Theorem nnpw2blen 48501

Description: A positive integer is between 2 to the power of its binary length minus 1 and 2 to the power of its binary length. (Contributed by AV, 31-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnpw2blen	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))))

Proof of Theorem nnpw2blen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2rp 13039	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ+
2	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
3		nnrp 13046	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
4		1ne2 12474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ≠ 2
5	4	necomi 2995	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≠ 1
6	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ≠ 1)
7		relogbcl 26816	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
8	2, 3, 6, 7	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
9	8	flcld 13838	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℤ)
10	9	zcnd 12723	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℂ)
11		pncan1 11687	. . . . . 6 ⊢ ((⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℂ → (((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) − 1) = (⌊‘(2 logb 𝑁)))
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) − 1) = (⌊‘(2 logb 𝑁)))
13	12	oveq2d 7447	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) − 1)) = (2↑(⌊‘(2 logb 𝑁))))
14		blennn 48496	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#b‘𝑁) = ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
15	14	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((#b‘𝑁) − 1) = (((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) − 1))
16	15	oveq2d 7447	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) = (2↑(((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) − 1)))
17		2cnd 12344	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
18		2ne0 12370	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
19	18	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
20	17, 19, 9	cxpexpzd 26753	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑐(⌊‘(2 logb 𝑁))) = (2↑(⌊‘(2 logb 𝑁))))
21	13, 16, 20	3eqtr4d 2787	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) = (2↑𝑐(⌊‘(2 logb 𝑁))))
22		flle 13839	. . . . . 6 ⊢ ((2 logb 𝑁) ∈ ℝ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ (2 logb 𝑁))
23	8, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ (2 logb 𝑁))
24		2re 12340	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
25	24	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
26		1lt2 12437	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 2
27	26	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 < 2)
28	9	zred 12722	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℝ)
29	25, 27, 28, 8	cxpled 26762	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ (2 logb 𝑁) ↔ (2↑𝑐(⌊‘(2 logb 𝑁))) ≤ (2↑𝑐(2 logb 𝑁))))
30	23, 29	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑐(⌊‘(2 logb 𝑁))) ≤ (2↑𝑐(2 logb 𝑁)))
31		2cn 12341	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
32		eldifpr 4658	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ↔ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1))
33	31, 18, 5, 32	mpbir3an 1342	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ (ℂ ∖ {0, 1})
34		nncn 12274	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
35		nnne0 12300	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
36		eldifsn 4786	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
37	34, 35, 36	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℂ ∖ {0}))
38		cxplogb 26829	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑁 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (2↑𝑐(2 logb 𝑁)) = 𝑁)
39	33, 37, 38	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑐(2 logb 𝑁)) = 𝑁)
40	30, 39	breqtrd 5169	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑐(⌊‘(2 logb 𝑁))) ≤ 𝑁)
41	21, 40	eqbrtrd 5165	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ≤ 𝑁)
42		flltp1 13840	. . . . . 6 ⊢ ((2 logb 𝑁) ∈ ℝ → (2 logb 𝑁) < ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
43	8, 42	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 logb 𝑁) < ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
44	9	peano2zd 12725	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ)
45	44	zred 12722	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℝ)
46	25, 27, 8, 45	cxpltd 26761	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 logb 𝑁) < ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) ↔ (2↑𝑐(2 logb 𝑁)) < (2↑𝑐((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))))
47	43, 46	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑐(2 logb 𝑁)) < (2↑𝑐((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1)))
48	17, 19, 44	cxpexpzd 26753	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑐((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1)) = (2↑((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1)))
49	47, 39, 48	3brtr3d 5174	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 < (2↑((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1)))
50	14	oveq2d 7447	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(#b‘𝑁)) = (2↑((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1)))
51	49, 50	breqtrrd 5171	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁)))
52	41, 51	jca 511	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   ∖ cdif 3948  {csn 4626  {cpr 4628   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295   ≤ cle 11296   − cmin 11492  ℕcn 12266  2c2 12321  ℝ⁺crp 13034  ⌊cfl 13830  ↑cexp 14102  ↑_𝑐ccxp 26597   log_b clogb 26807  #_bcblen 48490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598  df-cxp 26599  df-logb 26808  df-blen 48491

This theorem is referenced by:  nnpw2blenfzo  48502  nnpw2pmod  48504