Theorem elpjrn 32613

Description: Reconstruction of the subspace of a projection operator. (Contributed by NM, 24-Apr-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
elpjrn	⊢ (𝑇 ∈ ran projℎ → ran 𝑇 = {𝑥 ∈ ℋ ∣ (𝑇‘𝑥) = 𝑥})

Distinct variable group:   𝑥,𝑇

Proof of Theorem elpjrn

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpjch 32612	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ ran projℎ → (ran 𝑇 ∈ Cℋ ∧ 𝑇 = (projℎ‘ran 𝑇)))
2	1	simpld 500	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ ran projℎ → ran 𝑇 ∈ Cℋ )
3		chss 31652	. . . . . . 7 ⊢ (ran 𝑇 ∈ Cℋ → ran 𝑇 ⊆ ℋ)
4	2, 3	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ ran projℎ → ran 𝑇 ⊆ ℋ)
5	4	sseld 3937	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ ran projℎ → (𝑥 ∈ ran 𝑇 → 𝑥 ∈ ℋ))
6		elpjhmop 32608	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ ran projℎ → 𝑇 ∈ HrmOp)
7		hmopf 32297	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
8	6, 7	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ ran projℎ → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
9	8	ffnd 6710	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ ran projℎ → 𝑇 Fn ℋ)
10		fvelrnb 6945	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 Fn ℋ → (𝑥 ∈ ran 𝑇 ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ (𝑇‘𝑦) = 𝑥))
11	9, 10	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ ran projℎ → (𝑥 ∈ ran 𝑇 ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ (𝑇‘𝑦) = 𝑥))
12		fvco3 6985	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇 ∘ 𝑇)‘𝑦) = (𝑇‘(𝑇‘𝑦)))
13	8, 12	sylan 592	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ ran projℎ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇 ∘ 𝑇)‘𝑦) = (𝑇‘(𝑇‘𝑦)))
14		elpjidm 32607	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∈ ran projℎ → (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇)
15	14	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇 ∈ ran projℎ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇)
16	15	fveq1d 6887	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ ran projℎ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇 ∘ 𝑇)‘𝑦) = (𝑇‘𝑦))
17	13, 16	eqtr3d 2802	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ ran projℎ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝑇‘𝑦)) = (𝑇‘𝑦))
18		fveq2 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇‘𝑦) = 𝑥 → (𝑇‘(𝑇‘𝑦)) = (𝑇‘𝑥))
19		id 23	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇‘𝑦) = 𝑥 → (𝑇‘𝑦) = 𝑥)
20	18, 19	eqeq12d 2781	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇‘𝑦) = 𝑥 → ((𝑇‘(𝑇‘𝑦)) = (𝑇‘𝑦) ↔ (𝑇‘𝑥) = 𝑥))
21	17, 20	syl5ibcom 248	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ ran projℎ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑦) = 𝑥 → (𝑇‘𝑥) = 𝑥))
22	21	rexlimdva 3168	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ ran projℎ → (∃𝑦 ∈ ℋ (𝑇‘𝑦) = 𝑥 → (𝑇‘𝑥) = 𝑥))
23	11, 22	sylbid 243	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ ran projℎ → (𝑥 ∈ ran 𝑇 → (𝑇‘𝑥) = 𝑥))
24	5, 23	jcad 522	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ ran projℎ → (𝑥 ∈ ran 𝑇 → (𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑥) = 𝑥)))
25		fnfvelrn 7079	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 Fn ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑥) ∈ ran 𝑇)
26	9, 25	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ ran projℎ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑥) ∈ ran 𝑇)
27		eleq1 2853	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇‘𝑥) = 𝑥 → ((𝑇‘𝑥) ∈ ran 𝑇 ↔ 𝑥 ∈ ran 𝑇))
28	26, 27	syl5ibcom 248	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ ran projℎ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) = 𝑥 → 𝑥 ∈ ran 𝑇))
29	28	expimpd 459	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ ran projℎ → ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑥) = 𝑥) → 𝑥 ∈ ran 𝑇))
30	24, 29	impbid 215	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ ran projℎ → (𝑥 ∈ ran 𝑇 ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑥) = 𝑥)))
31	30	eqabdv 2898	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ ran projℎ → ran 𝑇 = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑥) = 𝑥)})
32		df-rab 3419	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ ℋ ∣ (𝑇‘𝑥) = 𝑥} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑥) = 𝑥)}
33	31, 32	eqtr4di 2818	1 ⊢ (𝑇 ∈ ran projℎ → ran 𝑇 = {𝑥 ∈ ℋ ∣ (𝑇‘𝑥) = 𝑥})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {cab 2743  ∃wrex 3091  {crab 3418   ⊆ wss 3906  ran crn 5664   ∘ ccom 5667   Fn wfn 6535  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540   ℋchba 31342   C_ℋ cch 31352  proj_ℎcpjh 31360  HrmOpcho 31373

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cc 10434  ax-dc 10445  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193  ax-addf 11194  ax-mulf 11195  ax-hilex 31422  ax-hfvadd 31423  ax-hvcom 31424  ax-hvass 31425  ax-hv0cl 31426  ax-hvaddid 31427  ax-hfvmul 31428  ax-hvmulid 31429  ax-hvmulass 31430  ax-hvdistr1 31431  ax-hvdistr2 31432  ax-hvmul0 31433  ax-hfi 31502  ax-his1 31505  ax-his2 31506  ax-his3 31507  ax-his4 31508  ax-hcompl 31625

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-oadd 8463  df-omul 8464  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-fi 9378  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-card 9941  df-acn 9944  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12520  df-z 12607  df-dec 12728  df-uz 12879  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13153  df-xadd 13154  df-xmul 13155  df-ioo 13392  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13552  df-fzo 13700  df-fl 13843  df-seq 14056  df-exp 14116  df-hash 14385  df-cj 15174  df-re 15175  df-im 15176  df-sqrt 15310  df-abs 15311  df-clim 15563  df-rlim 15564  df-sum 15762  df-struct 17229  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-ress 17313  df-plusg 17345  df-mulr 17346  df-starv 17347  df-sca 17348  df-vsca 17349  df-ip 17350  df-tset 17351  df-ple 17352  df-ds 17354  df-unif 17355  df-hom 17356  df-cco 17357  df-rest 17497  df-topn 17498  df-0g 17516  df-gsum 17517  df-topgen 17518  df-pt 17519  df-prds 17522  df-xrs 17578  df-qtop 17583  df-imas 17584  df-xps 17586  df-mre 17660  df-mrc 17661  df-acs 17663  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825  df-submnd 18879  df-mulg 19178  df-cntz 19431  df-cmn 19896  df-psmet 21564  df-xmet 21565  df-met 21566  df-bl 21567  df-mopn 21568  df-fbas 21569  df-fg 21570  df-cnfld 21573  df-top 23101  df-topon 23118  df-topsp 23140  df-bases 23153  df-cld 23226  df-ntr 23227  df-cls 23228  df-nei 23305  df-cn 23434  df-cnp 23435  df-lm 23436  df-t1 23521  df-haus 23522  df-cmp 23594  df-tx 23770  df-hmeo 23963  df-fil 24054  df-fm 24146  df-flim 24147  df-flf 24148  df-fcls 24149  df-xms 24528  df-ms 24529  df-tms 24530  df-cncf 25088  df-cfil 25465  df-cau 25466  df-cmet 25467  df-grpo 30916  df-gid 30917  df-ginv 30918  df-gdiv 30919  df-ablo 30968  df-vc 30982  df-nv 31015  df-va 31018  df-ba 31019  df-sm 31020  df-0v 31021  df-vs 31022  df-nmcv 31023  df-ims 31024  df-dip 31124  df-ssp 31145  df-lno 31167  df-nmoo 31168  df-blo 31169  df-0o 31170  df-ph 31236  df-cbn 31286  df-hlo 31309  df-hnorm 31391  df-hba 31392  df-hvsub 31394  df-hlim 31395  df-hcau 31396  df-sh 31630  df-ch 31644  df-oc 31675  df-ch0 31676  df-shs 31731  df-pjh 31818  df-h0op 32171  df-iop 32172  df-nmop 32262  df-cnop 32263  df-lnop 32264  df-bdop 32265  df-unop 32266  df-hmop 32267

This theorem is used by: (None)