Theorem elogb 27047

Description: The general logarithm of a number to the base being Euler's constant is the natural logarithm of the number. Put another way, using e as the base in log_b is the same as log. Definition in [Cohen4] p. 352. (Contributed by David A. Wheeler, 17-Oct-2017.) (Revised by David A. Wheeler and AV, 16-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
elogb	⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (e logb 𝐴) = (log‘𝐴))

Proof of Theorem elogb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ere 16208	. . . . 5 ⊢ e ∈ ℝ
2	1	recni 11280	. . . 4 ⊢ e ∈ ℂ
3		ene0 16330	. . . 4 ⊢ e ≠ 0
4		ene1 16331	. . . 4 ⊢ e ≠ 1
5		eldifpr 4619	. . . 4 ⊢ (e ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ↔ (e ∈ ℂ ∧ e ≠ 0 ∧ e ≠ 1))
6	2, 3, 4, 5	mpbir3an 1360	. . 3 ⊢ e ∈ (ℂ ∖ {0, 1})
7		logbval 27043	. . 3 ⊢ ((e ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (e logb 𝐴) = ((log‘𝐴) / (log‘e)))
8	6, 7	mpan 703	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (e logb 𝐴) = ((log‘𝐴) / (log‘e)))
9		loge 26863	. . . 4 ⊢ (log‘e) = 1
10	9	oveq2i 7420	. . 3 ⊢ ((log‘𝐴) / (log‘e)) = ((log‘𝐴) / 1)
11		eldifsn 4748	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
12		logcl 26845	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
13	11, 12	sylbi 220	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
14	13	div1d 12040	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((log‘𝐴) / 1) = (log‘𝐴))
15	10, 14	eqtrid 2807	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((log‘𝐴) / (log‘e)) = (log‘𝐴))
16	8, 15	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (e logb 𝐴) = (log‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   ∖ cdif 3896  {csn 4584  {cpr 4586  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409  ℂcc 11155  0cc0 11157  1c1 11158   / cdiv 11928  eceu 16181  logclog 26831   log_b clogb 27041

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-inf2 9620  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234  ax-pre-sup 11235  ax-addf 11236

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-isom 6537  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7677  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9977  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-div 11929  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-4 12362  df-5 12363  df-6 12364  df-7 12365  df-8 12366  df-9 12367  df-n0 12562  df-z 12649  df-dec 12770  df-uz 12921  df-q 13031  df-rp 13076  df-xneg 13196  df-xadd 13197  df-xmul 13198  df-ioo 13435  df-ioc 13436  df-ico 13437  df-icc 13438  df-fz 13595  df-fzo 13743  df-fl 13886  df-mod 13964  df-seq 14099  df-exp 14159  df-fac 14371  df-bc 14400  df-hash 14428  df-shft 15173  df-cj 15219  df-re 15220  df-im 15221  df-sqrt 15355  df-abs 15356  df-limsup 15591  df-clim 15608  df-rlim 15609  df-sum 15807  df-ef 16186  df-e 16187  df-sin 16188  df-cos 16189  df-pi 16191  df-struct 17272  df-sets 17289  df-slot 17307  df-ndx 17319  df-base 17335  df-ress 17356  df-plusg 17388  df-mulr 17389  df-starv 17390  df-sca 17391  df-vsca 17392  df-ip 17393  df-tset 17394  df-ple 17395  df-ds 17397  df-unif 17398  df-hom 17399  df-cco 17400  df-rest 17540  df-topn 17541  df-0g 17559  df-gsum 17560  df-topgen 17561  df-pt 17562  df-prds 17565  df-xrs 17621  df-qtop 17626  df-imas 17627  df-xps 17629  df-mre 17703  df-mrc 17704  df-acs 17706  df-mgm 18763  df-sgrp 18855  df-mnd 18871  df-submnd 18926  df-mulg 19225  df-cntz 19478  df-cmn 19943  df-psmet 21617  df-xmet 21618  df-met 21619  df-bl 21620  df-mopn 21621  df-fbas 21622  df-fg 21623  df-cnfld 21626  df-top 23159  df-topon 23176  df-topsp 23198  df-bases 23211  df-cld 23284  df-ntr 23285  df-cls 23286  df-nei 23363  df-lp 23401  df-perf 23402  df-cn 23492  df-cnp 23493  df-haus 23580  df-tx 23828  df-hmeo 24021  df-fil 24112  df-fm 24204  df-flim 24205  df-flf 24206  df-xms 24586  df-ms 24587  df-tms 24588  df-cncf 25146  df-limc 26133  df-dv 26134  df-log 26833  df-logb 27042

This theorem is used by: (None)