Theorem relogbexp 24969

Description: Identity law for general logarithm: the logarithm of a power to the base is the exponent. Property 6 of [Cohen4] p. 361. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Sep-2014.) (Revised by AV, 9-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
relogbexp	⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 1 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐵 logb (𝐵↑𝑀)) = 𝑀)

Proof of Theorem relogbexp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpcn 12154	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℂ)
2	1	adantr 474	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 1) → 𝐵 ∈ ℂ)
3		rpne0 12160	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ≠ 0)
4	3	adantr 474	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 1) → 𝐵 ≠ 0)
5		simpr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 1) → 𝐵 ≠ 1)
6	2, 4, 5	3jca 1119	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 1) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1))
7		eldifpr 4426	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1))
8	6, 7	sylibr 226	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 1) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}))
9	8	3adant3 1123	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 1 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}))
10		simp1 1127	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 1 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℝ+)
11		simp3 1129	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 1 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
12		relogbzexp 24965	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐵 logb (𝐵↑𝑀)) = (𝑀 · (𝐵 logb 𝐵)))
13	9, 10, 11, 12	syl3anc 1439	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 1 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐵 logb (𝐵↑𝑀)) = (𝑀 · (𝐵 logb 𝐵)))
14	6	3adant3 1123	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 1 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1))
15		logbid1 24957	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1) → (𝐵 logb 𝐵) = 1)
16	14, 15	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 1 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐵 logb 𝐵) = 1)
17	16	oveq2d 6940	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 1 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 · (𝐵 logb 𝐵)) = (𝑀 · 1))
18		zcn 11738	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
19	18	3ad2ant3 1126	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 1 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
20	19	mulid1d 10396	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 1 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 · 1) = 𝑀)
21	13, 17, 20	3eqtrd 2818	1 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 1 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐵 logb (𝐵↑𝑀)) = 𝑀)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969   ∖ cdif 3789  {cpr 4400  (class class class)co 6924  ℂcc 10272  0cc0 10274  1c1 10275   · cmul 10279  ℤcz 11733  ℝ⁺crp 12142  ↑cexp 13183   log_b clogb 24953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-inf2 8837  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352  ax-addf 10353  ax-mulf 10354

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-iin 4758  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-se 5317  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-isom 6146  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-of 7176  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-supp 7579  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-2o 7846  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-pm 8145  df-ixp 8197  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-fsupp 8566  df-fi 8607  df-sup 8638  df-inf 8639  df-oi 8706  df-card 9100  df-cda 9327  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11036  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-4 11445  df-5 11446  df-6 11447  df-7 11448  df-8 11449  df-9 11450  df-n0 11648  df-z 11734  df-dec 11851  df-uz 11998  df-q 12101  df-rp 12143  df-xneg 12262  df-xadd 12263  df-xmul 12264  df-ioo 12496  df-ioc 12497  df-ico 12498  df-icc 12499  df-fz 12649  df-fzo 12790  df-fl 12917  df-mod 12993  df-seq 13125  df-exp 13184  df-fac 13385  df-bc 13414  df-hash 13442  df-shft 14220  df-cj 14252  df-re 14253  df-im 14254  df-sqrt 14388  df-abs 14389  df-limsup 14619  df-clim 14636  df-rlim 14637  df-sum 14834  df-ef 15209  df-sin 15211  df-cos 15212  df-pi 15214  df-struct 16268  df-ndx 16269  df-slot 16270  df-base 16272  df-sets 16273  df-ress 16274  df-plusg 16362  df-mulr 16363  df-starv 16364  df-sca 16365  df-vsca 16366  df-ip 16367  df-tset 16368  df-ple 16369  df-ds 16371  df-unif 16372  df-hom 16373  df-cco 16374  df-rest 16480  df-topn 16481  df-0g 16499  df-gsum 16500  df-topgen 16501  df-pt 16502  df-prds 16505  df-xrs 16559  df-qtop 16564  df-imas 16565  df-xps 16567  df-mre 16643  df-mrc 16644  df-acs 16646  df-mgm 17639  df-sgrp 17681  df-mnd 17692  df-submnd 17733  df-mulg 17939  df-cntz 18144  df-cmn 18592  df-psmet 20145  df-xmet 20146  df-met 20147  df-bl 20148  df-mopn 20149  df-fbas 20150  df-fg 20151  df-cnfld 20154  df-top 21117  df-topon 21134  df-topsp 21156  df-bases 21169  df-cld 21242  df-ntr 21243  df-cls 21244  df-nei 21321  df-lp 21359  df-perf 21360  df-cn 21450  df-cnp 21451  df-haus 21538  df-tx 21785  df-hmeo 21978  df-fil 22069  df-fm 22161  df-flim 22162  df-flf 22163  df-xms 22544  df-ms 22545  df-tms 22546  df-cncf 23100  df-limc 24078  df-dv 24079  df-log 24751  df-cxp 24752  df-logb 24954

This theorem is referenced by: (None)