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Theorem chscllem2 28888
Description: Lemma for chscl 28891. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
chscl.1 (𝜑𝐴C )
chscl.2 (𝜑𝐵C )
chscl.3 (𝜑𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
chscl.4 (𝜑𝐻:ℕ⟶(𝐴 + 𝐵))
chscl.5 (𝜑𝐻𝑣 𝑢)
chscl.6 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((proj𝐴)‘(𝐻𝑛)))
Assertion
Ref Expression
chscllem2 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
Distinct variable groups:   𝑢,𝑛,𝐴   𝜑,𝑛   𝐵,𝑛,𝑢   𝑛,𝐻,𝑢
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝐹(𝑢,𝑛)

Proof of Theorem chscllem2
Dummy variables 𝑗 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 chscl.1 . . . . 5 (𝜑𝐴C )
2 chscl.2 . . . . 5 (𝜑𝐵C )
3 chscl.3 . . . . 5 (𝜑𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
4 chscl.4 . . . . 5 (𝜑𝐻:ℕ⟶(𝐴 + 𝐵))
5 chscl.5 . . . . 5 (𝜑𝐻𝑣 𝑢)
6 chscl.6 . . . . 5 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((proj𝐴)‘(𝐻𝑛)))
71, 2, 3, 4, 5, 6chscllem1 28887 . . . 4 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝐴)
8 chss 28477 . . . . 5 (𝐴C𝐴 ⊆ ℋ)
91, 8syl 17 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℋ)
107, 9fssd 6237 . . 3 (𝜑𝐹:ℕ⟶ ℋ)
11 hlimcaui 28484 . . . . . . 7 (𝐻𝑣 𝑢𝐻 ∈ Cauchy)
125, 11syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐻 ∈ Cauchy)
13 hcaucvg 28434 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ Cauchy ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘))) < 𝑥)
1412, 13sylan 575 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘))) < 𝑥)
15 eluznn 11959 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
1615adantll 705 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
17 chsh 28472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐴C𝐴S )
181, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝐴S )
19 chsh 28472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐵C𝐵S )
202, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝐵S )
21 shscl 28568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ S )
2218, 20, 21syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ S )
23 shss 28458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴 + 𝐵) ∈ S → (𝐴 + 𝐵) ⊆ ℋ)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ⊆ ℋ)
2524adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐴 + 𝐵) ⊆ ℋ)
264ffvelrnda 6549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐻𝑗) ∈ (𝐴 + 𝐵))
2725, 26sseldd 3762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐻𝑗) ∈ ℋ)
2827adantrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (𝐻𝑗) ∈ ℋ)
294, 24fssd 6237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐻:ℕ⟶ ℋ)
3029adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 𝐻:ℕ⟶ ℋ)
31 simprr 789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℕ)
3230, 31ffvelrnd 6550 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (𝐻𝑘) ∈ ℋ)
33 hvsubcl 28265 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐻𝑗) ∈ ℋ ∧ (𝐻𝑘) ∈ ℋ) → ((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) ∈ ℋ)
3428, 32, 33syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) ∈ ℋ)
359adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 𝐴 ⊆ ℋ)
367ffvelrnda 6549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) ∈ 𝐴)
3735, 36sseldd 3762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) ∈ ℋ)
3837adantrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑗) ∈ ℋ)
399adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 𝐴 ⊆ ℋ)
407adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 𝐹:ℕ⟶𝐴)
4140, 31ffvelrnd 6550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑘) ∈ 𝐴)
4239, 41sseldd 3762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑘) ∈ ℋ)
43 hvsubcl 28265 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹𝑗) ∈ ℋ ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℋ) → ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)) ∈ ℋ)
4438, 42, 43syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)) ∈ ℋ)
45 hvsubcl 28265 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) ∈ ℋ ∧ ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)) ∈ ℋ) → (((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) ∈ ℋ)
4634, 44, 45syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) ∈ ℋ)
47 normcl 28373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) ∈ ℋ → (norm‘(((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))) ∈ ℝ)
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (norm‘(((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))) ∈ ℝ)
4948sqge0d 13243 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 0 ≤ ((norm‘(((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))))↑2))
50 normcl 28373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)) ∈ ℋ → (norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) ∈ ℝ)
5144, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) ∈ ℝ)
5251resqcld 13242 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))↑2) ∈ ℝ)
5348resqcld 13242 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((norm‘(((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))))↑2) ∈ ℝ)
5452, 53addge01d 10869 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (0 ≤ ((norm‘(((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))))↑2) ↔ ((norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))↑2) ≤ (((norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))↑2) + ((norm‘(((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))))↑2))))
5549, 54mpbid 223 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))↑2) ≤ (((norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))↑2) + ((norm‘(((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))))↑2)))
5618adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 𝐴S )
5736adantrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑗) ∈ 𝐴)
58 shsubcl 28468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴S ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝐴) → ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)) ∈ 𝐴)
5956, 57, 41, 58syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)) ∈ 𝐴)
60 hvsubsub4 28308 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐻𝑗) ∈ ℋ ∧ (𝐻𝑘) ∈ ℋ) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ ℋ ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℋ)) → (((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) = (((𝐻𝑗) − (𝐹𝑗)) − ((𝐻𝑘) − (𝐹𝑘))))
6128, 32, 38, 42, 60syl22anc 867 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) = (((𝐻𝑗) − (𝐹𝑗)) − ((𝐻𝑘) − (𝐹𝑘))))
62 ocsh 28533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ∈ S )
6339, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (⊥‘𝐴) ∈ S )
64 2fveq3 6380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑛 = 𝑗 → ((proj𝐴)‘(𝐻𝑛)) = ((proj𝐴)‘(𝐻𝑗)))
65 fvex 6388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((proj𝐴)‘(𝐻𝑗)) ∈ V
6664, 6, 65fvmpt 6471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑗 ∈ ℕ → (𝐹𝑗) = ((proj𝐴)‘(𝐻𝑗)))
6766eqcomd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ ℕ → ((proj𝐴)‘(𝐻𝑗)) = (𝐹𝑗))
6867adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((proj𝐴)‘(𝐻𝑗)) = (𝐹𝑗))
691adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 𝐴C )
709, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → (⊥‘𝐴) ∈ S )
71 shless 28609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝐵S ∧ (⊥‘𝐴) ∈ S𝐴S ) ∧ 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴)) → (𝐵 + 𝐴) ⊆ ((⊥‘𝐴) + 𝐴))
7220, 70, 18, 3, 71syl31anc 1492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (𝐵 + 𝐴) ⊆ ((⊥‘𝐴) + 𝐴))
73 shscom 28569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
7418, 20, 73syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
75 shscom 28569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐴S ∧ (⊥‘𝐴) ∈ S ) → (𝐴 + (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) + 𝐴))
7618, 70, 75syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (𝐴 + (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) + 𝐴))
7772, 74, 763sstr4d 3808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ⊆ (𝐴 + (⊥‘𝐴)))
7877adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐴 + 𝐵) ⊆ (𝐴 + (⊥‘𝐴)))
7978, 26sseldd 3762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐻𝑗) ∈ (𝐴 + (⊥‘𝐴)))
80 pjpreeq 28648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐴C ∧ (𝐻𝑗) ∈ (𝐴 + (⊥‘𝐴))) → (((proj𝐴)‘(𝐻𝑗)) = (𝐹𝑗) ↔ ((𝐹𝑗) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻𝑗) = ((𝐹𝑗) + 𝑥))))
8169, 79, 80syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (((proj𝐴)‘(𝐻𝑗)) = (𝐹𝑗) ↔ ((𝐹𝑗) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻𝑗) = ((𝐹𝑗) + 𝑥))))
8268, 81mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑗) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻𝑗) = ((𝐹𝑗) + 𝑥)))
8382simprd 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻𝑗) = ((𝐹𝑗) + 𝑥))
8427adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)) → (𝐻𝑗) ∈ ℋ)
8537adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)) → (𝐹𝑗) ∈ ℋ)
86 shss 28458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((⊥‘𝐴) ∈ S → (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ)
8770, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ)
8887adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ)
8988sselda 3761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)) → 𝑥 ∈ ℋ)
90 hvsubadd 28325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐻𝑗) ∈ ℋ ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝐻𝑗) − (𝐹𝑗)) = 𝑥 ↔ ((𝐹𝑗) + 𝑥) = (𝐻𝑗)))
9184, 85, 89, 90syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)) → (((𝐻𝑗) − (𝐹𝑗)) = 𝑥 ↔ ((𝐹𝑗) + 𝑥) = (𝐻𝑗)))
92 eqcom 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = ((𝐻𝑗) − (𝐹𝑗)) ↔ ((𝐻𝑗) − (𝐹𝑗)) = 𝑥)
93 eqcom 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐻𝑗) = ((𝐹𝑗) + 𝑥) ↔ ((𝐹𝑗) + 𝑥) = (𝐻𝑗))
9491, 92, 933bitr4g 305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)) → (𝑥 = ((𝐻𝑗) − (𝐹𝑗)) ↔ (𝐻𝑗) = ((𝐹𝑗) + 𝑥)))
9594rexbidva 3196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)𝑥 = ((𝐻𝑗) − (𝐹𝑗)) ↔ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻𝑗) = ((𝐹𝑗) + 𝑥)))
9683, 95mpbird 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)𝑥 = ((𝐻𝑗) − (𝐹𝑗)))
97 risset 3209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐻𝑗) − (𝐹𝑗)) ∈ (⊥‘𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)𝑥 = ((𝐻𝑗) − (𝐹𝑗)))
9896, 97sylibr 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐻𝑗) − (𝐹𝑗)) ∈ (⊥‘𝐴))
9998adantrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((𝐻𝑗) − (𝐹𝑗)) ∈ (⊥‘𝐴))
100 eleq1w 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ ℕ))
101100anbi2d 622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = 𝑘 → ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ↔ (𝜑𝑘 ∈ ℕ)))
102 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 = 𝑘 → (𝐻𝑗) = (𝐻𝑘))
103 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 = 𝑘 → (𝐹𝑗) = (𝐹𝑘))
104102, 103oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐻𝑗) − (𝐹𝑗)) = ((𝐻𝑘) − (𝐹𝑘)))
105104eleq1d 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = 𝑘 → (((𝐻𝑗) − (𝐹𝑗)) ∈ (⊥‘𝐴) ↔ ((𝐻𝑘) − (𝐹𝑘)) ∈ (⊥‘𝐴)))
106101, 105imbi12d 335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 = 𝑘 → (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐻𝑗) − (𝐹𝑗)) ∈ (⊥‘𝐴)) ↔ ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐻𝑘) − (𝐹𝑘)) ∈ (⊥‘𝐴))))
107106, 98chvarv 2369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐻𝑘) − (𝐹𝑘)) ∈ (⊥‘𝐴))
108107adantrl 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((𝐻𝑘) − (𝐹𝑘)) ∈ (⊥‘𝐴))
109 shsubcl 28468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((⊥‘𝐴) ∈ S ∧ ((𝐻𝑗) − (𝐹𝑗)) ∈ (⊥‘𝐴) ∧ ((𝐻𝑘) − (𝐹𝑘)) ∈ (⊥‘𝐴)) → (((𝐻𝑗) − (𝐹𝑗)) − ((𝐻𝑘) − (𝐹𝑘))) ∈ (⊥‘𝐴))
11063, 99, 108, 109syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (((𝐻𝑗) − (𝐹𝑗)) − ((𝐻𝑘) − (𝐹𝑘))) ∈ (⊥‘𝐴))
11161, 110eqeltrd 2844 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) ∈ (⊥‘𝐴))
112 shocorth 28542 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴S → ((((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)) ∈ 𝐴 ∧ (((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) ∈ (⊥‘𝐴)) → (((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)) ·ih (((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))) = 0))
11356, 112syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)) ∈ 𝐴 ∧ (((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) ∈ (⊥‘𝐴)) → (((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)) ·ih (((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))) = 0))
11459, 111, 113mp2and 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)) ·ih (((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))) = 0)
115 normpyth 28393 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)) ∈ ℋ ∧ (((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) ∈ ℋ) → ((((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)) ·ih (((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))) = 0 → ((norm‘(((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)) + (((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))))↑2) = (((norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))↑2) + ((norm‘(((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))))↑2))))
11644, 46, 115syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)) ·ih (((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))) = 0 → ((norm‘(((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)) + (((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))))↑2) = (((norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))↑2) + ((norm‘(((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))))↑2))))
117114, 116mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((norm‘(((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)) + (((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))))↑2) = (((norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))↑2) + ((norm‘(((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))))↑2)))
118 hvpncan3 28290 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)) ∈ ℋ ∧ ((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) ∈ ℋ) → (((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)) + (((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))) = ((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)))
11944, 34, 118syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)) + (((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))) = ((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)))
120119fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (norm‘(((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)) + (((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))))) = (norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘))))
121120oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((norm‘(((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)) + (((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))))↑2) = ((norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)))↑2))
122117, 121eqtr3d 2801 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (((norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))↑2) + ((norm‘(((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))))↑2)) = ((norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)))↑2))
12355, 122breqtrd 4835 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))↑2) ≤ ((norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)))↑2))
124 normcl 28373 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) ∈ ℋ → (norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘))) ∈ ℝ)
12534, 124syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘))) ∈ ℝ)
126 normge0 28374 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)) ∈ ℋ → 0 ≤ (norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))))
12744, 126syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 0 ≤ (norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))))
128 normge0 28374 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) ∈ ℋ → 0 ≤ (norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘))))
12934, 128syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 0 ≤ (norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘))))
13051, 125, 127, 129le2sqd 13251 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) ≤ (norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘))) ↔ ((norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))↑2) ≤ ((norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)))↑2)))
131123, 130mpbird 248 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) ≤ (norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘))))
132131adantlr 706 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) ≤ (norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘))))
13351adantlr 706 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) ∈ ℝ)
134125adantlr 706 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘))) ∈ ℝ)
135 rpre 12036 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
136135ad2antlr 718 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
137 lelttr 10382 . . . . . . . . . . 11 (((norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) ∈ ℝ ∧ (norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘))) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) ≤ (norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘))) ∧ (norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘))) < 𝑥) → (norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) < 𝑥))
138133, 134, 136, 137syl3anc 1490 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (((norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) ≤ (norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘))) ∧ (norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘))) < 𝑥) → (norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) < 𝑥))
139132, 138mpand 686 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘))) < 𝑥 → (norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) < 𝑥))
140139anassrs 459 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘))) < 𝑥 → (norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) < 𝑥))
14116, 140syldan 585 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘))) < 𝑥 → (norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) < 𝑥))
142141ralimdva 3109 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘))) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) < 𝑥))
143142reximdva 3163 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘))) < 𝑥 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) < 𝑥))
14414, 143mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) < 𝑥)
145144ralrimiva 3113 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) < 𝑥)
146 hcau 28432 . . 3 (𝐹 ∈ Cauchy ↔ (𝐹:ℕ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) < 𝑥))
14710, 145, 146sylanbrc 578 . 2 (𝜑𝐹 ∈ Cauchy)
148 ax-hcompl 28450 . 2 (𝐹 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹𝑣 𝑥)
149 hlimf 28485 . . . . 5 𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ
150 ffn 6223 . . . . 5 ( ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ → ⇝𝑣 Fn dom ⇝𝑣 )
151149, 150ax-mp 5 . . . 4 𝑣 Fn dom ⇝𝑣
152 fnbr 6171 . . . 4 (( ⇝𝑣 Fn dom ⇝𝑣𝐹𝑣 𝑥) → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
153151, 152mpan 681 . . 3 (𝐹𝑣 𝑥𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
154153rexlimivw 3176 . 2 (∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹𝑣 𝑥𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
155147, 148, 1543syl 18 1 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  wrex 3056  wss 3732   class class class wbr 4809  cmpt 4888  dom cdm 5277   Fn wfn 6063  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  cr 10188  0cc0 10189   + caddc 10192   < clt 10328  cle 10329  cn 11274  2c2 11327  cuz 11886  +crp 12028  cexp 13067  chba 28167   + cva 28168   ·ih csp 28170  normcno 28171   cmv 28173  Cauchyccauold 28174  𝑣 chli 28175   S csh 28176   C cch 28177  cort 28178   + cph 28179  projcpjh 28185
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269  ax-hilex 28247  ax-hfvadd 28248  ax-hvcom 28249  ax-hvass 28250  ax-hv0cl 28251  ax-hvaddid 28252  ax-hfvmul 28253  ax-hvmulid 28254  ax-hvmulass 28255  ax-hvdistr1 28256  ax-hvdistr2 28257  ax-hvmul0 28258  ax-hfi 28327  ax-his1 28330  ax-his2 28331  ax-his3 28332  ax-his4 28333  ax-hcompl 28450
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-sup 8555  df-inf 8556  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-icc 12384  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-topgen 16372  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-top 20978  df-topon 20995  df-bases 21030  df-lm 21313  df-haus 21399  df-cau 23333  df-grpo 27739  df-gid 27740  df-ginv 27741  df-gdiv 27742  df-ablo 27791  df-vc 27805  df-nv 27838  df-va 27841  df-ba 27842  df-sm 27843  df-0v 27844  df-vs 27845  df-nmcv 27846  df-ims 27847  df-hnorm 28216  df-hvsub 28219  df-hlim 28220  df-hcau 28221  df-sh 28455  df-ch 28469  df-oc 28500  df-ch0 28501  df-shs 28558  df-pjh 28645
This theorem is referenced by:  chscllem4  28890
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