Theorem clsneibex 45061

Description: If (pseudo-)closure and (pseudo-)neighborhood functions are related by the composite operator, 𝐻, then the base set exists. (Contributed by RP, 4-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
clsneibex.d	⊢ 𝐷 = (𝑃‘𝐵)
clsneibex.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 ∘ 𝐷)
clsneibex.r	⊢ (𝜑 → 𝐾𝐻𝑁)

Assertion

Ref	Expression
clsneibex	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)

Proof of Theorem clsneibex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clsneibex.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐹 ∘ 𝐷)
2		clsneibex.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (𝑃‘𝐵)
3	2	coeq2i 5838	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∘ 𝐷) = (𝐹 ∘ (𝑃‘𝐵))
4	1, 3	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐹 ∘ (𝑃‘𝐵))
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝐹 ∘ (𝑃‘𝐵)))
6		clsneibex.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾𝐻𝑁)
7	5, 6	breqdi 5118	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾(𝐹 ∘ (𝑃‘𝐵))𝑁)
8		brne0 5155	. 2 ⊢ (𝐾(𝐹 ∘ (𝑃‘𝐵))𝑁 → (𝐹 ∘ (𝑃‘𝐵)) ≠ ∅)
9		fvprc 6869	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → (𝑃‘𝐵) = ∅)
10	9	rneqd 5920	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → ran (𝑃‘𝐵) = ran ∅)
11		rn0 5908	. . . . . . 7 ⊢ ran ∅ = ∅
12	10, 11	eqtrdi 2812	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → ran (𝑃‘𝐵) = ∅)
13	12	ineq2d 4166	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → (dom 𝐹 ∩ ran (𝑃‘𝐵)) = (dom 𝐹 ∩ ∅))
14		in0 4345	. . . . 5 ⊢ (dom 𝐹 ∩ ∅) = ∅
15	13, 14	eqtrdi 2812	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → (dom 𝐹 ∩ ran (𝑃‘𝐵)) = ∅)
16	15	coemptyd 15112	. . 3 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → (𝐹 ∘ (𝑃‘𝐵)) = ∅)
17	16	necon1ai 2983	. 2 ⊢ ((𝐹 ∘ (𝑃‘𝐵)) ≠ ∅ → 𝐵 ∈ V)
18	7, 8, 17	3syl 19	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  Vcvv 3451   ∩ cin 3898  ∅c0 4279   class class class wbr 5103  dom cdm 5651  ran crn 5652   ∘ ccom 5655  ‘cfv 6531

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-iota 6487  df-fv 6539

This theorem is used by:  clsneircomplex  45062  clsneif1o  45063  clsneicnv  45064  clsneikex  45065  clsneinex  45066  clsneiel1  45067