Theorem relogbcxp 26287

Description: Identity law for the general logarithm for real numbers. (Contributed by AV, 22-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
relogbcxp	⊢ ((𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝐵 logb (𝐵↑𝑐𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem relogbcxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsn 4790	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ↔ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 1))
2		rpcn 12983	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℂ)
3	2	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 1) → 𝐵 ∈ ℂ)
4		rpne0 12989	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ≠ 0)
5	4	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 1) → 𝐵 ≠ 0)
6		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 1) → 𝐵 ≠ 1)
7		eldifpr 4660	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1))
8	3, 5, 6, 7	syl3anbrc 1343	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 1) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}))
9	1, 8	sylbi 216	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}))
10		eldifi 4126	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) → 𝐵 ∈ ℝ+)
11	10, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) → 𝐵 ∈ ℂ)
12		recn 11199	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → 𝑋 ∈ ℂ)
13		cxpcl 26181	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝐵↑𝑐𝑋) ∈ ℂ)
14	11, 12, 13	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝐵↑𝑐𝑋) ∈ ℂ)
15	11	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
16	1, 5	sylbi 216	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) → 𝐵 ≠ 0)
17	16	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → 𝐵 ≠ 0)
18	12	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ ℂ)
19	15, 17, 18	cxpne0d 26220	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝐵↑𝑐𝑋) ≠ 0)
20		eldifsn 4790	. . . 4 ⊢ ((𝐵↑𝑐𝑋) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝐵↑𝑐𝑋) ∈ ℂ ∧ (𝐵↑𝑐𝑋) ≠ 0))
21	14, 19, 20	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝐵↑𝑐𝑋) ∈ (ℂ ∖ {0}))
22		logbval 26268	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ (𝐵↑𝑐𝑋) ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐵 logb (𝐵↑𝑐𝑋)) = ((log‘(𝐵↑𝑐𝑋)) / (log‘𝐵)))
23	9, 21, 22	syl2an2r 683	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝐵 logb (𝐵↑𝑐𝑋)) = ((log‘(𝐵↑𝑐𝑋)) / (log‘𝐵)))
24		logcxp 26176	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (log‘(𝐵↑𝑐𝑋)) = (𝑋 · (log‘𝐵)))
25	10, 24	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (log‘(𝐵↑𝑐𝑋)) = (𝑋 · (log‘𝐵)))
26	25	oveq1d 7423	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → ((log‘(𝐵↑𝑐𝑋)) / (log‘𝐵)) = ((𝑋 · (log‘𝐵)) / (log‘𝐵)))
27		eldif 3958	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ↔ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ ¬ 𝐵 ∈ {1}))
28		rpcnne0 12991	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
29	28	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ ¬ 𝐵 ∈ {1}) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
30	27, 29	sylbi 216	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
31		logcl 26076	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (log‘𝐵) ∈ ℂ)
32	30, 31	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) → (log‘𝐵) ∈ ℂ)
33	32	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (log‘𝐵) ∈ ℂ)
34		logne0 26087	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 1) → (log‘𝐵) ≠ 0)
35	1, 34	sylbi 216	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) → (log‘𝐵) ≠ 0)
36	35	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (log‘𝐵) ≠ 0)
37	18, 33, 36	divcan4d 11995	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → ((𝑋 · (log‘𝐵)) / (log‘𝐵)) = 𝑋)
38	23, 26, 37	3eqtrd 2776	1 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝐵 logb (𝐵↑𝑐𝑋)) = 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940   ∖ cdif 3945  {csn 4628  {cpr 4630  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  ℂcc 11107  ℝcr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   · cmul 11114   / cdiv 11870  ℝ⁺crp 12973  logclog 26062  ↑_𝑐ccxp 26063   log_b clogb 26266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ioc 13328  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-mod 13834  df-seq 13966  df-exp 14027  df-fac 14233  df-bc 14262  df-hash 14290  df-shft 15013  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-limsup 15414  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-ef 16010  df-sin 16012  df-cos 16013  df-pi 16015  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-mulg 18950  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-fbas 20940  df-fg 20941  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cld 22522  df-ntr 22523  df-cls 22524  df-nei 22601  df-lp 22639  df-perf 22640  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-haus 22818  df-tx 23065  df-hmeo 23258  df-fil 23349  df-fm 23441  df-flim 23442  df-flf 23443  df-xms 23825  df-ms 23826  df-tms 23827  df-cncf 24393  df-limc 25382  df-dv 25383  df-log 26064  df-cxp 26065  df-logb 26267

This theorem is referenced by:  relogbcxpb  26289