Theorem shss 31299

Description: A subspace is a subset of Hilbert space. (Contributed by NM, 9-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shss	⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → 𝐻 ⊆ ℋ)

Proof of Theorem shss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issh 31297	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ ↔ ((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 0ℎ ∈ 𝐻) ∧ (( +ℎ “ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ 𝐻 ∧ ( ·ℎ “ (ℂ × 𝐻)) ⊆ 𝐻)))
2	1	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (𝐻 ⊆ ℋ ∧ 0ℎ ∈ 𝐻))
3	2	simpld 495	1 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → 𝐻 ⊆ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3883   × cxp 5616   “ cima 5621  ℂcc 11027   ℋchba 31008   +_ℎ cva 31009   ·_ℎ csm 31010  0_ℎc0v 31013   S_ℋ csh 31017

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-hilex 31088

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-br 5073  df-opab 5135  df-xp 5624  df-cnv 5626  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-sh 31296

This theorem is referenced by:  shel  31300  shex  31301  shssii  31302  shsubcl  31309  chss  31318  shsspwh  31335  hhsssh  31358  shocel  31371  shocsh  31373  ocss  31374  shocss  31375  shocorth  31381  shococss  31383  shorth  31384  shoccl  31394  shsel  31403  shintcli  31418  spanid  31436  shjval  31440  shjcl  31445  shlej1  31449  shlub  31503  chscllem2  31727  chscllem4  31729