Theorem relogbreexp 26707

Description: Power law for the general logarithm for real powers: The logarithm of a positive real number to the power of a real number is equal to the product of the exponent and the logarithm of the base of the power. Property 4 of [Cohen4] p. 361. (Contributed by AV, 9-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
relogbreexp	⊢ ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → (𝐵 logb (𝐶↑𝑐𝐸)) = (𝐸 · (𝐵 logb 𝐶)))

Proof of Theorem relogbreexp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logcxp 26600	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → (log‘(𝐶↑𝑐𝐸)) = (𝐸 · (log‘𝐶)))
2	1	3adant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → (log‘(𝐶↑𝑐𝐸)) = (𝐸 · (log‘𝐶)))
3	2	oveq1d 7356	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → ((log‘(𝐶↑𝑐𝐸)) / (log‘𝐵)) = ((𝐸 · (log‘𝐶)) / (log‘𝐵)))
4		recn 11091	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ → 𝐸 ∈ ℂ)
5	4	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → 𝐸 ∈ ℂ)
6		rpcn 12896	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → 𝐶 ∈ ℂ)
7		rpne0 12902	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → 𝐶 ≠ 0)
8	6, 7	logcld 26501	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → (log‘𝐶) ∈ ℂ)
9	8	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → (log‘𝐶) ∈ ℂ)
10		eldifi 4076	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) → 𝐵 ∈ ℂ)
11		eldifpr 4606	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1))
12	11	simp2bi 1146	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) → 𝐵 ≠ 0)
13	10, 12	logcld 26501	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) → (log‘𝐵) ∈ ℂ)
14		logccne0 26509	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1) → (log‘𝐵) ≠ 0)
15	11, 14	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) → (log‘𝐵) ≠ 0)
16	13, 15	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) → ((log‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (log‘𝐵) ≠ 0))
17	16	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → ((log‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (log‘𝐵) ≠ 0))
18		divass 11789	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∈ ℂ ∧ (log‘𝐶) ∈ ℂ ∧ ((log‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (log‘𝐵) ≠ 0)) → ((𝐸 · (log‘𝐶)) / (log‘𝐵)) = (𝐸 · ((log‘𝐶) / (log‘𝐵))))
19	5, 9, 17, 18	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → ((𝐸 · (log‘𝐶)) / (log‘𝐵)) = (𝐸 · ((log‘𝐶) / (log‘𝐵))))
20	3, 19	eqtrd 2766	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → ((log‘(𝐶↑𝑐𝐸)) / (log‘𝐵)) = (𝐸 · ((log‘𝐶) / (log‘𝐵))))
21		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}))
22	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
23	4	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → 𝐸 ∈ ℂ)
24	22, 23	cxpcld 26639	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → (𝐶↑𝑐𝐸) ∈ ℂ)
25	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → 𝐶 ≠ 0)
26	22, 25, 23	cxpne0d 26644	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → (𝐶↑𝑐𝐸) ≠ 0)
27		eldifsn 4733	. . . . 5 ⊢ ((𝐶↑𝑐𝐸) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝐶↑𝑐𝐸) ∈ ℂ ∧ (𝐶↑𝑐𝐸) ≠ 0))
28	24, 26, 27	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → (𝐶↑𝑐𝐸) ∈ (ℂ ∖ {0}))
29	28	3adant1 1130	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → (𝐶↑𝑐𝐸) ∈ (ℂ ∖ {0}))
30		logbval 26698	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ (𝐶↑𝑐𝐸) ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐵 logb (𝐶↑𝑐𝐸)) = ((log‘(𝐶↑𝑐𝐸)) / (log‘𝐵)))
31	21, 29, 30	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → (𝐵 logb (𝐶↑𝑐𝐸)) = ((log‘(𝐶↑𝑐𝐸)) / (log‘𝐵)))
32		rpcndif0 12906	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → 𝐶 ∈ (ℂ ∖ {0}))
33	32	anim2i 617	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝐶 ∈ (ℂ ∖ {0})))
34	33	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝐶 ∈ (ℂ ∖ {0})))
35		logbval 26698	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝐶 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐵 logb 𝐶) = ((log‘𝐶) / (log‘𝐵)))
36	34, 35	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → (𝐵 logb 𝐶) = ((log‘𝐶) / (log‘𝐵)))
37	36	oveq2d 7357	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → (𝐸 · (𝐵 logb 𝐶)) = (𝐸 · ((log‘𝐶) / (log‘𝐵))))
38	20, 31, 37	3eqtr4d 2776	1 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → (𝐵 logb (𝐶↑𝑐𝐸)) = (𝐸 · (𝐵 logb 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   ∖ cdif 3894  {csn 4571  {cpr 4573  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  ℂcc 10999  ℝcr 11000  0cc0 11001  1c1 11002   · cmul 11006   / cdiv 11769  ℝ⁺crp 12885  logclog 26485  ↑_𝑐ccxp 26486   log_b clogb 26696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-inf2 9526  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079  ax-addf 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-iin 4939  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-se 5565  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7605  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-supp 8086  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-er 8617  df-map 8747  df-pm 8748  df-ixp 8817  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-fsupp 9241  df-fi 9290  df-sup 9321  df-inf 9322  df-oi 9391  df-card 9827  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-z 12464  df-dec 12584  df-uz 12728  df-q 12842  df-rp 12886  df-xneg 13006  df-xadd 13007  df-xmul 13008  df-ioo 13244  df-ioc 13245  df-ico 13246  df-icc 13247  df-fz 13403  df-fzo 13550  df-fl 13691  df-mod 13769  df-seq 13904  df-exp 13964  df-fac 14176  df-bc 14205  df-hash 14233  df-shft 14969  df-cj 15001  df-re 15002  df-im 15003  df-sqrt 15137  df-abs 15138  df-limsup 15373  df-clim 15390  df-rlim 15391  df-sum 15589  df-ef 15969  df-sin 15971  df-cos 15972  df-pi 15974  df-struct 17053  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-ress 17137  df-plusg 17169  df-mulr 17170  df-starv 17171  df-sca 17172  df-vsca 17173  df-ip 17174  df-tset 17175  df-ple 17176  df-ds 17178  df-unif 17179  df-hom 17180  df-cco 17181  df-rest 17321  df-topn 17322  df-0g 17340  df-gsum 17341  df-topgen 17342  df-pt 17343  df-prds 17346  df-xrs 17401  df-qtop 17406  df-imas 17407  df-xps 17409  df-mre 17483  df-mrc 17484  df-acs 17486  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-submnd 18687  df-mulg 18976  df-cntz 19224  df-cmn 19689  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-fbas 21283  df-fg 21284  df-cnfld 21287  df-top 22804  df-topon 22821  df-topsp 22843  df-bases 22856  df-cld 22929  df-ntr 22930  df-cls 22931  df-nei 23008  df-lp 23046  df-perf 23047  df-cn 23137  df-cnp 23138  df-haus 23225  df-tx 23472  df-hmeo 23665  df-fil 23756  df-fm 23848  df-flim 23849  df-flf 23850  df-xms 24230  df-ms 24231  df-tms 24232  df-cncf 24793  df-limc 25789  df-dv 25790  df-log 26487  df-cxp 26488  df-logb 26697

This theorem is referenced by:  relogbzexp  26708  relogbmulexp  26710