Theorem nnpw2blen 48314

Description: A positive integer is between 2 to the power of its binary length minus 1 and 2 to the power of its binary length. (Contributed by AV, 31-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnpw2blen	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))))

Proof of Theorem nnpw2blen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2rp 13062	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ+
2	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
3		nnrp 13068	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
4		1ne2 12501	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ≠ 2
5	4	necomi 3001	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≠ 1
6	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ≠ 1)
7		relogbcl 26834	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
8	2, 3, 6, 7	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
9	8	flcld 13849	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℤ)
10	9	zcnd 12748	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℂ)
11		pncan1 11714	. . . . . 6 ⊢ ((⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℂ → (((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) − 1) = (⌊‘(2 logb 𝑁)))
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) − 1) = (⌊‘(2 logb 𝑁)))
13	12	oveq2d 7464	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) − 1)) = (2↑(⌊‘(2 logb 𝑁))))
14		blennn 48309	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#b‘𝑁) = ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
15	14	oveq1d 7463	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((#b‘𝑁) − 1) = (((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) − 1))
16	15	oveq2d 7464	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) = (2↑(((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) − 1)))
17		2cnd 12371	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
18		2ne0 12397	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
19	18	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
20	17, 19, 9	cxpexpzd 26771	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑐(⌊‘(2 logb 𝑁))) = (2↑(⌊‘(2 logb 𝑁))))
21	13, 16, 20	3eqtr4d 2790	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) = (2↑𝑐(⌊‘(2 logb 𝑁))))
22		flle 13850	. . . . . 6 ⊢ ((2 logb 𝑁) ∈ ℝ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ (2 logb 𝑁))
23	8, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ (2 logb 𝑁))
24		2re 12367	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
25	24	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
26		1lt2 12464	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 2
27	26	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 < 2)
28	9	zred 12747	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℝ)
29	25, 27, 28, 8	cxpled 26780	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ (2 logb 𝑁) ↔ (2↑𝑐(⌊‘(2 logb 𝑁))) ≤ (2↑𝑐(2 logb 𝑁))))
30	23, 29	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑐(⌊‘(2 logb 𝑁))) ≤ (2↑𝑐(2 logb 𝑁)))
31		2cn 12368	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
32		eldifpr 4680	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ↔ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1))
33	31, 18, 5, 32	mpbir3an 1341	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ (ℂ ∖ {0, 1})
34		nncn 12301	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
35		nnne0 12327	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
36		eldifsn 4811	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
37	34, 35, 36	sylanbrc 582	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℂ ∖ {0}))
38		cxplogb 26847	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑁 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (2↑𝑐(2 logb 𝑁)) = 𝑁)
39	33, 37, 38	sylancr 586	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑐(2 logb 𝑁)) = 𝑁)
40	30, 39	breqtrd 5192	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑐(⌊‘(2 logb 𝑁))) ≤ 𝑁)
41	21, 40	eqbrtrd 5188	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ≤ 𝑁)
42		flltp1 13851	. . . . . 6 ⊢ ((2 logb 𝑁) ∈ ℝ → (2 logb 𝑁) < ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
43	8, 42	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 logb 𝑁) < ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
44	9	peano2zd 12750	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ)
45	44	zred 12747	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℝ)
46	25, 27, 8, 45	cxpltd 26779	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 logb 𝑁) < ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) ↔ (2↑𝑐(2 logb 𝑁)) < (2↑𝑐((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))))
47	43, 46	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑐(2 logb 𝑁)) < (2↑𝑐((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1)))
48	17, 19, 44	cxpexpzd 26771	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑐((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1)) = (2↑((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1)))
49	47, 39, 48	3brtr3d 5197	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 < (2↑((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1)))
50	14	oveq2d 7464	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(#b‘𝑁)) = (2↑((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1)))
51	49, 50	breqtrrd 5194	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁)))
52	41, 51	jca 511	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   ∖ cdif 3973  {csn 4648  {cpr 4650   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11520  ℕcn 12293  2c2 12348  ℝ⁺crp 13057  ⌊cfl 13841  ↑cexp 14112  ↑_𝑐ccxp 26615   log_b clogb 26825  #_bcblen 48303

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-ioc 13412  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-fac 14323  df-bc 14352  df-hash 14380  df-shft 15116  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-limsup 15517  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735  df-ef 16115  df-sin 16117  df-cos 16118  df-pi 16120  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-topgen 17503  df-pt 17504  df-prds 17507  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-mulg 19108  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-fbas 21384  df-fg 21385  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cld 23048  df-ntr 23049  df-cls 23050  df-nei 23127  df-lp 23165  df-perf 23166  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-haus 23344  df-tx 23591  df-hmeo 23784  df-fil 23875  df-fm 23967  df-flim 23968  df-flf 23969  df-xms 24351  df-ms 24352  df-tms 24353  df-cncf 24923  df-limc 25921  df-dv 25922  df-log 26616  df-cxp 26617  df-logb 26826  df-blen 48304

This theorem is referenced by:  nnpw2blenfzo  48315  nnpw2pmod  48317