Theorem logbfval 26936

Description: The general logarithm of a complex number to a fixed base. (Contributed by AV, 11-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
logbfval	⊢ (((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((curry logb ‘𝐵)‘𝑋) = (𝐵 logb 𝑋))

Proof of Theorem logbfval

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-logb 26911	. 2 ⊢ logb = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ ((log‘𝑦) / (log‘𝑥)))
2		ovexd 7447	. . 3 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}))) → ((log‘𝑦) / (log‘𝑥)) ∈ V)
3	2	ralrimivva 3208	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0, 1})∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})((log‘𝑦) / (log‘𝑥)) ∈ V)
4		cnex 11182	. . 3 ⊢ ℂ ∈ V
5		difexg 5301	. . 3 ⊢ (ℂ ∈ V → (ℂ ∖ {0}) ∈ V)
6	4, 5	mp1i 14	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (ℂ ∖ {0}) ∈ V)
7		eldifpr 4625	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1))
8	7	biranri 510	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}))
9		simpr 489	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0}))
10	1, 3, 6, 8, 9	fvmpocurryd 8268	1 ⊢ (((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((curry logb ‘𝐵)‘𝑋) = (𝐵 logb 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  Vcvv 3455   ∖ cdif 3903  {csn 4590  {cpr 4592  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  curry ccur 8262  ℂcc 11099  0cc0 11101  1c1 11102   / cdiv 11872  logclog 26700   log_b clogb 26910

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-cur 8264  df-logb 26911

This theorem is referenced by:  relogbf  26937