Theorem chsh 31826

Description: A closed subspace is a subspace. (Contributed by NM, 19-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
chsh	⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → 𝐻 ∈ Sℋ )

Proof of Theorem chsh

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isch 31824	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ ↔ (𝐻 ∈ Sℋ ∧ ( ⇝𝑣 “ (𝐻 ↑m ℕ)) ⊆ 𝐻))
2	1	simplbi 502	1 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → 𝐻 ∈ Sℋ )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899   “ cima 5654  (class class class)co 7420   ↑_m cmap 8847  ℕcn 12335   ⇝_𝑣 chli 31529   S_ℋ csh 31530   C_ℋ cch 31531

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-xp 5657  df-cnv 5659  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fv 6546  df-ov 7423  df-ch 31823

This theorem is used by:  chsssh  31827  chshii  31829  ch0  31830  chss  31831  choccl  31908  chjval  31954  chjcl  31959  pjhth  31995  pjhtheu  31996  pjpreeq  32000  pjpjpre  32021  ch0le  32043  chle0  32045  chslej  32100  chjcom  32108  chub1  32109  chlub  32111  chlej1  32112  chlej2  32113  spansnsh  32163  fh1  32220  fh2  32221  chscllem1  32239  chscllem2  32240  chscllem3  32241  chscllem4  32242  chscl  32243  pjorthi  32271  pjoi0  32319  hstoc  32824  hstnmoc  32825  ch1dle  32954  atomli  32984  chirredlem3  32994  sumdmdii  33017