Theorem sqrt2cxp2logb9e3 26718

Description: The square root of two to the power of the logarithm of nine to base two is three. (√‘2) and (2 log_b 9) are irrational numbers (see sqrt2irr0 16219 resp. 2logb9irr 26714), satisfying the statement in 2irrexpqALT 26719. (Contributed by AV, 29-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
sqrt2cxp2logb9e3	⊢ ((√‘2)↑𝑐(2 logb 9)) = 3

Proof of Theorem sqrt2cxp2logb9e3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 12309	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
2		cxpsqrt 26624	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑𝑐(1 / 2)) = (√‘2))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (2↑𝑐(1 / 2)) = (√‘2)
4	3	eqcomi 2736	. . . 4 ⊢ (√‘2) = (2↑𝑐(1 / 2))
5	4	oveq1i 7424	. . 3 ⊢ ((√‘2)↑𝑐(2 logb 9)) = ((2↑𝑐(1 / 2))↑𝑐(2 logb 9))
6		2rp 13003	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ+
7		halfre 12448	. . . 4 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
8		2z 12616	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
9		uzid 12859	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
11		9nn 12332	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ
12		nnrp 13009	. . . . . 6 ⊢ (9 ∈ ℕ → 9 ∈ ℝ+)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℝ+
14		relogbzcl 26693	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 9 ∈ ℝ+) → (2 logb 9) ∈ ℝ)
15	10, 13, 14	mp2an 691	. . . 4 ⊢ (2 logb 9) ∈ ℝ
16		cxpcom 26660	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ ∧ (2 logb 9) ∈ ℝ) → ((2↑𝑐(1 / 2))↑𝑐(2 logb 9)) = ((2↑𝑐(2 logb 9))↑𝑐(1 / 2)))
17	6, 7, 15, 16	mp3an 1458	. . 3 ⊢ ((2↑𝑐(1 / 2))↑𝑐(2 logb 9)) = ((2↑𝑐(2 logb 9))↑𝑐(1 / 2))
18	15	recni 11250	. . . . 5 ⊢ (2 logb 9) ∈ ℂ
19		cxpcl 26595	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (2 logb 9) ∈ ℂ) → (2↑𝑐(2 logb 9)) ∈ ℂ)
20	1, 18, 19	mp2an 691	. . . 4 ⊢ (2↑𝑐(2 logb 9)) ∈ ℂ
21		cxpsqrt 26624	. . . 4 ⊢ ((2↑𝑐(2 logb 9)) ∈ ℂ → ((2↑𝑐(2 logb 9))↑𝑐(1 / 2)) = (√‘(2↑𝑐(2 logb 9))))
22	20, 21	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((2↑𝑐(2 logb 9))↑𝑐(1 / 2)) = (√‘(2↑𝑐(2 logb 9)))
23	5, 17, 22	3eqtri 2759	. 2 ⊢ ((√‘2)↑𝑐(2 logb 9)) = (√‘(2↑𝑐(2 logb 9)))
24		2ne0 12338	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
25		1ne2 12442	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 2
26	25	necomi 2990	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 1
27		eldifpr 4656	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ↔ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1))
28	1, 24, 26, 27	mpbir3an 1339	. . . 4 ⊢ 2 ∈ (ℂ ∖ {0, 1})
29		9cn 12334	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℂ
30		9re 12333	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℝ
31		9pos 12347	. . . . . 6 ⊢ 0 < 9
32	30, 31	gt0ne0ii 11772	. . . . 5 ⊢ 9 ≠ 0
33		eldifsn 4786	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0))
34	29, 32, 33	mpbir2an 710	. . . 4 ⊢ 9 ∈ (ℂ ∖ {0})
35		cxplogb 26705	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 9 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (2↑𝑐(2 logb 9)) = 9)
36	28, 34, 35	mp2an 691	. . 3 ⊢ (2↑𝑐(2 logb 9)) = 9
37	36	fveq2i 6894	. 2 ⊢ (√‘(2↑𝑐(2 logb 9))) = (√‘9)
38		sqrt9 15244	. 2 ⊢ (√‘9) = 3
39	23, 37, 38	3eqtri 2759	1 ⊢ ((√‘2)↑𝑐(2 logb 9)) = 3

Syntax hints:   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2935   ∖ cdif 3941  {csn 4624  {cpr 4626  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  ℂcc 11128  ℝcr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   / cdiv 11893  ℕcn 12234  2c2 12289  3c3 12290  9c9 12296  ℤcz 12580  ℤ_≥cuz 12844  ℝ⁺crp 12998  √csqrt 15204  ↑_𝑐ccxp 26476   log_b clogb 26683

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-fi 9426  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ioo 13352  df-ioc 13353  df-ico 13354  df-icc 13355  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-mod 13859  df-seq 13991  df-exp 14051  df-fac 14257  df-bc 14286  df-hash 14314  df-shft 15038  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-limsup 15439  df-clim 15456  df-rlim 15457  df-sum 15657  df-ef 16035  df-sin 16037  df-cos 16038  df-pi 16040  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-hom 17248  df-cco 17249  df-rest 17395  df-topn 17396  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-topgen 17416  df-pt 17417  df-prds 17420  df-xrs 17475  df-qtop 17480  df-imas 17481  df-xps 17483  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-submnd 18732  df-mulg 19015  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-fbas 21263  df-fg 21264  df-cnfld 21267  df-top 22783  df-topon 22800  df-topsp 22822  df-bases 22836  df-cld 22910  df-ntr 22911  df-cls 22912  df-nei 22989  df-lp 23027  df-perf 23028  df-cn 23118  df-cnp 23119  df-haus 23206  df-tx 23453  df-hmeo 23646  df-fil 23737  df-fm 23829  df-flim 23830  df-flf 23831  df-xms 24213  df-ms 24214  df-tms 24215  df-cncf 24785  df-limc 25782  df-dv 25783  df-log 26477  df-cxp 26478  df-logb 26684

This theorem is referenced by:  2irrexpqALT  26719