HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shss 30463
Description: A subspace is a subset of Hilbert space. (Contributed by NM, 9-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
shss (๐ป โˆˆ Sโ„‹ โ†’ ๐ป โŠ† โ„‹)

Proof of Theorem shss
StepHypRef Expression
1 issh 30461 . . 3 (๐ป โˆˆ Sโ„‹ โ†” ((๐ป โŠ† โ„‹ โˆง 0โ„Ž โˆˆ ๐ป) โˆง (( +โ„Ž โ€œ (๐ป ร— ๐ป)) โŠ† ๐ป โˆง ( ยทโ„Ž โ€œ (โ„‚ ร— ๐ป)) โŠ† ๐ป)))
21simplbi 499 . 2 (๐ป โˆˆ Sโ„‹ โ†’ (๐ป โŠ† โ„‹ โˆง 0โ„Ž โˆˆ ๐ป))
32simpld 496 1 (๐ป โˆˆ Sโ„‹ โ†’ ๐ป โŠ† โ„‹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆˆ wcel 2107   โŠ† wss 3949   ร— cxp 5675   โ€œ cima 5680  โ„‚cc 11108   โ„‹chba 30172   +โ„Ž cva 30173   ยทโ„Ž csm 30174  0โ„Žc0v 30177   Sโ„‹ csh 30181
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-hilex 30252
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-br 5150  df-opab 5212  df-xp 5683  df-cnv 5685  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-sh 30460
This theorem is referenced by:  shel  30464  shex  30465  shssii  30466  shsubcl  30473  chss  30482  shsspwh  30499  hhsssh  30522  shocel  30535  shocsh  30537  ocss  30538  shocss  30539  shocorth  30545  shococss  30547  shorth  30548  shoccl  30558  shsel  30567  shintcli  30582  spanid  30600  shjval  30604  shjcl  30609  shlej1  30613  shlub  30667  chscllem2  30891  chscllem4  30893
  Copyright terms: Public domain W3C validator