Theorem sqrt2cxp2logb9e3 26761

Description: The square root of two to the power of the logarithm of nine to base two is three. (√‘2) and (2 log_b 9) are irrational numbers (see sqrt2irr0 16269 resp. 2logb9irr 26757), satisfying the statement in 2irrexpqALT 26762. (Contributed by AV, 29-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
sqrt2cxp2logb9e3	⊢ ((√‘2)↑𝑐(2 logb 9)) = 3

Proof of Theorem sqrt2cxp2logb9e3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 12315	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
2		cxpsqrt 26664	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑𝑐(1 / 2)) = (√‘2))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (2↑𝑐(1 / 2)) = (√‘2)
4	3	eqcomi 2744	. . . 4 ⊢ (√‘2) = (2↑𝑐(1 / 2))
5	4	oveq1i 7415	. . 3 ⊢ ((√‘2)↑𝑐(2 logb 9)) = ((2↑𝑐(1 / 2))↑𝑐(2 logb 9))
6		2rp 13013	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ+
7		halfre 12454	. . . 4 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
8		2z 12624	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
9		uzid 12867	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
11		9nn 12338	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ
12		nnrp 13020	. . . . . 6 ⊢ (9 ∈ ℕ → 9 ∈ ℝ+)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℝ+
14		relogbzcl 26736	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 9 ∈ ℝ+) → (2 logb 9) ∈ ℝ)
15	10, 13, 14	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (2 logb 9) ∈ ℝ
16		cxpcom 26700	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ ∧ (2 logb 9) ∈ ℝ) → ((2↑𝑐(1 / 2))↑𝑐(2 logb 9)) = ((2↑𝑐(2 logb 9))↑𝑐(1 / 2)))
17	6, 7, 15, 16	mp3an 1463	. . 3 ⊢ ((2↑𝑐(1 / 2))↑𝑐(2 logb 9)) = ((2↑𝑐(2 logb 9))↑𝑐(1 / 2))
18	15	recni 11249	. . . . 5 ⊢ (2 logb 9) ∈ ℂ
19		cxpcl 26635	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (2 logb 9) ∈ ℂ) → (2↑𝑐(2 logb 9)) ∈ ℂ)
20	1, 18, 19	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (2↑𝑐(2 logb 9)) ∈ ℂ
21		cxpsqrt 26664	. . . 4 ⊢ ((2↑𝑐(2 logb 9)) ∈ ℂ → ((2↑𝑐(2 logb 9))↑𝑐(1 / 2)) = (√‘(2↑𝑐(2 logb 9))))
22	20, 21	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((2↑𝑐(2 logb 9))↑𝑐(1 / 2)) = (√‘(2↑𝑐(2 logb 9)))
23	5, 17, 22	3eqtri 2762	. 2 ⊢ ((√‘2)↑𝑐(2 logb 9)) = (√‘(2↑𝑐(2 logb 9)))
24		2ne0 12344	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
25		1ne2 12448	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 2
26	25	necomi 2986	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 1
27		eldifpr 4634	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ↔ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1))
28	1, 24, 26, 27	mpbir3an 1342	. . . 4 ⊢ 2 ∈ (ℂ ∖ {0, 1})
29		9cn 12340	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℂ
30		9re 12339	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℝ
31		9pos 12353	. . . . . 6 ⊢ 0 < 9
32	30, 31	gt0ne0ii 11773	. . . . 5 ⊢ 9 ≠ 0
33		eldifsn 4762	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0))
34	29, 32, 33	mpbir2an 711	. . . 4 ⊢ 9 ∈ (ℂ ∖ {0})
35		cxplogb 26748	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 9 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (2↑𝑐(2 logb 9)) = 9)
36	28, 34, 35	mp2an 692	. . 3 ⊢ (2↑𝑐(2 logb 9)) = 9
37	36	fveq2i 6879	. 2 ⊢ (√‘(2↑𝑐(2 logb 9))) = (√‘9)
38		sqrt9 15292	. 2 ⊢ (√‘9) = 3
39	23, 37, 38	3eqtri 2762	1 ⊢ ((√‘2)↑𝑐(2 logb 9)) = 3

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932   ∖ cdif 3923  {csn 4601  {cpr 4603  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  ℝcr 11128  0cc0 11129  1c1 11130   / cdiv 11894  ℕcn 12240  2c2 12295  3c3 12296  9c9 12302  ℤcz 12588  ℤ_≥cuz 12852  ℝ⁺crp 13008  √csqrt 15252  ↑_𝑐ccxp 26516   log_b clogb 26726

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207  ax-addf 11208

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7671  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8719  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9374  df-fi 9423  df-sup 9454  df-inf 9455  df-oi 9524  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-q 12965  df-rp 13009  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-ioo 13366  df-ioc 13367  df-ico 13368  df-icc 13369  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-fl 13809  df-mod 13887  df-seq 14020  df-exp 14080  df-fac 14292  df-bc 14321  df-hash 14349  df-shft 15086  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-limsup 15487  df-clim 15504  df-rlim 15505  df-sum 15703  df-ef 16083  df-sin 16085  df-cos 16086  df-pi 16088  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-starv 17286  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-unif 17294  df-hom 17295  df-cco 17296  df-rest 17436  df-topn 17437  df-0g 17455  df-gsum 17456  df-topgen 17457  df-pt 17458  df-prds 17461  df-xrs 17516  df-qtop 17521  df-imas 17522  df-xps 17524  df-mre 17598  df-mrc 17599  df-acs 17601  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-submnd 18762  df-mulg 19051  df-cntz 19300  df-cmn 19763  df-psmet 21307  df-xmet 21308  df-met 21309  df-bl 21310  df-mopn 21311  df-fbas 21312  df-fg 21313  df-cnfld 21316  df-top 22832  df-topon 22849  df-topsp 22871  df-bases 22884  df-cld 22957  df-ntr 22958  df-cls 22959  df-nei 23036  df-lp 23074  df-perf 23075  df-cn 23165  df-cnp 23166  df-haus 23253  df-tx 23500  df-hmeo 23693  df-fil 23784  df-fm 23876  df-flim 23877  df-flf 23878  df-xms 24259  df-ms 24260  df-tms 24261  df-cncf 24822  df-limc 25819  df-dv 25820  df-log 26517  df-cxp 26518  df-logb 26727

This theorem is referenced by:  2irrexpqALT  26762