcd 𝑃) = 0), 0, sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ (𝑀 gcd 𝑃))}, ℝ, < )))
32	27, 30, 31	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd (𝑀 gcd 𝑃)) = if((𝑁 = 0 ∧ (𝑀 gcd 𝑃) = 0), 0, sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ (𝑀 gcd 𝑃))}, ℝ, < )))
33		gcdeq0 11981	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑃) = 0 ↔ (𝑀 = 0 ∧ 𝑃 = 0)))
34	33	3adant1 1015	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑃) = 0 ↔ (𝑀 = 0 ∧ 𝑃 = 0)))
35	34	anbi2d 464	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑁 = 0 ∧ (𝑀 gcd 𝑃) = 0) ↔ (𝑁 = 0 ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑃 = 0))))
36	35	bicomd 141	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑁 = 0 ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑃 = 0)) ↔ (𝑁 = 0 ∧ (𝑀 gcd 𝑃) = 0)))
37		simpl3 1002	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℤ)
38		dvdsgcdb 12017	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃) ↔ 𝑥 ∥ (𝑀 gcd 𝑃)))
39	17, 19, 37, 38	syl3anc 1238	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃) ↔ 𝑥 ∥ (𝑀 gcd 𝑃)))
40	39	anbi2d 464	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∥ 𝑁 ∧ (𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)) ↔ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ (𝑀 gcd 𝑃))))
41	40	rabbidva 2727	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ (𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃))} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ (𝑀 gcd 𝑃))})
42	41	supeq1d 6989	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ (𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃))}, ℝ, < ) = sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ (𝑀 gcd 𝑃))}, ℝ, < ))
43	36, 42	ifbieq2d 3560	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → if((𝑁 = 0 ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑃 = 0)), 0, sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ (𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃))}, ℝ, < )) = if((𝑁 = 0 ∧ (𝑀 gcd 𝑃) = 0), 0, sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ (𝑀 gcd 𝑃))}, ℝ, < )))
44	32, 43	eqtr4d 2213	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd (𝑀 gcd 𝑃)) = if((𝑁 = 0 ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑃 = 0)), 0, sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ (𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃))}, ℝ, < )))
45	6, 26, 44	3eqtr4a 2236	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd 𝑀) gcd 𝑃) = (𝑁 gcd (𝑀 gcd 𝑃)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  {crab 2459  ifcif 3536   class class class wbr 4005  (class class class)co 5878  supcsup 6984  ℝcr 7813  0cc0 7814   < clt 7995  ℕ₀cn0 9179  ℤcz 9256   ∥ cdvds 11797   gcd cgcd 11946

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932  ax-arch 7933  ax-caucvg 7934

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-frec 6395  df-sup 6986  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-q 9623  df-rp 9657  df-fz 10012  df-fzo 10146  df-fl 10273  df-mod 10326  df-seqfrec 10449  df-exp 10523  df-cj 10854  df-re 10855  df-im 10856  df-rsqrt 11010  df-abs 11011  df-dvds 11798  df-gcd 11947

This theorem is referenced by:  rpmulgcd  12030  coprimeprodsq  12260