Theorem chsh 31256

Description: A closed subspace is a subspace. (Contributed by NM, 19-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
chsh	⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → 𝐻 ∈ Sℋ )

Proof of Theorem chsh

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isch 31254	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ ↔ (𝐻 ∈ Sℋ ∧ ( ⇝𝑣 “ (𝐻 ↑m ℕ)) ⊆ 𝐻))
2	1	simplbi 497	1 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → 𝐻 ∈ Sℋ )

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3976   “ cima 5703  (class class class)co 7448   ↑_m cmap 8884  ℕcn 12293   ⇝_𝑣 chli 30959   S_ℋ csh 30960   C_ℋ cch 30961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-sb 2065  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-xp 5706  df-cnv 5708  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fv 6581  df-ov 7451  df-ch 31253

This theorem is referenced by:  chsssh  31257  chshii  31259  ch0  31260  chss  31261  choccl  31338  chjval  31384  chjcl  31389  pjhth  31425  pjhtheu  31426  pjpreeq  31430  pjpjpre  31451  ch0le  31473  chle0  31475  chslej  31530  chjcom  31538  chub1  31539  chlub  31541  chlej1  31542  chlej2  31543  spansnsh  31593  fh1  31650  fh2  31651  chscllem1  31669  chscllem2  31670  chscllem3  31671  chscllem4  31672  chscl  31673  pjorthi  31701  pjoi0  31749  hstoc  32254  hstnmoc  32255  ch1dle  32384  atomli  32414  chirredlem3  32424  sumdmdii  32447