Theorem sqrt2cxp2logb9e3 26776

Description: The square root of two to the power of the logarithm of nine to base two is three. (√‘2) and (2 log_b 9) are irrational numbers (see sqrt2irr0 16209 resp. 2logb9irr 26772), satisfying the statement in 2irrexpqALT 26777. (Contributed by AV, 29-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
sqrt2cxp2logb9e3	⊢ ((√‘2)↑𝑐(2 logb 9)) = 3

Proof of Theorem sqrt2cxp2logb9e3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 12247	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
2		cxpsqrt 26680	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑𝑐(1 / 2)) = (√‘2))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (2↑𝑐(1 / 2)) = (√‘2)
4	3	eqcomi 2746	. . . 4 ⊢ (√‘2) = (2↑𝑐(1 / 2))
5	4	oveq1i 7370	. . 3 ⊢ ((√‘2)↑𝑐(2 logb 9)) = ((2↑𝑐(1 / 2))↑𝑐(2 logb 9))
6		2rp 12938	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ+
7		halfre 12381	. . . 4 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
8		2z 12550	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
9		uzid 12794	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
11		9nn 12270	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ
12		nnrp 12945	. . . . . 6 ⊢ (9 ∈ ℕ → 9 ∈ ℝ+)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℝ+
14		relogbzcl 26751	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 9 ∈ ℝ+) → (2 logb 9) ∈ ℝ)
15	10, 13, 14	mp2an 693	. . . 4 ⊢ (2 logb 9) ∈ ℝ
16		cxpcom 26716	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ ∧ (2 logb 9) ∈ ℝ) → ((2↑𝑐(1 / 2))↑𝑐(2 logb 9)) = ((2↑𝑐(2 logb 9))↑𝑐(1 / 2)))
17	6, 7, 15, 16	mp3an 1464	. . 3 ⊢ ((2↑𝑐(1 / 2))↑𝑐(2 logb 9)) = ((2↑𝑐(2 logb 9))↑𝑐(1 / 2))
18	15	recni 11150	. . . . 5 ⊢ (2 logb 9) ∈ ℂ
19		cxpcl 26651	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (2 logb 9) ∈ ℂ) → (2↑𝑐(2 logb 9)) ∈ ℂ)
20	1, 18, 19	mp2an 693	. . . 4 ⊢ (2↑𝑐(2 logb 9)) ∈ ℂ
21		cxpsqrt 26680	. . . 4 ⊢ ((2↑𝑐(2 logb 9)) ∈ ℂ → ((2↑𝑐(2 logb 9))↑𝑐(1 / 2)) = (√‘(2↑𝑐(2 logb 9))))
22	20, 21	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((2↑𝑐(2 logb 9))↑𝑐(1 / 2)) = (√‘(2↑𝑐(2 logb 9)))
23	5, 17, 22	3eqtri 2764	. 2 ⊢ ((√‘2)↑𝑐(2 logb 9)) = (√‘(2↑𝑐(2 logb 9)))
24		2ne0 12276	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
25		1ne2 12375	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 2
26	25	necomi 2987	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 1
27		eldifpr 4603	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ↔ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1))
28	1, 24, 26, 27	mpbir3an 1343	. . . 4 ⊢ 2 ∈ (ℂ ∖ {0, 1})
29		9cn 12272	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℂ
30		9re 12271	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℝ
31		9pos 12285	. . . . . 6 ⊢ 0 < 9
32	30, 31	gt0ne0ii 11677	. . . . 5 ⊢ 9 ≠ 0
33		eldifsn 4730	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0))
34	29, 32, 33	mpbir2an 712	. . . 4 ⊢ 9 ∈ (ℂ ∖ {0})
35		cxplogb 26763	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 9 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (2↑𝑐(2 logb 9)) = 9)
36	28, 34, 35	mp2an 693	. . 3 ⊢ (2↑𝑐(2 logb 9)) = 9
37	36	fveq2i 6837	. 2 ⊢ (√‘(2↑𝑐(2 logb 9))) = (√‘9)
38		sqrt9 15226	. 2 ⊢ (√‘9) = 3
39	23, 37, 38	3eqtri 2764	1 ⊢ ((√‘2)↑𝑐(2 logb 9)) = 3

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∖ cdif 3887  {csn 4568  {cpr 4570  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   / cdiv 11798  ℕcn 12165  2c2 12227  3c3 12228  9c9 12234  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779  ℝ⁺crp 12933  √csqrt 15186  ↑_𝑐ccxp 26532   log_b clogb 26741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-fi 9317  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ioc 13294  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-fac 14227  df-bc 14256  df-hash 14284  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15424  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-ef 16023  df-sin 16025  df-cos 16026  df-pi 16028  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-prds 17401  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-psmet 21336  df-xmet 21337  df-met 21338  df-bl 21339  df-mopn 21340  df-fbas 21341  df-fg 21342  df-cnfld 21345  df-top 22869  df-topon 22886  df-topsp 22908  df-bases 22921  df-cld 22994  df-ntr 22995  df-cls 22996  df-nei 23073  df-lp 23111  df-perf 23112  df-cn 23202  df-cnp 23203  df-haus 23290  df-tx 23537  df-hmeo 23730  df-fil 23821  df-fm 23913  df-flim 23914  df-flf 23915  df-xms 24295  df-ms 24296  df-tms 24297  df-cncf 24855  df-limc 25843  df-dv 25844  df-log 26533  df-cxp 26534  df-logb 26742

This theorem is referenced by:  2irrexpqALT  26777