MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  relogbcxp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem relogbcxp 26632
Description: Identity law for the general logarithm for real numbers. (Contributed by AV, 22-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
relogbcxp ((𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝐵 logb (𝐵𝑐𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem relogbcxp
StepHypRef Expression
1 eldifsn 4782 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ↔ (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ≠ 1))
2 rpcn 12980 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ)
32adantr 480 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ≠ 1) → 𝐵 ∈ ℂ)
4 rpne0 12986 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ≠ 0)
54adantr 480 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ≠ 1) → 𝐵 ≠ 0)
6 simpr 484 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ≠ 1) → 𝐵 ≠ 1)
7 eldifpr 4652 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1))
83, 5, 6, 7syl3anbrc 1340 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ≠ 1) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}))
91, 8sylbi 216 . . 3 (𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}))
10 eldifi 4118 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) → 𝐵 ∈ ℝ+)
1110, 2syl 17 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) → 𝐵 ∈ ℂ)
12 recn 11195 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℝ → 𝑋 ∈ ℂ)
13 cxpcl 26523 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝐵𝑐𝑋) ∈ ℂ)
1411, 12, 13syl2an 595 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝐵𝑐𝑋) ∈ ℂ)
1511adantr 480 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
161, 5sylbi 216 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) → 𝐵 ≠ 0)
1716adantr 480 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → 𝐵 ≠ 0)
1812adantl 481 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ ℂ)
1915, 17, 18cxpne0d 26562 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝐵𝑐𝑋) ≠ 0)
20 eldifsn 4782 . . . 4 ((𝐵𝑐𝑋) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝐵𝑐𝑋) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑐𝑋) ≠ 0))
2114, 19, 20sylanbrc 582 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝐵𝑐𝑋) ∈ (ℂ ∖ {0}))
22 logbval 26613 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ (𝐵𝑐𝑋) ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐵 logb (𝐵𝑐𝑋)) = ((log‘(𝐵𝑐𝑋)) / (log‘𝐵)))
239, 21, 22syl2an2r 682 . 2 ((𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝐵 logb (𝐵𝑐𝑋)) = ((log‘(𝐵𝑐𝑋)) / (log‘𝐵)))
24 logcxp 26518 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ+𝑋 ∈ ℝ) → (log‘(𝐵𝑐𝑋)) = (𝑋 · (log‘𝐵)))
2510, 24sylan 579 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (log‘(𝐵𝑐𝑋)) = (𝑋 · (log‘𝐵)))
2625oveq1d 7416 . 2 ((𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → ((log‘(𝐵𝑐𝑋)) / (log‘𝐵)) = ((𝑋 · (log‘𝐵)) / (log‘𝐵)))
27 eldif 3950 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ↔ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ ¬ 𝐵 ∈ {1}))
28 rpcnne0 12988 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ+ → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
2928adantr 480 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ ¬ 𝐵 ∈ {1}) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
3027, 29sylbi 216 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
31 logcl 26418 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (log‘𝐵) ∈ ℂ)
3230, 31syl 17 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) → (log‘𝐵) ∈ ℂ)
3332adantr 480 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (log‘𝐵) ∈ ℂ)
34 logne0 26429 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ≠ 1) → (log‘𝐵) ≠ 0)
351, 34sylbi 216 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) → (log‘𝐵) ≠ 0)
3635adantr 480 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (log‘𝐵) ≠ 0)
3718, 33, 36divcan4d 11992 . 2 ((𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → ((𝑋 · (log‘𝐵)) / (log‘𝐵)) = 𝑋)
3823, 26, 373eqtrd 2768 1 ((𝐵 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝐵 logb (𝐵𝑐𝑋)) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2932  cdif 3937  {csn 4620  {cpr 4622  cfv 6533  (class class class)co 7401  cc 11103  cr 11104  0cc0 11105  1c1 11106   · cmul 11110   / cdiv 11867  +crp 12970  logclog 26404  𝑐ccxp 26405   logb clogb 26611
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9631  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183  ax-addf 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8698  df-map 8817  df-pm 8818  df-ixp 8887  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-fsupp 9357  df-fi 9401  df-sup 9432  df-inf 9433  df-oi 9500  df-card 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010  df-pi 16012  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17143  df-ress 17172  df-plusg 17208  df-mulr 17209  df-starv 17210  df-sca 17211  df-vsca 17212  df-ip 17213  df-tset 17214  df-ple 17215  df-ds 17217  df-unif 17218  df-hom 17219  df-cco 17220  df-rest 17366  df-topn 17367  df-0g 17385  df-gsum 17386  df-topgen 17387  df-pt 17388  df-prds 17391  df-xrs 17446  df-qtop 17451  df-imas 17452  df-xps 17454  df-mre 17528  df-mrc 17529  df-acs 17531  df-mgm 18562  df-sgrp 18641  df-mnd 18657  df-submnd 18703  df-mulg 18985  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21219  df-xmet 21220  df-met 21221  df-bl 21222  df-mopn 21223  df-fbas 21224  df-fg 21225  df-cnfld 21228  df-top 22717  df-topon 22734  df-topsp 22756  df-bases 22770  df-cld 22844  df-ntr 22845  df-cls 22846  df-nei 22923  df-lp 22961  df-perf 22962  df-cn 23052  df-cnp 23053  df-haus 23140  df-tx 23387  df-hmeo 23580  df-fil 23671  df-fm 23763  df-flim 23764  df-flf 23765  df-xms 24147  df-ms 24148  df-tms 24149  df-cncf 24719  df-limc 25716  df-dv 25717  df-log 26406  df-cxp 26407  df-logb 26612
This theorem is referenced by:  relogbcxpb  26634
  Copyright terms: Public domain W3C validator