Theorem chsh 31244

Description: A closed subspace is a subspace. (Contributed by NM, 19-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
chsh	⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → 𝐻 ∈ Sℋ )

Proof of Theorem chsh

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isch 31242	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ ↔ (𝐻 ∈ Sℋ ∧ ( ⇝𝑣 “ (𝐻 ↑m ℕ)) ⊆ 𝐻))
2	1	simplbi 497	1 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → 𝐻 ∈ Sℋ )

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3950   “ cima 5687  (class class class)co 7432   ↑_m cmap 8867  ℕcn 12267   ⇝_𝑣 chli 30947   S_ℋ csh 30948   C_ℋ cch 30949

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2707

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-sb 2064  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-rab 3436  df-v 3481  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-xp 5690  df-cnv 5692  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fv 6568  df-ov 7435  df-ch 31241

This theorem is referenced by:  chsssh  31245  chshii  31247  ch0  31248  chss  31249  choccl  31326  chjval  31372  chjcl  31377  pjhth  31413  pjhtheu  31414  pjpreeq  31418  pjpjpre  31439  ch0le  31461  chle0  31463  chslej  31518  chjcom  31526  chub1  31527  chlub  31529  chlej1  31530  chlej2  31531  spansnsh  31581  fh1  31638  fh2  31639  chscllem1  31657  chscllem2  31658  chscllem3  31659  chscllem4  31660  chscl  31661  pjorthi  31689  pjoi0  31737  hstoc  32242  hstnmoc  32243  ch1dle  32372  atomli  32402  chirredlem3  32412  sumdmdii  32435