Theorem chss 31813

Description: A closed subspace of a Hilbert space is a subset of Hilbert space. (Contributed by NM, 24-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
chss	⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → 𝐻 ⊆ ℋ)

Proof of Theorem chss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chsh 31808	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → 𝐻 ∈ Sℋ )
2		shss 31794	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → 𝐻 ⊆ ℋ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → 𝐻 ⊆ ℋ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899   ℋchba 31503   S_ℋ csh 31512   C_ℋ cch 31513

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-hilex 31583

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-xp 5657  df-cnv 5659  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fv 6539  df-ov 7415  df-sh 31791  df-ch 31805

This theorem is used by:  chel  31814  pjhcl  31985  dfch2  31991  shlub  31998  chsscon2  32086  chscllem2  32222  pjvec  32280  pjocvec  32281  pjhf  32292  elpjrn  32774