![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > relogbcxp | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Identity law for the general logarithm for real numbers. (Contributed by AV, 22-May-2020.) |
Ref | Expression |
---|---|
relogbcxp | โข ((๐ต โ (โ+ โ {1}) โง ๐ โ โ) โ (๐ต logb (๐ตโ๐๐)) = ๐) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | eldifsn 4785 | . . . 4 โข (๐ต โ (โ+ โ {1}) โ (๐ต โ โ+ โง ๐ต โ 1)) | |
2 | rpcn 12990 | . . . . . 6 โข (๐ต โ โ+ โ ๐ต โ โ) | |
3 | 2 | adantr 480 | . . . . 5 โข ((๐ต โ โ+ โง ๐ต โ 1) โ ๐ต โ โ) |
4 | rpne0 12996 | . . . . . 6 โข (๐ต โ โ+ โ ๐ต โ 0) | |
5 | 4 | adantr 480 | . . . . 5 โข ((๐ต โ โ+ โง ๐ต โ 1) โ ๐ต โ 0) |
6 | simpr 484 | . . . . 5 โข ((๐ต โ โ+ โง ๐ต โ 1) โ ๐ต โ 1) | |
7 | eldifpr 4655 | . . . . 5 โข (๐ต โ (โ โ {0, 1}) โ (๐ต โ โ โง ๐ต โ 0 โง ๐ต โ 1)) | |
8 | 3, 5, 6, 7 | syl3anbrc 1340 | . . . 4 โข ((๐ต โ โ+ โง ๐ต โ 1) โ ๐ต โ (โ โ {0, 1})) |
9 | 1, 8 | sylbi 216 | . . 3 โข (๐ต โ (โ+ โ {1}) โ ๐ต โ (โ โ {0, 1})) |
10 | eldifi 4121 | . . . . . 6 โข (๐ต โ (โ+ โ {1}) โ ๐ต โ โ+) | |
11 | 10, 2 | syl 17 | . . . . 5 โข (๐ต โ (โ+ โ {1}) โ ๐ต โ โ) |
12 | recn 11202 | . . . . 5 โข (๐ โ โ โ ๐ โ โ) | |
13 | cxpcl 26563 | . . . . 5 โข ((๐ต โ โ โง ๐ โ โ) โ (๐ตโ๐๐) โ โ) | |
14 | 11, 12, 13 | syl2an 595 | . . . 4 โข ((๐ต โ (โ+ โ {1}) โง ๐ โ โ) โ (๐ตโ๐๐) โ โ) |
15 | 11 | adantr 480 | . . . . 5 โข ((๐ต โ (โ+ โ {1}) โง ๐ โ โ) โ ๐ต โ โ) |
16 | 1, 5 | sylbi 216 | . . . . . 6 โข (๐ต โ (โ+ โ {1}) โ ๐ต โ 0) |
17 | 16 | adantr 480 | . . . . 5 โข ((๐ต โ (โ+ โ {1}) โง ๐ โ โ) โ ๐ต โ 0) |
18 | 12 | adantl 481 | . . . . 5 โข ((๐ต โ (โ+ โ {1}) โง ๐ โ โ) โ ๐ โ โ) |
19 | 15, 17, 18 | cxpne0d 26602 | . . . 4 โข ((๐ต โ (โ+ โ {1}) โง ๐ โ โ) โ (๐ตโ๐๐) โ 0) |
20 | eldifsn 4785 | . . . 4 โข ((๐ตโ๐๐) โ (โ โ {0}) โ ((๐ตโ๐๐) โ โ โง (๐ตโ๐๐) โ 0)) | |
21 | 14, 19, 20 | sylanbrc 582 | . . 3 โข ((๐ต โ (โ+ โ {1}) โง ๐ โ โ) โ (๐ตโ๐๐) โ (โ โ {0})) |
22 | logbval 26653 | . . 3 โข ((๐ต โ (โ โ {0, 1}) โง (๐ตโ๐๐) โ (โ โ {0})) โ (๐ต logb (๐ตโ๐๐)) = ((logโ(๐ตโ๐๐)) / (logโ๐ต))) | |
23 | 9, 21, 22 | syl2an2r 682 | . 2 โข ((๐ต โ (โ+ โ {1}) โง ๐ โ โ) โ (๐ต logb (๐ตโ๐๐)) = ((logโ(๐ตโ๐๐)) / (logโ๐ต))) |
24 | logcxp 26558 | . . . 4 โข ((๐ต โ โ+ โง ๐ โ โ) โ (logโ(๐ตโ๐๐)) = (๐ ยท (logโ๐ต))) | |
25 | 10, 24 | sylan 579 | . . 3 โข ((๐ต โ (โ+ โ {1}) โง ๐ โ โ) โ (logโ(๐ตโ๐๐)) = (๐ ยท (logโ๐ต))) |
26 | 25 | oveq1d 7420 | . 2 โข ((๐ต โ (โ+ โ {1}) โง ๐ โ โ) โ ((logโ(๐ตโ๐๐)) / (logโ๐ต)) = ((๐ ยท (logโ๐ต)) / (logโ๐ต))) |
27 | eldif 3953 | . . . . . 6 โข (๐ต โ (โ+ โ {1}) โ (๐ต โ โ+ โง ยฌ ๐ต โ {1})) | |
28 | rpcnne0 12998 | . . . . . . 7 โข (๐ต โ โ+ โ (๐ต โ โ โง ๐ต โ 0)) | |
29 | 28 | adantr 480 | . . . . . 6 โข ((๐ต โ โ+ โง ยฌ ๐ต โ {1}) โ (๐ต โ โ โง ๐ต โ 0)) |
30 | 27, 29 | sylbi 216 | . . . . 5 โข (๐ต โ (โ+ โ {1}) โ (๐ต โ โ โง ๐ต โ 0)) |
31 | logcl 26457 | . . . . 5 โข ((๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ (logโ๐ต) โ โ) | |
32 | 30, 31 | syl 17 | . . . 4 โข (๐ต โ (โ+ โ {1}) โ (logโ๐ต) โ โ) |
33 | 32 | adantr 480 | . . 3 โข ((๐ต โ (โ+ โ {1}) โง ๐ โ โ) โ (logโ๐ต) โ โ) |
34 | logne0 26468 | . . . . 5 โข ((๐ต โ โ+ โง ๐ต โ 1) โ (logโ๐ต) โ 0) | |
35 | 1, 34 | sylbi 216 | . . . 4 โข (๐ต โ (โ+ โ {1}) โ (logโ๐ต) โ 0) |
36 | 35 | adantr 480 | . . 3 โข ((๐ต โ (โ+ โ {1}) โง ๐ โ โ) โ (logโ๐ต) โ 0) |
37 | 18, 33, 36 | divcan4d 12000 | . 2 โข ((๐ต โ (โ+ โ {1}) โง ๐ โ โ) โ ((๐ ยท (logโ๐ต)) / (logโ๐ต)) = ๐) |
38 | 23, 26, 37 | 3eqtrd 2770 | 1 โข ((๐ต โ (โ+ โ {1}) โง ๐ โ โ) โ (๐ต logb (๐ตโ๐๐)) = ๐) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ยฌ wn 3 โ wi 4 โง wa 395 = wceq 1533 โ wcel 2098 โ wne 2934 โ cdif 3940 {csn 4623 {cpr 4625 โcfv 6537 (class class class)co 7405 โcc 11110 โcr 11111 0cc0 11112 1c1 11113 ยท cmul 11117 / cdiv 11875 โ+crp 12980 logclog 26443 โ๐ccxp 26444 logb clogb 26651 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-rep 5278 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7722 ax-inf2 9638 ax-cnex 11168 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-mulcom 11176 ax-addass 11177 ax-mulass 11178 ax-distr 11179 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-1rid 11182 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 ax-pre-lttri 11186 ax-pre-lttrn 11187 ax-pre-ltadd 11188 ax-pre-mulgt0 11189 ax-pre-sup 11190 ax-addf 11191 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rmo 3370 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-pss 3962 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-tp 4628 df-op 4630 df-uni 4903 df-int 4944 df-iun 4992 df-iin 4993 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5567 df-eprel 5573 df-po 5581 df-so 5582 df-fr 5624 df-se 5625 df-we 5626 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-pred 6294 df-ord 6361 df-on 6362 df-lim 6363 df-suc 6364 df-iota 6489 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-isom 6546 df-riota 7361 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-of 7667 df-om 7853 df-1st 7974 df-2nd 7975 df-supp 8147 df-frecs 8267 df-wrecs 8298 df-recs 8372 df-rdg 8411 df-1o 8467 df-2o 8468 df-er 8705 df-map 8824 df-pm 8825 df-ixp 8894 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-fin 8945 df-fsupp 9364 df-fi 9408 df-sup 9439 df-inf 9440 df-oi 9507 df-card 9936 df-pnf 11254 df-mnf 11255 df-xr 11256 df-ltxr 11257 df-le 11258 df-sub 11450 df-neg 11451 df-div 11876 df-nn 12217 df-2 12279 df-3 12280 df-4 12281 df-5 12282 df-6 12283 df-7 12284 df-8 12285 df-9 12286 df-n0 12477 df-z 12563 df-dec 12682 df-uz 12827 df-q 12937 df-rp 12981 df-xneg 13098 df-xadd 13099 df-xmul 13100 df-ioo 13334 df-ioc 13335 df-ico 13336 df-icc 13337 df-fz 13491 df-fzo 13634 df-fl 13763 df-mod 13841 df-seq 13973 df-exp 14033 df-fac 14239 df-bc 14268 df-hash 14296 df-shft 15020 df-cj 15052 df-re 15053 df-im 15054 df-sqrt 15188 df-abs 15189 df-limsup 15421 df-clim 15438 df-rlim 15439 df-sum 15639 df-ef 16017 df-sin 16019 df-cos 16020 df-pi 16022 df-struct 17089 df-sets 17106 df-slot 17124 df-ndx 17136 df-base 17154 df-ress 17183 df-plusg 17219 df-mulr 17220 df-starv 17221 df-sca 17222 df-vsca 17223 df-ip 17224 df-tset 17225 df-ple 17226 df-ds 17228 df-unif 17229 df-hom 17230 df-cco 17231 df-rest 17377 df-topn 17378 df-0g 17396 df-gsum 17397 df-topgen 17398 df-pt 17399 df-prds 17402 df-xrs 17457 df-qtop 17462 df-imas 17463 df-xps 17465 df-mre 17539 df-mrc 17540 df-acs 17542 df-mgm 18573 df-sgrp 18652 df-mnd 18668 df-submnd 18714 df-mulg 18996 df-cntz 19233 df-cmn 19702 df-psmet 21232 df-xmet 21233 df-met 21234 df-bl 21235 df-mopn 21236 df-fbas 21237 df-fg 21238 df-cnfld 21241 df-top 22751 df-topon 22768 df-topsp 22790 df-bases 22804 df-cld 22878 df-ntr 22879 df-cls 22880 df-nei 22957 df-lp 22995 df-perf 22996 df-cn 23086 df-cnp 23087 df-haus 23174 df-tx 23421 df-hmeo 23614 df-fil 23705 df-fm 23797 df-flim 23798 df-flf 23799 df-xms 24181 df-ms 24182 df-tms 24183 df-cncf 24753 df-limc 25750 df-dv 25751 df-log 26445 df-cxp 26446 df-logb 26652 |
This theorem is referenced by: relogbcxpb 26674 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |