Theorem nnpw2blen 45904

Description: A positive integer is between 2 to the power of its binary length minus 1 and 2 to the power of its binary length. (Contributed by AV, 31-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnpw2blen	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))))

Proof of Theorem nnpw2blen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2rp 12745	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ+
2	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
3		nnrp 12751	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
4		1ne2 12191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ≠ 2
5	4	necomi 2998	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≠ 1
6	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ≠ 1)
7		relogbcl 25933	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
8	2, 3, 6, 7	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
9	8	flcld 13528	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℤ)
10	9	zcnd 12437	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℂ)
11		pncan1 11409	. . . . . 6 ⊢ ((⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℂ → (((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) − 1) = (⌊‘(2 logb 𝑁)))
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) − 1) = (⌊‘(2 logb 𝑁)))
13	12	oveq2d 7283	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) − 1)) = (2↑(⌊‘(2 logb 𝑁))))
14		blennn 45899	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#b‘𝑁) = ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
15	14	oveq1d 7282	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((#b‘𝑁) − 1) = (((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) − 1))
16	15	oveq2d 7283	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) = (2↑(((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) − 1)))
17		2cnd 12061	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
18		2ne0 12087	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
19	18	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
20	17, 19, 9	cxpexpzd 25876	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑐(⌊‘(2 logb 𝑁))) = (2↑(⌊‘(2 logb 𝑁))))
21	13, 16, 20	3eqtr4d 2788	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) = (2↑𝑐(⌊‘(2 logb 𝑁))))
22		flle 13529	. . . . . 6 ⊢ ((2 logb 𝑁) ∈ ℝ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ (2 logb 𝑁))
23	8, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ (2 logb 𝑁))
24		2re 12057	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
25	24	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
26		1lt2 12154	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 2
27	26	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 < 2)
28	9	zred 12436	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℝ)
29	25, 27, 28, 8	cxpled 25885	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ (2 logb 𝑁) ↔ (2↑𝑐(⌊‘(2 logb 𝑁))) ≤ (2↑𝑐(2 logb 𝑁))))
30	23, 29	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑐(⌊‘(2 logb 𝑁))) ≤ (2↑𝑐(2 logb 𝑁)))
31		2cn 12058	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
32		eldifpr 4593	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ↔ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1))
33	31, 18, 5, 32	mpbir3an 1340	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ (ℂ ∖ {0, 1})
34		nncn 11991	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
35		nnne0 12017	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
36		eldifsn 4720	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
37	34, 35, 36	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℂ ∖ {0}))
38		cxplogb 25946	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑁 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (2↑𝑐(2 logb 𝑁)) = 𝑁)
39	33, 37, 38	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑐(2 logb 𝑁)) = 𝑁)
40	30, 39	breqtrd 5099	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑐(⌊‘(2 logb 𝑁))) ≤ 𝑁)
41	21, 40	eqbrtrd 5095	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ≤ 𝑁)
42		flltp1 13530	. . . . . 6 ⊢ ((2 logb 𝑁) ∈ ℝ → (2 logb 𝑁) < ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
43	8, 42	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 logb 𝑁) < ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
44	9	peano2zd 12439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ)
45	44	zred 12436	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℝ)
46	25, 27, 8, 45	cxpltd 25884	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 logb 𝑁) < ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) ↔ (2↑𝑐(2 logb 𝑁)) < (2↑𝑐((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))))
47	43, 46	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑐(2 logb 𝑁)) < (2↑𝑐((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1)))
48	17, 19, 44	cxpexpzd 25876	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑐((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1)) = (2↑((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1)))
49	47, 39, 48	3brtr3d 5104	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 < (2↑((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1)))
50	14	oveq2d 7283	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(#b‘𝑁)) = (2↑((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1)))
51	49, 50	breqtrrd 5101	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁)))
52	41, 51	jca 512	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   ∖ cdif 3883  {csn 4561  {cpr 4563   class class class wbr 5073  ‘cfv 6426  (class class class)co 7267  ℂcc 10879  ℝcr 10880  0cc0 10881  1c1 10882   + caddc 10884   < clt 11019   ≤ cle 11020   − cmin 11215  ℕcn 11983  2c2 12038  ℝ⁺crp 12740  ⌊cfl 13520  ↑cexp 13792  ↑_𝑐ccxp 25721   log_b clogb 25924  #_bcblen 45893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5208  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-inf2 9386  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958  ax-pre-sup 10959  ax-addf 10960  ax-mulf 10961

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-se 5540  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-isom 6435  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-of 7523  df-om 7703  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-supp 7965  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-1o 8284  df-2o 8285  df-er 8485  df-map 8604  df-pm 8605  df-ixp 8673  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-fin 8724  df-fsupp 9116  df-fi 9157  df-sup 9188  df-inf 9189  df-oi 9256  df-card 9707  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-div 11643  df-nn 11984  df-2 12046  df-3 12047  df-4 12048  df-5 12049  df-6 12050  df-7 12051  df-8 12052  df-9 12053  df-n0 12244  df-z 12330  df-dec 12448  df-uz 12593  df-q 12699  df-rp 12741  df-xneg 12858  df-xadd 12859  df-xmul 12860  df-ioo 13093  df-ioc 13094  df-ico 13095  df-icc 13096  df-fz 13250  df-fzo 13393  df-fl 13522  df-mod 13600  df-seq 13732  df-exp 13793  df-fac 13998  df-bc 14027  df-hash 14055  df-shft 14788  df-cj 14820  df-re 14821  df-im 14822  df-sqrt 14956  df-abs 14957  df-limsup 15190  df-clim 15207  df-rlim 15208  df-sum 15408  df-ef 15787  df-sin 15789  df-cos 15790  df-pi 15792  df-struct 16858  df-sets 16875  df-slot 16893  df-ndx 16905  df-base 16923  df-ress 16952  df-plusg 16985  df-mulr 16986  df-starv 16987  df-sca 16988  df-vsca 16989  df-ip 16990  df-tset 16991  df-ple 16992  df-ds 16994  df-unif 16995  df-hom 16996  df-cco 16997  df-rest 17143  df-topn 17144  df-0g 17162  df-gsum 17163  df-topgen 17164  df-pt 17165  df-prds 17168  df-xrs 17223  df-qtop 17228  df-imas 17229  df-xps 17231  df-mre 17305  df-mrc 17306  df-acs 17308  df-mgm 18336  df-sgrp 18385  df-mnd 18396  df-submnd 18441  df-mulg 18711  df-cntz 18933  df-cmn 19398  df-psmet 20599  df-xmet 20600  df-met 20601  df-bl 20602  df-mopn 20603  df-fbas 20604  df-fg 20605  df-cnfld 20608  df-top 22053  df-topon 22070  df-topsp 22092  df-bases 22106  df-cld 22180  df-ntr 22181  df-cls 22182  df-nei 22259  df-lp 22297  df-perf 22298  df-cn 22388  df-cnp 22389  df-haus 22476  df-tx 22723  df-hmeo 22916  df-fil 23007  df-fm 23099  df-flim 23100  df-flf 23101  df-xms 23483  df-ms 23484  df-tms 23485  df-cncf 24051  df-limc 25040  df-dv 25041  df-log 25722  df-cxp 25723  df-logb 25925  df-blen 45894

This theorem is referenced by:  nnpw2blenfzo  45905  nnpw2pmod  45907