HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shss 30458
Description: A subspace is a subset of Hilbert space. (Contributed by NM, 9-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
shss (๐ป โˆˆ Sโ„‹ โ†’ ๐ป โŠ† โ„‹)

Proof of Theorem shss
StepHypRef Expression
1 issh 30456 . . 3 (๐ป โˆˆ Sโ„‹ โ†” ((๐ป โŠ† โ„‹ โˆง 0โ„Ž โˆˆ ๐ป) โˆง (( +โ„Ž โ€œ (๐ป ร— ๐ป)) โŠ† ๐ป โˆง ( ยทโ„Ž โ€œ (โ„‚ ร— ๐ป)) โŠ† ๐ป)))
21simplbi 498 . 2 (๐ป โˆˆ Sโ„‹ โ†’ (๐ป โŠ† โ„‹ โˆง 0โ„Ž โˆˆ ๐ป))
32simpld 495 1 (๐ป โˆˆ Sโ„‹ โ†’ ๐ป โŠ† โ„‹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆˆ wcel 2106   โŠ† wss 3948   ร— cxp 5674   โ€œ cima 5679  โ„‚cc 11107   โ„‹chba 30167   +โ„Ž cva 30168   ยทโ„Ž csm 30169  0โ„Žc0v 30172   Sโ„‹ csh 30176
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-hilex 30247
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-br 5149  df-opab 5211  df-xp 5682  df-cnv 5684  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-sh 30455
This theorem is referenced by:  shel  30459  shex  30460  shssii  30461  shsubcl  30468  chss  30477  shsspwh  30494  hhsssh  30517  shocel  30530  shocsh  30532  ocss  30533  shocss  30534  shocorth  30540  shococss  30542  shorth  30543  shoccl  30553  shsel  30562  shintcli  30577  spanid  30595  shjval  30599  shjcl  30604  shlej1  30608  shlub  30662  chscllem2  30886  chscllem4  30888
  Copyright terms: Public domain W3C validator