Theorem chss 31490

Description: A closed subspace of a Hilbert space is a subset of Hilbert space. (Contributed by NM, 24-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
chss	⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → 𝐻 ⊆ ℋ)

Proof of Theorem chss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chsh 31485	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → 𝐻 ∈ Sℋ )
2		shss 31471	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → 𝐻 ⊆ ℋ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → 𝐻 ⊆ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3907   ℋchba 31180   S_ℋ csh 31189   C_ℋ cch 31190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-hilex 31260

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-sb 2094  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-rab 3418  df-v 3459  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-xp 5658  df-cnv 5660  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fv 6533  df-ov 7403  df-sh 31468  df-ch 31482

This theorem is referenced by:  chel  31491  pjhcl  31662  dfch2  31668  shlub  31675  chsscon2  31763  chscllem2  31899  pjvec  31957  pjocvec  31958  pjhf  31969  elpjrn  32451