Theorem pcneg 12888

Description: The prime count of a negative number. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pcneg	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (𝑃 pCnt -𝐴) = (𝑃 pCnt 𝐴))

Proof of Theorem pcneg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 9846	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
2		zcn 9474	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
3	2	ad2antrl 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
4		nncn 9141	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
5	4	ad2antll 491	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
6		nnap0 9162	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 # 0)
7	6	ad2antll 491	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 𝑦 # 0)
8	3, 5, 7	divnegapd 8973	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → -(𝑥 / 𝑦) = (-𝑥 / 𝑦))
9	8	oveq2d 6029	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑃 pCnt -(𝑥 / 𝑦)) = (𝑃 pCnt (-𝑥 / 𝑦)))
10		neg0 8415	. . . . . . . . . 10 ⊢ -0 = 0
11		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 = 0) → 𝑥 = 0)
12	11	negeqd 8364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 = 0) → -𝑥 = -0)
13	10, 12, 11	3eqtr4a 2288	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 = 0) → -𝑥 = 𝑥)
14	13	oveq1d 6028	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 = 0) → (-𝑥 / 𝑦) = (𝑥 / 𝑦))
15	14	oveq2d 6029	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 = 0) → (𝑃 pCnt (-𝑥 / 𝑦)) = (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)))
16		simpll 527	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → 𝑃 ∈ ℙ)
17		simplrl 535	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → 𝑥 ∈ ℤ)
18	17	znegcld 9594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → -𝑥 ∈ ℤ)
19		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → 𝑥 ≠ 0)
20	2	negne0bd 8473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 ≠ 0 ↔ -𝑥 ≠ 0))
21	17, 20	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑥 ≠ 0 ↔ -𝑥 ≠ 0))
22	19, 21	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → -𝑥 ≠ 0)
23		eqid 2229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ sup({𝑦 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑦) ∥ -𝑥}, ℝ, < ) = sup({𝑦 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑦) ∥ -𝑥}, ℝ, < )
24	23	pczpre 12860	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (-𝑥 ∈ ℤ ∧ -𝑥 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt -𝑥) = sup({𝑦 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑦) ∥ -𝑥}, ℝ, < ))
25	16, 18, 22, 24	syl12anc 1269	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑃 pCnt -𝑥) = sup({𝑦 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑦) ∥ -𝑥}, ℝ, < ))
26		eqid 2229	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ sup({𝑦 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑦) ∥ 𝑥}, ℝ, < ) = sup({𝑦 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑦) ∥ 𝑥}, ℝ, < )
27	26	pczpre 12860	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑥) = sup({𝑦 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑦) ∥ 𝑥}, ℝ, < ))
28		prmz 12673	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
29		zexpcl 10806	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝑦) ∈ ℤ)
30	28, 29	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝑦) ∈ ℤ)
31		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0) → 𝑥 ∈ ℤ)
32		dvdsnegb 12359	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃↑𝑦) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑃↑𝑦) ∥ 𝑥 ↔ (𝑃↑𝑦) ∥ -𝑥))
33	30, 31, 32	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → ((𝑃↑𝑦) ∥ 𝑥 ↔ (𝑃↑𝑦) ∥ -𝑥))
34	33	an32s 568	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑃↑𝑦) ∥ 𝑥 ↔ (𝑃↑𝑦) ∥ -𝑥))
35	34	rabbidva 2788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → {𝑦 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑦) ∥ 𝑥} = {𝑦 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑦) ∥ -𝑥})
36	35	supeq1d 7177	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → sup({𝑦 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑦) ∥ 𝑥}, ℝ, < ) = sup({𝑦 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑦) ∥ -𝑥}, ℝ, < ))
37	27, 36	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑥) = sup({𝑦 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑦) ∥ -𝑥}, ℝ, < ))
38	16, 17, 19, 37	syl12anc 1269	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑃 pCnt 𝑥) = sup({𝑦 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑦) ∥ -𝑥}, ℝ, < ))
39	25, 38	eqtr4d 2265	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑃 pCnt -𝑥) = (𝑃 pCnt 𝑥))
40	39	oveq1d 6028	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → ((𝑃 pCnt -𝑥) − (𝑃 pCnt 𝑦)) = ((𝑃 pCnt 𝑥) − (𝑃 pCnt 𝑦)))
41		simplrr 536	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → 𝑦 ∈ ℕ)
42		pcdiv 12865	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (-𝑥 ∈ ℤ ∧ -𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (-𝑥 / 𝑦)) = ((𝑃 pCnt -𝑥) − (𝑃 pCnt 𝑦)))
43	16, 18, 22, 41, 42	syl121anc 1276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑃 pCnt (-𝑥 / 𝑦)) = ((𝑃 pCnt -𝑥) − (𝑃 pCnt 𝑦)))
44		pcdiv 12865	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)) = ((𝑃 pCnt 𝑥) − (𝑃 pCnt 𝑦)))
45	16, 17, 19, 41, 44	syl121anc 1276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)) = ((𝑃 pCnt 𝑥) − (𝑃 pCnt 𝑦)))
46	40, 43, 45	3eqtr4d 2272	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑃 pCnt (-𝑥 / 𝑦)) = (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)))
47		simprl 529	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 𝑥 ∈ ℤ)
48		0zd 9481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 0 ∈ ℤ)
49		zdceq 9545	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑥 = 0)
50	47, 48, 49	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → DECID 𝑥 = 0)
51		dcne 2411	. . . . . . . 8 ⊢ (DECID 𝑥 = 0 ↔ (𝑥 = 0 ∨ 𝑥 ≠ 0))
52	50, 51	sylib 122	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑥 = 0 ∨ 𝑥 ≠ 0))
53	15, 46, 52	mpjaodan 803	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑃 pCnt (-𝑥 / 𝑦)) = (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)))
54	9, 53	eqtrd 2262	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑃 pCnt -(𝑥 / 𝑦)) = (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)))
55		negeq 8362	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → -𝐴 = -(𝑥 / 𝑦))
56	55	oveq2d 6029	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑃 pCnt -𝐴) = (𝑃 pCnt -(𝑥 / 𝑦)))
57		oveq2 6021	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑃 pCnt 𝐴) = (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)))
58	56, 57	eqeq12d 2244	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → ((𝑃 pCnt -𝐴) = (𝑃 pCnt 𝐴) ↔ (𝑃 pCnt -(𝑥 / 𝑦)) = (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦))))
59	54, 58	syl5ibrcom 157	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑃 pCnt -𝐴) = (𝑃 pCnt 𝐴)))
60	59	rexlimdvva 2656	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑃 pCnt -𝐴) = (𝑃 pCnt 𝐴)))
61	1, 60	biimtrid 152	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝐴 ∈ ℚ → (𝑃 pCnt -𝐴) = (𝑃 pCnt 𝐴)))
62	61	imp 124	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (𝑃 pCnt -𝐴) = (𝑃 pCnt 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 713  DECID wdc 839   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400  ∃wrex 2509  {crab 2512   class class class wbr 4086  (class class class)co 6013  supcsup 7172  ℂcc 8020  ℝcr 8021  0cc0 8022   < clt 8204   − cmin 8340  -cneg 8341   # cap 8751   / cdiv 8842  ℕcn 9133  ℕ₀cn0 9392  ℤcz 9469  ℚcq 9843  ↑cexp 10790   ∥ cdvds 12338  ℙcprime 12669   pCnt cpc 12847

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140  ax-arch 8141  ax-caucvg 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-1o 6577  df-2o 6578  df-er 6697  df-en 6905  df-sup 7174  df-inf 7175  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-q 9844  df-rp 9879  df-fz 10234  df-fzo 10368  df-fl 10520  df-mod 10575  df-seqfrec 10700  df-exp 10791  df-cj 11393  df-re 11394  df-im 11395  df-rsqrt 11549  df-abs 11550  df-dvds 12339  df-gcd 12515  df-prm 12670  df-pc 12848

This theorem is referenced by:  pcabs  12889  pcadd2  12904  lgsneg  15743