HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  elpjrn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem elpjrn 32018
Description: Reconstruction of the subspace of a projection operator. (Contributed by NM, 24-Apr-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
elpjrn (𝑇 ∈ ran projβ„Ž β†’ ran 𝑇 = {π‘₯ ∈ β„‹ ∣ (π‘‡β€˜π‘₯) = π‘₯})
Distinct variable group:   π‘₯,𝑇
Proof of Theorem elpjrn
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpjch 32017 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ ran projβ„Ž β†’ (ran 𝑇 ∈ Cβ„‹ ∧ 𝑇 = (projβ„Žβ€˜ran 𝑇)))
21simpld 493 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ ran projβ„Ž β†’ ran 𝑇 ∈ Cβ„‹ )
3 chss 31057 . . . . . . 7 (ran 𝑇 ∈ Cβ„‹ β†’ ran 𝑇 βŠ† β„‹)
42, 3syl 17 . . . . . 6 (𝑇 ∈ ran projβ„Ž β†’ ran 𝑇 βŠ† β„‹)
54sseld 3979 . . . . 5 (𝑇 ∈ ran projβ„Ž β†’ (π‘₯ ∈ ran 𝑇 β†’ π‘₯ ∈ β„‹))
6 elpjhmop 32013 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ ran projβ„Ž β†’ 𝑇 ∈ HrmOp)
7 hmopf 31702 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ HrmOp β†’ 𝑇: β„‹βŸΆ β„‹)
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ ran projβ„Ž β†’ 𝑇: β„‹βŸΆ β„‹)
98ffnd 6726 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ ran projβ„Ž β†’ 𝑇 Fn β„‹)
10 fvelrnb 6962 . . . . . . 7 (𝑇 Fn β„‹ β†’ (π‘₯ ∈ ran 𝑇 ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘¦) = π‘₯))
119, 10syl 17 . . . . . 6 (𝑇 ∈ ran projβ„Ž β†’ (π‘₯ ∈ ran 𝑇 ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘¦) = π‘₯))
12 fvco3 7000 . . . . . . . . . 10 ((𝑇: β„‹βŸΆ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ ((𝑇 ∘ 𝑇)β€˜π‘¦) = (π‘‡β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)))
138, 12sylan 578 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ ran projβ„Ž ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ ((𝑇 ∘ 𝑇)β€˜π‘¦) = (π‘‡β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)))
14 elpjidm 32012 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ ran projβ„Ž β†’ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇)
1514adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ ran projβ„Ž ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇)
1615fveq1d 6902 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ ran projβ„Ž ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ ((𝑇 ∘ 𝑇)β€˜π‘¦) = (π‘‡β€˜π‘¦))
1713, 16eqtr3d 2769 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ ran projβ„Ž ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) = (π‘‡β€˜π‘¦))
18 fveq2 6900 . . . . . . . . 9 ((π‘‡β€˜π‘¦) = π‘₯ β†’ (π‘‡β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) = (π‘‡β€˜π‘₯))
19 id 22 . . . . . . . . 9 ((π‘‡β€˜π‘¦) = π‘₯ β†’ (π‘‡β€˜π‘¦) = π‘₯)
2018, 19eqeq12d 2743 . . . . . . . 8 ((π‘‡β€˜π‘¦) = π‘₯ β†’ ((π‘‡β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) = (π‘‡β€˜π‘¦) ↔ (π‘‡β€˜π‘₯) = π‘₯))
2117, 20syl5ibcom 244 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ ran projβ„Ž ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ ((π‘‡β€˜π‘¦) = π‘₯ β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) = π‘₯))
2221rexlimdva 3151 . . . . . 6 (𝑇 ∈ ran projβ„Ž β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘¦) = π‘₯ β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) = π‘₯))
2311, 22sylbid 239 . . . . 5 (𝑇 ∈ ran projβ„Ž β†’ (π‘₯ ∈ ran 𝑇 β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) = π‘₯))
245, 23jcad 511 . . . 4 (𝑇 ∈ ran projβ„Ž β†’ (π‘₯ ∈ ran 𝑇 β†’ (π‘₯ ∈ β„‹ ∧ (π‘‡β€˜π‘₯) = π‘₯)))
25 fnfvelrn 7093 . . . . . . 7 ((𝑇 Fn β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ ran 𝑇)
269, 25sylan 578 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ ran projβ„Ž ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ ran 𝑇)
27 eleq1 2816 . . . . . 6 ((π‘‡β€˜π‘₯) = π‘₯ β†’ ((π‘‡β€˜π‘₯) ∈ ran 𝑇 ↔ π‘₯ ∈ ran 𝑇))
2826, 27syl5ibcom 244 . . . . 5 ((𝑇 ∈ ran projβ„Ž ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((π‘‡β€˜π‘₯) = π‘₯ β†’ π‘₯ ∈ ran 𝑇))
2928expimpd 452 . . . 4 (𝑇 ∈ ran projβ„Ž β†’ ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ (π‘‡β€˜π‘₯) = π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ ran 𝑇))
3024, 29impbid 211 . . 3 (𝑇 ∈ ran projβ„Ž β†’ (π‘₯ ∈ ran 𝑇 ↔ (π‘₯ ∈ β„‹ ∧ (π‘‡β€˜π‘₯) = π‘₯)))
3130eqabdv 2862 . 2 (𝑇 ∈ ran projβ„Ž β†’ ran 𝑇 = {π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ β„‹ ∧ (π‘‡β€˜π‘₯) = π‘₯)})
32 df-rab 3429 . 2 {π‘₯ ∈ β„‹ ∣ (π‘‡β€˜π‘₯) = π‘₯} = {π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ β„‹ ∧ (π‘‡β€˜π‘₯) = π‘₯)}
3331, 32eqtr4di 2785 1 (𝑇 ∈ ran projβ„Ž β†’ ran 𝑇 = {π‘₯ ∈ β„‹ ∣ (π‘‡β€˜π‘₯) = π‘₯})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2704  βˆƒwrex 3066  {crab 3428   βŠ† wss 3947  ran crn 5681   ∘ ccom 5684   Fn wfn 6546  βŸΆwf 6547  β€˜cfv 6551   β„‹chba 30747   Cβ„‹ cch 30757  projβ„Žcpjh 30765  HrmOpcho 30778
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-inf2 9670  ax-cc 10464  ax-dc 10475  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222  ax-addf 11223  ax-mulf 11224  ax-hilex 30827  ax-hfvadd 30828  ax-hvcom 30829  ax-hvass 30830  ax-hv0cl 30831  ax-hvaddid 30832  ax-hfvmul 30833  ax-hvmulid 30834  ax-hvmulass 30835  ax-hvdistr1 30836  ax-hvdistr2 30837  ax-hvmul0 30838  ax-hfi 30907  ax-his1 30910  ax-his2 30911  ax-his3 30912  ax-his4 30913  ax-hcompl 31030
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-isom 6560  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7689  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-supp 8170  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-2o 8492  df-oadd 8495  df-omul 8496  df-er 8729  df-map 8851  df-pm 8852  df-ixp 8921  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-fsupp 9392  df-fi 9440  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9539  df-card 9968  df-acn 9971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-z 12595  df-dec 12714  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-xneg 13130  df-xadd 13131  df-xmul 13132  df-ioo 13366  df-ico 13368  df-icc 13369  df-fz 13523  df-fzo 13666  df-fl 13795  df-seq 14005  df-exp 14065  df-hash 14328  df-cj 15084  df-re 15085  df-im 15086  df-sqrt 15220  df-abs 15221  df-clim 15470  df-rlim 15471  df-sum 15671  df-struct 17121  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-ress 17215  df-plusg 17251  df-mulr 17252  df-starv 17253  df-sca 17254  df-vsca 17255  df-ip 17256  df-tset 17257  df-ple 17258  df-ds 17260  df-unif 17261  df-hom 17262  df-cco 17263  df-rest 17409  df-topn 17410  df-0g 17428  df-gsum 17429  df-topgen 17430  df-pt 17431  df-prds 17434  df-xrs 17489  df-qtop 17494  df-imas 17495  df-xps 17497  df-mre 17571  df-mrc 17572  df-acs 17574  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-submnd 18746  df-mulg 19029  df-cntz 19273  df-cmn 19742  df-psmet 21276  df-xmet 21277  df-met 21278  df-bl 21279  df-mopn 21280  df-fbas 21281  df-fg 21282  df-cnfld 21285  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cld 22941  df-ntr 22942  df-cls 22943  df-nei 23020  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-lm 23151  df-t1 23236  df-haus 23237  df-cmp 23309  df-tx 23484  df-hmeo 23677  df-fil 23768  df-fm 23860  df-flim 23861  df-flf 23862  df-fcls 23863  df-xms 24244  df-ms 24245  df-tms 24246  df-cncf 24816  df-cfil 25201  df-cau 25202  df-cmet 25203  df-grpo 30321  df-gid 30322  df-ginv 30323  df-gdiv 30324  df-ablo 30373  df-vc 30387  df-nv 30420  df-va 30423  df-ba 30424  df-sm 30425  df-0v 30426  df-vs 30427  df-nmcv 30428  df-ims 30429  df-dip 30529  df-ssp 30550  df-lno 30572  df-nmoo 30573  df-blo 30574  df-0o 30575  df-ph 30641  df-cbn 30691  df-hlo 30714  df-hnorm 30796  df-hba 30797  df-hvsub 30799  df-hlim 30800  df-hcau 30801  df-sh 31035  df-ch 31049  df-oc 31080  df-ch0 31081  df-shs 31136  df-pjh 31223  df-h0op 31576  df-iop 31577  df-nmop 31667  df-cnop 31668  df-lnop 31669  df-bdop 31670  df-unop 31671  df-hmop 31672
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator