Theorem 2logb9irrALT 26743

Description: Alternate proof of 2logb9irr 26740: The logarithm of nine to base two is irrational. (Contributed by AV, 31-Dec-2022.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
2logb9irrALT	⊢ (2 logb 9) ∈ (ℝ ∖ ℚ)

Proof of Theorem 2logb9irrALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sq3 14188	. . . . 5 ⊢ (3↑2) = 9
2	1	eqcomi 2734	. . . 4 ⊢ 9 = (3↑2)
3	2	oveq2i 7424	. . 3 ⊢ (2 logb 9) = (2 logb (3↑2))
4		2cn 12312	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		2ne0 12341	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
6		1ne2 12445	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 2
7	6	necomi 2985	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 1
8		eldifpr 4657	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ↔ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1))
9	4, 5, 7, 8	mpbir3an 1338	. . . 4 ⊢ 2 ∈ (ℂ ∖ {0, 1})
10		3rp 13007	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℝ+
11		2z 12619	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
12		relogbzexp 26721	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 3 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (2 logb (3↑2)) = (2 · (2 logb 3)))
13	9, 10, 11, 12	mp3an 1457	. . 3 ⊢ (2 logb (3↑2)) = (2 · (2 logb 3))
14	3, 13	eqtri 2753	. 2 ⊢ (2 logb 9) = (2 · (2 logb 3))
15		3cn 12318	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
16		3ne0 12343	. . . . . 6 ⊢ 3 ≠ 0
17		eldifsn 4787	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0))
18	15, 16, 17	mpbir2an 709	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ (ℂ ∖ {0})
19		logbcl 26712	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 3 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (2 logb 3) ∈ ℂ)
20	9, 18, 19	mp2an 690	. . . 4 ⊢ (2 logb 3) ∈ ℂ
21	4, 20	mulcomi 11247	. . 3 ⊢ (2 · (2 logb 3)) = ((2 logb 3) · 2)
22		2logb3irr 26742	. . . 4 ⊢ (2 logb 3) ∈ (ℝ ∖ ℚ)
23		zq 12963	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ ℚ)
24	11, 23	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℚ
25		irrmul 12983	. . . 4 ⊢ (((2 logb 3) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ 2 ∈ ℚ ∧ 2 ≠ 0) → ((2 logb 3) · 2) ∈ (ℝ ∖ ℚ))
26	22, 24, 5, 25	mp3an 1457	. . 3 ⊢ ((2 logb 3) · 2) ∈ (ℝ ∖ ℚ)
27	21, 26	eqeltri 2821	. 2 ⊢ (2 · (2 logb 3)) ∈ (ℝ ∖ ℚ)
28	14, 27	eqeltri 2821	1 ⊢ (2 logb 9) ∈ (ℝ ∖ ℚ)

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930   ∖ cdif 3938  {csn 4625  {cpr 4627  (class class class)co 7413  ℂcc 11131  ℝcr 11132  0cc0 11133  1c1 11134   · cmul 11138  2c2 12292  3c3 12293  9c9 12299  ℤcz 12583  ℚcq 12957  ℝ⁺crp 13001  ↑cexp 14053   log_b clogb 26709

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211  ax-addf 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9381  df-fi 9429  df-sup 9460  df-inf 9461  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-q 12958  df-rp 13002  df-xneg 13119  df-xadd 13120  df-xmul 13121  df-ioo 13355  df-ioc 13356  df-ico 13357  df-icc 13358  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-fl 13784  df-mod 13862  df-seq 13994  df-exp 14054  df-fac 14260  df-bc 14289  df-hash 14317  df-shft 15041  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-limsup 15442  df-clim 15459  df-rlim 15460  df-sum 15660  df-ef 16038  df-sin 16040  df-cos 16041  df-pi 16043  df-dvds 16226  df-gcd 16464  df-prm 16637  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17398  df-topn 17399  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-topgen 17419  df-pt 17420  df-prds 17423  df-xrs 17478  df-qtop 17483  df-imas 17484  df-xps 17486  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-submnd 18735  df-mulg 19023  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-psmet 21270  df-xmet 21271  df-met 21272  df-bl 21273  df-mopn 21274  df-fbas 21275  df-fg 21276  df-cnfld 21279  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-cld 22936  df-ntr 22937  df-cls 22938  df-nei 23015  df-lp 23053  df-perf 23054  df-cn 23144  df-cnp 23145  df-haus 23232  df-tx 23479  df-hmeo 23672  df-fil 23763  df-fm 23855  df-flim 23856  df-flf 23857  df-xms 24239  df-ms 24240  df-tms 24241  df-cncf 24811  df-limc 25808  df-dv 25809  df-log 26503  df-cxp 26504  df-logb 26710

This theorem is referenced by: (None)