Theorem chsh 31513

Description: A closed subspace is a subspace. (Contributed by NM, 19-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
chsh	⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → 𝐻 ∈ Sℋ )

Proof of Theorem chsh

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isch 31511	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ ↔ (𝐻 ∈ Sℋ ∧ ( ⇝𝑣 “ (𝐻 ↑m ℕ)) ⊆ 𝐻))
2	1	simplbi 501	1 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → 𝐻 ∈ Sℋ )

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149   ⊆ wss 3913   “ cima 5662  (class class class)co 7408   ↑_m cmap 8820  ℕcn 12229   ⇝_𝑣 chli 31216   S_ℋ csh 31217   C_ℋ cch 31218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-ext 2741

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-sb 2098  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-xp 5665  df-cnv 5667  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6490  df-fv 6542  df-ov 7411  df-ch 31510

This theorem is referenced by:  chsssh  31514  chshii  31516  ch0  31517  chss  31518  choccl  31595  chjval  31641  chjcl  31646  pjhth  31682  pjhtheu  31683  pjpreeq  31687  pjpjpre  31708  ch0le  31730  chle0  31732  chslej  31787  chjcom  31795  chub1  31796  chlub  31798  chlej1  31799  chlej2  31800  spansnsh  31850  fh1  31907  fh2  31908  chscllem1  31926  chscllem2  31927  chscllem3  31928  chscllem4  31929  chscl  31930  pjorthi  31958  pjoi0  32006  hstoc  32511  hstnmoc  32512  ch1dle  32641  atomli  32671  chirredlem3  32681  sumdmdii  32704