Theorem chsh 31649

Description: A closed subspace is a subspace. (Contributed by NM, 19-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
chsh	⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → 𝐻 ∈ Sℋ )

Proof of Theorem chsh

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isch 31647	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ ↔ (𝐻 ∈ Sℋ ∧ ( ⇝𝑣 “ (𝐻 ↑m ℕ)) ⊆ 𝐻))
2	1	simplbi 502	1 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → 𝐻 ∈ Sℋ )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3906   “ cima 5666  (class class class)co 7419   ↑_m cmap 8830  ℕcn 12250   ⇝_𝑣 chli 31352   S_ℋ csh 31353   C_ℋ cch 31354

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-xp 5669  df-cnv 5671  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fv 6548  df-ov 7422  df-ch 31646

This theorem is used by:  chsssh  31650  chshii  31652  ch0  31653  chss  31654  choccl  31731  chjval  31777  chjcl  31782  pjhth  31818  pjhtheu  31819  pjpreeq  31823  pjpjpre  31844  ch0le  31866  chle0  31868  chslej  31923  chjcom  31931  chub1  31932  chlub  31934  chlej1  31935  chlej2  31936  spansnsh  31986  fh1  32043  fh2  32044  chscllem1  32062  chscllem2  32063  chscllem3  32064  chscllem4  32065  chscl  32066  pjorthi  32094  pjoi0  32142  hstoc  32647  hstnmoc  32648  ch1dle  32777  atomli  32807  chirredlem3  32817  sumdmdii  32840