Theorem elpjrn 32191

Description: Reconstruction of the subspace of a projection operator. (Contributed by NM, 24-Apr-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
elpjrn	⊢ (𝑇 ∈ ran projℎ → ran 𝑇 = {𝑥 ∈ ℋ ∣ (𝑇‘𝑥) = 𝑥})

Distinct variable group:   𝑥,𝑇

Proof of Theorem elpjrn

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpjch 32190	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ ran projℎ → (ran 𝑇 ∈ Cℋ ∧ 𝑇 = (projℎ‘ran 𝑇)))
2	1	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ ran projℎ → ran 𝑇 ∈ Cℋ )
3		chss 31230	. . . . . . 7 ⊢ (ran 𝑇 ∈ Cℋ → ran 𝑇 ⊆ ℋ)
4	2, 3	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ ran projℎ → ran 𝑇 ⊆ ℋ)
5	4	sseld 3929	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ ran projℎ → (𝑥 ∈ ran 𝑇 → 𝑥 ∈ ℋ))
6		elpjhmop 32186	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ ran projℎ → 𝑇 ∈ HrmOp)
7		hmopf 31875	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ ran projℎ → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
9	8	ffnd 6660	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ ran projℎ → 𝑇 Fn ℋ)
10		fvelrnb 6891	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 Fn ℋ → (𝑥 ∈ ran 𝑇 ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ (𝑇‘𝑦) = 𝑥))
11	9, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ ran projℎ → (𝑥 ∈ ran 𝑇 ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ (𝑇‘𝑦) = 𝑥))
12		fvco3 6930	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇 ∘ 𝑇)‘𝑦) = (𝑇‘(𝑇‘𝑦)))
13	8, 12	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ ran projℎ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇 ∘ 𝑇)‘𝑦) = (𝑇‘(𝑇‘𝑦)))
14		elpjidm 32185	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∈ ran projℎ → (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇)
15	14	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇 ∈ ran projℎ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇)
16	15	fveq1d 6833	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ ran projℎ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇 ∘ 𝑇)‘𝑦) = (𝑇‘𝑦))
17	13, 16	eqtr3d 2770	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ ran projℎ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝑇‘𝑦)) = (𝑇‘𝑦))
18		fveq2 6831	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇‘𝑦) = 𝑥 → (𝑇‘(𝑇‘𝑦)) = (𝑇‘𝑥))
19		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇‘𝑦) = 𝑥 → (𝑇‘𝑦) = 𝑥)
20	18, 19	eqeq12d 2749	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇‘𝑦) = 𝑥 → ((𝑇‘(𝑇‘𝑦)) = (𝑇‘𝑦) ↔ (𝑇‘𝑥) = 𝑥))
21	17, 20	syl5ibcom 245	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ ran projℎ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑦) = 𝑥 → (𝑇‘𝑥) = 𝑥))
22	21	rexlimdva 3134	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ ran projℎ → (∃𝑦 ∈ ℋ (𝑇‘𝑦) = 𝑥 → (𝑇‘𝑥) = 𝑥))
23	11, 22	sylbid 240	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ ran projℎ → (𝑥 ∈ ran 𝑇 → (𝑇‘𝑥) = 𝑥))
24	5, 23	jcad 512	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ ran projℎ → (𝑥 ∈ ran 𝑇 → (𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑥) = 𝑥)))
25		fnfvelrn 7022	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 Fn ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑥) ∈ ran 𝑇)
26	9, 25	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ ran projℎ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑥) ∈ ran 𝑇)
27		eleq1 2821	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇‘𝑥) = 𝑥 → ((𝑇‘𝑥) ∈ ran 𝑇 ↔ 𝑥 ∈ ran 𝑇))
28	26, 27	syl5ibcom 245	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ ran projℎ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) = 𝑥 → 𝑥 ∈ ran 𝑇))
29	28	expimpd 453	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ ran projℎ → ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑥) = 𝑥) → 𝑥 ∈ ran 𝑇))
30	24, 29	impbid 212	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ ran projℎ → (𝑥 ∈ ran 𝑇 ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑥) = 𝑥)))
31	30	eqabdv 2866	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ ran projℎ → ran 𝑇 = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑥) = 𝑥)})
32		df-rab 3397	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ ℋ ∣ (𝑇‘𝑥) = 𝑥} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑥) = 𝑥)}
33	31, 32	eqtr4di 2786	1 ⊢ (𝑇 ∈ ran projℎ → ran 𝑇 = {𝑥 ∈ ℋ ∣ (𝑇‘𝑥) = 𝑥})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {cab 2711  ∃wrex 3057  {crab 3396   ⊆ wss 3898  ran crn 5622   ∘ ccom 5625   Fn wfn 6484  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489   ℋchba 30920   C_ℋ cch 30930  proj_ℎcpjh 30938  HrmOpcho 30951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-inf2 9542  ax-cc 10337  ax-dc 10348  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-pre-sup 11095  ax-addf 11096  ax-mulf 11097  ax-hilex 31000  ax-hfvadd 31001  ax-hvcom 31002  ax-hvass 31003  ax-hv0cl 31004  ax-hvaddid 31005  ax-hfvmul 31006  ax-hvmulid 31007  ax-hvmulass 31008  ax-hvdistr1 31009  ax-hvdistr2 31010  ax-hvmul0 31011  ax-hfi 31080  ax-his1 31083  ax-his2 31084  ax-his3 31085  ax-his4 31086  ax-hcompl 31203

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-of 7619  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-supp 8100  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-oadd 8398  df-omul 8399  df-er 8631  df-map 8761  df-pm 8762  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9257  df-fi 9306  df-sup 9337  df-inf 9338  df-oi 9407  df-card 9843  df-acn 9846  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-9 12206  df-n0 12393  df-z 12480  df-dec 12599  df-uz 12743  df-q 12853  df-rp 12897  df-xneg 13017  df-xadd 13018  df-xmul 13019  df-ioo 13256  df-ico 13258  df-icc 13259  df-fz 13415  df-fzo 13562  df-fl 13703  df-seq 13916  df-exp 13976  df-hash 14245  df-cj 15013  df-re 15014  df-im 15015  df-sqrt 15149  df-abs 15150  df-clim 15402  df-rlim 15403  df-sum 15601  df-struct 17065  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-ress 17149  df-plusg 17181  df-mulr 17182  df-starv 17183  df-sca 17184  df-vsca 17185  df-ip 17186  df-tset 17187  df-ple 17188  df-ds 17190  df-unif 17191  df-hom 17192  df-cco 17193  df-rest 17333  df-topn 17334  df-0g 17352  df-gsum 17353  df-topgen 17354  df-pt 17355  df-prds 17358  df-xrs 17414  df-qtop 17419  df-imas 17420  df-xps 17422  df-mre 17496  df-mrc 17497  df-acs 17499  df-mgm 18556  df-sgrp 18635  df-mnd 18651  df-submnd 18700  df-mulg 18989  df-cntz 19237  df-cmn 19702  df-psmet 21292  df-xmet 21293  df-met 21294  df-bl 21295  df-mopn 21296  df-fbas 21297  df-fg 21298  df-cnfld 21301  df-top 22829  df-topon 22846  df-topsp 22868  df-bases 22881  df-cld 22954  df-ntr 22955  df-cls 22956  df-nei 23033  df-cn 23162  df-cnp 23163  df-lm 23164  df-t1 23249  df-haus 23250  df-cmp 23322  df-tx 23497  df-hmeo 23690  df-fil 23781  df-fm 23873  df-flim 23874  df-flf 23875  df-fcls 23876  df-xms 24255  df-ms 24256  df-tms 24257  df-cncf 24818  df-cfil 25202  df-cau 25203  df-cmet 25204  df-grpo 30494  df-gid 30495  df-ginv 30496  df-gdiv 30497  df-ablo 30546  df-vc 30560  df-nv 30593  df-va 30596  df-ba 30597  df-sm 30598  df-0v 30599  df-vs 30600  df-nmcv 30601  df-ims 30602  df-dip 30702  df-ssp 30723  df-lno 30745  df-nmoo 30746  df-blo 30747  df-0o 30748  df-ph 30814  df-cbn 30864  df-hlo 30887  df-hnorm 30969  df-hba 30970  df-hvsub 30972  df-hlim 30973  df-hcau 30974  df-sh 31208  df-ch 31222  df-oc 31253  df-ch0 31254  df-shs 31309  df-pjh 31396  df-h0op 31749  df-iop 31750  df-nmop 31840  df-cnop 31841  df-lnop 31842  df-bdop 31843  df-unop 31844  df-hmop 31845

This theorem is referenced by: (None)