Theorem chscllem2 32286

Description: Lemma for chscl 32289. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
chscl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Cℋ )
chscl.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Cℋ )
chscl.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
chscl.4	⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵))
chscl.5	⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝𝑣 𝑢)
chscl.6	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
chscllem2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )

Distinct variable groups:   𝑢,𝑛,𝐴   𝜑,𝑛   𝐵,𝑛,𝑢   𝑛,𝐻,𝑢

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝐹(𝑢, 𝑛)

Proof of Theorem chscllem2

Dummy variables 𝑗 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chscl.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Cℋ )
2		chscl.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Cℋ )
3		chscl.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
4		chscl.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵))
5		chscl.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝𝑣 𝑢)
6		chscl.6	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	chscllem1 32285	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝐴)
8		chss 31877	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → 𝐴 ⊆ ℋ)
9	1, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℋ)
10	7, 9	fssd 6755	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ ℋ)
11		hlimcaui 31884	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ⇝𝑣 𝑢 → 𝐻 ∈ Cauchy)
12	5, 11	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Cauchy)
13		hcaucvg 31834	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ Cauchy ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘))) < 𝑥)
14	12, 13	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘))) < 𝑥)
15		eluznn 13083	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
16	15	adantll 727	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
17		chsh 31872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → 𝐴 ∈ Sℋ )
18	1, 17	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Sℋ )
19		chsh 31872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → 𝐵 ∈ Sℋ )
20	2, 19	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Sℋ )
21		shscl 31966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ )
22	18, 20, 21	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ )
23		shss 31858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ → (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ ℋ)
24	22, 23	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ ℋ)
25	24	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ ℋ)
26	4	ffvelcdmda 7114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑗) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
27	25, 26	sseldd 3914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑗) ∈ ℋ)
28	27	adantrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (𝐻‘𝑗) ∈ ℋ)
29	4, 24	fssd 6755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶ ℋ)
30	29	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 𝐻:ℕ⟶ ℋ)
31		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℕ)
32	30, 31	ffvelcdmd 7115	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (𝐻‘𝑘) ∈ ℋ)
33		hvsubcl 31665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐻‘𝑗) ∈ ℋ ∧ (𝐻‘𝑘) ∈ ℋ) → ((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) ∈ ℋ)
34	28, 32, 33	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) ∈ ℋ)
35	9	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝐴 ⊆ ℋ)
36	7	ffvelcdmda 7114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑗) ∈ 𝐴)
37	35, 36	sseldd 3914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℋ)
38	37	adantrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℋ)
39	9	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 𝐴 ⊆ ℋ)
40	7	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 𝐹:ℕ⟶𝐴)
41	40, 31	ffvelcdmd 7115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐴)
42	39, 41	sseldd 3914	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℋ)
43		hvsubcl 31665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐹‘𝑗) ∈ ℋ ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℋ) → ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)) ∈ ℋ)
44	38, 42, 43	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)) ∈ ℋ)
45		hvsubcl 31665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) ∈ ℋ ∧ ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)) ∈ ℋ) → (((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) −ℎ ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))) ∈ ℋ)
46	34, 44, 45	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) −ℎ ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))) ∈ ℋ)
47		normcl 31773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) −ℎ ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))) ∈ ℋ → (normℎ‘(((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) −ℎ ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)))) ∈ ℝ)
48	46, 47	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (normℎ‘(((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) −ℎ ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)))) ∈ ℝ)
49	48	sqge0d 14318	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 0 ≤ ((normℎ‘(((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) −ℎ ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))))↑2))
50		normcl 31773	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)) ∈ ℋ → (normℎ‘((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ)
51	44, 50	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (normℎ‘((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ)
52	51	resqcld 14306	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((normℎ‘((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)))↑2) ∈ ℝ)
53	48	resqcld 14306	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((normℎ‘(((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) −ℎ ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))))↑2) ∈ ℝ)
54	52, 53	addge01d 11942	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (0 ≤ ((normℎ‘(((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) −ℎ ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))))↑2) ↔ ((normℎ‘((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)))↑2) ≤ (((normℎ‘((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)))↑2) + ((normℎ‘(((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) −ℎ ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))))↑2))))
55	49, 54	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((normℎ‘((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)))↑2) ≤ (((normℎ‘((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)))↑2) + ((normℎ‘(((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) −ℎ ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))))↑2)))
56	18	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ Sℋ )
57	36	adantrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (𝐹‘𝑗) ∈ 𝐴)
58		shsubcl 31868	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)) ∈ 𝐴)
59	56, 57, 41, 58	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)) ∈ 𝐴)
60		hvsubsub4 31708	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐻‘𝑗) ∈ ℋ ∧ (𝐻‘𝑘) ∈ ℋ) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℋ ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℋ)) → (((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) −ℎ ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))) = (((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑗)) −ℎ ((𝐻‘𝑘) −ℎ (𝐹‘𝑘))))
61	28, 32, 38, 42, 60	syl22anc 852	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) −ℎ ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))) = (((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑗)) −ℎ ((𝐻‘𝑘) −ℎ (𝐹‘𝑘))))
62		ocsh 31931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ )
63	39, 62	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ )
64		2fveq3 6919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)) = ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑗)))
65		fvex 6927	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑗)) ∈ V
66	64, 6, 65	fvmpt 7022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑗) = ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑗)))
67	66	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐹‘𝑗))
68	67	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐹‘𝑗))
69	1	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ Cℋ )
70	9, 62	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ )
71		shless 32007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝐵 ∈ Sℋ ∧ (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴)) → (𝐵 +ℋ 𝐴) ⊆ ((⊥‘𝐴) +ℋ 𝐴))
72	20, 70, 18, 3, 71	syl31anc 1401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → (𝐵 +ℋ 𝐴) ⊆ ((⊥‘𝐴) +ℋ 𝐴))
73		shscom 31967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐵 +ℋ 𝐴))
74	18, 20, 73	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐵 +ℋ 𝐴))
75		shscom 31967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ ) → (𝐴 +ℋ (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) +ℋ 𝐴))
76	18, 70, 75	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +ℋ (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) +ℋ 𝐴))
77	72, 74, 76	3sstr4d 3968	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 +ℋ (⊥‘𝐴)))
78	77	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 +ℋ (⊥‘𝐴)))
79	78, 26	sseldd 3914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑗) ∈ (𝐴 +ℋ (⊥‘𝐴)))
80		pjpreeq 32046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐻‘𝑗) ∈ (𝐴 +ℋ (⊥‘𝐴))) → (((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐹‘𝑗) ↔ ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻‘𝑗) = ((𝐹‘𝑗) +ℎ 𝑥))))
81	69, 79, 80	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐹‘𝑗) ↔ ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻‘𝑗) = ((𝐹‘𝑗) +ℎ 𝑥))))
82	68, 81	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻‘𝑗) = ((𝐹‘𝑗) +ℎ 𝑥)))
83	82	simprd 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻‘𝑗) = ((𝐹‘𝑗) +ℎ 𝑥))
84	27	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)) → (𝐻‘𝑗) ∈ ℋ)
85	37	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℋ)
86		shss 31858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((⊥‘𝐴) ∈ Sℋ → (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ)
87	70, 86	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ)
88	87	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ)
89	88	sselda 3913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)) → 𝑥 ∈ ℋ)
90		hvsubadd 31725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐻‘𝑗) ∈ ℋ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑗)) = 𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑗) +ℎ 𝑥) = (𝐻‘𝑗)))
91	84, 85, 89, 90	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)) → (((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑗)) = 𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑗) +ℎ 𝑥) = (𝐻‘𝑗)))
92		eqcom 2770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = ((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑗)) ↔ ((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑗)) = 𝑥)
93		eqcom 2770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐻‘𝑗) = ((𝐹‘𝑗) +ℎ 𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑗) +ℎ 𝑥) = (𝐻‘𝑗))
94	91, 92, 93	3bitr4g 317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)) → (𝑥 = ((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑗)) ↔ (𝐻‘𝑗) = ((𝐹‘𝑗) +ℎ 𝑥)))
95	94	rexbidva 3188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)𝑥 = ((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑗)) ↔ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻‘𝑗) = ((𝐹‘𝑗) +ℎ 𝑥)))
96	83, 95	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)𝑥 = ((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑗)))
97		risset 3241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑗)) ∈ (⊥‘𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)𝑥 = ((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑗)))
98	96, 97	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑗)) ∈ (⊥‘𝐴))
99	98	adantrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑗)) ∈ (⊥‘𝐴))
100		eleq1w 2847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ ℕ))
101	100	anbi2d 642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ↔ (𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ)))
102		fveq2 6914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐻‘𝑗) = (𝐻‘𝑘))
103		fveq2 6914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐹‘𝑗) = (𝐹‘𝑘))
104	102, 103	oveq12d 7467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑗)) = ((𝐻‘𝑘) −ℎ (𝐹‘𝑘)))
105	104	eleq1d 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑗)) ∈ (⊥‘𝐴) ↔ ((𝐻‘𝑘) −ℎ (𝐹‘𝑘)) ∈ (⊥‘𝐴)))
106	101, 105	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑗)) ∈ (⊥‘𝐴)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐻‘𝑘) −ℎ (𝐹‘𝑘)) ∈ (⊥‘𝐴))))
107	106, 98	chvarvv 2024	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐻‘𝑘) −ℎ (𝐹‘𝑘)) ∈ (⊥‘𝐴))
108	107	adantrl 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((𝐻‘𝑘) −ℎ (𝐹‘𝑘)) ∈ (⊥‘𝐴))
109		shsubcl 31868	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((⊥‘𝐴) ∈ Sℋ ∧ ((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑗)) ∈ (⊥‘𝐴) ∧ ((𝐻‘𝑘) −ℎ (𝐹‘𝑘)) ∈ (⊥‘𝐴)) → (((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑗)) −ℎ ((𝐻‘𝑘) −ℎ (𝐹‘𝑘))) ∈ (⊥‘𝐴))
110	63, 99, 108, 109	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑗)) −ℎ ((𝐻‘𝑘) −ℎ (𝐹‘𝑘))) ∈ (⊥‘𝐴))
111	61, 110	eqeltrd 2864	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) −ℎ ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))) ∈ (⊥‘𝐴))
112		shocorth 31940	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → ((((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)) ∈ 𝐴 ∧ (((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) −ℎ ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))) ∈ (⊥‘𝐴)) → (((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)) ·ih (((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) −ℎ ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)))) = 0))
113	56, 112	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)) ∈ 𝐴 ∧ (((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) −ℎ ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))) ∈ (⊥‘𝐴)) → (((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)) ·ih (((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) −ℎ ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)))) = 0))
114	59, 111, 113	mp2and 712	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)) ·ih (((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) −ℎ ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)))) = 0)
115		normpyth 31793	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)) ∈ ℋ ∧ (((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) −ℎ ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))) ∈ ℋ) → ((((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)) ·ih (((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) −ℎ ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)))) = 0 → ((normℎ‘(((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)) +ℎ (((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) −ℎ ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)))))↑2) = (((normℎ‘((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)))↑2) + ((normℎ‘(((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) −ℎ ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))))↑2))))
116	44, 46, 115	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)) ·ih (((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) −ℎ ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)))) = 0 → ((normℎ‘(((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)) +ℎ (((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) −ℎ ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)))))↑2) = (((normℎ‘((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)))↑2) + ((normℎ‘(((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) −ℎ ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))))↑2))))
117	114, 116	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((normℎ‘(((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)) +ℎ (((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) −ℎ ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)))))↑2) = (((normℎ‘((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)))↑2) + ((normℎ‘(((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) −ℎ ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))))↑2)))
118		hvpncan3 31690	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)) ∈ ℋ ∧ ((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) ∈ ℋ) → (((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)) +ℎ (((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) −ℎ ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)))) = ((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)))
119	44, 34, 118	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)) +ℎ (((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) −ℎ ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)))) = ((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)))
120	119	fveq2d 6918	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (normℎ‘(((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)) +ℎ (((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) −ℎ ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))))) = (normℎ‘((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘))))
121	120	oveq1d 7464	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((normℎ‘(((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)) +ℎ (((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) −ℎ ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)))))↑2) = ((normℎ‘((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)))↑2))
122	117, 121	eqtr3d 2800	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (((normℎ‘((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)))↑2) + ((normℎ‘(((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) −ℎ ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))))↑2)) = ((normℎ‘((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)))↑2))
123	55, 122	breqtrd 5135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((normℎ‘((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)))↑2) ≤ ((normℎ‘((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)))↑2))
124		normcl 31773	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) ∈ ℋ → (normℎ‘((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘))) ∈ ℝ)
125	34, 124	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (normℎ‘((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘))) ∈ ℝ)
126		normge0 31774	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)) ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))))
127	44, 126	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 0 ≤ (normℎ‘((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))))
128		normge0 31774	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘))))
129	34, 128	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 0 ≤ (normℎ‘((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘))))
130	51, 125, 127, 129	le2sqd 14440	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((normℎ‘((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))) ≤ (normℎ‘((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘))) ↔ ((normℎ‘((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)))↑2) ≤ ((normℎ‘((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)))↑2)))
131	123, 130	mpbird 260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (normℎ‘((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))) ≤ (normℎ‘((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘))))
132	131	adantlr 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (normℎ‘((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))) ≤ (normℎ‘((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘))))
133	51	adantlr 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (normℎ‘((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ)
134	125	adantlr 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (normℎ‘((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘))) ∈ ℝ)
135		rpre 13167	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ)
136	135	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
137		lelttr 11437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((normℎ‘((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘))) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((normℎ‘((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))) ≤ (normℎ‘((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘))) ∧ (normℎ‘((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘))) < 𝑥) → (normℎ‘((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))) < 𝑥))
138	133, 134, 136, 137	syl3anc 1399	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (((normℎ‘((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))) ≤ (normℎ‘((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘))) ∧ (normℎ‘((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘))) < 𝑥) → (normℎ‘((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))) < 𝑥))
139	132, 138	mpand 708	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((normℎ‘((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘))) < 𝑥 → (normℎ‘((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))) < 𝑥))
140	139	anassrs 473	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((normℎ‘((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘))) < 𝑥 → (normℎ‘((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))) < 𝑥))
141	16, 140	syldan 603	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((normℎ‘((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘))) < 𝑥 → (normℎ‘((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))) < 𝑥))
142	141	ralimdva 3178	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘))) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))) < 𝑥))
143	142	reximdva 3179	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘))) < 𝑥 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))) < 𝑥))
144	14, 143	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))) < 𝑥)
145	144	ralrimiva 3158	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))) < 𝑥)
146		hcau 31832	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ Cauchy ↔ (𝐹:ℕ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))) < 𝑥))
147	10, 145, 146	sylanbrc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Cauchy)
148		ax-hcompl 31850	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)
149		hlimf 31885	. . . . 5 ⊢ ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ
150		ffn 6737	. . . . 5 ⊢ ( ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ → ⇝𝑣 Fn dom ⇝𝑣 )
151	149, 150	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ⇝𝑣 Fn dom ⇝𝑣
152		fnbr 6675	. . . 4 ⊢ (( ⇝𝑣 Fn dom ⇝𝑣 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥) → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
153	151, 152	mpan 703	. . 3 ⊢ (𝐹 ⇝𝑣 𝑥 → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
154	153	rexlimivw 3163	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥 → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
155	147, 148, 154	3syl 19	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5190  dom cdm 5656   Fn wfn 6559  ⟶wf 6560  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449  ℝcr 11236  0cc0 11237   + caddc 11240   < clt 11380   ≤ cle 11381  ℕcn 12373  2c2 12435  ℤ_≥cuz 13003  ℝ⁺crp 13158  ↑cexp 14242   ℋchba 31567   +_ℎ cva 31568   ·_ih csp 31570  norm_ℎcno 31571   −_ℎ cmv 31573  Cauchyccauold 31574   ⇝_𝑣 chli 31575   S_ℋ csh 31576   C_ℋ cch 31577  ⊥cort 31578   +_ℋ cph 31579  proj_ℎcpjh 31585

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314  ax-pre-sup 11315  ax-addf 11316  ax-mulf 11317  ax-hilex 31647  ax-hfvadd 31648  ax-hvcom 31649  ax-hvass 31650  ax-hv0cl 31651  ax-hvaddid 31652  ax-hfvmul 31653  ax-hvmulid 31654  ax-hvmulass 31655  ax-hvdistr1 31656  ax-hvdistr2 31657  ax-hvmul0 31658  ax-hfi 31727  ax-his1 31730  ax-his2 31731  ax-his3 31732  ax-his4 31733  ax-hcompl 31850

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-om 7910  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-er 8753  df-map 8885  df-pm 8886  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-sup 9469  df-inf 9470  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-div 12012  df-nn 12374  df-2 12443  df-3 12444  df-4 12445  df-n0 12645  df-z 12732  df-uz 13004  df-q 13114  df-rp 13159  df-xneg 13279  df-xadd 13280  df-xmul 13281  df-icc 13521  df-seq 14183  df-exp 14243  df-cj 15307  df-re 15308  df-im 15309  df-sqrt 15443  df-abs 15444  df-topgen 17655  df-psmet 21712  df-xmet 21713  df-met 21714  df-bl 21715  df-mopn 21716  df-top 23256  df-topon 23273  df-bases 23308  df-lm 23591  df-haus 23677  df-cau 25621  df-grpo 31141  df-gid 31142  df-ginv 31143  df-gdiv 31144  df-ablo 31193  df-vc 31207  df-nv 31240  df-va 31243  df-ba 31244  df-sm 31245  df-0v 31246  df-vs 31247  df-nmcv 31248  df-ims 31249  df-hnorm 31616  df-hvsub 31619  df-hlim 31620  df-hcau 31621  df-sh 31855  df-ch 31869  df-oc 31900  df-ch0 31901  df-shs 31956  df-pjh 32043

This theorem is used by:  chscllem4  32288