Theorem nnlogbexp 27102

Description: Identity law for general logarithm with integer base. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Sep-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 27-Sep-2017.)

Assertion

Ref	Expression
nnlogbexp	⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐵 logb (𝐵↑𝑀)) = 𝑀)

Proof of Theorem nnlogbexp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zgt1rpn0n1 13156	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1))
2	1	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1))
3	2	simp1d 1160	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℝ+)
4	3	rpcnd 13159	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
5	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
6	2	simp2d 1161	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐵 ≠ 0)
7	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → 𝐵 ≠ 0)
8	2	simp3d 1162	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐵 ≠ 1)
9	8	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → 𝐵 ≠ 1)
10		logb1 27090	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1) → (𝐵 logb 1) = 0)
11	5, 7, 9, 10	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐵 logb 1) = 0)
12		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → 𝑀 = 0)
13	12	oveq2d 7434	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐵↑𝑀) = (𝐵↑0))
14	5	exp0d 14276	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐵↑0) = 1)
15	13, 14	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐵↑𝑀) = 1)
16	15	oveq2d 7434	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐵 logb (𝐵↑𝑀)) = (𝐵 logb 1))
17	11, 16, 12	3eqtr4d 2806	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐵 logb (𝐵↑𝑀)) = 𝑀)
18	4	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
19	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝐵 ≠ 0)
20	8	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝐵 ≠ 1)
21		eldifpr 4619	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1))
22	18, 19, 20, 21	syl3anbrc 1362	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}))
23	3	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℝ+)
24		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
25	24	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℤ)
26	23, 25	rpexpcld 14384	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝐵↑𝑀) ∈ ℝ+)
27	26	rpcnne0d 13166	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝐵↑𝑀) ∈ ℂ ∧ (𝐵↑𝑀) ≠ 0))
28		eldifsn 4748	. . . . 5 ⊢ ((𝐵↑𝑀) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝐵↑𝑀) ∈ ℂ ∧ (𝐵↑𝑀) ≠ 0))
29	27, 28	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝐵↑𝑀) ∈ (ℂ ∖ {0}))
30		logbval 27087	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ (𝐵↑𝑀) ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐵 logb (𝐵↑𝑀)) = ((log‘(𝐵↑𝑀)) / (log‘𝐵)))
31	22, 29, 30	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝐵 logb (𝐵↑𝑀)) = ((log‘(𝐵↑𝑀)) / (log‘𝐵)))
32	24	zred 12796	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
33	32	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℝ)
34	23, 33	logcxpd 27055	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (log‘(𝐵↑𝑐𝑀)) = (𝑀 · (log‘𝐵)))
35	18, 19, 25	cxpexpzd 27032	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝐵↑𝑐𝑀) = (𝐵↑𝑀))
36	35	fveq2d 6887	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (log‘(𝐵↑𝑐𝑀)) = (log‘(𝐵↑𝑀)))
37	34, 36	eqtr3d 2798	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑀 · (log‘𝐵)) = (log‘(𝐵↑𝑀)))
38	37	oveq1d 7433	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝑀 · (log‘𝐵)) / (log‘𝐵)) = ((log‘(𝐵↑𝑀)) / (log‘𝐵)))
39	33	recnd 11330	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℂ)
40	18, 19	logcld 26891	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (log‘𝐵) ∈ ℂ)
41		logne0 26900	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 1) → (log‘𝐵) ≠ 0)
42	23, 20, 41	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (log‘𝐵) ≠ 0)
43	39, 40, 42	divcan4d 12092	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝑀 · (log‘𝐵)) / (log‘𝐵)) = 𝑀)
44	31, 38, 43	3eqtr2d 2802	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝐵 logb (𝐵↑𝑀)) = 𝑀)
45	17, 44	pm2.61dane 3043	1 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐵 logb (𝐵↑𝑀)) = 𝑀)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   ∖ cdif 3896  {csn 4584  {cpr 4586  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  ℂcc 11191  ℝcr 11192  0cc0 11193  1c1 11194   · cmul 11198   / cdiv 11966  2c2 12390  ℤcz 12686  ℤ_≥cuz 12958  ℝ⁺crp 13113  ↑cexp 14197  logclog 26875  ↑_𝑐ccxp 26876   log_b clogb 27085

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-inf2 9635  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271  ax-addf 11272

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-of 7691  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8171  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8710  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9347  df-fi 9396  df-sup 9427  df-inf 9428  df-oi 9497  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-q 13069  df-rp 13114  df-xneg 13234  df-xadd 13235  df-xmul 13236  df-ioo 13473  df-ioc 13474  df-ico 13475  df-icc 13476  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-fl 13925  df-mod 14003  df-seq 14138  df-exp 14198  df-fac 14411  df-bc 14440  df-hash 14468  df-shft 15213  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-limsup 15631  df-clim 15648  df-rlim 15649  df-sum 15847  df-ef 16226  df-sin 16228  df-cos 16229  df-pi 16231  df-struct 17318  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-starv 17436  df-sca 17437  df-vsca 17438  df-ip 17439  df-tset 17440  df-ple 17441  df-ds 17443  df-unif 17444  df-hom 17445  df-cco 17446  df-rest 17586  df-topn 17587  df-0g 17605  df-gsum 17606  df-topgen 17607  df-pt 17608  df-prds 17611  df-xrs 17667  df-qtop 17672  df-imas 17673  df-xps 17675  df-mre 17749  df-mrc 17750  df-acs 17752  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-submnd 18972  df-mulg 19271  df-cntz 19524  df-cmn 19989  df-psmet 21663  df-xmet 21664  df-met 21665  df-bl 21666  df-mopn 21667  df-fbas 21668  df-fg 21669  df-cnfld 21672  df-top 23205  df-topon 23222  df-topsp 23244  df-bases 23257  df-cld 23330  df-ntr 23331  df-cls 23332  df-nei 23409  df-lp 23447  df-perf 23448  df-cn 23538  df-cnp 23539  df-haus 23626  df-tx 23874  df-hmeo 24067  df-fil 24158  df-fm 24250  df-flim 24251  df-flf 24252  df-xms 24632  df-ms 24633  df-tms 24634  df-cncf 25192  df-limc 26179  df-dv 26180  df-log 26877  df-cxp 26878  df-logb 27086

This theorem is used by:  dya2ub  34895  logbpw2m1  49648  fllog2  49649  blenpw2  49659