Theorem rege1logbrege0 49777

Description: The general logarithm, with a real base greater than 1, for a real number greater than or equal to 1 is greater than or equal to 0. (Contributed by AV, 25-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
rege1logbrege0	⊢ ((𝐵 ∈ (1(,)+∞) ∧ 𝑋 ∈ (1[,)+∞)) → 0 ≤ (𝐵 logb 𝑋))

Proof of Theorem rege1logbrege0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11313	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		elicopnf 13581	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → (𝑋 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑋)))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑋))
4	3	bilani 510	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (1(,)+∞) ∧ 𝑋 ∈ (1[,)+∞)) → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑋))
5		logge0 26940	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑋) → 0 ≤ (log‘𝑋))
6	4, 5	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (1(,)+∞) ∧ 𝑋 ∈ (1[,)+∞)) → 0 ≤ (log‘𝑋))
7		simpl 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
8		0lt1 11843	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 1
9		0red 11316	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
10		1red 11314	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
11		id 23	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → 𝑋 ∈ ℝ)
12		ltletr 11407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝑋) → 0 < 𝑋))
13	9, 10, 11, 12	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝑋) → 0 < 𝑋))
14	8, 13	mpani 709	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝑋 → 0 < 𝑋))
15	14	imp 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑋) → 0 < 𝑋)
16	7, 15	elrpd 13166	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ+)
17	3, 16	sylbi 220	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (1[,)+∞) → 𝑋 ∈ ℝ+)
18	17	relogcld 26958	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (1[,)+∞) → (log‘𝑋) ∈ ℝ)
19	18	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (1(,)+∞) ∧ 𝑋 ∈ (1[,)+∞)) → (log‘𝑋) ∈ ℝ)
20		1xr 11373	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ*
21		elioopnf 13579	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ (1(,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)))
22	20, 21	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (1(,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵))
23		simpl 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
24		0red 11316	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
25		1red 11314	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
26		id 23	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ)
27		lttr 11391	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐵) → 0 < 𝐵))
28	24, 25, 26, 27	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐵) → 0 < 𝐵))
29	8, 28	mpani 709	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (1 < 𝐵 → 0 < 𝐵))
30	29	imp 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
31	23, 30	elrpd 13166	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ+)
32	22, 31	sylbi 220	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (1(,)+∞) → 𝐵 ∈ ℝ+)
33	32	relogcld 26958	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (1(,)+∞) → (log‘𝐵) ∈ ℝ)
34	33	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (1(,)+∞) ∧ 𝑋 ∈ (1[,)+∞)) → (log‘𝐵) ∈ ℝ)
35		regt1loggt0 49755	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (1(,)+∞) → 0 < (log‘𝐵))
36	35	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (1(,)+∞) ∧ 𝑋 ∈ (1[,)+∞)) → 0 < (log‘𝐵))
37		ge0div 12189	. . . 4 ⊢ (((log‘𝑋) ∈ ℝ ∧ (log‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘𝐵)) → (0 ≤ (log‘𝑋) ↔ 0 ≤ ((log‘𝑋) / (log‘𝐵))))
38	19, 34, 36, 37	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (1(,)+∞) ∧ 𝑋 ∈ (1[,)+∞)) → (0 ≤ (log‘𝑋) ↔ 0 ≤ ((log‘𝑋) / (log‘𝐵))))
39	6, 38	mpbid 235	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (1(,)+∞) ∧ 𝑋 ∈ (1[,)+∞)) → 0 ≤ ((log‘𝑋) / (log‘𝐵)))
40		recn 11295	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
41	40	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
42	30	gt0ne0d 11885	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 0)
43	25, 26	ltlend 11460	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (1 < 𝐵 ↔ (1 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 1)))
44	43	simplbda 505	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 1)
45	41, 42, 44	3jca 1146	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1))
46		eldifpr 4615	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1))
47	45, 22, 46	3imtr4i 295	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (1(,)+∞) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}))
48		recn 11295	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → 𝑋 ∈ ℂ)
49	48	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ ℂ)
50	15	gt0ne0d 11885	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑋) → 𝑋 ≠ 0)
51	49, 50	jca 521	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑋) → (𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ≠ 0))
52		eldifsn 4744	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ≠ 0))
53	51, 3, 52	3imtr4i 295	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (1[,)+∞) → 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0}))
54		logbval 27101	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐵 logb 𝑋) = ((log‘𝑋) / (log‘𝐵)))
55	47, 53, 54	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (1(,)+∞) ∧ 𝑋 ∈ (1[,)+∞)) → (𝐵 logb 𝑋) = ((log‘𝑋) / (log‘𝐵)))
56	39, 55	breqtrrd 5132	1 ⊢ ((𝐵 ∈ (1(,)+∞) ∧ 𝑋 ∈ (1[,)+∞)) → 0 ≤ (𝐵 logb 𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   ∖ cdif 4044  {csn 4584  {cpr 4586   class class class wbr 5102  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  ℂcc 11203  ℝcr 11204  0cc0 11205  1c1 11206  +∞cpnf 11345  ℝ^*cxr 11347   < clt 11348   ≤ cle 11349   / cdiv 11978  ℝ⁺crp 13125  (,)cioo 13481  [,)cico 13483  logclog 26889   log_b clogb 27099

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-inf2 9647  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282  ax-pre-sup 11283  ax-addf 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-of 7695  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8182  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-1o 8481  df-2o 8482  df-er 8722  df-map 8854  df-pm 8855  df-ixp 8931  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-fsupp 9359  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9509  df-card 10025  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-div 11979  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-4 12412  df-5 12413  df-6 12414  df-7 12415  df-8 12416  df-9 12417  df-n0 12612  df-z 12699  df-dec 12820  df-uz 12971  df-q 13081  df-rp 13126  df-xneg 13246  df-xadd 13247  df-xmul 13248  df-ioo 13485  df-ioc 13486  df-ico 13487  df-icc 13488  df-fz 13645  df-fzo 13794  df-fl 13937  df-mod 14015  df-seq 14150  df-exp 14210  df-fac 14423  df-bc 14452  df-hash 14480  df-shft 15227  df-cj 15273  df-re 15274  df-im 15275  df-sqrt 15409  df-abs 15410  df-limsup 15645  df-clim 15662  df-rlim 15663  df-sum 15861  df-ef 16240  df-sin 16242  df-cos 16243  df-pi 16245  df-struct 17332  df-sets 17349  df-slot 17367  df-ndx 17379  df-base 17395  df-ress 17416  df-plusg 17448  df-mulr 17449  df-starv 17450  df-sca 17451  df-vsca 17452  df-ip 17453  df-tset 17454  df-ple 17455  df-ds 17457  df-unif 17458  df-hom 17459  df-cco 17460  df-rest 17600  df-topn 17601  df-0g 17619  df-gsum 17620  df-topgen 17621  df-pt 17622  df-prds 17625  df-xrs 17681  df-qtop 17686  df-imas 17687  df-xps 17689  df-mre 17763  df-mrc 17764  df-acs 17766  df-mgm 18823  df-sgrp 18915  df-mnd 18931  df-submnd 18986  df-mulg 19285  df-cntz 19538  df-cmn 20003  df-psmet 21677  df-xmet 21678  df-met 21679  df-bl 21680  df-mopn 21681  df-fbas 21682  df-fg 21683  df-cnfld 21686  df-top 23219  df-topon 23236  df-topsp 23258  df-bases 23271  df-cld 23344  df-ntr 23345  df-cls 23346  df-nei 23423  df-lp 23461  df-perf 23462  df-cn 23552  df-cnp 23553  df-haus 23640  df-tx 23888  df-hmeo 24081  df-fil 24172  df-fm 24264  df-flim 24265  df-flf 24266  df-xms 24646  df-ms 24647  df-tms 24648  df-cncf 25206  df-limc 26193  df-dv 26194  df-log 26891  df-logb 27100

This theorem is used by:  rege1logbzge0  49778