Theorem chsh 31159

Description: A closed subspace is a subspace. (Contributed by NM, 19-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
chsh	⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → 𝐻 ∈ Sℋ )

Proof of Theorem chsh

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isch 31157	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ ↔ (𝐻 ∈ Sℋ ∧ ( ⇝𝑣 “ (𝐻 ↑m ℕ)) ⊆ 𝐻))
2	1	simplbi 497	1 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → 𝐻 ∈ Sℋ )

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3916   “ cima 5643  (class class class)co 7389   ↑_m cmap 8801  ℕcn 12187   ⇝_𝑣 chli 30862   S_ℋ csh 30863   C_ℋ cch 30864

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2702

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-nul 4299  df-if 4491  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5110  df-opab 5172  df-xp 5646  df-cnv 5648  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-iota 6466  df-fv 6521  df-ov 7392  df-ch 31156

This theorem is referenced by:  chsssh  31160  chshii  31162  ch0  31163  chss  31164  choccl  31241  chjval  31287  chjcl  31292  pjhth  31328  pjhtheu  31329  pjpreeq  31333  pjpjpre  31354  ch0le  31376  chle0  31378  chslej  31433  chjcom  31441  chub1  31442  chlub  31444  chlej1  31445  chlej2  31446  spansnsh  31496  fh1  31553  fh2  31554  chscllem1  31572  chscllem2  31573  chscllem3  31574  chscllem4  31575  chscl  31576  pjorthi  31604  pjoi0  31652  hstoc  32157  hstnmoc  32158  ch1dle  32287  atomli  32317  chirredlem3  32327  sumdmdii  32350