Theorem clsneibex 44452

Description: If (pseudo-)closure and (pseudo-)neighborhood functions are related by the composite operator, 𝐻, then the base set exists. (Contributed by RP, 4-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
clsneibex.d	⊢ 𝐷 = (𝑃‘𝐵)
clsneibex.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 ∘ 𝐷)
clsneibex.r	⊢ (𝜑 → 𝐾𝐻𝑁)

Assertion

Ref	Expression
clsneibex	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)

Proof of Theorem clsneibex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clsneibex.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐹 ∘ 𝐷)
2		clsneibex.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (𝑃‘𝐵)
3	2	coeq2i 5817	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∘ 𝐷) = (𝐹 ∘ (𝑃‘𝐵))
4	1, 3	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐹 ∘ (𝑃‘𝐵))
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝐹 ∘ (𝑃‘𝐵)))
6		clsneibex.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾𝐻𝑁)
7	5, 6	breqdi 5115	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾(𝐹 ∘ (𝑃‘𝐵))𝑁)
8		brne0 5150	. 2 ⊢ (𝐾(𝐹 ∘ (𝑃‘𝐵))𝑁 → (𝐹 ∘ (𝑃‘𝐵)) ≠ ∅)
9		fvprc 6834	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → (𝑃‘𝐵) = ∅)
10	9	rneqd 5895	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → ran (𝑃‘𝐵) = ran ∅)
11		rn0 5883	. . . . . . 7 ⊢ ran ∅ = ∅
12	10, 11	eqtrdi 2788	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → ran (𝑃‘𝐵) = ∅)
13	12	ineq2d 4174	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → (dom 𝐹 ∩ ran (𝑃‘𝐵)) = (dom 𝐹 ∩ ∅))
14		in0 4349	. . . . 5 ⊢ (dom 𝐹 ∩ ∅) = ∅
15	13, 14	eqtrdi 2788	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → (dom 𝐹 ∩ ran (𝑃‘𝐵)) = ∅)
16	15	coemptyd 14914	. . 3 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → (𝐹 ∘ (𝑃‘𝐵)) = ∅)
17	16	necon1ai 2960	. 2 ⊢ ((𝐹 ∘ (𝑃‘𝐵)) ≠ ∅ → 𝐵 ∈ V)
18	7, 8, 17	3syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3442   ∩ cin 3902  ∅c0 4287   class class class wbr 5100  dom cdm 5632  ran crn 5633   ∘ ccom 5636  ‘cfv 6500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-iota 6456  df-fv 6508

This theorem is referenced by:  clsneircomplex  44453  clsneif1o  44454  clsneicnv  44455  clsneikex  44456  clsneinex  44457  clsneiel1  44458