Theorem nnlogbexp 26975

Description: Identity law for general logarithm with integer base. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Sep-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 27-Sep-2017.)

Assertion

Ref	Expression
nnlogbexp	⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐵 logb (𝐵↑𝑀)) = 𝑀)

Proof of Theorem nnlogbexp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zgt1rpn0n1 13070	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1))
2	1	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1))
3	2	simp1d 1160	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℝ+)
4	3	rpcnd 13073	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
5	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
6	2	simp2d 1161	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐵 ≠ 0)
7	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → 𝐵 ≠ 0)
8	2	simp3d 1162	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐵 ≠ 1)
9	8	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → 𝐵 ≠ 1)
10		logb1 26963	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1) → (𝐵 logb 1) = 0)
11	5, 7, 9, 10	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐵 logb 1) = 0)
12		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → 𝑀 = 0)
13	12	oveq2d 7432	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐵↑𝑀) = (𝐵↑0))
14	5	exp0d 14189	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐵↑0) = 1)
15	13, 14	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐵↑𝑀) = 1)
16	15	oveq2d 7432	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐵 logb (𝐵↑𝑀)) = (𝐵 logb 1))
17	11, 16, 12	3eqtr4d 2810	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐵 logb (𝐵↑𝑀)) = 𝑀)
18	4	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
19	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝐵 ≠ 0)
20	8	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝐵 ≠ 1)
21		eldifpr 4626	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1))
22	18, 19, 20, 21	syl3anbrc 1362	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}))
23	3	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℝ+)
24		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
25	24	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℤ)
26	23, 25	rpexpcld 14296	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝐵↑𝑀) ∈ ℝ+)
27	26	rpcnne0d 13080	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝐵↑𝑀) ∈ ℂ ∧ (𝐵↑𝑀) ≠ 0))
28		eldifsn 4755	. . . . 5 ⊢ ((𝐵↑𝑀) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝐵↑𝑀) ∈ ℂ ∧ (𝐵↑𝑀) ≠ 0))
29	27, 28	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝐵↑𝑀) ∈ (ℂ ∖ {0}))
30		logbval 26960	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ (𝐵↑𝑀) ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐵 logb (𝐵↑𝑀)) = ((log‘(𝐵↑𝑀)) / (log‘𝐵)))
31	22, 29, 30	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝐵 logb (𝐵↑𝑀)) = ((log‘(𝐵↑𝑀)) / (log‘𝐵)))
32	24	zred 12711	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
33	32	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℝ)
34	23, 33	logcxpd 26928	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (log‘(𝐵↑𝑐𝑀)) = (𝑀 · (log‘𝐵)))
35	18, 19, 25	cxpexpzd 26905	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝐵↑𝑐𝑀) = (𝐵↑𝑀))
36	35	fveq2d 6889	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (log‘(𝐵↑𝑐𝑀)) = (log‘(𝐵↑𝑀)))
37	34, 36	eqtr3d 2802	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑀 · (log‘𝐵)) = (log‘(𝐵↑𝑀)))
38	37	oveq1d 7431	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝑀 · (log‘𝐵)) / (log‘𝐵)) = ((log‘(𝐵↑𝑀)) / (log‘𝐵)))
39	33	recnd 11248	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℂ)
40	18, 19	logcld 26764	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (log‘𝐵) ∈ ℂ)
41		logne0 26773	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 1) → (log‘𝐵) ≠ 0)
42	23, 20, 41	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (log‘𝐵) ≠ 0)
43	39, 40, 42	divcan4d 12008	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝑀 · (log‘𝐵)) / (log‘𝐵)) = 𝑀)
44	31, 38, 43	3eqtr2d 2806	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝐵 logb (𝐵↑𝑀)) = 𝑀)
45	17, 44	pm2.61dane 3047	1 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐵 logb (𝐵↑𝑀)) = 𝑀)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960   ∖ cdif 3903  {csn 4591  {cpr 4593  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ℂcc 11109  ℝcr 11110  0cc0 11111  1c1 11112   · cmul 11116   / cdiv 11882  2c2 12306  ℤcz 12602  ℤ_≥cuz 12873  ℝ⁺crp 13027  ↑cexp 14110  logclog 26748  ↑_𝑐ccxp 26749   log_b clogb 26958

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-inf2 9613  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189  ax-addf 11190

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9325  df-fi 9374  df-sup 9405  df-inf 9406  df-oi 9475  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12723  df-uz 12874  df-q 12984  df-rp 13028  df-xneg 13148  df-xadd 13149  df-xmul 13150  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13547  df-fzo 13695  df-fl 13838  df-mod 13916  df-seq 14051  df-exp 14111  df-fac 14323  df-bc 14352  df-hash 14380  df-shft 15123  df-cj 15169  df-re 15170  df-im 15171  df-sqrt 15305  df-abs 15306  df-limsup 15541  df-clim 15558  df-rlim 15559  df-sum 15757  df-ef 16138  df-sin 16140  df-cos 16141  df-pi 16143  df-struct 17224  df-sets 17241  df-slot 17259  df-ndx 17271  df-base 17287  df-ress 17308  df-plusg 17340  df-mulr 17341  df-starv 17342  df-sca 17343  df-vsca 17344  df-ip 17345  df-tset 17346  df-ple 17347  df-ds 17349  df-unif 17350  df-hom 17351  df-cco 17352  df-rest 17492  df-topn 17493  df-0g 17511  df-gsum 17512  df-topgen 17513  df-pt 17514  df-prds 17517  df-xrs 17573  df-qtop 17578  df-imas 17579  df-xps 17581  df-mre 17655  df-mrc 17656  df-acs 17658  df-mgm 18715  df-sgrp 18798  df-mnd 18814  df-submnd 18865  df-mulg 19157  df-cntz 19410  df-cmn 19875  df-psmet 21543  df-xmet 21544  df-met 21545  df-bl 21546  df-mopn 21547  df-fbas 21548  df-fg 21549  df-cnfld 21552  df-top 23080  df-topon 23097  df-topsp 23119  df-bases 23132  df-cld 23205  df-ntr 23206  df-cls 23207  df-nei 23284  df-lp 23322  df-perf 23323  df-cn 23413  df-cnp 23414  df-haus 23501  df-tx 23748  df-hmeo 23941  df-fil 24032  df-fm 24124  df-flim 24125  df-flf 24126  df-xms 24506  df-ms 24507  df-tms 24508  df-cncf 25066  df-limc 26054  df-dv 26055  df-log 26750  df-cxp 26751  df-logb 26959

This theorem is used by:  dya2ub  34684  logbpw2m1  49380  fllog2  49381  blenpw2  49391