Theorem chss 31211

Description: A closed subspace of a Hilbert space is a subset of Hilbert space. (Contributed by NM, 24-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
chss	⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → 𝐻 ⊆ ℋ)

Proof of Theorem chss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chsh 31206	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → 𝐻 ∈ Sℋ )
2		shss 31192	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → 𝐻 ⊆ ℋ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → 𝐻 ⊆ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3898   ℋchba 30901   S_ℋ csh 30910   C_ℋ cch 30911

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-hilex 30981

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-xp 5625  df-cnv 5627  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fv 6494  df-ov 7355  df-sh 31189  df-ch 31203

This theorem is referenced by:  chel  31212  pjhcl  31383  dfch2  31389  shlub  31396  chsscon2  31484  chscllem2  31620  pjvec  31678  pjocvec  31679  pjhf  31690  elpjrn  32172