Theorem chsh 31153

Description: A closed subspace is a subspace. (Contributed by NM, 19-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
chsh	⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → 𝐻 ∈ Sℋ )

Proof of Theorem chsh

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isch 31151	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ ↔ (𝐻 ∈ Sℋ ∧ ( ⇝𝑣 “ (𝐻 ↑m ℕ)) ⊆ 𝐻))
2	1	simplbi 497	1 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → 𝐻 ∈ Sℋ )

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3914   “ cima 5641  (class class class)co 7387   ↑_m cmap 8799  ℕcn 12186   ⇝_𝑣 chli 30856   S_ℋ csh 30857   C_ℋ cch 30858

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-xp 5644  df-cnv 5646  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fv 6519  df-ov 7390  df-ch 31150

This theorem is referenced by:  chsssh  31154  chshii  31156  ch0  31157  chss  31158  choccl  31235  chjval  31281  chjcl  31286  pjhth  31322  pjhtheu  31323  pjpreeq  31327  pjpjpre  31348  ch0le  31370  chle0  31372  chslej  31427  chjcom  31435  chub1  31436  chlub  31438  chlej1  31439  chlej2  31440  spansnsh  31490  fh1  31547  fh2  31548  chscllem1  31566  chscllem2  31567  chscllem3  31568  chscllem4  31569  chscl  31570  pjorthi  31598  pjoi0  31646  hstoc  32151  hstnmoc  32152  ch1dle  32281  atomli  32311  chirredlem3  32321  sumdmdii  32344