Theorem shss 31869

Description: A subspace is a subset of Hilbert space. (Contributed by NM, 9-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shss	⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → 𝐻 ⊆ ℋ)

Proof of Theorem shss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issh 31867	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ ↔ ((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 0ℎ ∈ 𝐻) ∧ (( +ℎ “ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ 𝐻 ∧ ( ·ℎ “ (ℂ × 𝐻)) ⊆ 𝐻)))
2	1	simplbi 502	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (𝐻 ⊆ ℋ ∧ 0ℎ ∈ 𝐻))
3	2	simpld 500	1 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → 𝐻 ⊆ ℋ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   × cxp 5656   “ cima 5661  ℂcc 11237   ℋchba 31578   +_ℎ cva 31579   ·_ℎ csm 31580  0_ℎc0v 31583   S_ℋ csh 31587

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-hilex 31658

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-br 5109  df-opab 5174  df-xp 5664  df-cnv 5666  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-sh 31866

This theorem is used by:  shel  31870  shex  31871  shssii  31872  shsubcl  31879  chss  31888  shsspwh  31905  hhsssh  31928  shocel  31941  shocsh  31943  ocss  31944  shocss  31945  shocorth  31951  shococss  31953  shorth  31954  shoccl  31964  shsel  31973  shintcli  31988  spanid  32006  shjval  32010  shjcl  32015  shlej1  32019  shlub  32073  chscllem2  32297  chscllem4  32299