Theorem chsh 31299

Description: A closed subspace is a subspace. (Contributed by NM, 19-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
chsh	⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → 𝐻 ∈ Sℋ )

Proof of Theorem chsh

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isch 31297	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ ↔ (𝐻 ∈ Sℋ ∧ ( ⇝𝑣 “ (𝐻 ↑m ℕ)) ⊆ 𝐻))
2	1	simplbi 497	1 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → 𝐻 ∈ Sℋ )

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3901   “ cima 5627  (class class class)co 7358   ↑_m cmap 8763  ℕcn 12145   ⇝_𝑣 chli 31002   S_ℋ csh 31003   C_ℋ cch 31004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-xp 5630  df-cnv 5632  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fv 6500  df-ov 7361  df-ch 31296

This theorem is referenced by:  chsssh  31300  chshii  31302  ch0  31303  chss  31304  choccl  31381  chjval  31427  chjcl  31432  pjhth  31468  pjhtheu  31469  pjpreeq  31473  pjpjpre  31494  ch0le  31516  chle0  31518  chslej  31573  chjcom  31581  chub1  31582  chlub  31584  chlej1  31585  chlej2  31586  spansnsh  31636  fh1  31693  fh2  31694  chscllem1  31712  chscllem2  31713  chscllem3  31714  chscllem4  31715  chscl  31716  pjorthi  31744  pjoi0  31792  hstoc  32297  hstnmoc  32298  ch1dle  32427  atomli  32457  chirredlem3  32467  sumdmdii  32490