Theorem chscllem2 30643

Description: Lemma for chscl 30646. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
chscl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Cℋ )
chscl.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Cℋ )
chscl.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
chscl.4	⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵))
chscl.5	⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝𝑣 𝑢)
chscl.6	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
chscllem2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )

Distinct variable groups:   𝑢,𝑛,𝐴   𝜑,𝑛   𝐵,𝑛,𝑢   𝑛,𝐻,𝑢

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝐹(𝑢,𝑛)

Proof of Theorem chscllem2

Dummy variables 𝑗 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chscl.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Cℋ )
2		chscl.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Cℋ )
3		chscl.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
4		chscl.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵))
5		chscl.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝𝑣 𝑢)
6		chscl.6	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	chscllem1 30642	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝐴)
8		chss 30234	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → 𝐴 ⊆ ℋ)
9	1, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℋ)
10	7, 9	fssd 6691	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ ℋ)
11		hlimcaui 30241	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ⇝𝑣 𝑢 → 𝐻 ∈ Cauchy)
12	5, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Cauchy)
13		hcaucvg 30191	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ Cauchy ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘))) < 𝑥)
14	12, 13	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘))) < 𝑥)
15		eluznn 12852	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
16	15	adantll 712	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
17		chsh 30229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → 𝐴 ∈ Sℋ )
18	1, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Sℋ )
19		chsh 30229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → 𝐵 ∈ Sℋ )
20	2, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Sℋ )
21		shscl 30323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ )
22	18, 20, 21	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ )
23		shss 30215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ → (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ ℋ)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ ℋ)
25	24	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ ℋ)
26	4	ffvelcdmda 7040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑗) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
27	25, 26	sseldd 3948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑗) ∈ ℋ)
28	27	adantrr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (𝐻‘𝑗) ∈ ℋ)
29	4, 24	fssd 6691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶ ℋ)
30	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 𝐻:ℕ⟶ ℋ)
31		simprr 771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℕ)
32	30, 31	ffvelcdmd 7041	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (𝐻‘𝑘) ∈ ℋ)
33		hvsubcl 30022	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐻‘𝑗) ∈ ℋ ∧ (𝐻‘𝑘) ∈ ℋ) → ((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) ∈ ℋ)
34	28, 32, 33	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) ∈ ℋ)
35	9	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝐴 ⊆ ℋ)
36	7	ffvelcdmda 7040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑗) ∈ 𝐴)
37	35, 36	sseldd 3948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℋ)
38	37	adantrr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℋ)
39	9	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 𝐴 ⊆ ℋ)
40	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 𝐹:ℕ⟶𝐴)
41	40, 31	ffvelcdmd 7041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐴)
42	39, 41	sseldd 3948	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℋ)
43		hvsubcl 30022	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐹‘𝑗) ∈ ℋ ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℋ) → ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)) ∈ ℋ)
44	38, 42, 43	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)) ∈ ℋ)
45		hvsubcl 30022	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) ∈ ℋ ∧ ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)) ∈ ℋ) → (((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) −ℎ ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))) ∈ ℋ)
46	34, 44, 45	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) −ℎ ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))) ∈ ℋ)
47		normcl 30130	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) −ℎ ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))) ∈ ℋ → (normℎ‘(((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) −ℎ ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)))) ∈ ℝ)
48	46, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (normℎ‘(((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) −ℎ ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)))) ∈ ℝ)
49	48	sqge0d 14052	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 0 ≤ ((normℎ‘(((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) −ℎ ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))))↑2))
50		normcl 30130	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)) ∈ ℋ → (normℎ‘((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ)
51	44, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (normℎ‘((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ)
52	51	resqcld 14040	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((normℎ‘((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)))↑2) ∈ ℝ)
53	48	resqcld 14040	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((normℎ‘(((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) −ℎ ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))))↑2) ∈ ℝ)
54	52, 53	addge01d 11752	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (0 ≤ ((normℎ‘(((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) −ℎ ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))))↑2) ↔ ((normℎ‘((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)))↑2) ≤ (((normℎ‘((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)))↑2) + ((normℎ‘(((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) −ℎ ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))))↑2))))
55	49, 54	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((normℎ‘((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)))↑2) ≤ (((normℎ‘((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)))↑2) + ((normℎ‘(((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) −ℎ ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))))↑2)))
56	18	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ Sℋ )
57	36	adantrr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (𝐹‘𝑗) ∈ 𝐴)
58		shsubcl 30225	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)) ∈ 𝐴)
59	56, 57, 41, 58	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)) ∈ 𝐴)
60		hvsubsub4 30065	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐻‘𝑗) ∈ ℋ ∧ (𝐻‘𝑘) ∈ ℋ) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℋ ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℋ)) → (((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) −ℎ ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))) = (((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑗)) −ℎ ((𝐻‘𝑘) −ℎ (𝐹‘𝑘))))
61	28, 32, 38, 42, 60	syl22anc 837	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) −ℎ ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))) = (((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑗)) −ℎ ((𝐻‘𝑘) −ℎ (𝐹‘𝑘))))
62		ocsh 30288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ )
63	39, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ )
64		2fveq3 6852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)) = ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑗)))
65		fvex 6860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑗)) ∈ V
66	64, 6, 65	fvmpt 6953	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑗) = ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑗)))
67	66	eqcomd 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐹‘𝑗))
68	67	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐹‘𝑗))
69	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ Cℋ )
70	9, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ )
71		shless 30364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝐵 ∈ Sℋ ∧ (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴)) → (𝐵 +ℋ 𝐴) ⊆ ((⊥‘𝐴) +ℋ 𝐴))
72	20, 70, 18, 3, 71	syl31anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → (𝐵 +ℋ 𝐴) ⊆ ((⊥‘𝐴) +ℋ 𝐴))
73		shscom 30324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐵 +ℋ 𝐴))
74	18, 20, 73	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐵 +ℋ 𝐴))
75		shscom 30324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ ) → (𝐴 +ℋ (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) +ℋ 𝐴))
76	18, 70, 75	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +ℋ (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) +ℋ 𝐴))
77	72, 74, 76	3sstr4d 3994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 +ℋ (⊥‘𝐴)))
78	77	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 +ℋ (⊥‘𝐴)))
79	78, 26	sseldd 3948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑗) ∈ (𝐴 +ℋ (⊥‘𝐴)))
80		pjpreeq 30403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐻‘𝑗) ∈ (𝐴 +ℋ (⊥‘𝐴))) → (((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐹‘𝑗) ↔ ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻‘𝑗) = ((𝐹‘𝑗) +ℎ 𝑥))))
81	69, 79, 80	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐹‘𝑗) ↔ ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻‘𝑗) = ((𝐹‘𝑗) +ℎ 𝑥))))
82	68, 81	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻‘𝑗) = ((𝐹‘𝑗) +ℎ 𝑥)))
83	82	simprd 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻‘𝑗) = ((𝐹‘𝑗) +ℎ 𝑥))
84	27	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)) → (𝐻‘𝑗) ∈ ℋ)
85	37	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℋ)
86		shss 30215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((⊥‘𝐴) ∈ Sℋ → (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ)
87	70, 86	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ)
88	87	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ)
89	88	sselda 3947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)) → 𝑥 ∈ ℋ)
90		hvsubadd 30082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐻‘𝑗) ∈ ℋ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑗)) = 𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑗) +ℎ 𝑥) = (𝐻‘𝑗)))
91	84, 85, 89, 90	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)) → (((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑗)) = 𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑗) +ℎ 𝑥) = (𝐻‘𝑗)))
92		eqcom 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = ((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑗)) ↔ ((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑗)) = 𝑥)
93		eqcom 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐻‘𝑗) = ((𝐹‘𝑗) +ℎ 𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑗) +ℎ 𝑥) = (𝐻‘𝑗))
94	91, 92, 93	3bitr4g 313	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)) → (𝑥 = ((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑗)) ↔ (𝐻‘𝑗) = ((𝐹‘𝑗) +ℎ 𝑥)))
95	94	rexbidva 3169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)𝑥 = ((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑗)) ↔ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻‘𝑗) = ((𝐹‘𝑗) +ℎ 𝑥)))
96	83, 95	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)𝑥 = ((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑗)))
97		risset 3219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑗)) ∈ (⊥‘𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)𝑥 = ((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑗)))
98	96, 97	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑗)) ∈ (⊥‘𝐴))
99	98	adantrr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑗)) ∈ (⊥‘𝐴))
100		eleq1w 2815	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ ℕ))
101	100	anbi2d 629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ↔ (𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ)))
102		fveq2 6847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐻‘𝑗) = (𝐻‘𝑘))
103		fveq2 6847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐹‘𝑗) = (𝐹‘𝑘))
104	102, 103	oveq12d 7380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑗)) = ((𝐻‘𝑘) −ℎ (𝐹‘𝑘)))
105	104	eleq1d 2817	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑗)) ∈ (⊥‘𝐴) ↔ ((𝐻‘𝑘) −ℎ (𝐹‘𝑘)) ∈ (⊥‘𝐴)))
106	101, 105	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑗)) ∈ (⊥‘𝐴)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐻‘𝑘) −ℎ (𝐹‘𝑘)) ∈ (⊥‘𝐴))))
107	106, 98	chvarvv 2002	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐻‘𝑘) −ℎ (𝐹‘𝑘)) ∈ (⊥‘𝐴))
108	107	adantrl 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((𝐻‘𝑘) −ℎ (𝐹‘𝑘)) ∈ (⊥‘𝐴))
109		shsubcl 30225	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((⊥‘𝐴) ∈ Sℋ ∧ ((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑗)) ∈ (⊥‘𝐴) ∧ ((𝐻‘𝑘) −ℎ (𝐹‘𝑘)) ∈ (⊥‘𝐴)) → (((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑗)) −ℎ ((𝐻‘𝑘) −ℎ (𝐹‘𝑘))) ∈ (⊥‘𝐴))
110	63, 99, 108, 109	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑗)) −ℎ ((𝐻‘𝑘) −ℎ (𝐹‘𝑘))) ∈ (⊥‘𝐴))
111	61, 110	eqeltrd 2832	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) −ℎ ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))) ∈ (⊥‘𝐴))
112		shocorth 30297	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → ((((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)) ∈ 𝐴 ∧ (((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) −ℎ ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))) ∈ (⊥‘𝐴)) → (((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)) ·ih (((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) −ℎ ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)))) = 0))
113	56, 112	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)) ∈ 𝐴 ∧ (((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) −ℎ ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))) ∈ (⊥‘𝐴)) → (((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)) ·ih (((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) −ℎ ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)))) = 0))
114	59, 111, 113	mp2and 697	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)) ·ih (((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) −ℎ ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)))) = 0)
115		normpyth 30150	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)) ∈ ℋ ∧ (((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) −ℎ ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))) ∈ ℋ) → ((((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)) ·ih (((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) −ℎ ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)))) = 0 → ((normℎ‘(((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)) +ℎ (((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) −ℎ ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)))))↑2) = (((normℎ‘((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)))↑2) + ((normℎ‘(((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) −ℎ ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))))↑2))))
116	44, 46, 115	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)) ·ih (((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) −ℎ ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)))) = 0 → ((normℎ‘(((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)) +ℎ (((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) −ℎ ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)))))↑2) = (((normℎ‘((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)))↑2) + ((normℎ‘(((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) −ℎ ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))))↑2))))
117	114, 116	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((normℎ‘(((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)) +ℎ (((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) −ℎ ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)))))↑2) = (((normℎ‘((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)))↑2) + ((normℎ‘(((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) −ℎ ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))))↑2)))
118		hvpncan3 30047	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)) ∈ ℋ ∧ ((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) ∈ ℋ) → (((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)) +ℎ (((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) −ℎ ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)))) = ((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)))
119	44, 34, 118	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)) +ℎ (((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) −ℎ ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)))) = ((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)))
120	119	fveq2d 6851	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (normℎ‘(((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)) +ℎ (((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) −ℎ ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))))) = (normℎ‘((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘))))
121	120	oveq1d 7377	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((normℎ‘(((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)) +ℎ (((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) −ℎ ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)))))↑2) = ((normℎ‘((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)))↑2))
122	117, 121	eqtr3d 2773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (((normℎ‘((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)))↑2) + ((normℎ‘(((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) −ℎ ((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))))↑2)) = ((normℎ‘((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)))↑2))
123	55, 122	breqtrd 5136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((normℎ‘((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)))↑2) ≤ ((normℎ‘((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)))↑2))
124		normcl 30130	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) ∈ ℋ → (normℎ‘((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘))) ∈ ℝ)
125	34, 124	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (normℎ‘((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘))) ∈ ℝ)
126		normge0 30131	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)) ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))))
127	44, 126	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 0 ≤ (normℎ‘((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))))
128		normge0 30131	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)) ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘))))
129	34, 128	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 0 ≤ (normℎ‘((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘))))
130	51, 125, 127, 129	le2sqd 14170	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((normℎ‘((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))) ≤ (normℎ‘((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘))) ↔ ((normℎ‘((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘)))↑2) ≤ ((normℎ‘((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘)))↑2)))
131	123, 130	mpbird 256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (normℎ‘((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))) ≤ (normℎ‘((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘))))
132	131	adantlr 713	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (normℎ‘((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))) ≤ (normℎ‘((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘))))
133	51	adantlr 713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (normℎ‘((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ)
134	125	adantlr 713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (normℎ‘((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘))) ∈ ℝ)
135		rpre 12932	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ)
136	135	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
137		lelttr 11254	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((normℎ‘((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘))) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((normℎ‘((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))) ≤ (normℎ‘((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘))) ∧ (normℎ‘((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘))) < 𝑥) → (normℎ‘((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))) < 𝑥))
138	133, 134, 136, 137	syl3anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (((normℎ‘((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))) ≤ (normℎ‘((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘))) ∧ (normℎ‘((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘))) < 𝑥) → (normℎ‘((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))) < 𝑥))
139	132, 138	mpand 693	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((normℎ‘((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘))) < 𝑥 → (normℎ‘((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))) < 𝑥))
140	139	anassrs 468	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((normℎ‘((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘))) < 𝑥 → (normℎ‘((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))) < 𝑥))
141	16, 140	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((normℎ‘((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘))) < 𝑥 → (normℎ‘((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))) < 𝑥))
142	141	ralimdva 3160	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘))) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))) < 𝑥))
143	142	reximdva 3161	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝐻‘𝑗) −ℎ (𝐻‘𝑘))) < 𝑥 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))) < 𝑥))
144	14, 143	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))) < 𝑥)
145	144	ralrimiva 3139	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))) < 𝑥)
146		hcau 30189	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ Cauchy ↔ (𝐹:ℕ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝐹‘𝑗) −ℎ (𝐹‘𝑘))) < 𝑥))
147	10, 145, 146	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Cauchy)
148		ax-hcompl 30207	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)
149		hlimf 30242	. . . . 5 ⊢ ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ
150		ffn 6673	. . . . 5 ⊢ ( ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ → ⇝𝑣 Fn dom ⇝𝑣 )
151	149, 150	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ⇝𝑣 Fn dom ⇝𝑣
152		fnbr 6615	. . . 4 ⊢ (( ⇝𝑣 Fn dom ⇝𝑣 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥) → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
153	151, 152	mpan 688	. . 3 ⊢ (𝐹 ⇝𝑣 𝑥 → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
154	153	rexlimivw 3144	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥 → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
155	147, 148, 154	3syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3060  ∃wrex 3069   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  dom cdm 5638   Fn wfn 6496  ⟶wf 6497  ‘cfv 6501  (class class class)co 7362  ℝcr 11059  0cc0 11060   + caddc 11063   < clt 11198   ≤ cle 11199  ℕcn 12162  2c2 12217  ℤ_≥cuz 12772  ℝ⁺crp 12924  ↑cexp 13977   ℋchba 29924   +_ℎ cva 29925   ·_ih csp 29927  norm_ℎcno 29928   −_ℎ cmv 29930  Cauchyccauold 29931   ⇝_𝑣 chli 29932   S_ℋ csh 29933   C_ℋ cch 29934  ⊥cort 29935   +_ℋ cph 29936  proj_ℎcpjh 29942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137  ax-pre-sup 11138  ax-addf 11139  ax-mulf 11140  ax-hilex 30004  ax-hfvadd 30005  ax-hvcom 30006  ax-hvass 30007  ax-hv0cl 30008  ax-hvaddid 30009  ax-hfvmul 30010  ax-hvmulid 30011  ax-hvmulass 30012  ax-hvdistr1 30013  ax-hvdistr2 30014  ax-hvmul0 30015  ax-hfi 30084  ax-his1 30087  ax-his2 30088  ax-his3 30089  ax-his4 30090  ax-hcompl 30207

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9387  df-inf 9388  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-div 11822  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-n0 12423  df-z 12509  df-uz 12773  df-q 12883  df-rp 12925  df-xneg 13042  df-xadd 13043  df-xmul 13044  df-icc 13281  df-seq 13917  df-exp 13978  df-cj 14996  df-re 14997  df-im 14998  df-sqrt 15132  df-abs 15133  df-topgen 17339  df-psmet 20825  df-xmet 20826  df-met 20827  df-bl 20828  df-mopn 20829  df-top 22280  df-topon 22297  df-bases 22333  df-lm 22617  df-haus 22703  df-cau 24657  df-grpo 29498  df-gid 29499  df-ginv 29500  df-gdiv 29501  df-ablo 29550  df-vc 29564  df-nv 29597  df-va 29600  df-ba 29601  df-sm 29602  df-0v 29603  df-vs 29604  df-nmcv 29605  df-ims 29606  df-hnorm 29973  df-hvsub 29976  df-hlim 29977  df-hcau 29978  df-sh 30212  df-ch 30226  df-oc 30257  df-ch0 30258  df-shs 30313  df-pjh 30400

This theorem is referenced by:  chscllem4  30645