Theorem relogbmul 26262

Description: The logarithm of the product of two positive real numbers is the sum of logarithms. Property 2 of [Cohen4] p. 361. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Sep-2014.) (Revised by AV, 29-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
relogbmul	⊢ ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ (𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+)) → (𝐵 logb (𝐴 · 𝐶)) = ((𝐵 logb 𝐴) + (𝐵 logb 𝐶)))

Proof of Theorem relogbmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relogmul 26082	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (log‘(𝐴 · 𝐶)) = ((log‘𝐴) + (log‘𝐶)))
2	1	adantl 483	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ (𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+)) → (log‘(𝐴 · 𝐶)) = ((log‘𝐴) + (log‘𝐶)))
3	2	oveq1d 7419	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ (𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+)) → ((log‘(𝐴 · 𝐶)) / (log‘𝐵)) = (((log‘𝐴) + (log‘𝐶)) / (log‘𝐵)))
4		relogcl 26066	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
5	4	recnd 11238	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
6	5	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
7		relogcl 26066	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → (log‘𝐶) ∈ ℝ)
8	7	recnd 11238	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → (log‘𝐶) ∈ ℂ)
9	8	adantl 483	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (log‘𝐶) ∈ ℂ)
10		eldifpr 4659	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1))
11		3simpa 1149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
12	10, 11	sylbi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
13		logcl 26059	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (log‘𝐵) ∈ ℂ)
14	12, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) → (log‘𝐵) ∈ ℂ)
15		logccne0 26069	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1) → (log‘𝐵) ≠ 0)
16	10, 15	sylbi 216	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) → (log‘𝐵) ≠ 0)
17	14, 16	jca 513	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) → ((log‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (log‘𝐵) ≠ 0))
18	17	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ (𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+)) → ((log‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (log‘𝐵) ≠ 0))
19		divdir 11893	. . . 4 ⊢ (((log‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (log‘𝐶) ∈ ℂ ∧ ((log‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (log‘𝐵) ≠ 0)) → (((log‘𝐴) + (log‘𝐶)) / (log‘𝐵)) = (((log‘𝐴) / (log‘𝐵)) + ((log‘𝐶) / (log‘𝐵))))
20	6, 9, 18, 19	syl2an23an 1424	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ (𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+)) → (((log‘𝐴) + (log‘𝐶)) / (log‘𝐵)) = (((log‘𝐴) / (log‘𝐵)) + ((log‘𝐶) / (log‘𝐵))))
21	3, 20	eqtrd 2773	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ (𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+)) → ((log‘(𝐴 · 𝐶)) / (log‘𝐵)) = (((log‘𝐴) / (log‘𝐵)) + ((log‘𝐶) / (log‘𝐵))))
22		rpcn 12980	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℂ)
23		rpcn 12980	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → 𝐶 ∈ ℂ)
24		mulcl 11190	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
25	22, 23, 24	syl2an 597	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
26	22	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
27	23	adantl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℂ)
28		rpne0 12986	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)
29	28	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≠ 0)
30		rpne0 12986	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → 𝐶 ≠ 0)
31	30	adantl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ≠ 0)
32	26, 27, 29, 31	mulne0d 11862	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐶) ≠ 0)
33		eldifsn 4789	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝐶) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐶) ≠ 0))
34	25, 32, 33	sylanbrc 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐶) ∈ (ℂ ∖ {0}))
35		logbval 26251	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ (𝐴 · 𝐶) ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐵 logb (𝐴 · 𝐶)) = ((log‘(𝐴 · 𝐶)) / (log‘𝐵)))
36	34, 35	sylan2 594	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ (𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+)) → (𝐵 logb (𝐴 · 𝐶)) = ((log‘(𝐴 · 𝐶)) / (log‘𝐵)))
37		rpcndif0 12989	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}))
38	37	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}))
39		logbval 26251	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐵 logb 𝐴) = ((log‘𝐴) / (log‘𝐵)))
40	38, 39	sylan2 594	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ (𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+)) → (𝐵 logb 𝐴) = ((log‘𝐴) / (log‘𝐵)))
41		rpcndif0 12989	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → 𝐶 ∈ (ℂ ∖ {0}))
42	41	adantl 483	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ (ℂ ∖ {0}))
43		logbval 26251	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝐶 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐵 logb 𝐶) = ((log‘𝐶) / (log‘𝐵)))
44	42, 43	sylan2 594	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ (𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+)) → (𝐵 logb 𝐶) = ((log‘𝐶) / (log‘𝐵)))
45	40, 44	oveq12d 7422	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ (𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+)) → ((𝐵 logb 𝐴) + (𝐵 logb 𝐶)) = (((log‘𝐴) / (log‘𝐵)) + ((log‘𝐶) / (log‘𝐵))))
46	21, 36, 45	3eqtr4d 2783	1 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ (𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+)) → (𝐵 logb (𝐴 · 𝐶)) = ((𝐵 logb 𝐴) + (𝐵 logb 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941   ∖ cdif 3944  {csn 4627  {cpr 4629  ‘cfv 6540  (class class class)co 7404  ℂcc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111   / cdiv 11867  ℝ⁺crp 12970  logclog 26045   log_b clogb 26249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7665  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010  df-pi 16012  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19643  df-psmet 20921  df-xmet 20922  df-met 20923  df-bl 20924  df-mopn 20925  df-fbas 20926  df-fg 20927  df-cnfld 20930  df-top 22378  df-topon 22395  df-topsp 22417  df-bases 22431  df-cld 22505  df-ntr 22506  df-cls 22507  df-nei 22584  df-lp 22622  df-perf 22623  df-cn 22713  df-cnp 22714  df-haus 22801  df-tx 23048  df-hmeo 23241  df-fil 23332  df-fm 23424  df-flim 23425  df-flf 23426  df-xms 23808  df-ms 23809  df-tms 23810  df-cncf 24376  df-limc 25365  df-dv 25366  df-log 26047  df-logb 26250

This theorem is referenced by:  relogbmulexp  26263  blennnt2  47177