MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxplogb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxplogb 26814
Description: Identity law for the general logarithm. (Contributed by AV, 22-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
cxplogb ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐵𝑐(𝐵 logb 𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem cxplogb
StepHypRef Expression
1 logbval 26794 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐵 logb 𝑋) = ((log‘𝑋) / (log‘𝐵)))
21oveq2d 7440 . 2 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐵𝑐(𝐵 logb 𝑋)) = (𝐵𝑐((log‘𝑋) / (log‘𝐵))))
3 eldifi 4126 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) → 𝐵 ∈ ℂ)
43adantr 479 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝐵 ∈ ℂ)
5 eldif 3957 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐵 ∈ {0, 1}))
6 c0ex 11258 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
76prid1 4771 . . . . . . . 8 0 ∈ {0, 1}
8 eleq1 2814 . . . . . . . 8 (𝐵 = 0 → (𝐵 ∈ {0, 1} ↔ 0 ∈ {0, 1}))
97, 8mpbiri 257 . . . . . . 7 (𝐵 = 0 → 𝐵 ∈ {0, 1})
109necon3bi 2957 . . . . . 6 𝐵 ∈ {0, 1} → 𝐵 ≠ 0)
1110adantl 480 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐵 ∈ {0, 1}) → 𝐵 ≠ 0)
125, 11sylbi 216 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) → 𝐵 ≠ 0)
1312adantr 479 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝐵 ≠ 0)
14 eldif 3957 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑋 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝑋 ∈ {0}))
156snid 4669 . . . . . . . . . 10 0 ∈ {0}
16 eleq1 2814 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = 0 → (𝑋 ∈ {0} ↔ 0 ∈ {0}))
1715, 16mpbiri 257 . . . . . . . . 9 (𝑋 = 0 → 𝑋 ∈ {0})
1817necon3bi 2957 . . . . . . . 8 𝑋 ∈ {0} → 𝑋 ≠ 0)
1918anim2i 615 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝑋 ∈ {0}) → (𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ≠ 0))
2014, 19sylbi 216 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ≠ 0))
21 logcl 26595 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ≠ 0) → (log‘𝑋) ∈ ℂ)
2220, 21syl 17 . . . . 5 (𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (log‘𝑋) ∈ ℂ)
2322adantl 480 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (log‘𝑋) ∈ ℂ)
2410anim2i 615 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐵 ∈ {0, 1}) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
255, 24sylbi 216 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
26 logcl 26595 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (log‘𝐵) ∈ ℂ)
2725, 26syl 17 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) → (log‘𝐵) ∈ ℂ)
2827adantr 479 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (log‘𝐵) ∈ ℂ)
29 eldifpr 4665 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1))
3029biimpi 215 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1))
3130adantr 479 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1))
32 logccne0 26605 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1) → (log‘𝐵) ≠ 0)
3331, 32syl 17 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (log‘𝐵) ≠ 0)
3423, 28, 33divcld 12041 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((log‘𝑋) / (log‘𝐵)) ∈ ℂ)
354, 13, 34cxpefd 26739 . 2 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐵𝑐((log‘𝑋) / (log‘𝐵))) = (exp‘(((log‘𝑋) / (log‘𝐵)) · (log‘𝐵))))
36 eldifsn 4795 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ≠ 0))
3736, 21sylbi 216 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (log‘𝑋) ∈ ℂ)
3837adantl 480 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (log‘𝑋) ∈ ℂ)
3929, 32sylbi 216 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) → (log‘𝐵) ≠ 0)
4039adantr 479 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (log‘𝐵) ≠ 0)
4138, 28, 40divcan1d 12042 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (((log‘𝑋) / (log‘𝐵)) · (log‘𝐵)) = (log‘𝑋))
4241fveq2d 6905 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (exp‘(((log‘𝑋) / (log‘𝐵)) · (log‘𝐵))) = (exp‘(log‘𝑋)))
43 eflog 26603 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝑋)) = 𝑋)
4436, 43sylbi 216 . . . 4 (𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (exp‘(log‘𝑋)) = 𝑋)
4544adantl 480 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (exp‘(log‘𝑋)) = 𝑋)
4642, 45eqtrd 2766 . 2 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (exp‘(((log‘𝑋) / (log‘𝐵)) · (log‘𝐵))) = 𝑋)
472, 35, 463eqtrd 2770 1 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐵𝑐(𝐵 logb 𝑋)) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  cdif 3944  {csn 4633  {cpr 4635  cfv 6554  (class class class)co 7424  cc 11156  0cc0 11158  1c1 11159   · cmul 11163   / cdiv 11921  expce 16063  logclog 26581  𝑐ccxp 26582   logb clogb 26792
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9684  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236  ax-addf 11237
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-iin 5004  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8175  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-er 8734  df-map 8857  df-pm 8858  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9406  df-fi 9454  df-sup 9485  df-inf 9486  df-oi 9553  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xneg 13146  df-xadd 13147  df-xmul 13148  df-ioo 13382  df-ioc 13383  df-ico 13384  df-icc 13385  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-fl 13812  df-mod 13890  df-seq 14022  df-exp 14082  df-fac 14291  df-bc 14320  df-hash 14348  df-shft 15072  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-limsup 15473  df-clim 15490  df-rlim 15491  df-sum 15691  df-ef 16069  df-sin 16071  df-cos 16072  df-pi 16074  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-starv 17281  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-ip 17284  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-unif 17289  df-hom 17290  df-cco 17291  df-rest 17437  df-topn 17438  df-0g 17456  df-gsum 17457  df-topgen 17458  df-pt 17459  df-prds 17462  df-xrs 17517  df-qtop 17522  df-imas 17523  df-xps 17525  df-mre 17599  df-mrc 17600  df-acs 17602  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-submnd 18774  df-mulg 19062  df-cntz 19311  df-cmn 19780  df-psmet 21335  df-xmet 21336  df-met 21337  df-bl 21338  df-mopn 21339  df-fbas 21340  df-fg 21341  df-cnfld 21344  df-top 22887  df-topon 22904  df-topsp 22926  df-bases 22940  df-cld 23014  df-ntr 23015  df-cls 23016  df-nei 23093  df-lp 23131  df-perf 23132  df-cn 23222  df-cnp 23223  df-haus 23310  df-tx 23557  df-hmeo 23750  df-fil 23841  df-fm 23933  df-flim 23934  df-flf 23935  df-xms 24317  df-ms 24318  df-tms 24319  df-cncf 24889  df-limc 25886  df-dv 25887  df-log 26583  df-cxp 26584  df-logb 26793
This theorem is referenced by:  relogbcxpb  26815  logbgcd1irr  26822  sqrt2cxp2logb9e3  26827  aks4d1p1p4  41770  aks4d1p6  41780  aks6d1c7lem1  41878  fllogbd  47948  nnpw2blen  47968  dignn0ldlem  47990
  Copyright terms: Public domain W3C validator