Theorem chsh 31835

Description: A closed subspace is a subspace. (Contributed by NM, 19-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
chsh	⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → 𝐻 ∈ Sℋ )

Proof of Theorem chsh

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isch 31833	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ ↔ (𝐻 ∈ Sℋ ∧ ( ⇝𝑣 “ (𝐻 ↑m ℕ)) ⊆ 𝐻))
2	1	simplbi 502	1 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → 𝐻 ∈ Sℋ )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3896   “ cima 5654  (class class class)co 7424   ↑_m cmap 8855  ℕcn 12342   ⇝_𝑣 chli 31538   S_ℋ csh 31539   C_ℋ cch 31540

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-xp 5657  df-cnv 5659  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fv 6551  df-ov 7427  df-ch 31832

This theorem is used by:  chsssh  31836  chshii  31838  ch0  31839  chss  31840  choccl  31917  chjval  31963  chjcl  31968  pjhth  32004  pjhtheu  32005  pjpreeq  32009  pjpjpre  32030  ch0le  32052  chle0  32054  chslej  32109  chjcom  32117  chub1  32118  chlub  32120  chlej1  32121  chlej2  32122  spansnsh  32172  fh1  32229  fh2  32230  chscllem1  32248  chscllem2  32249  chscllem3  32250  chscllem4  32251  chscl  32252  pjorthi  32280  pjoi0  32328  hstoc  32833  hstnmoc  32834  ch1dle  32963  atomli  32993  chirredlem3  33003  sumdmdii  33026