Theorem nnpw2blen 48695

Description: A positive integer is between 2 to the power of its binary length minus 1 and 2 to the power of its binary length. (Contributed by AV, 31-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnpw2blen	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))))

Proof of Theorem nnpw2blen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2rp 12905	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ+
2	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
3		nnrp 12912	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
4		1ne2 12338	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ≠ 2
5	4	necomi 2984	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≠ 1
6	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ≠ 1)
7		relogbcl 26720	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
8	2, 3, 6, 7	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
9	8	flcld 13712	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℤ)
10	9	zcnd 12588	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℂ)
11		pncan1 11551	. . . . . 6 ⊢ ((⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℂ → (((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) − 1) = (⌊‘(2 logb 𝑁)))
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) − 1) = (⌊‘(2 logb 𝑁)))
13	12	oveq2d 7371	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) − 1)) = (2↑(⌊‘(2 logb 𝑁))))
14		blennn 48690	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#b‘𝑁) = ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
15	14	oveq1d 7370	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((#b‘𝑁) − 1) = (((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) − 1))
16	15	oveq2d 7371	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) = (2↑(((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) − 1)))
17		2cnd 12213	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
18		2ne0 12239	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
19	18	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
20	17, 19, 9	cxpexpzd 26657	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑐(⌊‘(2 logb 𝑁))) = (2↑(⌊‘(2 logb 𝑁))))
21	13, 16, 20	3eqtr4d 2778	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) = (2↑𝑐(⌊‘(2 logb 𝑁))))
22		flle 13713	. . . . . 6 ⊢ ((2 logb 𝑁) ∈ ℝ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ (2 logb 𝑁))
23	8, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ (2 logb 𝑁))
24		2re 12209	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
25	24	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
26		1lt2 12301	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 2
27	26	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 < 2)
28	9	zred 12587	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℝ)
29	25, 27, 28, 8	cxpled 26666	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ (2 logb 𝑁) ↔ (2↑𝑐(⌊‘(2 logb 𝑁))) ≤ (2↑𝑐(2 logb 𝑁))))
30	23, 29	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑐(⌊‘(2 logb 𝑁))) ≤ (2↑𝑐(2 logb 𝑁)))
31		2cn 12210	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
32		eldifpr 4612	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ↔ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1))
33	31, 18, 5, 32	mpbir3an 1342	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ (ℂ ∖ {0, 1})
34		nncn 12143	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
35		nnne0 12169	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
36		eldifsn 4739	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
37	34, 35, 36	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℂ ∖ {0}))
38		cxplogb 26733	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑁 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (2↑𝑐(2 logb 𝑁)) = 𝑁)
39	33, 37, 38	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑐(2 logb 𝑁)) = 𝑁)
40	30, 39	breqtrd 5121	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑐(⌊‘(2 logb 𝑁))) ≤ 𝑁)
41	21, 40	eqbrtrd 5117	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ≤ 𝑁)
42		flltp1 13714	. . . . . 6 ⊢ ((2 logb 𝑁) ∈ ℝ → (2 logb 𝑁) < ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
43	8, 42	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 logb 𝑁) < ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
44	9	peano2zd 12590	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ)
45	44	zred 12587	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℝ)
46	25, 27, 8, 45	cxpltd 26665	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 logb 𝑁) < ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) ↔ (2↑𝑐(2 logb 𝑁)) < (2↑𝑐((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))))
47	43, 46	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑐(2 logb 𝑁)) < (2↑𝑐((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1)))
48	17, 19, 44	cxpexpzd 26657	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑐((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1)) = (2↑((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1)))
49	47, 39, 48	3brtr3d 5126	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 < (2↑((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1)))
50	14	oveq2d 7371	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(#b‘𝑁)) = (2↑((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1)))
51	49, 50	breqtrrd 5123	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁)))
52	41, 51	jca 511	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930   ∖ cdif 3896  {csn 4577  {cpr 4579   class class class wbr 5095  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  ℂcc 11014  ℝcr 11015  0cc0 11016  1c1 11017   + caddc 11019   < clt 11156   ≤ cle 11157   − cmin 11354  ℕcn 12135  2c2 12190  ℝ⁺crp 12900  ⌊cfl 13704  ↑cexp 13978  ↑_𝑐ccxp 26501   log_b clogb 26711  #_bcblen 48684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-inf2 9541  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093  ax-pre-sup 11094  ax-addf 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-of 7619  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-supp 8100  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8631  df-map 8761  df-pm 8762  df-ixp 8831  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-fin 8882  df-fsupp 9256  df-fi 9305  df-sup 9336  df-inf 9337  df-oi 9406  df-card 9842  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-div 11785  df-nn 12136  df-2 12198  df-3 12199  df-4 12200  df-5 12201  df-6 12202  df-7 12203  df-8 12204  df-9 12205  df-n0 12392  df-z 12479  df-dec 12599  df-uz 12743  df-q 12857  df-rp 12901  df-xneg 13021  df-xadd 13022  df-xmul 13023  df-ioo 13259  df-ioc 13260  df-ico 13261  df-icc 13262  df-fz 13418  df-fzo 13565  df-fl 13706  df-mod 13784  df-seq 13919  df-exp 13979  df-fac 14191  df-bc 14220  df-hash 14248  df-shft 14984  df-cj 15016  df-re 15017  df-im 15018  df-sqrt 15152  df-abs 15153  df-limsup 15388  df-clim 15405  df-rlim 15406  df-sum 15604  df-ef 15984  df-sin 15986  df-cos 15987  df-pi 15989  df-struct 17068  df-sets 17085  df-slot 17103  df-ndx 17115  df-base 17131  df-ress 17152  df-plusg 17184  df-mulr 17185  df-starv 17186  df-sca 17187  df-vsca 17188  df-ip 17189  df-tset 17190  df-ple 17191  df-ds 17193  df-unif 17194  df-hom 17195  df-cco 17196  df-rest 17336  df-topn 17337  df-0g 17355  df-gsum 17356  df-topgen 17357  df-pt 17358  df-prds 17361  df-xrs 17416  df-qtop 17421  df-imas 17422  df-xps 17424  df-mre 17498  df-mrc 17499  df-acs 17501  df-mgm 18558  df-sgrp 18637  df-mnd 18653  df-submnd 18702  df-mulg 18991  df-cntz 19239  df-cmn 19704  df-psmet 21293  df-xmet 21294  df-met 21295  df-bl 21296  df-mopn 21297  df-fbas 21298  df-fg 21299  df-cnfld 21302  df-top 22819  df-topon 22836  df-topsp 22858  df-bases 22871  df-cld 22944  df-ntr 22945  df-cls 22946  df-nei 23023  df-lp 23061  df-perf 23062  df-cn 23152  df-cnp 23153  df-haus 23240  df-tx 23487  df-hmeo 23680  df-fil 23771  df-fm 23863  df-flim 23864  df-flf 23865  df-xms 24245  df-ms 24246  df-tms 24247  df-cncf 24808  df-limc 25804  df-dv 25805  df-log 26502  df-cxp 26503  df-logb 26712  df-blen 48685

This theorem is referenced by:  nnpw2blenfzo  48696  nnpw2pmod  48698