Theorem chsh 31883

Description: A closed subspace is a subspace. (Contributed by NM, 19-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
chsh	⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → 𝐻 ∈ Sℋ )

Proof of Theorem chsh

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isch 31881	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ ↔ (𝐻 ∈ Sℋ ∧ ( ⇝𝑣 “ (𝐻 ↑m ℕ)) ⊆ 𝐻))
2	1	simplbi 502	1 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → 𝐻 ∈ Sℋ )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   “ cima 5661  (class class class)co 7451   ↑_m cmap 8885  ℕcn 12375   ⇝_𝑣 chli 31586   S_ℋ csh 31587   C_ℋ cch 31588

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-xp 5664  df-cnv 5666  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fv 6574  df-ov 7454  df-ch 31880

This theorem is used by:  chsssh  31884  chshii  31886  ch0  31887  chss  31888  choccl  31965  chjval  32011  chjcl  32016  pjhth  32052  pjhtheu  32053  pjpreeq  32057  pjpjpre  32078  ch0le  32100  chle0  32102  chslej  32157  chjcom  32165  chub1  32166  chlub  32168  chlej1  32169  chlej2  32170  spansnsh  32220  fh1  32277  fh2  32278  chscllem1  32296  chscllem2  32297  chscllem3  32298  chscllem4  32299  chscl  32300  pjorthi  32328  pjoi0  32376  hstoc  32881  hstnmoc  32882  ch1dle  33011  atomli  33041  chirredlem3  33051  sumdmdii  33074