Theorem chsh 31427

Description: A closed subspace is a subspace. (Contributed by NM, 19-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
chsh	⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → 𝐻 ∈ Sℋ )

Proof of Theorem chsh

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isch 31425	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ ↔ (𝐻 ∈ Sℋ ∧ ( ⇝𝑣 “ (𝐻 ↑m ℕ)) ⊆ 𝐻))
2	1	simplbi 500	1 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → 𝐻 ∈ Sℋ )

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2142   ⊆ wss 3904   “ cima 5650  (class class class)co 7396   ↑_m cmap 8808  ℕcn 12210   ⇝_𝑣 chli 31130   S_ℋ csh 31131   C_ℋ cch 31132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-ext 2734

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-sb 2091  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-rab 3415  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-xp 5653  df-cnv 5655  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fv 6529  df-ov 7399  df-ch 31424

This theorem is referenced by:  chsssh  31428  chshii  31430  ch0  31431  chss  31432  choccl  31509  chjval  31555  chjcl  31560  pjhth  31596  pjhtheu  31597  pjpreeq  31601  pjpjpre  31622  ch0le  31644  chle0  31646  chslej  31701  chjcom  31709  chub1  31710  chlub  31712  chlej1  31713  chlej2  31714  spansnsh  31764  fh1  31821  fh2  31822  chscllem1  31840  chscllem2  31841  chscllem3  31842  chscllem4  31843  chscl  31844  pjorthi  31872  pjoi0  31920  hstoc  32425  hstnmoc  32426  ch1dle  32555  atomli  32585  chirredlem3  32595  sumdmdii  32618