HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  chscllem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chscllem2 30929
Description: Lemma for chscl 30932. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
chscl.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Cโ„‹ )
chscl.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ Cโ„‹ )
chscl.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โŠ† (โŠฅโ€˜๐ด))
chscl.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ป:โ„•โŸถ(๐ด +โ„‹ ๐ต))
chscl.5 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โ‡๐‘ฃ ๐‘ข)
chscl.6 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›)))
Assertion
Ref Expression
chscllem2 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ dom โ‡๐‘ฃ )
Distinct variable groups:   ๐‘ข,๐‘›,๐ด   ๐œ‘,๐‘›   ๐ต,๐‘›,๐‘ข   ๐‘›,๐ป,๐‘ข
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ข)   ๐น(๐‘ข,๐‘›)

Proof of Theorem chscllem2
Dummy variables ๐‘— ๐‘ฅ ๐‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 chscl.1 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Cโ„‹ )
2 chscl.2 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ Cโ„‹ )
3 chscl.3 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โŠ† (โŠฅโ€˜๐ด))
4 chscl.4 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ป:โ„•โŸถ(๐ด +โ„‹ ๐ต))
5 chscl.5 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โ‡๐‘ฃ ๐‘ข)
6 chscl.6 . . . . 5 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›)))
71, 2, 3, 4, 5, 6chscllem1 30928 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐น:โ„•โŸถ๐ด)
8 chss 30520 . . . . 5 (๐ด โˆˆ Cโ„‹ โ†’ ๐ด โŠ† โ„‹)
91, 8syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„‹)
107, 9fssd 6735 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐น:โ„•โŸถ โ„‹)
11 hlimcaui 30527 . . . . . . 7 (๐ป โ‡๐‘ฃ ๐‘ข โ†’ ๐ป โˆˆ Cauchy)
125, 11syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ Cauchy)
13 hcaucvg 30477 . . . . . 6 ((๐ป โˆˆ Cauchy โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„• โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘—)(normโ„Žโ€˜((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜))) < ๐‘ฅ)
1412, 13sylan 580 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„• โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘—)(normโ„Žโ€˜((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜))) < ๐‘ฅ)
15 eluznn 12904 . . . . . . . . 9 ((๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘—)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
1615adantll 712 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘—)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
17 chsh 30515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐ด โˆˆ Cโ„‹ โ†’ ๐ด โˆˆ Sโ„‹ )
181, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Sโ„‹ )
19 chsh 30515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐ต โˆˆ Cโ„‹ โ†’ ๐ต โˆˆ Sโ„‹ )
202, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ Sโ„‹ )
21 shscl 30609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐ด โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ Sโ„‹ ) โ†’ (๐ด +โ„‹ ๐ต) โˆˆ Sโ„‹ )
2218, 20, 21syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐œ‘ โ†’ (๐ด +โ„‹ ๐ต) โˆˆ Sโ„‹ )
23 shss 30501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐ด +โ„‹ ๐ต) โˆˆ Sโ„‹ โ†’ (๐ด +โ„‹ ๐ต) โŠ† โ„‹)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ (๐ด +โ„‹ ๐ต) โŠ† โ„‹)
2524adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด +โ„‹ ๐ต) โŠ† โ„‹)
264ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘—) โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต))
2725, 26sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‹)
2827adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‹)
294, 24fssd 6735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ ๐ป:โ„•โŸถ โ„‹)
3029adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐ป:โ„•โŸถ โ„‹)
31 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
3230, 31ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‹)
33 hvsubcl 30308 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐ปโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐ปโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‹)
3428, 32, 33syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‹)
359adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โŠ† โ„‹)
367ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (๐นโ€˜๐‘—) โˆˆ ๐ด)
3735, 36sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (๐นโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‹)
3837adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‹)
399adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐ด โŠ† โ„‹)
407adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐น:โ„•โŸถ๐ด)
4140, 31ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ ๐ด)
4239, 41sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‹)
43 hvsubcl 30308 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐นโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‹)
4438, 42, 43syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‹)
45 hvsubcl 30308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‹ โˆง ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆ’โ„Ž ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆˆ โ„‹)
4634, 44, 45syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ (((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆ’โ„Ž ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆˆ โ„‹)
47 normcl 30416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆ’โ„Ž ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆ’โ„Ž ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)))) โˆˆ โ„)
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ (normโ„Žโ€˜(((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆ’โ„Ž ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)))) โˆˆ โ„)
4948sqge0d 14104 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ 0 โ‰ค ((normโ„Žโ€˜(((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆ’โ„Ž ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))))โ†‘2))
50 normcl 30416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆˆ โ„)
5144, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆˆ โ„)
5251resqcld 14092 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)))โ†‘2) โˆˆ โ„)
5348resqcld 14092 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆ’โ„Ž ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))))โ†‘2) โˆˆ โ„)
5452, 53addge01d 11804 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ (0 โ‰ค ((normโ„Žโ€˜(((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆ’โ„Ž ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))))โ†‘2) โ†” ((normโ„Žโ€˜((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)))โ†‘2) โ‰ค (((normโ„Žโ€˜((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)))โ†‘2) + ((normโ„Žโ€˜(((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆ’โ„Ž ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))))โ†‘2))))
5549, 54mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)))โ†‘2) โ‰ค (((normโ„Žโ€˜((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)))โ†‘2) + ((normโ„Žโ€˜(((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆ’โ„Ž ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))))โ†‘2)))
5618adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐ด โˆˆ Sโ„‹ )
5736adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘—) โˆˆ ๐ด)
58 shsubcl 30511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ Sโ„‹ โˆง (๐นโ€˜๐‘—) โˆˆ ๐ด โˆง (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ ๐ด)
5956, 57, 41, 58syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ ๐ด)
60 hvsubsub4 30351 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐ปโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐ปโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‹) โˆง ((๐นโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆ’โ„Ž ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))) = (((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘—)) โˆ’โ„Ž ((๐ปโ€˜๐‘˜) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))))
6128, 32, 38, 42, 60syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ (((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆ’โ„Ž ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))) = (((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘—)) โˆ’โ„Ž ((๐ปโ€˜๐‘˜) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))))
62 ocsh 30574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐ด โŠ† โ„‹ โ†’ (โŠฅโ€˜๐ด) โˆˆ Sโ„‹ )
6339, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ (โŠฅโ€˜๐ด) โˆˆ Sโ„‹ )
64 2fveq3 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (๐‘› = ๐‘— โ†’ ((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›)) = ((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜(๐ปโ€˜๐‘—)))
65 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜(๐ปโ€˜๐‘—)) โˆˆ V
6664, 6, 65fvmpt 6998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ (๐นโ€˜๐‘—) = ((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜(๐ปโ€˜๐‘—)))
6766eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ ((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜(๐ปโ€˜๐‘—)) = (๐นโ€˜๐‘—))
6867adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜(๐ปโ€˜๐‘—)) = (๐นโ€˜๐‘—))
691adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ Cโ„‹ )
709, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (๐œ‘ โ†’ (โŠฅโ€˜๐ด) โˆˆ Sโ„‹ )
71 shless 30650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((๐ต โˆˆ Sโ„‹ โˆง (โŠฅโ€˜๐ด) โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐ด โˆˆ Sโ„‹ ) โˆง ๐ต โŠ† (โŠฅโ€˜๐ด)) โ†’ (๐ต +โ„‹ ๐ด) โŠ† ((โŠฅโ€˜๐ด) +โ„‹ ๐ด))
7220, 70, 18, 3, 71syl31anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (๐œ‘ โ†’ (๐ต +โ„‹ ๐ด) โŠ† ((โŠฅโ€˜๐ด) +โ„‹ ๐ด))
73 shscom 30610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐ด โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ Sโ„‹ ) โ†’ (๐ด +โ„‹ ๐ต) = (๐ต +โ„‹ ๐ด))
7418, 20, 73syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (๐œ‘ โ†’ (๐ด +โ„‹ ๐ต) = (๐ต +โ„‹ ๐ด))
75 shscom 30610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐ด โˆˆ Sโ„‹ โˆง (โŠฅโ€˜๐ด) โˆˆ Sโ„‹ ) โ†’ (๐ด +โ„‹ (โŠฅโ€˜๐ด)) = ((โŠฅโ€˜๐ด) +โ„‹ ๐ด))
7618, 70, 75syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (๐œ‘ โ†’ (๐ด +โ„‹ (โŠฅโ€˜๐ด)) = ((โŠฅโ€˜๐ด) +โ„‹ ๐ด))
7772, 74, 763sstr4d 4029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (๐œ‘ โ†’ (๐ด +โ„‹ ๐ต) โŠ† (๐ด +โ„‹ (โŠฅโ€˜๐ด)))
7877adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด +โ„‹ ๐ต) โŠ† (๐ด +โ„‹ (โŠฅโ€˜๐ด)))
7978, 26sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘—) โˆˆ (๐ด +โ„‹ (โŠฅโ€˜๐ด)))
80 pjpreeq 30689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐ด โˆˆ Cโ„‹ โˆง (๐ปโ€˜๐‘—) โˆˆ (๐ด +โ„‹ (โŠฅโ€˜๐ด))) โ†’ (((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜(๐ปโ€˜๐‘—)) = (๐นโ€˜๐‘—) โ†” ((๐นโ€˜๐‘—) โˆˆ ๐ด โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)(๐ปโ€˜๐‘—) = ((๐นโ€˜๐‘—) +โ„Ž ๐‘ฅ))))
8169, 79, 80syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜(๐ปโ€˜๐‘—)) = (๐นโ€˜๐‘—) โ†” ((๐นโ€˜๐‘—) โˆˆ ๐ด โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)(๐ปโ€˜๐‘—) = ((๐นโ€˜๐‘—) +โ„Ž ๐‘ฅ))))
8268, 81mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘—) โˆˆ ๐ด โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)(๐ปโ€˜๐‘—) = ((๐นโ€˜๐‘—) +โ„Ž ๐‘ฅ)))
8382simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)(๐ปโ€˜๐‘—) = ((๐นโ€˜๐‘—) +โ„Ž ๐‘ฅ))
8427adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‹)
8537adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‹)
86 shss 30501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((โŠฅโ€˜๐ด) โˆˆ Sโ„‹ โ†’ (โŠฅโ€˜๐ด) โŠ† โ„‹)
8770, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (๐œ‘ โ†’ (โŠฅโ€˜๐ด) โŠ† โ„‹)
8887adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (โŠฅโ€˜๐ด) โŠ† โ„‹)
8988sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)
90 hvsubadd 30368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((๐ปโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐นโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘—)) = ๐‘ฅ โ†” ((๐นโ€˜๐‘—) +โ„Ž ๐‘ฅ) = (๐ปโ€˜๐‘—)))
9184, 85, 89, 90syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)) โ†’ (((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘—)) = ๐‘ฅ โ†” ((๐นโ€˜๐‘—) +โ„Ž ๐‘ฅ) = (๐ปโ€˜๐‘—)))
92 eqcom 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ฅ = ((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘—)) โ†” ((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘—)) = ๐‘ฅ)
93 eqcom 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐ปโ€˜๐‘—) = ((๐นโ€˜๐‘—) +โ„Ž ๐‘ฅ) โ†” ((๐นโ€˜๐‘—) +โ„Ž ๐‘ฅ) = (๐ปโ€˜๐‘—))
9491, 92, 933bitr4g 313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)) โ†’ (๐‘ฅ = ((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘—)) โ†” (๐ปโ€˜๐‘—) = ((๐นโ€˜๐‘—) +โ„Ž ๐‘ฅ)))
9594rexbidva 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)๐‘ฅ = ((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘—)) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)(๐ปโ€˜๐‘—) = ((๐นโ€˜๐‘—) +โ„Ž ๐‘ฅ)))
9683, 95mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)๐‘ฅ = ((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘—)))
97 risset 3230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘—)) โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)๐‘ฅ = ((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘—)))
9896, 97sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘—)) โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด))
9998adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘—)) โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด))
100 eleq1w 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐‘— โˆˆ โ„• โ†” ๐‘˜ โˆˆ โ„•))
101100anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†” (๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)))
102 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐ปโ€˜๐‘—) = (๐ปโ€˜๐‘˜))
103 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐นโ€˜๐‘—) = (๐นโ€˜๐‘˜))
104102, 103oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘—)) = ((๐ปโ€˜๐‘˜) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)))
105104eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘—)) โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด) โ†” ((๐ปโ€˜๐‘˜) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)))
106101, 105imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘—)) โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)) โ†” ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ปโ€˜๐‘˜) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด))))
107106, 98chvarvv 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ปโ€˜๐‘˜) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด))
108107adantrl 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐ปโ€˜๐‘˜) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด))
109 shsubcl 30511 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((โŠฅโ€˜๐ด) โˆˆ Sโ„‹ โˆง ((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘—)) โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด) โˆง ((๐ปโ€˜๐‘˜) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)) โ†’ (((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘—)) โˆ’โ„Ž ((๐ปโ€˜๐‘˜) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด))
11063, 99, 108, 109syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ (((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘—)) โˆ’โ„Ž ((๐ปโ€˜๐‘˜) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด))
11161, 110eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ (((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆ’โ„Ž ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด))
112 shocorth 30583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐ด โˆˆ Sโ„‹ โ†’ ((((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ ๐ด โˆง (((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆ’โ„Ž ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)) ยทih (((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆ’โ„Ž ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)))) = 0))
11356, 112syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ ๐ด โˆง (((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆ’โ„Ž ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)) ยทih (((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆ’โ„Ž ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)))) = 0))
11459, 111, 113mp2and 697 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)) ยทih (((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆ’โ„Ž ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)))) = 0)
115 normpyth 30436 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‹ โˆง (((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆ’โ„Ž ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)) ยทih (((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆ’โ„Ž ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)))) = 0 โ†’ ((normโ„Žโ€˜(((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)) +โ„Ž (((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆ’โ„Ž ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)))))โ†‘2) = (((normโ„Žโ€˜((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)))โ†‘2) + ((normโ„Žโ€˜(((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆ’โ„Ž ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))))โ†‘2))))
11644, 46, 115syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)) ยทih (((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆ’โ„Ž ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)))) = 0 โ†’ ((normโ„Žโ€˜(((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)) +โ„Ž (((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆ’โ„Ž ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)))))โ†‘2) = (((normโ„Žโ€˜((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)))โ†‘2) + ((normโ„Žโ€˜(((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆ’โ„Ž ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))))โ†‘2))))
117114, 116mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)) +โ„Ž (((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆ’โ„Ž ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)))))โ†‘2) = (((normโ„Žโ€˜((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)))โ†‘2) + ((normโ„Žโ€˜(((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆ’โ„Ž ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))))โ†‘2)))
118 hvpncan3 30333 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‹ โˆง ((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)) +โ„Ž (((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆ’โ„Ž ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)))) = ((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)))
11944, 34, 118syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)) +โ„Ž (((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆ’โ„Ž ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)))) = ((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)))
120119fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ (normโ„Žโ€˜(((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)) +โ„Ž (((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆ’โ„Ž ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))))) = (normโ„Žโ€˜((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜))))
121120oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)) +โ„Ž (((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆ’โ„Ž ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)))))โ†‘2) = ((normโ„Žโ€˜((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)))โ†‘2))
122117, 121eqtr3d 2774 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ (((normโ„Žโ€˜((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)))โ†‘2) + ((normโ„Žโ€˜(((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆ’โ„Ž ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))))โ†‘2)) = ((normโ„Žโ€˜((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)))โ†‘2))
12355, 122breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)))โ†‘2) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)))โ†‘2))
124 normcl 30416 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜))) โˆˆ โ„)
12534, 124syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜))) โˆˆ โ„)
126 normge0 30417 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‹ โ†’ 0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))))
12744, 126syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ 0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))))
128 normge0 30417 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‹ โ†’ 0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜))))
12934, 128syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ 0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜))))
13051, 125, 127, 129le2sqd 14222 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))) โ‰ค (normโ„Žโ€˜((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜))) โ†” ((normโ„Žโ€˜((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)))โ†‘2) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)))โ†‘2)))
131123, 130mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))) โ‰ค (normโ„Žโ€˜((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜))))
132131adantlr 713 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))) โ‰ค (normโ„Žโ€˜((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜))))
13351adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆˆ โ„)
134125adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜))) โˆˆ โ„)
135 rpre 12984 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
136135ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
137 lelttr 11306 . . . . . . . . . . 11 (((normโ„Žโ€˜((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆˆ โ„ โˆง (normโ„Žโ€˜((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜))) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (((normโ„Žโ€˜((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))) โ‰ค (normโ„Žโ€˜((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜))) โˆง (normโ„Žโ€˜((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜))) < ๐‘ฅ) โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))) < ๐‘ฅ))
138133, 134, 136, 137syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ (((normโ„Žโ€˜((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))) โ‰ค (normโ„Žโ€˜((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜))) โˆง (normโ„Žโ€˜((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜))) < ๐‘ฅ) โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))) < ๐‘ฅ))
139132, 138mpand 693 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜))) < ๐‘ฅ โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))) < ๐‘ฅ))
140139anassrs 468 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜))) < ๐‘ฅ โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))) < ๐‘ฅ))
14116, 140syldan 591 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘—)) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜))) < ๐‘ฅ โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))) < ๐‘ฅ))
142141ralimdva 3167 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘—)(normโ„Žโ€˜((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜))) < ๐‘ฅ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘—)(normโ„Žโ€˜((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))) < ๐‘ฅ))
143142reximdva 3168 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„• โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘—)(normโ„Žโ€˜((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜))) < ๐‘ฅ โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„• โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘—)(normโ„Žโ€˜((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))) < ๐‘ฅ))
14414, 143mpd 15 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„• โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘—)(normโ„Žโ€˜((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))) < ๐‘ฅ)
145144ralrimiva 3146 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„• โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘—)(normโ„Žโ€˜((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))) < ๐‘ฅ)
146 hcau 30475 . . 3 (๐น โˆˆ Cauchy โ†” (๐น:โ„•โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„• โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘—)(normโ„Žโ€˜((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))) < ๐‘ฅ))
14710, 145, 146sylanbrc 583 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ Cauchy)
148 ax-hcompl 30493 . 2 (๐น โˆˆ Cauchy โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ๐น โ‡๐‘ฃ ๐‘ฅ)
149 hlimf 30528 . . . . 5 โ‡๐‘ฃ :dom โ‡๐‘ฃ โŸถ โ„‹
150 ffn 6717 . . . . 5 ( โ‡๐‘ฃ :dom โ‡๐‘ฃ โŸถ โ„‹ โ†’ โ‡๐‘ฃ Fn dom โ‡๐‘ฃ )
151149, 150ax-mp 5 . . . 4 โ‡๐‘ฃ Fn dom โ‡๐‘ฃ
152 fnbr 6657 . . . 4 (( โ‡๐‘ฃ Fn dom โ‡๐‘ฃ โˆง ๐น โ‡๐‘ฃ ๐‘ฅ) โ†’ ๐น โˆˆ dom โ‡๐‘ฃ )
153151, 152mpan 688 . . 3 (๐น โ‡๐‘ฃ ๐‘ฅ โ†’ ๐น โˆˆ dom โ‡๐‘ฃ )
154153rexlimivw 3151 . 2 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ๐น โ‡๐‘ฃ ๐‘ฅ โ†’ ๐น โˆˆ dom โ‡๐‘ฃ )
155147, 148, 1543syl 18 1 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ dom โ‡๐‘ฃ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070   โŠ† wss 3948   class class class wbr 5148   โ†ฆ cmpt 5231  dom cdm 5676   Fn wfn 6538  โŸถwf 6539  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  โ„cr 11111  0cc0 11112   + caddc 11115   < clt 11250   โ‰ค cle 11251  โ„•cn 12214  2c2 12269  โ„คโ‰ฅcuz 12824  โ„+crp 12976  โ†‘cexp 14029   โ„‹chba 30210   +โ„Ž cva 30211   ยทih csp 30213  normโ„Žcno 30214   โˆ’โ„Ž cmv 30216  Cauchyccauold 30217   โ‡๐‘ฃ chli 30218   Sโ„‹ csh 30219   Cโ„‹ cch 30220  โŠฅcort 30221   +โ„‹ cph 30222  projโ„Žcpjh 30228
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192  ax-hilex 30290  ax-hfvadd 30291  ax-hvcom 30292  ax-hvass 30293  ax-hv0cl 30294  ax-hvaddid 30295  ax-hfvmul 30296  ax-hvmulid 30297  ax-hvmulass 30298  ax-hvdistr1 30299  ax-hvdistr2 30300  ax-hvmul0 30301  ax-hfi 30370  ax-his1 30373  ax-his2 30374  ax-his3 30375  ax-his4 30376  ax-hcompl 30493
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-icc 13333  df-seq 13969  df-exp 14030  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-topgen 17391  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-top 22403  df-topon 22420  df-bases 22456  df-lm 22740  df-haus 22826  df-cau 24780  df-grpo 29784  df-gid 29785  df-ginv 29786  df-gdiv 29787  df-ablo 29836  df-vc 29850  df-nv 29883  df-va 29886  df-ba 29887  df-sm 29888  df-0v 29889  df-vs 29890  df-nmcv 29891  df-ims 29892  df-hnorm 30259  df-hvsub 30262  df-hlim 30263  df-hcau 30264  df-sh 30498  df-ch 30512  df-oc 30543  df-ch0 30544  df-shs 30599  df-pjh 30686
This theorem is referenced by:  chscllem4  30931
  Copyright terms: Public domain W3C validator