Theorem chsh 31204

Description: A closed subspace is a subspace. (Contributed by NM, 19-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
chsh	⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → 𝐻 ∈ Sℋ )

Proof of Theorem chsh

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isch 31202	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ ↔ (𝐻 ∈ Sℋ ∧ ( ⇝𝑣 “ (𝐻 ↑m ℕ)) ⊆ 𝐻))
2	1	simplbi 497	1 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → 𝐻 ∈ Sℋ )

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3897   “ cima 5617  (class class class)co 7346   ↑_m cmap 8750  ℕcn 12125   ⇝_𝑣 chli 30907   S_ℋ csh 30908   C_ℋ cch 30909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-xp 5620  df-cnv 5622  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fv 6489  df-ov 7349  df-ch 31201

This theorem is referenced by:  chsssh  31205  chshii  31207  ch0  31208  chss  31209  choccl  31286  chjval  31332  chjcl  31337  pjhth  31373  pjhtheu  31374  pjpreeq  31378  pjpjpre  31399  ch0le  31421  chle0  31423  chslej  31478  chjcom  31486  chub1  31487  chlub  31489  chlej1  31490  chlej2  31491  spansnsh  31541  fh1  31598  fh2  31599  chscllem1  31617  chscllem2  31618  chscllem3  31619  chscllem4  31620  chscl  31621  pjorthi  31649  pjoi0  31697  hstoc  32202  hstnmoc  32203  ch1dle  32332  atomli  32362  chirredlem3  32372  sumdmdii  32395