Theorem shss 31691

Description: A subspace is a subset of Hilbert space. (Contributed by NM, 9-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shss	⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → 𝐻 ⊆ ℋ)

Proof of Theorem shss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issh 31689	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ ↔ ((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 0ℎ ∈ 𝐻) ∧ (( +ℎ “ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ 𝐻 ∧ ( ·ℎ “ (ℂ × 𝐻)) ⊆ 𝐻)))
2	1	simplbi 502	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (𝐻 ⊆ ℋ ∧ 0ℎ ∈ 𝐻))
3	2	simpld 500	1 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → 𝐻 ⊆ ℋ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899   × cxp 5653   “ cima 5658  ℂcc 11122   ℋchba 31400   +_ℎ cva 31401   ·_ℎ csm 31402  0_ℎc0v 31405   S_ℋ csh 31409

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-hilex 31480

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-xp 5661  df-cnv 5663  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-sh 31688

This theorem is used by:  shel  31692  shex  31693  shssii  31694  shsubcl  31701  chss  31710  shsspwh  31727  hhsssh  31750  shocel  31763  shocsh  31765  ocss  31766  shocss  31767  shocorth  31773  shococss  31775  shorth  31776  shoccl  31786  shsel  31795  shintcli  31810  spanid  31828  shjval  31832  shjcl  31837  shlej1  31841  shlub  31895  chscllem2  32119  chscllem4  32121