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Theorem chscllem2 29414
Description: Lemma for chscl 29417. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
chscl.1 (𝜑𝐴C )
chscl.2 (𝜑𝐵C )
chscl.3 (𝜑𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
chscl.4 (𝜑𝐻:ℕ⟶(𝐴 + 𝐵))
chscl.5 (𝜑𝐻𝑣 𝑢)
chscl.6 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((proj𝐴)‘(𝐻𝑛)))
Assertion
Ref Expression
chscllem2 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
Distinct variable groups:   𝑢,𝑛,𝐴   𝜑,𝑛   𝐵,𝑛,𝑢   𝑛,𝐻,𝑢
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝐹(𝑢,𝑛)

Proof of Theorem chscllem2
Dummy variables 𝑗 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 chscl.1 . . . . 5 (𝜑𝐴C )
2 chscl.2 . . . . 5 (𝜑𝐵C )
3 chscl.3 . . . . 5 (𝜑𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
4 chscl.4 . . . . 5 (𝜑𝐻:ℕ⟶(𝐴 + 𝐵))
5 chscl.5 . . . . 5 (𝜑𝐻𝑣 𝑢)
6 chscl.6 . . . . 5 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((proj𝐴)‘(𝐻𝑛)))
71, 2, 3, 4, 5, 6chscllem1 29413 . . . 4 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝐴)
8 chss 29005 . . . . 5 (𝐴C𝐴 ⊆ ℋ)
91, 8syl 17 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℋ)
107, 9fssd 6527 . . 3 (𝜑𝐹:ℕ⟶ ℋ)
11 hlimcaui 29012 . . . . . . 7 (𝐻𝑣 𝑢𝐻 ∈ Cauchy)
125, 11syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐻 ∈ Cauchy)
13 hcaucvg 28962 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ Cauchy ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘))) < 𝑥)
1412, 13sylan 582 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘))) < 𝑥)
15 eluznn 12317 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
1615adantll 712 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
17 chsh 29000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐴C𝐴S )
181, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝐴S )
19 chsh 29000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐵C𝐵S )
202, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝐵S )
21 shscl 29094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ S )
2218, 20, 21syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ S )
23 shss 28986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴 + 𝐵) ∈ S → (𝐴 + 𝐵) ⊆ ℋ)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ⊆ ℋ)
2524adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐴 + 𝐵) ⊆ ℋ)
264ffvelrnda 6850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐻𝑗) ∈ (𝐴 + 𝐵))
2725, 26sseldd 3967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐻𝑗) ∈ ℋ)
2827adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (𝐻𝑗) ∈ ℋ)
294, 24fssd 6527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐻:ℕ⟶ ℋ)
3029adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 𝐻:ℕ⟶ ℋ)
31 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℕ)
3230, 31ffvelrnd 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (𝐻𝑘) ∈ ℋ)
33 hvsubcl 28793 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐻𝑗) ∈ ℋ ∧ (𝐻𝑘) ∈ ℋ) → ((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) ∈ ℋ)
3428, 32, 33syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) ∈ ℋ)
359adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 𝐴 ⊆ ℋ)
367ffvelrnda 6850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) ∈ 𝐴)
3735, 36sseldd 3967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) ∈ ℋ)
3837adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑗) ∈ ℋ)
399adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 𝐴 ⊆ ℋ)
407adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 𝐹:ℕ⟶𝐴)
4140, 31ffvelrnd 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑘) ∈ 𝐴)
4239, 41sseldd 3967 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑘) ∈ ℋ)
43 hvsubcl 28793 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹𝑗) ∈ ℋ ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℋ) → ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)) ∈ ℋ)
4438, 42, 43syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)) ∈ ℋ)
45 hvsubcl 28793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) ∈ ℋ ∧ ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)) ∈ ℋ) → (((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) ∈ ℋ)
4634, 44, 45syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) ∈ ℋ)
47 normcl 28901 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) ∈ ℋ → (norm‘(((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))) ∈ ℝ)
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (norm‘(((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))) ∈ ℝ)
4948sqge0d 13611 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 0 ≤ ((norm‘(((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))))↑2))
50 normcl 28901 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)) ∈ ℋ → (norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) ∈ ℝ)
5144, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) ∈ ℝ)
5251resqcld 13610 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))↑2) ∈ ℝ)
5348resqcld 13610 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((norm‘(((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))))↑2) ∈ ℝ)
5452, 53addge01d 11227 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (0 ≤ ((norm‘(((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))))↑2) ↔ ((norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))↑2) ≤ (((norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))↑2) + ((norm‘(((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))))↑2))))
5549, 54mpbid 234 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))↑2) ≤ (((norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))↑2) + ((norm‘(((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))))↑2)))
5618adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 𝐴S )
5736adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑗) ∈ 𝐴)
58 shsubcl 28996 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴S ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝐴) → ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)) ∈ 𝐴)
5956, 57, 41, 58syl3anc 1367 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)) ∈ 𝐴)
60 hvsubsub4 28836 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐻𝑗) ∈ ℋ ∧ (𝐻𝑘) ∈ ℋ) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ ℋ ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℋ)) → (((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) = (((𝐻𝑗) − (𝐹𝑗)) − ((𝐻𝑘) − (𝐹𝑘))))
6128, 32, 38, 42, 60syl22anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) = (((𝐻𝑗) − (𝐹𝑗)) − ((𝐻𝑘) − (𝐹𝑘))))
62 ocsh 29059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ∈ S )
6339, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (⊥‘𝐴) ∈ S )
64 2fveq3 6674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑛 = 𝑗 → ((proj𝐴)‘(𝐻𝑛)) = ((proj𝐴)‘(𝐻𝑗)))
65 fvex 6682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((proj𝐴)‘(𝐻𝑗)) ∈ V
6664, 6, 65fvmpt 6767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑗 ∈ ℕ → (𝐹𝑗) = ((proj𝐴)‘(𝐻𝑗)))
6766eqcomd 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ ℕ → ((proj𝐴)‘(𝐻𝑗)) = (𝐹𝑗))
6867adantl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((proj𝐴)‘(𝐻𝑗)) = (𝐹𝑗))
691adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 𝐴C )
709, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → (⊥‘𝐴) ∈ S )
71 shless 29135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝐵S ∧ (⊥‘𝐴) ∈ S𝐴S ) ∧ 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴)) → (𝐵 + 𝐴) ⊆ ((⊥‘𝐴) + 𝐴))
7220, 70, 18, 3, 71syl31anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (𝐵 + 𝐴) ⊆ ((⊥‘𝐴) + 𝐴))
73 shscom 29095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
7418, 20, 73syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
75 shscom 29095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐴S ∧ (⊥‘𝐴) ∈ S ) → (𝐴 + (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) + 𝐴))
7618, 70, 75syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (𝐴 + (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) + 𝐴))
7772, 74, 763sstr4d 4013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ⊆ (𝐴 + (⊥‘𝐴)))
7877adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐴 + 𝐵) ⊆ (𝐴 + (⊥‘𝐴)))
7978, 26sseldd 3967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐻𝑗) ∈ (𝐴 + (⊥‘𝐴)))
80 pjpreeq 29174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐴C ∧ (𝐻𝑗) ∈ (𝐴 + (⊥‘𝐴))) → (((proj𝐴)‘(𝐻𝑗)) = (𝐹𝑗) ↔ ((𝐹𝑗) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻𝑗) = ((𝐹𝑗) + 𝑥))))
8169, 79, 80syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (((proj𝐴)‘(𝐻𝑗)) = (𝐹𝑗) ↔ ((𝐹𝑗) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻𝑗) = ((𝐹𝑗) + 𝑥))))
8268, 81mpbid 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑗) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻𝑗) = ((𝐹𝑗) + 𝑥)))
8382simprd 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻𝑗) = ((𝐹𝑗) + 𝑥))
8427adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)) → (𝐻𝑗) ∈ ℋ)
8537adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)) → (𝐹𝑗) ∈ ℋ)
86 shss 28986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((⊥‘𝐴) ∈ S → (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ)
8770, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ)
8887adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ)
8988sselda 3966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)) → 𝑥 ∈ ℋ)
90 hvsubadd 28853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐻𝑗) ∈ ℋ ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝐻𝑗) − (𝐹𝑗)) = 𝑥 ↔ ((𝐹𝑗) + 𝑥) = (𝐻𝑗)))
9184, 85, 89, 90syl3anc 1367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)) → (((𝐻𝑗) − (𝐹𝑗)) = 𝑥 ↔ ((𝐹𝑗) + 𝑥) = (𝐻𝑗)))
92 eqcom 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = ((𝐻𝑗) − (𝐹𝑗)) ↔ ((𝐻𝑗) − (𝐹𝑗)) = 𝑥)
93 eqcom 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐻𝑗) = ((𝐹𝑗) + 𝑥) ↔ ((𝐹𝑗) + 𝑥) = (𝐻𝑗))
9491, 92, 933bitr4g 316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)) → (𝑥 = ((𝐻𝑗) − (𝐹𝑗)) ↔ (𝐻𝑗) = ((𝐹𝑗) + 𝑥)))
9594rexbidva 3296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)𝑥 = ((𝐻𝑗) − (𝐹𝑗)) ↔ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻𝑗) = ((𝐹𝑗) + 𝑥)))
9683, 95mpbird 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)𝑥 = ((𝐻𝑗) − (𝐹𝑗)))
97 risset 3267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐻𝑗) − (𝐹𝑗)) ∈ (⊥‘𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)𝑥 = ((𝐻𝑗) − (𝐹𝑗)))
9896, 97sylibr 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐻𝑗) − (𝐹𝑗)) ∈ (⊥‘𝐴))
9998adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((𝐻𝑗) − (𝐹𝑗)) ∈ (⊥‘𝐴))
100 eleq1w 2895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ ℕ))
101100anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = 𝑘 → ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ↔ (𝜑𝑘 ∈ ℕ)))
102 fveq2 6669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 = 𝑘 → (𝐻𝑗) = (𝐻𝑘))
103 fveq2 6669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 = 𝑘 → (𝐹𝑗) = (𝐹𝑘))
104102, 103oveq12d 7173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐻𝑗) − (𝐹𝑗)) = ((𝐻𝑘) − (𝐹𝑘)))
105104eleq1d 2897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = 𝑘 → (((𝐻𝑗) − (𝐹𝑗)) ∈ (⊥‘𝐴) ↔ ((𝐻𝑘) − (𝐹𝑘)) ∈ (⊥‘𝐴)))
106101, 105imbi12d 347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 = 𝑘 → (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐻𝑗) − (𝐹𝑗)) ∈ (⊥‘𝐴)) ↔ ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐻𝑘) − (𝐹𝑘)) ∈ (⊥‘𝐴))))
107106, 98chvarvv 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐻𝑘) − (𝐹𝑘)) ∈ (⊥‘𝐴))
108107adantrl 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((𝐻𝑘) − (𝐹𝑘)) ∈ (⊥‘𝐴))
109 shsubcl 28996 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((⊥‘𝐴) ∈ S ∧ ((𝐻𝑗) − (𝐹𝑗)) ∈ (⊥‘𝐴) ∧ ((𝐻𝑘) − (𝐹𝑘)) ∈ (⊥‘𝐴)) → (((𝐻𝑗) − (𝐹𝑗)) − ((𝐻𝑘) − (𝐹𝑘))) ∈ (⊥‘𝐴))
11063, 99, 108, 109syl3anc 1367 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (((𝐻𝑗) − (𝐹𝑗)) − ((𝐻𝑘) − (𝐹𝑘))) ∈ (⊥‘𝐴))
11161, 110eqeltrd 2913 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) ∈ (⊥‘𝐴))
112 shocorth 29068 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴S → ((((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)) ∈ 𝐴 ∧ (((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) ∈ (⊥‘𝐴)) → (((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)) ·ih (((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))) = 0))
11356, 112syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)) ∈ 𝐴 ∧ (((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) ∈ (⊥‘𝐴)) → (((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)) ·ih (((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))) = 0))
11459, 111, 113mp2and 697 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)) ·ih (((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))) = 0)
115 normpyth 28921 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)) ∈ ℋ ∧ (((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) ∈ ℋ) → ((((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)) ·ih (((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))) = 0 → ((norm‘(((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)) + (((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))))↑2) = (((norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))↑2) + ((norm‘(((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))))↑2))))
11644, 46, 115syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)) ·ih (((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))) = 0 → ((norm‘(((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)) + (((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))))↑2) = (((norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))↑2) + ((norm‘(((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))))↑2))))
117114, 116mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((norm‘(((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)) + (((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))))↑2) = (((norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))↑2) + ((norm‘(((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))))↑2)))
118 hvpncan3 28818 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)) ∈ ℋ ∧ ((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) ∈ ℋ) → (((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)) + (((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))) = ((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)))
11944, 34, 118syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)) + (((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))) = ((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)))
120119fveq2d 6673 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (norm‘(((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)) + (((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))))) = (norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘))))
121120oveq1d 7170 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((norm‘(((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)) + (((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))))↑2) = ((norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)))↑2))
122117, 121eqtr3d 2858 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (((norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))↑2) + ((norm‘(((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))))↑2)) = ((norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)))↑2))
12355, 122breqtrd 5091 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))↑2) ≤ ((norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)))↑2))
124 normcl 28901 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) ∈ ℋ → (norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘))) ∈ ℝ)
12534, 124syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘))) ∈ ℝ)
126 normge0 28902 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)) ∈ ℋ → 0 ≤ (norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))))
12744, 126syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 0 ≤ (norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))))
128 normge0 28902 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) ∈ ℋ → 0 ≤ (norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘))))
12934, 128syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 0 ≤ (norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘))))
13051, 125, 127, 129le2sqd 13619 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) ≤ (norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘))) ↔ ((norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))↑2) ≤ ((norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)))↑2)))
131123, 130mpbird 259 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) ≤ (norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘))))
132131adantlr 713 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) ≤ (norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘))))
13351adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) ∈ ℝ)
134125adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘))) ∈ ℝ)
135 rpre 12396 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
136135ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
137 lelttr 10730 . . . . . . . . . . 11 (((norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) ∈ ℝ ∧ (norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘))) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) ≤ (norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘))) ∧ (norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘))) < 𝑥) → (norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) < 𝑥))
138133, 134, 136, 137syl3anc 1367 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (((norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) ≤ (norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘))) ∧ (norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘))) < 𝑥) → (norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) < 𝑥))
139132, 138mpand 693 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘))) < 𝑥 → (norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) < 𝑥))
140139anassrs 470 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘))) < 𝑥 → (norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) < 𝑥))
14116, 140syldan 593 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘))) < 𝑥 → (norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) < 𝑥))
142141ralimdva 3177 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘))) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) < 𝑥))
143142reximdva 3274 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘))) < 𝑥 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) < 𝑥))
14414, 143mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) < 𝑥)
145144ralrimiva 3182 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) < 𝑥)
146 hcau 28960 . . 3 (𝐹 ∈ Cauchy ↔ (𝐹:ℕ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) < 𝑥))
14710, 145, 146sylanbrc 585 . 2 (𝜑𝐹 ∈ Cauchy)
148 ax-hcompl 28978 . 2 (𝐹 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹𝑣 𝑥)
149 hlimf 29013 . . . . 5 𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ
150 ffn 6513 . . . . 5 ( ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ → ⇝𝑣 Fn dom ⇝𝑣 )
151149, 150ax-mp 5 . . . 4 𝑣 Fn dom ⇝𝑣
152 fnbr 6458 . . . 4 (( ⇝𝑣 Fn dom ⇝𝑣𝐹𝑣 𝑥) → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
153151, 152mpan 688 . . 3 (𝐹𝑣 𝑥𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
154153rexlimivw 3282 . 2 (∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹𝑣 𝑥𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
155147, 148, 1543syl 18 1 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1533  wcel 2110  wral 3138  wrex 3139  wss 3935   class class class wbr 5065  cmpt 5145  dom cdm 5554   Fn wfn 6349  wf 6350  cfv 6354  (class class class)co 7155  cr 10535  0cc0 10536   + caddc 10539   < clt 10674  cle 10675  cn 11637  2c2 11691  cuz 12242  +crp 12388  cexp 13428  chba 28695   + cva 28696   ·ih csp 28698  normcno 28699   cmv 28701  Cauchyccauold 28702  𝑣 chli 28703   S csh 28704   C cch 28705  cort 28706   + cph 28707  projcpjh 28713
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614  ax-addf 10615  ax-mulf 10616  ax-hilex 28775  ax-hfvadd 28776  ax-hvcom 28777  ax-hvass 28778  ax-hv0cl 28779  ax-hvaddid 28780  ax-hfvmul 28781  ax-hvmulid 28782  ax-hvmulass 28783  ax-hvdistr1 28784  ax-hvdistr2 28785  ax-hvmul0 28786  ax-hfi 28855  ax-his1 28858  ax-his2 28859  ax-his3 28860  ax-his4 28861  ax-hcompl 28978
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-er 8288  df-map 8407  df-pm 8408  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-sup 8905  df-inf 8906  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-q 12348  df-rp 12389  df-xneg 12506  df-xadd 12507  df-xmul 12508  df-icc 12744  df-seq 13369  df-exp 13429  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-topgen 16716  df-psmet 20536  df-xmet 20537  df-met 20538  df-bl 20539  df-mopn 20540  df-top 21501  df-topon 21518  df-bases 21553  df-lm 21836  df-haus 21922  df-cau 23858  df-grpo 28269  df-gid 28270  df-ginv 28271  df-gdiv 28272  df-ablo 28321  df-vc 28335  df-nv 28368  df-va 28371  df-ba 28372  df-sm 28373  df-0v 28374  df-vs 28375  df-nmcv 28376  df-ims 28377  df-hnorm 28744  df-hvsub 28747  df-hlim 28748  df-hcau 28749  df-sh 28983  df-ch 28997  df-oc 29028  df-ch0 29029  df-shs 29084  df-pjh 29171
This theorem is referenced by:  chscllem4  29416
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