Theorem clsneibex 44084

Description: If (pseudo-)closure and (pseudo-)neighborhood functions are related by the composite operator, 𝐻, then the base set exists. (Contributed by RP, 4-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
clsneibex.d	⊢ 𝐷 = (𝑃‘𝐵)
clsneibex.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 ∘ 𝐷)
clsneibex.r	⊢ (𝜑 → 𝐾𝐻𝑁)

Assertion

Ref	Expression
clsneibex	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)

Proof of Theorem clsneibex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clsneibex.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐹 ∘ 𝐷)
2		clsneibex.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (𝑃‘𝐵)
3	2	coeq2i 5826	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∘ 𝐷) = (𝐹 ∘ (𝑃‘𝐵))
4	1, 3	eqtri 2753	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐹 ∘ (𝑃‘𝐵))
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝐹 ∘ (𝑃‘𝐵)))
6		clsneibex.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾𝐻𝑁)
7	5, 6	breqdi 5124	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾(𝐹 ∘ (𝑃‘𝐵))𝑁)
8		brne0 5159	. 2 ⊢ (𝐾(𝐹 ∘ (𝑃‘𝐵))𝑁 → (𝐹 ∘ (𝑃‘𝐵)) ≠ ∅)
9		fvprc 6852	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → (𝑃‘𝐵) = ∅)
10	9	rneqd 5904	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → ran (𝑃‘𝐵) = ran ∅)
11		rn0 5891	. . . . . . 7 ⊢ ran ∅ = ∅
12	10, 11	eqtrdi 2781	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → ran (𝑃‘𝐵) = ∅)
13	12	ineq2d 4185	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → (dom 𝐹 ∩ ran (𝑃‘𝐵)) = (dom 𝐹 ∩ ∅))
14		in0 4360	. . . . 5 ⊢ (dom 𝐹 ∩ ∅) = ∅
15	13, 14	eqtrdi 2781	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → (dom 𝐹 ∩ ran (𝑃‘𝐵)) = ∅)
16	15	coemptyd 14951	. . 3 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → (𝐹 ∘ (𝑃‘𝐵)) = ∅)
17	16	necon1ai 2953	. 2 ⊢ ((𝐹 ∘ (𝑃‘𝐵)) ≠ ∅ → 𝐵 ∈ V)
18	7, 8, 17	3syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  Vcvv 3450   ∩ cin 3915  ∅c0 4298   class class class wbr 5109  dom cdm 5640  ran crn 5641   ∘ ccom 5644  ‘cfv 6513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-nul 4299  df-if 4491  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5110  df-opab 5172  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-iota 6466  df-fv 6521

This theorem is referenced by:  clsneircomplex  44085  clsneif1o  44086  clsneicnv  44087  clsneikex  44088  clsneinex  44089  clsneiel1  44090