Theorem clsneibex 44115

Description: If (pseudo-)closure and (pseudo-)neighborhood functions are related by the composite operator, 𝐻, then the base set exists. (Contributed by RP, 4-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
clsneibex.d	⊢ 𝐷 = (𝑃‘𝐵)
clsneibex.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 ∘ 𝐷)
clsneibex.r	⊢ (𝜑 → 𝐾𝐻𝑁)

Assertion

Ref	Expression
clsneibex	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)

Proof of Theorem clsneibex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clsneibex.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐹 ∘ 𝐷)
2		clsneibex.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (𝑃‘𝐵)
3	2	coeq2i 5871	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∘ 𝐷) = (𝐹 ∘ (𝑃‘𝐵))
4	1, 3	eqtri 2765	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐹 ∘ (𝑃‘𝐵))
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝐹 ∘ (𝑃‘𝐵)))
6		clsneibex.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾𝐻𝑁)
7	5, 6	breqdi 5158	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾(𝐹 ∘ (𝑃‘𝐵))𝑁)
8		brne0 5193	. 2 ⊢ (𝐾(𝐹 ∘ (𝑃‘𝐵))𝑁 → (𝐹 ∘ (𝑃‘𝐵)) ≠ ∅)
9		fvprc 6898	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → (𝑃‘𝐵) = ∅)
10	9	rneqd 5949	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → ran (𝑃‘𝐵) = ran ∅)
11		rn0 5936	. . . . . . 7 ⊢ ran ∅ = ∅
12	10, 11	eqtrdi 2793	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → ran (𝑃‘𝐵) = ∅)
13	12	ineq2d 4220	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → (dom 𝐹 ∩ ran (𝑃‘𝐵)) = (dom 𝐹 ∩ ∅))
14		in0 4395	. . . . 5 ⊢ (dom 𝐹 ∩ ∅) = ∅
15	13, 14	eqtrdi 2793	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → (dom 𝐹 ∩ ran (𝑃‘𝐵)) = ∅)
16	15	coemptyd 15018	. . 3 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → (𝐹 ∘ (𝑃‘𝐵)) = ∅)
17	16	necon1ai 2968	. 2 ⊢ ((𝐹 ∘ (𝑃‘𝐵)) ≠ ∅ → 𝐵 ∈ V)
18	7, 8, 17	3syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  Vcvv 3480   ∩ cin 3950  ∅c0 4333   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  ran crn 5686   ∘ ccom 5689  ‘cfv 6561

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-iota 6514  df-fv 6569

This theorem is referenced by:  clsneircomplex  44116  clsneif1o  44117  clsneicnv  44118  clsneikex  44119  clsneinex  44120  clsneiel1  44121