Theorem shss 31591

Description: A subspace is a subset of Hilbert space. (Contributed by NM, 9-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shss	⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → 𝐻 ⊆ ℋ)

Proof of Theorem shss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issh 31589	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ ↔ ((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 0ℎ ∈ 𝐻) ∧ (( +ℎ “ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ 𝐻 ∧ ( ·ℎ “ (ℂ × 𝐻)) ⊆ 𝐻)))
2	1	simplbi 502	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (𝐻 ⊆ ℋ ∧ 0ℎ ∈ 𝐻))
3	2	simpld 500	1 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → 𝐻 ⊆ ℋ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3906   × cxp 5661   “ cima 5666  ℂcc 11109   ℋchba 31300   +_ℎ cva 31301   ·_ℎ csm 31302  0_ℎc0v 31305   S_ℋ csh 31309

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-hilex 31380

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-br 5112  df-opab 5176  df-xp 5669  df-cnv 5671  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-sh 31588

This theorem is used by:  shel  31592  shex  31593  shssii  31594  shsubcl  31601  chss  31610  shsspwh  31627  hhsssh  31650  shocel  31663  shocsh  31665  ocss  31666  shocss  31667  shocorth  31673  shococss  31675  shorth  31676  shoccl  31686  shsel  31695  shintcli  31710  spanid  31728  shjval  31732  shjcl  31737  shlej1  31741  shlub  31795  chscllem2  32019  chscllem4  32021