Theorem coemptyd 14863

Description: Deduction about composition of classes with no relational content in common. (Contributed by RP, 24-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
coemptyd.1	⊢ (𝜑 → (dom 𝐴 ∩ ran 𝐵) = ∅)

Assertion

Ref	Expression
coemptyd	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∘ 𝐵) = ∅)

Proof of Theorem coemptyd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coemptyd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐴 ∩ ran 𝐵) = ∅)
2		coeq0 6207	. 2 ⊢ ((𝐴 ∘ 𝐵) = ∅ ↔ (dom 𝐴 ∩ ran 𝐵) = ∅)
3	1, 2	sylibr 233	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∘ 𝐵) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∩ cin 3909  ∅c0 4282  dom cdm 5633  ran crn 5634   ∘ ccom 5637

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pr 5384

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rab 3408  df-v 3447  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-br 5106  df-opab 5168  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645

This theorem is referenced by:  xptrrel  14864  cosnopne  31553  coeq0i  41053  conrel1d  41916  conrel2d  41917  clsneibex  42355  neicvgbex  42365