Theorem relogbcxp 26723

Description: Identity law for the general logarithm for real numbers. (Contributed by AV, 22-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
relogbcxp	⊢ ((𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝐵 logb (𝐵↑𝑐𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem relogbcxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsn 4737	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ↔ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 1))
2		rpcn 12903	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℂ)
3	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 1) → 𝐵 ∈ ℂ)
4		rpne0 12909	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ≠ 0)
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 1) → 𝐵 ≠ 0)
6		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 1) → 𝐵 ≠ 1)
7		eldifpr 4610	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1))
8	3, 5, 6, 7	syl3anbrc 1344	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 1) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}))
9	1, 8	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}))
10		eldifi 4080	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) → 𝐵 ∈ ℝ+)
11	10, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) → 𝐵 ∈ ℂ)
12		recn 11103	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → 𝑋 ∈ ℂ)
13		cxpcl 26611	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝐵↑𝑐𝑋) ∈ ℂ)
14	11, 12, 13	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝐵↑𝑐𝑋) ∈ ℂ)
15	11	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
16	1, 5	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) → 𝐵 ≠ 0)
17	16	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → 𝐵 ≠ 0)
18	12	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ ℂ)
19	15, 17, 18	cxpne0d 26650	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝐵↑𝑐𝑋) ≠ 0)
20		eldifsn 4737	. . . 4 ⊢ ((𝐵↑𝑐𝑋) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝐵↑𝑐𝑋) ∈ ℂ ∧ (𝐵↑𝑐𝑋) ≠ 0))
21	14, 19, 20	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝐵↑𝑐𝑋) ∈ (ℂ ∖ {0}))
22		logbval 26704	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ (𝐵↑𝑐𝑋) ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐵 logb (𝐵↑𝑐𝑋)) = ((log‘(𝐵↑𝑐𝑋)) / (log‘𝐵)))
23	9, 21, 22	syl2an2r 685	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝐵 logb (𝐵↑𝑐𝑋)) = ((log‘(𝐵↑𝑐𝑋)) / (log‘𝐵)))
24		logcxp 26606	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (log‘(𝐵↑𝑐𝑋)) = (𝑋 · (log‘𝐵)))
25	10, 24	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (log‘(𝐵↑𝑐𝑋)) = (𝑋 · (log‘𝐵)))
26	25	oveq1d 7367	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → ((log‘(𝐵↑𝑐𝑋)) / (log‘𝐵)) = ((𝑋 · (log‘𝐵)) / (log‘𝐵)))
27		eldif 3908	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ↔ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ ¬ 𝐵 ∈ {1}))
28		rpcnne0 12911	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
29	28	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ ¬ 𝐵 ∈ {1}) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
30	27, 29	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
31		logcl 26505	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (log‘𝐵) ∈ ℂ)
32	30, 31	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) → (log‘𝐵) ∈ ℂ)
33	32	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (log‘𝐵) ∈ ℂ)
34		logne0 26516	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 1) → (log‘𝐵) ≠ 0)
35	1, 34	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) → (log‘𝐵) ≠ 0)
36	35	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (log‘𝐵) ≠ 0)
37	18, 33, 36	divcan4d 11910	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → ((𝑋 · (log‘𝐵)) / (log‘𝐵)) = 𝑋)
38	23, 26, 37	3eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝐵 logb (𝐵↑𝑐𝑋)) = 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929   ∖ cdif 3895  {csn 4575  {cpr 4577  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  ℂcc 11011  ℝcr 11012  0cc0 11013  1c1 11014   · cmul 11018   / cdiv 11781  ℝ⁺crp 12892  logclog 26491  ↑_𝑐ccxp 26492   log_b clogb 26702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-inf2 9538  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091  ax-addf 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8097  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-er 8628  df-map 8758  df-pm 8759  df-ixp 8828  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fsupp 9253  df-fi 9302  df-sup 9333  df-inf 9334  df-oi 9403  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-9 12202  df-n0 12389  df-z 12476  df-dec 12595  df-uz 12739  df-q 12849  df-rp 12893  df-xneg 13013  df-xadd 13014  df-xmul 13015  df-ioo 13251  df-ioc 13252  df-ico 13253  df-icc 13254  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-fl 13698  df-mod 13776  df-seq 13911  df-exp 13971  df-fac 14183  df-bc 14212  df-hash 14240  df-shft 14976  df-cj 15008  df-re 15009  df-im 15010  df-sqrt 15144  df-abs 15145  df-limsup 15380  df-clim 15397  df-rlim 15398  df-sum 15596  df-ef 15976  df-sin 15978  df-cos 15979  df-pi 15981  df-struct 17060  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-mulr 17177  df-starv 17178  df-sca 17179  df-vsca 17180  df-ip 17181  df-tset 17182  df-ple 17183  df-ds 17185  df-unif 17186  df-hom 17187  df-cco 17188  df-rest 17328  df-topn 17329  df-0g 17347  df-gsum 17348  df-topgen 17349  df-pt 17350  df-prds 17353  df-xrs 17408  df-qtop 17413  df-imas 17414  df-xps 17416  df-mre 17490  df-mrc 17491  df-acs 17493  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-submnd 18694  df-mulg 18983  df-cntz 19231  df-cmn 19696  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-met 21287  df-bl 21288  df-mopn 21289  df-fbas 21290  df-fg 21291  df-cnfld 21294  df-top 22810  df-topon 22827  df-topsp 22849  df-bases 22862  df-cld 22935  df-ntr 22936  df-cls 22937  df-nei 23014  df-lp 23052  df-perf 23053  df-cn 23143  df-cnp 23144  df-haus 23231  df-tx 23478  df-hmeo 23671  df-fil 23762  df-fm 23854  df-flim 23855  df-flf 23856  df-xms 24236  df-ms 24237  df-tms 24238  df-cncf 24799  df-limc 25795  df-dv 25796  df-log 26493  df-cxp 26494  df-logb 26703

This theorem is referenced by:  relogbcxpb  26725