Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logbgt0b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logbgt0b 25363
 Description: The logarithm of a positive real number to a real base greater than 1 is positive iff the number is greater than 1. (Contributed by AV, 29-Dec-2022.)
Assertion
Ref Expression
logbgt0b ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵)) → (0 < (𝐵 logb 𝐴) ↔ 1 < 𝐴))

Proof of Theorem logbgt0b
StepHypRef Expression
1 rpcn 12391 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ)
21adantr 483 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
3 rpne0 12397 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ≠ 0)
43adantr 483 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 0)
5 1red 10634 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ)
6 ltne 10729 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 1)
75, 6sylan 582 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 1)
8 eldifpr 4589 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1))
92, 4, 7, 8syl3anbrc 1337 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}))
10 rpcndif0 12400 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}))
11 logbval 25336 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐵 logb 𝐴) = ((log‘𝐴) / (log‘𝐵)))
129, 10, 11syl2anr 598 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵)) → (𝐵 logb 𝐴) = ((log‘𝐴) / (log‘𝐵)))
1312breq2d 5069 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵)) → (0 < (𝐵 logb 𝐴) ↔ 0 < ((log‘𝐴) / (log‘𝐵))))
14 relogcl 25151 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
1514adantr 483 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵)) → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
16 relogcl 25151 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ+ → (log‘𝐵) ∈ ℝ)
1716adantr 483 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) → (log‘𝐵) ∈ ℝ)
1817adantl 484 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵)) → (log‘𝐵) ∈ ℝ)
19 loggt0b 25207 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ+ → (0 < (log‘𝐵) ↔ 1 < 𝐵))
2019biimpar 480 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) → 0 < (log‘𝐵))
2120adantl 484 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵)) → 0 < (log‘𝐵))
22 gt0div 11498 . . 3 (((log‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (log‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘𝐵)) → (0 < (log‘𝐴) ↔ 0 < ((log‘𝐴) / (log‘𝐵))))
2315, 18, 21, 22syl3anc 1365 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵)) → (0 < (log‘𝐴) ↔ 0 < ((log‘𝐴) / (log‘𝐵))))
24 loggt0b 25207 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → (0 < (log‘𝐴) ↔ 1 < 𝐴))
2524adantr 483 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵)) → (0 < (log‘𝐴) ↔ 1 < 𝐴))
2613, 23, 253bitr2d 309 1 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵)) → (0 < (𝐵 logb 𝐴) ↔ 1 < 𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1530   ∈ wcel 2107   ≠ wne 3014   ∖ cdif 3931  {csn 4559  {cpr 4561   class class class wbr 5057  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  ℂcc 10527  ℝcr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   < clt 10667   / cdiv 11289  ℝ+crp 12381  logclog 25130   logb clogb 25334 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7401  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7823  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-fi 8867  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ioc 12735  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-fl 13154  df-mod 13230  df-seq 13362  df-exp 13422  df-fac 13626  df-bc 13655  df-hash 13683  df-shft 14418  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-limsup 14820  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-sum 15035  df-ef 15413  df-sin 15415  df-cos 15416  df-pi 15418  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-mulg 18217  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-psmet 20529  df-xmet 20530  df-met 20531  df-bl 20532  df-mopn 20533  df-fbas 20534  df-fg 20535  df-cnfld 20538  df-top 21494  df-topon 21511  df-topsp 21533  df-bases 21546  df-cld 21619  df-ntr 21620  df-cls 21621  df-nei 21698  df-lp 21736  df-perf 21737  df-cn 21827  df-cnp 21828  df-haus 21915  df-tx 22162  df-hmeo 22355  df-fil 22446  df-fm 22538  df-flim 22539  df-flf 22540  df-xms 22922  df-ms 22923  df-tms 22924  df-cncf 23478  df-limc 24456  df-dv 24457  df-log 25132  df-logb 25335 This theorem is referenced by:  logbgcd1irr  25364
 Copyright terms: Public domain W3C validator