Theorem nnlogbexp 26834

Description: Identity law for general logarithm with integer base. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Sep-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 27-Sep-2017.)

Assertion

Ref	Expression
nnlogbexp	⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐵 logb (𝐵↑𝑀)) = 𝑀)

Proof of Theorem nnlogbexp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zgt1rpn0n1 13030	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1))
2	1	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1))
3	2	simp1d 1154	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℝ+)
4	3	rpcnd 13033	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
5	4	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
6	2	simp2d 1155	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐵 ≠ 0)
7	6	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → 𝐵 ≠ 0)
8	2	simp3d 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐵 ≠ 1)
9	8	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → 𝐵 ≠ 1)
10		logb1 26822	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1) → (𝐵 logb 1) = 0)
11	5, 7, 9, 10	syl3anc 1389	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐵 logb 1) = 0)
12		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → 𝑀 = 0)
13	12	oveq2d 7407	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐵↑𝑀) = (𝐵↑0))
14	5	exp0d 14147	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐵↑0) = 1)
15	13, 14	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐵↑𝑀) = 1)
16	15	oveq2d 7407	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐵 logb (𝐵↑𝑀)) = (𝐵 logb 1))
17	11, 16, 12	3eqtr4d 2806	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐵 logb (𝐵↑𝑀)) = 𝑀)
18	4	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
19	6	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝐵 ≠ 0)
20	8	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝐵 ≠ 1)
21		eldifpr 4614	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1))
22	18, 19, 20, 21	syl3anbrc 1356	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}))
23	3	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℝ+)
24		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
25	24	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℤ)
26	23, 25	rpexpcld 14254	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝐵↑𝑀) ∈ ℝ+)
27	26	rpcnne0d 13040	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝐵↑𝑀) ∈ ℂ ∧ (𝐵↑𝑀) ≠ 0))
28		eldifsn 4743	. . . . 5 ⊢ ((𝐵↑𝑀) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝐵↑𝑀) ∈ ℂ ∧ (𝐵↑𝑀) ≠ 0))
29	27, 28	sylibr 236	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝐵↑𝑀) ∈ (ℂ ∖ {0}))
30		logbval 26819	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ (𝐵↑𝑀) ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐵 logb (𝐵↑𝑀)) = ((log‘(𝐵↑𝑀)) / (log‘𝐵)))
31	22, 29, 30	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝐵 logb (𝐵↑𝑀)) = ((log‘(𝐵↑𝑀)) / (log‘𝐵)))
32	24	zred 12671	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
33	32	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℝ)
34	23, 33	logcxpd 26787	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (log‘(𝐵↑𝑐𝑀)) = (𝑀 · (log‘𝐵)))
35	18, 19, 25	cxpexpzd 26764	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝐵↑𝑐𝑀) = (𝐵↑𝑀))
36	35	fveq2d 6866	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (log‘(𝐵↑𝑐𝑀)) = (log‘(𝐵↑𝑀)))
37	34, 36	eqtr3d 2798	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑀 · (log‘𝐵)) = (log‘(𝐵↑𝑀)))
38	37	oveq1d 7406	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝑀 · (log‘𝐵)) / (log‘𝐵)) = ((log‘(𝐵↑𝑀)) / (log‘𝐵)))
39	33	recnd 11204	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℂ)
40	18, 19	logcld 26623	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (log‘𝐵) ∈ ℂ)
41		logne0 26632	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 1) → (log‘𝐵) ≠ 0)
42	23, 20, 41	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (log‘𝐵) ≠ 0)
43	39, 40, 42	divcan4d 11967	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝑀 · (log‘𝐵)) / (log‘𝐵)) = 𝑀)
44	31, 38, 43	3eqtr2d 2802	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝐵 logb (𝐵↑𝑀)) = 𝑀)
45	17, 44	pm2.61dane 3043	1 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐵 logb (𝐵↑𝑀)) = 𝑀)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   ∖ cdif 3899  {csn 4579  {cpr 4581  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  ℂcc 11065  ℝcr 11066  0cc0 11067  1c1 11068   · cmul 11072   / cdiv 11838  2c2 12266  ℤcz 12562  ℤ_≥cuz 12833  ℝ⁺crp 12987  ↑cexp 14068  logclog 26607  ↑_𝑐ccxp 26608   log_b clogb 26817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-inf2 9590  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-pre-sup 11145  ax-addf 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-of 7655  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-supp 8135  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-2o 8432  df-er 8672  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9302  df-fi 9351  df-sup 9382  df-inf 9383  df-oi 9452  df-card 9891  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12476  df-z 12563  df-dec 12683  df-uz 12834  df-q 12944  df-rp 12988  df-xneg 13108  df-xadd 13109  df-xmul 13110  df-ioo 13347  df-ioc 13348  df-ico 13349  df-icc 13350  df-fz 13507  df-fzo 13654  df-fl 13796  df-mod 13874  df-seq 14009  df-exp 14069  df-fac 14281  df-bc 14310  df-hash 14338  df-shft 15074  df-cj 15117  df-re 15118  df-im 15119  df-sqrt 15253  df-abs 15254  df-limsup 15489  df-clim 15506  df-rlim 15507  df-sum 15705  df-ef 16088  df-sin 16090  df-cos 16091  df-pi 16093  df-struct 17174  df-sets 17191  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-ress 17258  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-starv 17292  df-sca 17293  df-vsca 17294  df-ip 17295  df-tset 17296  df-ple 17297  df-ds 17299  df-unif 17300  df-hom 17301  df-cco 17302  df-rest 17442  df-topn 17443  df-0g 17461  df-gsum 17462  df-topgen 17463  df-pt 17464  df-prds 17467  df-xrs 17523  df-qtop 17528  df-imas 17529  df-xps 17531  df-mre 17605  df-mrc 17606  df-acs 17608  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19101  df-cntz 19348  df-cmn 19813  df-psmet 21404  df-xmet 21405  df-met 21406  df-bl 21407  df-mopn 21408  df-fbas 21409  df-fg 21410  df-cnfld 21413  df-top 22942  df-topon 22959  df-topsp 22981  df-bases 22994  df-cld 23067  df-ntr 23068  df-cls 23069  df-nei 23146  df-lp 23184  df-perf 23185  df-cn 23275  df-cnp 23276  df-haus 23363  df-tx 23610  df-hmeo 23803  df-fil 23894  df-fm 23986  df-flim 23987  df-flf 23988  df-xms 24368  df-ms 24369  df-tms 24370  df-cncf 24928  df-limc 25916  df-dv 25917  df-log 26609  df-cxp 26610  df-logb 26818

This theorem is referenced by:  dya2ub  34528  logbpw2m1  49150  fllog2  49151  blenpw2  49161