Theorem shss 31818

Description: A subspace is a subset of Hilbert space. (Contributed by NM, 9-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shss	⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → 𝐻 ⊆ ℋ)

Proof of Theorem shss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issh 31816	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ ↔ ((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 0ℎ ∈ 𝐻) ∧ (( +ℎ “ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ 𝐻 ∧ ( ·ℎ “ (ℂ × 𝐻)) ⊆ 𝐻)))
2	1	simplbi 502	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (𝐻 ⊆ ℋ ∧ 0ℎ ∈ 𝐻))
3	2	simpld 500	1 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → 𝐻 ⊆ ℋ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895   × cxp 5648   “ cima 5653  ℂcc 11202   ℋchba 31527   +_ℎ cva 31528   ·_ℎ csm 31529  0_ℎc0v 31532   S_ℋ csh 31536

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-hilex 31607

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-br 5103  df-opab 5167  df-xp 5656  df-cnv 5658  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-sh 31815

This theorem is used by:  shel  31819  shex  31820  shssii  31821  shsubcl  31828  chss  31837  shsspwh  31854  hhsssh  31877  shocel  31890  shocsh  31892  ocss  31893  shocss  31894  shocorth  31900  shococss  31902  shorth  31903  shoccl  31913  shsel  31922  shintcli  31937  spanid  31955  shjval  31959  shjcl  31964  shlej1  31968  shlub  32022  chscllem2  32246  chscllem4  32248