Theorem sqrt2cxp2logb9e3 26715

Description: The square root of two to the power of the logarithm of nine to base two is three. (√‘2) and (2 log_b 9) are irrational numbers (see sqrt2irr0 16225 resp. 2logb9irr 26711), satisfying the statement in 2irrexpqALT 26716. (Contributed by AV, 29-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
sqrt2cxp2logb9e3	⊢ ((√‘2)↑𝑐(2 logb 9)) = 3

Proof of Theorem sqrt2cxp2logb9e3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 12262	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
2		cxpsqrt 26618	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑𝑐(1 / 2)) = (√‘2))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (2↑𝑐(1 / 2)) = (√‘2)
4	3	eqcomi 2739	. . . 4 ⊢ (√‘2) = (2↑𝑐(1 / 2))
5	4	oveq1i 7399	. . 3 ⊢ ((√‘2)↑𝑐(2 logb 9)) = ((2↑𝑐(1 / 2))↑𝑐(2 logb 9))
6		2rp 12962	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ+
7		halfre 12401	. . . 4 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
8		2z 12571	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
9		uzid 12814	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
11		9nn 12285	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ
12		nnrp 12969	. . . . . 6 ⊢ (9 ∈ ℕ → 9 ∈ ℝ+)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℝ+
14		relogbzcl 26690	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 9 ∈ ℝ+) → (2 logb 9) ∈ ℝ)
15	10, 13, 14	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (2 logb 9) ∈ ℝ
16		cxpcom 26654	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ ∧ (2 logb 9) ∈ ℝ) → ((2↑𝑐(1 / 2))↑𝑐(2 logb 9)) = ((2↑𝑐(2 logb 9))↑𝑐(1 / 2)))
17	6, 7, 15, 16	mp3an 1463	. . 3 ⊢ ((2↑𝑐(1 / 2))↑𝑐(2 logb 9)) = ((2↑𝑐(2 logb 9))↑𝑐(1 / 2))
18	15	recni 11194	. . . . 5 ⊢ (2 logb 9) ∈ ℂ
19		cxpcl 26589	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (2 logb 9) ∈ ℂ) → (2↑𝑐(2 logb 9)) ∈ ℂ)
20	1, 18, 19	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (2↑𝑐(2 logb 9)) ∈ ℂ
21		cxpsqrt 26618	. . . 4 ⊢ ((2↑𝑐(2 logb 9)) ∈ ℂ → ((2↑𝑐(2 logb 9))↑𝑐(1 / 2)) = (√‘(2↑𝑐(2 logb 9))))
22	20, 21	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((2↑𝑐(2 logb 9))↑𝑐(1 / 2)) = (√‘(2↑𝑐(2 logb 9)))
23	5, 17, 22	3eqtri 2757	. 2 ⊢ ((√‘2)↑𝑐(2 logb 9)) = (√‘(2↑𝑐(2 logb 9)))
24		2ne0 12291	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
25		1ne2 12395	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 2
26	25	necomi 2980	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 1
27		eldifpr 4624	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ↔ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1))
28	1, 24, 26, 27	mpbir3an 1342	. . . 4 ⊢ 2 ∈ (ℂ ∖ {0, 1})
29		9cn 12287	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℂ
30		9re 12286	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℝ
31		9pos 12300	. . . . . 6 ⊢ 0 < 9
32	30, 31	gt0ne0ii 11720	. . . . 5 ⊢ 9 ≠ 0
33		eldifsn 4752	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0))
34	29, 32, 33	mpbir2an 711	. . . 4 ⊢ 9 ∈ (ℂ ∖ {0})
35		cxplogb 26702	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 9 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (2↑𝑐(2 logb 9)) = 9)
36	28, 34, 35	mp2an 692	. . 3 ⊢ (2↑𝑐(2 logb 9)) = 9
37	36	fveq2i 6863	. 2 ⊢ (√‘(2↑𝑐(2 logb 9))) = (√‘9)
38		sqrt9 15245	. 2 ⊢ (√‘9) = 3
39	23, 37, 38	3eqtri 2757	1 ⊢ ((√‘2)↑𝑐(2 logb 9)) = 3

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   ∖ cdif 3913  {csn 4591  {cpr 4593  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  ℂcc 11072  ℝcr 11073  0cc0 11074  1c1 11075   / cdiv 11841  ℕcn 12187  2c2 12242  3c3 12243  9c9 12249  ℤcz 12535  ℤ_≥cuz 12799  ℝ⁺crp 12957  √csqrt 15205  ↑_𝑐ccxp 26470   log_b clogb 26680

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-inf2 9600  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152  ax-addf 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-isom 6522  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-of 7655  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-2o 8437  df-er 8673  df-map 8803  df-pm 8804  df-ixp 8873  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-fsupp 9319  df-fi 9368  df-sup 9399  df-inf 9400  df-oi 9469  df-card 9898  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-4 12252  df-5 12253  df-6 12254  df-7 12255  df-8 12256  df-9 12257  df-n0 12449  df-z 12536  df-dec 12656  df-uz 12800  df-q 12914  df-rp 12958  df-xneg 13078  df-xadd 13079  df-xmul 13080  df-ioo 13316  df-ioc 13317  df-ico 13318  df-icc 13319  df-fz 13475  df-fzo 13622  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14245  df-bc 14274  df-hash 14302  df-shft 15039  df-cj 15071  df-re 15072  df-im 15073  df-sqrt 15207  df-abs 15208  df-limsup 15443  df-clim 15460  df-rlim 15461  df-sum 15659  df-ef 16039  df-sin 16041  df-cos 16042  df-pi 16044  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-ress 17207  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-starv 17241  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-unif 17249  df-hom 17250  df-cco 17251  df-rest 17391  df-topn 17392  df-0g 17410  df-gsum 17411  df-topgen 17412  df-pt 17413  df-prds 17416  df-xrs 17471  df-qtop 17476  df-imas 17477  df-xps 17479  df-mre 17553  df-mrc 17554  df-acs 17556  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18717  df-mulg 19006  df-cntz 19255  df-cmn 19718  df-psmet 21262  df-xmet 21263  df-met 21264  df-bl 21265  df-mopn 21266  df-fbas 21267  df-fg 21268  df-cnfld 21271  df-top 22787  df-topon 22804  df-topsp 22826  df-bases 22839  df-cld 22912  df-ntr 22913  df-cls 22914  df-nei 22991  df-lp 23029  df-perf 23030  df-cn 23120  df-cnp 23121  df-haus 23208  df-tx 23455  df-hmeo 23648  df-fil 23739  df-fm 23831  df-flim 23832  df-flf 23833  df-xms 24214  df-ms 24215  df-tms 24216  df-cncf 24777  df-limc 25773  df-dv 25774  df-log 26471  df-cxp 26472  df-logb 26681

This theorem is referenced by:  2irrexpqALT  26716