Theorem chsh 31295

Description: A closed subspace is a subspace. (Contributed by NM, 19-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
chsh	⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → 𝐻 ∈ Sℋ )

Proof of Theorem chsh

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isch 31293	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ ↔ (𝐻 ∈ Sℋ ∧ ( ⇝𝑣 “ (𝐻 ↑m ℕ)) ⊆ 𝐻))
2	1	simplbi 496	1 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → 𝐻 ∈ Sℋ )

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3889   “ cima 5634  (class class class)co 7367   ↑_m cmap 8773  ℕcn 12174   ⇝_𝑣 chli 30998   S_ℋ csh 30999   C_ℋ cch 31000

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-xp 5637  df-cnv 5639  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fv 6506  df-ov 7370  df-ch 31292

This theorem is referenced by:  chsssh  31296  chshii  31298  ch0  31299  chss  31300  choccl  31377  chjval  31423  chjcl  31428  pjhth  31464  pjhtheu  31465  pjpreeq  31469  pjpjpre  31490  ch0le  31512  chle0  31514  chslej  31569  chjcom  31577  chub1  31578  chlub  31580  chlej1  31581  chlej2  31582  spansnsh  31632  fh1  31689  fh2  31690  chscllem1  31708  chscllem2  31709  chscllem3  31710  chscllem4  31711  chscl  31712  pjorthi  31740  pjoi0  31788  hstoc  32293  hstnmoc  32294  ch1dle  32423  atomli  32453  chirredlem3  32463  sumdmdii  32486