Theorem relogbcxpb 26189

Description: The logarithm is the inverse of the exponentiation. Observation in [Cohen4] p. 348. (Contributed by AV, 11-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
relogbcxpb	⊢ (((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 1) ∧ 𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐵 logb 𝑋) = 𝑌 ↔ (𝐵↑𝑐𝑌) = 𝑋))

Proof of Theorem relogbcxpb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7385	. . . 4 ⊢ (𝑌 = (𝐵 logb 𝑋) → (𝐵↑𝑐𝑌) = (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)))
2	1	eqcoms 2739	. . 3 ⊢ ((𝐵 logb 𝑋) = 𝑌 → (𝐵↑𝑐𝑌) = (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)))
3		rpcn 12949	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℂ)
4	3	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 1) → 𝐵 ∈ ℂ)
5		rpne0 12955	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ≠ 0)
6	5	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 1) → 𝐵 ≠ 0)
7		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 1) → 𝐵 ≠ 1)
8		eldifpr 4638	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1))
9	4, 6, 7, 8	syl3anbrc 1343	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 1) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}))
10		rpcndif0 12958	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0}))
11	9, 10	anim12i 613	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 1) ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})))
12	11	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 1) ∧ 𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})))
13		cxplogb 26188	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)) = 𝑋)
14	12, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 1) ∧ 𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)) = 𝑋)
15	2, 14	sylan9eqr 2793	. 2 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 1) ∧ 𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 logb 𝑋) = 𝑌) → (𝐵↑𝑐𝑌) = 𝑋)
16		oveq2 7385	. . . 4 ⊢ (𝑋 = (𝐵↑𝑐𝑌) → (𝐵 logb 𝑋) = (𝐵 logb (𝐵↑𝑐𝑌)))
17	16	eqcoms 2739	. . 3 ⊢ ((𝐵↑𝑐𝑌) = 𝑋 → (𝐵 logb 𝑋) = (𝐵 logb (𝐵↑𝑐𝑌)))
18		eldifsn 4767	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ↔ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 1))
19	18	biimpri 227	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 1) → 𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}))
20	19	anim1i 615	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 1) ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ∧ 𝑌 ∈ ℝ))
21	20	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 1) ∧ 𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ∧ 𝑌 ∈ ℝ))
22		relogbcxp 26187	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐵 logb (𝐵↑𝑐𝑌)) = 𝑌)
23	21, 22	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 1) ∧ 𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐵 logb (𝐵↑𝑐𝑌)) = 𝑌)
24	17, 23	sylan9eqr 2793	. 2 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 1) ∧ 𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ (𝐵↑𝑐𝑌) = 𝑋) → (𝐵 logb 𝑋) = 𝑌)
25	15, 24	impbida 799	1 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 1) ∧ 𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐵 logb 𝑋) = 𝑌 ↔ (𝐵↑𝑐𝑌) = 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939   ∖ cdif 3925  {csn 4606  {cpr 4608  (class class class)co 7377  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076  ℝ⁺crp 12939  ↑_𝑐ccxp 25963   log_b clogb 26166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154  ax-mulf 11155

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4886  df-int 4928  df-iun 4976  df-iin 4977  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-of 7637  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-supp 8113  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-er 8670  df-map 8789  df-pm 8790  df-ixp 8858  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-fin 8909  df-fsupp 9328  df-fi 9371  df-sup 9402  df-inf 9403  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-div 11837  df-nn 12178  df-2 12240  df-3 12241  df-4 12242  df-5 12243  df-6 12244  df-7 12245  df-8 12246  df-9 12247  df-n0 12438  df-z 12524  df-dec 12643  df-uz 12788  df-q 12898  df-rp 12940  df-xneg 13057  df-xadd 13058  df-xmul 13059  df-ioo 13293  df-ioc 13294  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13450  df-fzo 13593  df-fl 13722  df-mod 13800  df-seq 13932  df-exp 13993  df-fac 14199  df-bc 14228  df-hash 14256  df-shft 14979  df-cj 15011  df-re 15012  df-im 15013  df-sqrt 15147  df-abs 15148  df-limsup 15380  df-clim 15397  df-rlim 15398  df-sum 15598  df-ef 15976  df-sin 15978  df-cos 15979  df-pi 15981  df-struct 17045  df-sets 17062  df-slot 17080  df-ndx 17092  df-base 17110  df-ress 17139  df-plusg 17175  df-mulr 17176  df-starv 17177  df-sca 17178  df-vsca 17179  df-ip 17180  df-tset 17181  df-ple 17182  df-ds 17184  df-unif 17185  df-hom 17186  df-cco 17187  df-rest 17333  df-topn 17334  df-0g 17352  df-gsum 17353  df-topgen 17354  df-pt 17355  df-prds 17358  df-xrs 17413  df-qtop 17418  df-imas 17419  df-xps 17421  df-mre 17495  df-mrc 17496  df-acs 17498  df-mgm 18526  df-sgrp 18575  df-mnd 18586  df-submnd 18631  df-mulg 18902  df-cntz 19126  df-cmn 19593  df-psmet 20840  df-xmet 20841  df-met 20842  df-bl 20843  df-mopn 20844  df-fbas 20845  df-fg 20846  df-cnfld 20849  df-top 22295  df-topon 22312  df-topsp 22334  df-bases 22348  df-cld 22422  df-ntr 22423  df-cls 22424  df-nei 22501  df-lp 22539  df-perf 22540  df-cn 22630  df-cnp 22631  df-haus 22718  df-tx 22965  df-hmeo 23158  df-fil 23249  df-fm 23341  df-flim 23342  df-flf 23343  df-xms 23725  df-ms 23726  df-tms 23727  df-cncf 24293  df-limc 25282  df-dv 25283  df-log 25964  df-cxp 25965  df-logb 26167

This theorem is referenced by: (None)