Theorem eldisjeq 37606

Description: Equality theorem for disjoint elementhood. (Contributed by Peter Mazsa, 23-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
eldisjeq	⊢ (𝐴 = 𝐵 → ( ElDisj 𝐴 ↔ ElDisj 𝐵))

Proof of Theorem eldisjeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reseq2 5976	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (◡ E ↾ 𝐴) = (◡ E ↾ 𝐵))
2	1	disjeqd 37601	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ( Disj (◡ E ↾ 𝐴) ↔ Disj (◡ E ↾ 𝐵)))
3		df-eldisj 37572	. 2 ⊢ ( ElDisj 𝐴 ↔ Disj (◡ E ↾ 𝐴))
4		df-eldisj 37572	. 2 ⊢ ( ElDisj 𝐵 ↔ Disj (◡ E ↾ 𝐵))
5	2, 3, 4	3bitr4g 313	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ( ElDisj 𝐴 ↔ ElDisj 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1541   E cep 5579  ^◡ccnv 5675   ↾ cres 5678   Disj wdisjALTV 37072   ElDisj weldisj 37074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-coss 37276  df-cnvrefrel 37392  df-funALTV 37547  df-disjALTV 37570  df-eldisj 37572

This theorem is referenced by:  eldisjeqi  37607  eldisjeqd  37608  eqvrelqseqdisj2  37694