Theorem chsh 31248

Description: A closed subspace is a subspace. (Contributed by NM, 19-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
chsh	⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → 𝐻 ∈ Sℋ )

Proof of Theorem chsh

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isch 31246	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ ↔ (𝐻 ∈ Sℋ ∧ ( ⇝𝑣 “ (𝐻 ↑m ℕ)) ⊆ 𝐻))
2	1	simplbi 497	1 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → 𝐻 ∈ Sℋ )

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3899   “ cima 5625  (class class class)co 7356   ↑_m cmap 8761  ℕcn 12143   ⇝_𝑣 chli 30951   S_ℋ csh 30952   C_ℋ cch 30953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2706

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-rab 3398  df-v 3440  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-xp 5628  df-cnv 5630  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fv 6498  df-ov 7359  df-ch 31245

This theorem is referenced by:  chsssh  31249  chshii  31251  ch0  31252  chss  31253  choccl  31330  chjval  31376  chjcl  31381  pjhth  31417  pjhtheu  31418  pjpreeq  31422  pjpjpre  31443  ch0le  31465  chle0  31467  chslej  31522  chjcom  31530  chub1  31531  chlub  31533  chlej1  31534  chlej2  31535  spansnsh  31585  fh1  31642  fh2  31643  chscllem1  31661  chscllem2  31662  chscllem3  31663  chscllem4  31664  chscl  31665  pjorthi  31693  pjoi0  31741  hstoc  32246  hstnmoc  32247  ch1dle  32376  atomli  32406  chirredlem3  32416  sumdmdii  32439