Theorem logbfval 26756

Description: The general logarithm of a complex number to a fixed base. (Contributed by AV, 11-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
logbfval	⊢ (((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((curry logb ‘𝐵)‘𝑋) = (𝐵 logb 𝑋))

Proof of Theorem logbfval

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-logb 26731	. 2 ⊢ logb = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ ((log‘𝑦) / (log‘𝑥)))
2		ovexd 7393	. . 3 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}))) → ((log‘𝑦) / (log‘𝑥)) ∈ V)
3	2	ralrimivva 3179	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0, 1})∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})((log‘𝑦) / (log‘𝑥)) ∈ V)
4		cnex 11107	. . 3 ⊢ ℂ ∈ V
5		difexg 5274	. . 3 ⊢ (ℂ ∈ V → (ℂ ∖ {0}) ∈ V)
6	4, 5	mp1i 13	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (ℂ ∖ {0}) ∈ V)
7		eldifpr 4615	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1))
8	7	biimpri 228	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}))
9	8	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}))
10		simpr 484	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0}))
11	1, 3, 6, 9, 10	fvmpocurryd 8213	1 ⊢ (((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((curry logb ‘𝐵)‘𝑋) = (𝐵 logb 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  Vcvv 3440   ∖ cdif 3898  {csn 4580  {cpr 4582  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  curry ccur 8207  ℂcc 11024  0cc0 11026  1c1 11027   / cdiv 11794  logclog 26519   log_b clogb 26730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-cur 8209  df-logb 26731

This theorem is referenced by:  relogbf  26757