Theorem clsneibex 42853

Description: If (pseudo-)closure and (pseudo-)neighborhood functions are related by the composite operator, 𝐻, then the base set exists. (Contributed by RP, 4-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
clsneibex.d	⊢ 𝐷 = (𝑃‘𝐵)
clsneibex.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 ∘ 𝐷)
clsneibex.r	⊢ (𝜑 → 𝐾𝐻𝑁)

Assertion

Ref	Expression
clsneibex	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)

Proof of Theorem clsneibex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clsneibex.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐹 ∘ 𝐷)
2		clsneibex.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (𝑃‘𝐵)
3	2	coeq2i 5861	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∘ 𝐷) = (𝐹 ∘ (𝑃‘𝐵))
4	1, 3	eqtri 2761	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐹 ∘ (𝑃‘𝐵))
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝐹 ∘ (𝑃‘𝐵)))
6		clsneibex.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾𝐻𝑁)
7	5, 6	breqdi 5164	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾(𝐹 ∘ (𝑃‘𝐵))𝑁)
8		brne0 5199	. 2 ⊢ (𝐾(𝐹 ∘ (𝑃‘𝐵))𝑁 → (𝐹 ∘ (𝑃‘𝐵)) ≠ ∅)
9		fvprc 6884	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → (𝑃‘𝐵) = ∅)
10	9	rneqd 5938	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → ran (𝑃‘𝐵) = ran ∅)
11		rn0 5926	. . . . . . 7 ⊢ ran ∅ = ∅
12	10, 11	eqtrdi 2789	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → ran (𝑃‘𝐵) = ∅)
13	12	ineq2d 4213	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → (dom 𝐹 ∩ ran (𝑃‘𝐵)) = (dom 𝐹 ∩ ∅))
14		in0 4392	. . . . 5 ⊢ (dom 𝐹 ∩ ∅) = ∅
15	13, 14	eqtrdi 2789	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → (dom 𝐹 ∩ ran (𝑃‘𝐵)) = ∅)
16	15	coemptyd 14926	. . 3 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → (𝐹 ∘ (𝑃‘𝐵)) = ∅)
17	16	necon1ai 2969	. 2 ⊢ ((𝐹 ∘ (𝑃‘𝐵)) ≠ ∅ → 𝐵 ∈ V)
18	7, 8, 17	3syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  Vcvv 3475   ∩ cin 3948  ∅c0 4323   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  ran crn 5678   ∘ ccom 5681  ‘cfv 6544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-iota 6496  df-fv 6552

This theorem is referenced by:  clsneircomplex  42854  clsneif1o  42855  clsneicnv  42856  clsneikex  42857  clsneinex  42858  clsneiel1  42859