Theorem chss 31618

Description: A closed subspace of a Hilbert space is a subset of Hilbert space. (Contributed by NM, 24-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
chss	⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → 𝐻 ⊆ ℋ)

Proof of Theorem chss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chsh 31613	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → 𝐻 ∈ Sℋ )
2		shss 31599	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → 𝐻 ⊆ ℋ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → 𝐻 ⊆ ℋ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3908   ℋchba 31308   S_ℋ csh 31317   C_ℋ cch 31318

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-hilex 31388

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-rab 3420  df-v 3460  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-xp 5672  df-cnv 5674  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fv 6551  df-ov 7426  df-sh 31596  df-ch 31610

This theorem is used by:  chel  31619  pjhcl  31790  dfch2  31796  shlub  31803  chsscon2  31891  chscllem2  32027  pjvec  32085  pjocvec  32086  pjhf  32097  elpjrn  32579