MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  relogbcxp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem relogbcxp 24733
Description: Identity law for the general logarithm for real numbers. (Contributed by AV, 22-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
relogbcxp ((𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝐵 logb (𝐵𝑐𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem relogbcxp
StepHypRef Expression
1 eldifsn 4508 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ↔ (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ≠ 1))
2 rpcn 12051 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ)
32adantr 468 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ≠ 1) → 𝐵 ∈ ℂ)
4 rpne0 12058 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ≠ 0)
54adantr 468 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ≠ 1) → 𝐵 ≠ 0)
6 simpr 473 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ≠ 1) → 𝐵 ≠ 1)
7 eldifpr 4398 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1))
83, 5, 6, 7syl3anbrc 1436 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ≠ 1) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}))
91, 8sylbi 208 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}))
109adantr 468 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}))
11 eldifi 3931 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) → 𝐵 ∈ ℝ+)
1211, 2syl 17 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) → 𝐵 ∈ ℂ)
13 recn 10307 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℝ → 𝑋 ∈ ℂ)
14 cxpcl 24630 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝐵𝑐𝑋) ∈ ℂ)
1512, 13, 14syl2an 585 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝐵𝑐𝑋) ∈ ℂ)
1612adantr 468 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
171, 5sylbi 208 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) → 𝐵 ≠ 0)
1817adantr 468 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → 𝐵 ≠ 0)
1913adantl 469 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ ℂ)
2016, 18, 19cxpne0d 24669 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝐵𝑐𝑋) ≠ 0)
21 eldifsn 4508 . . . 4 ((𝐵𝑐𝑋) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝐵𝑐𝑋) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑐𝑋) ≠ 0))
2215, 20, 21sylanbrc 574 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝐵𝑐𝑋) ∈ (ℂ ∖ {0}))
23 logbval 24714 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ (𝐵𝑐𝑋) ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐵 logb (𝐵𝑐𝑋)) = ((log‘(𝐵𝑐𝑋)) / (log‘𝐵)))
2410, 22, 23syl2anc 575 . 2 ((𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝐵 logb (𝐵𝑐𝑋)) = ((log‘(𝐵𝑐𝑋)) / (log‘𝐵)))
25 logcxp 24625 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ+𝑋 ∈ ℝ) → (log‘(𝐵𝑐𝑋)) = (𝑋 · (log‘𝐵)))
2611, 25sylan 571 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (log‘(𝐵𝑐𝑋)) = (𝑋 · (log‘𝐵)))
2726oveq1d 6885 . 2 ((𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → ((log‘(𝐵𝑐𝑋)) / (log‘𝐵)) = ((𝑋 · (log‘𝐵)) / (log‘𝐵)))
28 eldif 3779 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ↔ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ ¬ 𝐵 ∈ {1}))
29 rpcnne0 12060 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ+ → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
3029adantr 468 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ ¬ 𝐵 ∈ {1}) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
3128, 30sylbi 208 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
32 logcl 24525 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (log‘𝐵) ∈ ℂ)
3331, 32syl 17 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) → (log‘𝐵) ∈ ℂ)
3433adantr 468 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (log‘𝐵) ∈ ℂ)
35 logne0 24536 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ≠ 1) → (log‘𝐵) ≠ 0)
361, 35sylbi 208 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) → (log‘𝐵) ≠ 0)
3736adantr 468 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (log‘𝐵) ≠ 0)
3819, 34, 37divcan4d 11088 . 2 ((𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → ((𝑋 · (log‘𝐵)) / (log‘𝐵)) = 𝑋)
3924, 27, 383eqtrd 2844 1 ((𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝐵 logb (𝐵𝑐𝑋)) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1637  wcel 2156  wne 2978  cdif 3766  {csn 4370  {cpr 4372  cfv 6097  (class class class)co 6870  cc 10215  cr 10216  0cc0 10217  1c1 10218   · cmul 10222   / cdiv 10965  +crp 12042  logclog 24511  𝑐ccxp 24512   logb clogb 24712
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7175  ax-inf2 8781  ax-cnex 10273  ax-resscn 10274  ax-1cn 10275  ax-icn 10276  ax-addcl 10277  ax-addrcl 10278  ax-mulcl 10279  ax-mulrcl 10280  ax-mulcom 10281  ax-addass 10282  ax-mulass 10283  ax-distr 10284  ax-i2m1 10285  ax-1ne0 10286  ax-1rid 10287  ax-rnegex 10288  ax-rrecex 10289  ax-cnre 10290  ax-pre-lttri 10291  ax-pre-lttrn 10292  ax-pre-ltadd 10293  ax-pre-mulgt0 10294  ax-pre-sup 10295  ax-addf 10296  ax-mulf 10297
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-iin 4715  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-se 5271  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6060  df-fun 6099  df-fn 6100  df-f 6101  df-f1 6102  df-fo 6103  df-f1o 6104  df-fv 6105  df-isom 6106  df-riota 6831  df-ov 6873  df-oprab 6874  df-mpt2 6875  df-of 7123  df-om 7292  df-1st 7394  df-2nd 7395  df-supp 7526  df-wrecs 7638  df-recs 7700  df-rdg 7738  df-1o 7792  df-2o 7793  df-oadd 7796  df-er 7975  df-map 8090  df-pm 8091  df-ixp 8142  df-en 8189  df-dom 8190  df-sdom 8191  df-fin 8192  df-fsupp 8511  df-fi 8552  df-sup 8583  df-inf 8584  df-oi 8650  df-card 9044  df-cda 9271  df-pnf 10357  df-mnf 10358  df-xr 10359  df-ltxr 10360  df-le 10361  df-sub 10549  df-neg 10550  df-div 10966  df-nn 11302  df-2 11360  df-3 11361  df-4 11362  df-5 11363  df-6 11364  df-7 11365  df-8 11366  df-9 11367  df-n0 11556  df-z 11640  df-dec 11756  df-uz 11901  df-q 12004  df-rp 12043  df-xneg 12158  df-xadd 12159  df-xmul 12160  df-ioo 12393  df-ioc 12394  df-ico 12395  df-icc 12396  df-fz 12546  df-fzo 12686  df-fl 12813  df-mod 12889  df-seq 13021  df-exp 13080  df-fac 13277  df-bc 13306  df-hash 13334  df-shft 14026  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-limsup 14421  df-clim 14438  df-rlim 14439  df-sum 14636  df-ef 15014  df-sin 15016  df-cos 15017  df-pi 15019  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16171  df-unif 16172  df-hom 16173  df-cco 16174  df-rest 16284  df-topn 16285  df-0g 16303  df-gsum 16304  df-topgen 16305  df-pt 16306  df-prds 16309  df-xrs 16363  df-qtop 16368  df-imas 16369  df-xps 16371  df-mre 16447  df-mrc 16448  df-acs 16450  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17947  df-cmn 18392  df-psmet 19942  df-xmet 19943  df-met 19944  df-bl 19945  df-mopn 19946  df-fbas 19947  df-fg 19948  df-cnfld 19951  df-top 20908  df-topon 20925  df-topsp 20947  df-bases 20960  df-cld 21033  df-ntr 21034  df-cls 21035  df-nei 21112  df-lp 21150  df-perf 21151  df-cn 21241  df-cnp 21242  df-haus 21329  df-tx 21575  df-hmeo 21768  df-fil 21859  df-fm 21951  df-flim 21952  df-flf 21953  df-xms 22334  df-ms 22335  df-tms 22336  df-cncf 22890  df-limc 23840  df-dv 23841  df-log 24513  df-cxp 24514  df-logb 24713
This theorem is referenced by:  relogbcxpb  24735
  Copyright terms: Public domain W3C validator