Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nnpw2blen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnpw2blen 43389
Description: A positive integer is between 2 to the power of its binary length minus 1 and 2 to the power of its binary length. (Contributed by AV, 31-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
nnpw2blen (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑((#b𝑁) − 1)) ≤ 𝑁𝑁 < (2↑(#b𝑁))))

Proof of Theorem nnpw2blen
StepHypRef Expression
1 2rp 12142 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ+
21a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
3 nnrp 12150 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
4 1ne2 11590 . . . . . . . . . . 11 1 ≠ 2
54necomi 3023 . . . . . . . . . 10 2 ≠ 1
65a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ≠ 1)
7 relogbcl 24951 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
82, 3, 6, 7syl3anc 1439 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
98flcld 12918 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℤ)
109zcnd 11835 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℂ)
11 pncan1 10799 . . . . . 6 ((⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℂ → (((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) − 1) = (⌊‘(2 logb 𝑁)))
1210, 11syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) − 1) = (⌊‘(2 logb 𝑁)))
1312oveq2d 6938 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) − 1)) = (2↑(⌊‘(2 logb 𝑁))))
14 blennn 43384 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (#b𝑁) = ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
1514oveq1d 6937 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((#b𝑁) − 1) = (((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) − 1))
1615oveq2d 6938 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((#b𝑁) − 1)) = (2↑(((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) − 1)))
17 2cnd 11453 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
18 2ne0 11486 . . . . . 6 2 ≠ 0
1918a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
2017, 19, 9cxpexpzd 24894 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑐(⌊‘(2 logb 𝑁))) = (2↑(⌊‘(2 logb 𝑁))))
2113, 16, 203eqtr4d 2824 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((#b𝑁) − 1)) = (2↑𝑐(⌊‘(2 logb 𝑁))))
22 flle 12919 . . . . . 6 ((2 logb 𝑁) ∈ ℝ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ (2 logb 𝑁))
238, 22syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ (2 logb 𝑁))
24 2re 11449 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
2524a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
26 1lt2 11553 . . . . . . 7 1 < 2
2726a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 1 < 2)
289zred 11834 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℝ)
2925, 27, 28, 8cxpled 24903 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ (2 logb 𝑁) ↔ (2↑𝑐(⌊‘(2 logb 𝑁))) ≤ (2↑𝑐(2 logb 𝑁))))
3023, 29mpbid 224 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑐(⌊‘(2 logb 𝑁))) ≤ (2↑𝑐(2 logb 𝑁)))
31 2cn 11450 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
32 eldifpr 4426 . . . . . 6 (2 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ↔ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1))
3331, 18, 5, 32mpbir3an 1398 . . . . 5 2 ∈ (ℂ ∖ {0, 1})
34 nncn 11383 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
35 nnne0 11410 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
36 eldifsn 4550 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
3734, 35, 36sylanbrc 578 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℂ ∖ {0}))
38 cxplogb 24964 . . . . 5 ((2 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑁 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (2↑𝑐(2 logb 𝑁)) = 𝑁)
3933, 37, 38sylancr 581 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑐(2 logb 𝑁)) = 𝑁)
4030, 39breqtrd 4912 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑐(⌊‘(2 logb 𝑁))) ≤ 𝑁)
4121, 40eqbrtrd 4908 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((#b𝑁) − 1)) ≤ 𝑁)
42 flltp1 12920 . . . . . 6 ((2 logb 𝑁) ∈ ℝ → (2 logb 𝑁) < ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
438, 42syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (2 logb 𝑁) < ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
449peano2zd 11837 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ)
4544zred 11834 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℝ)
4625, 27, 8, 45cxpltd 24902 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 logb 𝑁) < ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) ↔ (2↑𝑐(2 logb 𝑁)) < (2↑𝑐((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))))
4743, 46mpbid 224 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑐(2 logb 𝑁)) < (2↑𝑐((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1)))
4817, 19, 44cxpexpzd 24894 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑐((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1)) = (2↑((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1)))
4947, 39, 483brtr3d 4917 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 < (2↑((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1)))
5014oveq2d 6938 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(#b𝑁)) = (2↑((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1)))
5149, 50breqtrrd 4914 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 < (2↑(#b𝑁)))
5241, 51jca 507 1 (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑((#b𝑁) − 1)) ≤ 𝑁𝑁 < (2↑(#b𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  wne 2969  cdif 3789  {csn 4398  {cpr 4400   class class class wbr 4886  cfv 6135  (class class class)co 6922  cc 10270  cr 10271  0cc0 10272  1c1 10273   + caddc 10275   < clt 10411  cle 10412  cmin 10606  cn 11374  2c2 11430  +crp 12137  cfl 12910  cexp 13178  𝑐ccxp 24739   logb clogb 24942  #bcblen 43378
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351  ax-mulf 10352
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-fi 8605  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-ioo 12491  df-ioc 12492  df-ico 12493  df-icc 12494  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-fl 12912  df-mod 12988  df-seq 13120  df-exp 13179  df-fac 13379  df-bc 13408  df-hash 13436  df-shft 14214  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-limsup 14610  df-clim 14627  df-rlim 14628  df-sum 14825  df-ef 15200  df-sin 15202  df-cos 15203  df-pi 15205  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-hom 16362  df-cco 16363  df-rest 16469  df-topn 16470  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-topgen 16490  df-pt 16491  df-prds 16494  df-xrs 16548  df-qtop 16553  df-imas 16554  df-xps 16556  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-mulg 17928  df-cntz 18133  df-cmn 18581  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-bl 20137  df-mopn 20138  df-fbas 20139  df-fg 20140  df-cnfld 20143  df-top 21106  df-topon 21123  df-topsp 21145  df-bases 21158  df-cld 21231  df-ntr 21232  df-cls 21233  df-nei 21310  df-lp 21348  df-perf 21349  df-cn 21439  df-cnp 21440  df-haus 21527  df-tx 21774  df-hmeo 21967  df-fil 22058  df-fm 22150  df-flim 22151  df-flf 22152  df-xms 22533  df-ms 22534  df-tms 22535  df-cncf 23089  df-limc 24067  df-dv 24068  df-log 24740  df-cxp 24741  df-logb 24943  df-blen 43379
This theorem is referenced by:  nnpw2blenfzo  43390  nnpw2pmod  43392
  Copyright terms: Public domain W3C validator