HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  chscllem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chscllem2 31155
Description: Lemma for chscl 31158. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
chscl.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Cโ„‹ )
chscl.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ Cโ„‹ )
chscl.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โŠ† (โŠฅโ€˜๐ด))
chscl.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ป:โ„•โŸถ(๐ด +โ„‹ ๐ต))
chscl.5 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โ‡๐‘ฃ ๐‘ข)
chscl.6 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›)))
Assertion
Ref Expression
chscllem2 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ dom โ‡๐‘ฃ )
Distinct variable groups:   ๐‘ข,๐‘›,๐ด   ๐œ‘,๐‘›   ๐ต,๐‘›,๐‘ข   ๐‘›,๐ป,๐‘ข
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ข)   ๐น(๐‘ข,๐‘›)

Proof of Theorem chscllem2
Dummy variables ๐‘— ๐‘ฅ ๐‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 chscl.1 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Cโ„‹ )
2 chscl.2 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ Cโ„‹ )
3 chscl.3 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โŠ† (โŠฅโ€˜๐ด))
4 chscl.4 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ป:โ„•โŸถ(๐ด +โ„‹ ๐ต))
5 chscl.5 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โ‡๐‘ฃ ๐‘ข)
6 chscl.6 . . . . 5 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›)))
71, 2, 3, 4, 5, 6chscllem1 31154 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐น:โ„•โŸถ๐ด)
8 chss 30746 . . . . 5 (๐ด โˆˆ Cโ„‹ โ†’ ๐ด โŠ† โ„‹)
91, 8syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„‹)
107, 9fssd 6736 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐น:โ„•โŸถ โ„‹)
11 hlimcaui 30753 . . . . . . 7 (๐ป โ‡๐‘ฃ ๐‘ข โ†’ ๐ป โˆˆ Cauchy)
125, 11syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ Cauchy)
13 hcaucvg 30703 . . . . . 6 ((๐ป โˆˆ Cauchy โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„• โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘—)(normโ„Žโ€˜((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜))) < ๐‘ฅ)
1412, 13sylan 579 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„• โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘—)(normโ„Žโ€˜((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜))) < ๐‘ฅ)
15 eluznn 12907 . . . . . . . . 9 ((๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘—)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
1615adantll 711 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘—)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
17 chsh 30741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐ด โˆˆ Cโ„‹ โ†’ ๐ด โˆˆ Sโ„‹ )
181, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Sโ„‹ )
19 chsh 30741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐ต โˆˆ Cโ„‹ โ†’ ๐ต โˆˆ Sโ„‹ )
202, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ Sโ„‹ )
21 shscl 30835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐ด โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ Sโ„‹ ) โ†’ (๐ด +โ„‹ ๐ต) โˆˆ Sโ„‹ )
2218, 20, 21syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐œ‘ โ†’ (๐ด +โ„‹ ๐ต) โˆˆ Sโ„‹ )
23 shss 30727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐ด +โ„‹ ๐ต) โˆˆ Sโ„‹ โ†’ (๐ด +โ„‹ ๐ต) โŠ† โ„‹)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ (๐ด +โ„‹ ๐ต) โŠ† โ„‹)
2524adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด +โ„‹ ๐ต) โŠ† โ„‹)
264ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘—) โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต))
2725, 26sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‹)
2827adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‹)
294, 24fssd 6736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ ๐ป:โ„•โŸถ โ„‹)
3029adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐ป:โ„•โŸถ โ„‹)
31 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
3230, 31ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‹)
33 hvsubcl 30534 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐ปโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐ปโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‹)
3428, 32, 33syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‹)
359adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โŠ† โ„‹)
367ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (๐นโ€˜๐‘—) โˆˆ ๐ด)
3735, 36sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (๐นโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‹)
3837adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‹)
399adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐ด โŠ† โ„‹)
407adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐น:โ„•โŸถ๐ด)
4140, 31ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ ๐ด)
4239, 41sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‹)
43 hvsubcl 30534 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐นโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‹)
4438, 42, 43syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‹)
45 hvsubcl 30534 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‹ โˆง ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆ’โ„Ž ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆˆ โ„‹)
4634, 44, 45syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ (((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆ’โ„Ž ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆˆ โ„‹)
47 normcl 30642 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆ’โ„Ž ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆ’โ„Ž ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)))) โˆˆ โ„)
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ (normโ„Žโ€˜(((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆ’โ„Ž ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)))) โˆˆ โ„)
4948sqge0d 14107 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ 0 โ‰ค ((normโ„Žโ€˜(((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆ’โ„Ž ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))))โ†‘2))
50 normcl 30642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆˆ โ„)
5144, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆˆ โ„)
5251resqcld 14095 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)))โ†‘2) โˆˆ โ„)
5348resqcld 14095 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆ’โ„Ž ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))))โ†‘2) โˆˆ โ„)
5452, 53addge01d 11807 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ (0 โ‰ค ((normโ„Žโ€˜(((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆ’โ„Ž ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))))โ†‘2) โ†” ((normโ„Žโ€˜((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)))โ†‘2) โ‰ค (((normโ„Žโ€˜((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)))โ†‘2) + ((normโ„Žโ€˜(((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆ’โ„Ž ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))))โ†‘2))))
5549, 54mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)))โ†‘2) โ‰ค (((normโ„Žโ€˜((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)))โ†‘2) + ((normโ„Žโ€˜(((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆ’โ„Ž ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))))โ†‘2)))
5618adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐ด โˆˆ Sโ„‹ )
5736adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘—) โˆˆ ๐ด)
58 shsubcl 30737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ Sโ„‹ โˆง (๐นโ€˜๐‘—) โˆˆ ๐ด โˆง (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ ๐ด)
5956, 57, 41, 58syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ ๐ด)
60 hvsubsub4 30577 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐ปโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐ปโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‹) โˆง ((๐นโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆ’โ„Ž ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))) = (((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘—)) โˆ’โ„Ž ((๐ปโ€˜๐‘˜) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))))
6128, 32, 38, 42, 60syl22anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ (((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆ’โ„Ž ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))) = (((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘—)) โˆ’โ„Ž ((๐ปโ€˜๐‘˜) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))))
62 ocsh 30800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐ด โŠ† โ„‹ โ†’ (โŠฅโ€˜๐ด) โˆˆ Sโ„‹ )
6339, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ (โŠฅโ€˜๐ด) โˆˆ Sโ„‹ )
64 2fveq3 6897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (๐‘› = ๐‘— โ†’ ((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›)) = ((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜(๐ปโ€˜๐‘—)))
65 fvex 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜(๐ปโ€˜๐‘—)) โˆˆ V
6664, 6, 65fvmpt 6999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ (๐นโ€˜๐‘—) = ((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜(๐ปโ€˜๐‘—)))
6766eqcomd 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ ((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜(๐ปโ€˜๐‘—)) = (๐นโ€˜๐‘—))
6867adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜(๐ปโ€˜๐‘—)) = (๐นโ€˜๐‘—))
691adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ Cโ„‹ )
709, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (๐œ‘ โ†’ (โŠฅโ€˜๐ด) โˆˆ Sโ„‹ )
71 shless 30876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((๐ต โˆˆ Sโ„‹ โˆง (โŠฅโ€˜๐ด) โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐ด โˆˆ Sโ„‹ ) โˆง ๐ต โŠ† (โŠฅโ€˜๐ด)) โ†’ (๐ต +โ„‹ ๐ด) โŠ† ((โŠฅโ€˜๐ด) +โ„‹ ๐ด))
7220, 70, 18, 3, 71syl31anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (๐œ‘ โ†’ (๐ต +โ„‹ ๐ด) โŠ† ((โŠฅโ€˜๐ด) +โ„‹ ๐ด))
73 shscom 30836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐ด โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ Sโ„‹ ) โ†’ (๐ด +โ„‹ ๐ต) = (๐ต +โ„‹ ๐ด))
7418, 20, 73syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (๐œ‘ โ†’ (๐ด +โ„‹ ๐ต) = (๐ต +โ„‹ ๐ด))
75 shscom 30836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐ด โˆˆ Sโ„‹ โˆง (โŠฅโ€˜๐ด) โˆˆ Sโ„‹ ) โ†’ (๐ด +โ„‹ (โŠฅโ€˜๐ด)) = ((โŠฅโ€˜๐ด) +โ„‹ ๐ด))
7618, 70, 75syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (๐œ‘ โ†’ (๐ด +โ„‹ (โŠฅโ€˜๐ด)) = ((โŠฅโ€˜๐ด) +โ„‹ ๐ด))
7772, 74, 763sstr4d 4030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (๐œ‘ โ†’ (๐ด +โ„‹ ๐ต) โŠ† (๐ด +โ„‹ (โŠฅโ€˜๐ด)))
7877adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด +โ„‹ ๐ต) โŠ† (๐ด +โ„‹ (โŠฅโ€˜๐ด)))
7978, 26sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘—) โˆˆ (๐ด +โ„‹ (โŠฅโ€˜๐ด)))
80 pjpreeq 30915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐ด โˆˆ Cโ„‹ โˆง (๐ปโ€˜๐‘—) โˆˆ (๐ด +โ„‹ (โŠฅโ€˜๐ด))) โ†’ (((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜(๐ปโ€˜๐‘—)) = (๐นโ€˜๐‘—) โ†” ((๐นโ€˜๐‘—) โˆˆ ๐ด โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)(๐ปโ€˜๐‘—) = ((๐นโ€˜๐‘—) +โ„Ž ๐‘ฅ))))
8169, 79, 80syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜(๐ปโ€˜๐‘—)) = (๐นโ€˜๐‘—) โ†” ((๐นโ€˜๐‘—) โˆˆ ๐ด โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)(๐ปโ€˜๐‘—) = ((๐นโ€˜๐‘—) +โ„Ž ๐‘ฅ))))
8268, 81mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘—) โˆˆ ๐ด โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)(๐ปโ€˜๐‘—) = ((๐นโ€˜๐‘—) +โ„Ž ๐‘ฅ)))
8382simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)(๐ปโ€˜๐‘—) = ((๐นโ€˜๐‘—) +โ„Ž ๐‘ฅ))
8427adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‹)
8537adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‹)
86 shss 30727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((โŠฅโ€˜๐ด) โˆˆ Sโ„‹ โ†’ (โŠฅโ€˜๐ด) โŠ† โ„‹)
8770, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (๐œ‘ โ†’ (โŠฅโ€˜๐ด) โŠ† โ„‹)
8887adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (โŠฅโ€˜๐ด) โŠ† โ„‹)
8988sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)
90 hvsubadd 30594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((๐ปโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐นโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘—)) = ๐‘ฅ โ†” ((๐นโ€˜๐‘—) +โ„Ž ๐‘ฅ) = (๐ปโ€˜๐‘—)))
9184, 85, 89, 90syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)) โ†’ (((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘—)) = ๐‘ฅ โ†” ((๐นโ€˜๐‘—) +โ„Ž ๐‘ฅ) = (๐ปโ€˜๐‘—)))
92 eqcom 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ฅ = ((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘—)) โ†” ((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘—)) = ๐‘ฅ)
93 eqcom 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐ปโ€˜๐‘—) = ((๐นโ€˜๐‘—) +โ„Ž ๐‘ฅ) โ†” ((๐นโ€˜๐‘—) +โ„Ž ๐‘ฅ) = (๐ปโ€˜๐‘—))
9491, 92, 933bitr4g 313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)) โ†’ (๐‘ฅ = ((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘—)) โ†” (๐ปโ€˜๐‘—) = ((๐นโ€˜๐‘—) +โ„Ž ๐‘ฅ)))
9594rexbidva 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)๐‘ฅ = ((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘—)) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)(๐ปโ€˜๐‘—) = ((๐นโ€˜๐‘—) +โ„Ž ๐‘ฅ)))
9683, 95mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)๐‘ฅ = ((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘—)))
97 risset 3229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘—)) โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)๐‘ฅ = ((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘—)))
9896, 97sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘—)) โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด))
9998adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘—)) โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด))
100 eleq1w 2815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐‘— โˆˆ โ„• โ†” ๐‘˜ โˆˆ โ„•))
101100anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†” (๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)))
102 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐ปโ€˜๐‘—) = (๐ปโ€˜๐‘˜))
103 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐นโ€˜๐‘—) = (๐นโ€˜๐‘˜))
104102, 103oveq12d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘—)) = ((๐ปโ€˜๐‘˜) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)))
105104eleq1d 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘—)) โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด) โ†” ((๐ปโ€˜๐‘˜) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)))
106101, 105imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘—)) โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)) โ†” ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ปโ€˜๐‘˜) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด))))
107106, 98chvarvv 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ปโ€˜๐‘˜) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด))
108107adantrl 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐ปโ€˜๐‘˜) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด))
109 shsubcl 30737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((โŠฅโ€˜๐ด) โˆˆ Sโ„‹ โˆง ((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘—)) โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด) โˆง ((๐ปโ€˜๐‘˜) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)) โ†’ (((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘—)) โˆ’โ„Ž ((๐ปโ€˜๐‘˜) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด))
11063, 99, 108, 109syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ (((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘—)) โˆ’โ„Ž ((๐ปโ€˜๐‘˜) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด))
11161, 110eqeltrd 2832 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ (((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆ’โ„Ž ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด))
112 shocorth 30809 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐ด โˆˆ Sโ„‹ โ†’ ((((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ ๐ด โˆง (((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆ’โ„Ž ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)) ยทih (((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆ’โ„Ž ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)))) = 0))
11356, 112syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ ๐ด โˆง (((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆ’โ„Ž ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)) ยทih (((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆ’โ„Ž ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)))) = 0))
11459, 111, 113mp2and 696 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)) ยทih (((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆ’โ„Ž ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)))) = 0)
115 normpyth 30662 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‹ โˆง (((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆ’โ„Ž ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)) ยทih (((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆ’โ„Ž ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)))) = 0 โ†’ ((normโ„Žโ€˜(((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)) +โ„Ž (((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆ’โ„Ž ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)))))โ†‘2) = (((normโ„Žโ€˜((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)))โ†‘2) + ((normโ„Žโ€˜(((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆ’โ„Ž ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))))โ†‘2))))
11644, 46, 115syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)) ยทih (((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆ’โ„Ž ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)))) = 0 โ†’ ((normโ„Žโ€˜(((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)) +โ„Ž (((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆ’โ„Ž ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)))))โ†‘2) = (((normโ„Žโ€˜((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)))โ†‘2) + ((normโ„Žโ€˜(((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆ’โ„Ž ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))))โ†‘2))))
117114, 116mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)) +โ„Ž (((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆ’โ„Ž ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)))))โ†‘2) = (((normโ„Žโ€˜((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)))โ†‘2) + ((normโ„Žโ€˜(((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆ’โ„Ž ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))))โ†‘2)))
118 hvpncan3 30559 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‹ โˆง ((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)) +โ„Ž (((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆ’โ„Ž ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)))) = ((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)))
11944, 34, 118syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)) +โ„Ž (((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆ’โ„Ž ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)))) = ((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)))
120119fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ (normโ„Žโ€˜(((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)) +โ„Ž (((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆ’โ„Ž ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))))) = (normโ„Žโ€˜((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜))))
121120oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)) +โ„Ž (((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆ’โ„Ž ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)))))โ†‘2) = ((normโ„Žโ€˜((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)))โ†‘2))
122117, 121eqtr3d 2773 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ (((normโ„Žโ€˜((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)))โ†‘2) + ((normโ„Žโ€˜(((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆ’โ„Ž ((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))))โ†‘2)) = ((normโ„Žโ€˜((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)))โ†‘2))
12355, 122breqtrd 5175 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)))โ†‘2) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)))โ†‘2))
124 normcl 30642 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜))) โˆˆ โ„)
12534, 124syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜))) โˆˆ โ„)
126 normge0 30643 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‹ โ†’ 0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))))
12744, 126syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ 0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))))
128 normge0 30643 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‹ โ†’ 0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜))))
12934, 128syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ 0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜))))
13051, 125, 127, 129le2sqd 14225 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))) โ‰ค (normโ„Žโ€˜((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜))) โ†” ((normโ„Žโ€˜((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜)))โ†‘2) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜)))โ†‘2)))
131123, 130mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))) โ‰ค (normโ„Žโ€˜((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜))))
132131adantlr 712 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))) โ‰ค (normโ„Žโ€˜((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜))))
13351adantlr 712 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆˆ โ„)
134125adantlr 712 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜))) โˆˆ โ„)
135 rpre 12987 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
136135ad2antlr 724 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
137 lelttr 11309 . . . . . . . . . . 11 (((normโ„Žโ€˜((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆˆ โ„ โˆง (normโ„Žโ€˜((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜))) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (((normโ„Žโ€˜((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))) โ‰ค (normโ„Žโ€˜((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜))) โˆง (normโ„Žโ€˜((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜))) < ๐‘ฅ) โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))) < ๐‘ฅ))
138133, 134, 136, 137syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ (((normโ„Žโ€˜((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))) โ‰ค (normโ„Žโ€˜((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜))) โˆง (normโ„Žโ€˜((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜))) < ๐‘ฅ) โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))) < ๐‘ฅ))
139132, 138mpand 692 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜))) < ๐‘ฅ โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))) < ๐‘ฅ))
140139anassrs 467 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜))) < ๐‘ฅ โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))) < ๐‘ฅ))
14116, 140syldan 590 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘—)) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜))) < ๐‘ฅ โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))) < ๐‘ฅ))
142141ralimdva 3166 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘—)(normโ„Žโ€˜((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜))) < ๐‘ฅ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘—)(normโ„Žโ€˜((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))) < ๐‘ฅ))
143142reximdva 3167 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„• โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘—)(normโ„Žโ€˜((๐ปโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐ปโ€˜๐‘˜))) < ๐‘ฅ โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„• โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘—)(normโ„Žโ€˜((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))) < ๐‘ฅ))
14414, 143mpd 15 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„• โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘—)(normโ„Žโ€˜((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))) < ๐‘ฅ)
145144ralrimiva 3145 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„• โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘—)(normโ„Žโ€˜((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))) < ๐‘ฅ)
146 hcau 30701 . . 3 (๐น โˆˆ Cauchy โ†” (๐น:โ„•โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„• โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘—)(normโ„Žโ€˜((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’โ„Ž (๐นโ€˜๐‘˜))) < ๐‘ฅ))
14710, 145, 146sylanbrc 582 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ Cauchy)
148 ax-hcompl 30719 . 2 (๐น โˆˆ Cauchy โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ๐น โ‡๐‘ฃ ๐‘ฅ)
149 hlimf 30754 . . . . 5 โ‡๐‘ฃ :dom โ‡๐‘ฃ โŸถ โ„‹
150 ffn 6718 . . . . 5 ( โ‡๐‘ฃ :dom โ‡๐‘ฃ โŸถ โ„‹ โ†’ โ‡๐‘ฃ Fn dom โ‡๐‘ฃ )
151149, 150ax-mp 5 . . . 4 โ‡๐‘ฃ Fn dom โ‡๐‘ฃ
152 fnbr 6658 . . . 4 (( โ‡๐‘ฃ Fn dom โ‡๐‘ฃ โˆง ๐น โ‡๐‘ฃ ๐‘ฅ) โ†’ ๐น โˆˆ dom โ‡๐‘ฃ )
153151, 152mpan 687 . . 3 (๐น โ‡๐‘ฃ ๐‘ฅ โ†’ ๐น โˆˆ dom โ‡๐‘ฃ )
154153rexlimivw 3150 . 2 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ๐น โ‡๐‘ฃ ๐‘ฅ โ†’ ๐น โˆˆ dom โ‡๐‘ฃ )
155147, 148, 1543syl 18 1 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ dom โ‡๐‘ฃ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105  โˆ€wral 3060  โˆƒwrex 3069   โŠ† wss 3949   class class class wbr 5149   โ†ฆ cmpt 5232  dom cdm 5677   Fn wfn 6539  โŸถwf 6540  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  โ„cr 11112  0cc0 11113   + caddc 11116   < clt 11253   โ‰ค cle 11254  โ„•cn 12217  2c2 12272  โ„คโ‰ฅcuz 12827  โ„+crp 12979  โ†‘cexp 14032   โ„‹chba 30436   +โ„Ž cva 30437   ยทih csp 30439  normโ„Žcno 30440   โˆ’โ„Ž cmv 30442  Cauchyccauold 30443   โ‡๐‘ฃ chli 30444   Sโ„‹ csh 30445   Cโ„‹ cch 30446  โŠฅcort 30447   +โ„‹ cph 30448  projโ„Žcpjh 30454
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191  ax-addf 11192  ax-mulf 11193  ax-hilex 30516  ax-hfvadd 30517  ax-hvcom 30518  ax-hvass 30519  ax-hv0cl 30520  ax-hvaddid 30521  ax-hfvmul 30522  ax-hvmulid 30523  ax-hvmulass 30524  ax-hvdistr1 30525  ax-hvdistr2 30526  ax-hvmul0 30527  ax-hfi 30596  ax-his1 30599  ax-his2 30600  ax-his3 30601  ax-his4 30602  ax-hcompl 30719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9440  df-inf 9441  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-icc 13336  df-seq 13972  df-exp 14033  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-topgen 17394  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-top 22617  df-topon 22634  df-bases 22670  df-lm 22954  df-haus 23040  df-cau 25005  df-grpo 30010  df-gid 30011  df-ginv 30012  df-gdiv 30013  df-ablo 30062  df-vc 30076  df-nv 30109  df-va 30112  df-ba 30113  df-sm 30114  df-0v 30115  df-vs 30116  df-nmcv 30117  df-ims 30118  df-hnorm 30485  df-hvsub 30488  df-hlim 30489  df-hcau 30490  df-sh 30724  df-ch 30738  df-oc 30769  df-ch0 30770  df-shs 30825  df-pjh 30912
This theorem is referenced by:  chscllem4  31157
  Copyright terms: Public domain W3C validator