Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eldisjeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eldisjeq 38207
Description: Equality theorem for disjoint elementhood. (Contributed by Peter Mazsa, 23-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
eldisjeq (𝐴 = 𝐵 → ( ElDisj 𝐴 ↔ ElDisj 𝐵))

Proof of Theorem eldisjeq
StepHypRef Expression
1 reseq2 5974 . . 3 (𝐴 = 𝐵 → ( E ↾ 𝐴) = ( E ↾ 𝐵))
21disjeqd 38202 . 2 (𝐴 = 𝐵 → ( Disj ( E ↾ 𝐴) ↔ Disj ( E ↾ 𝐵)))
3 df-eldisj 38173 . 2 ( ElDisj 𝐴 ↔ Disj ( E ↾ 𝐴))
4 df-eldisj 38173 . 2 ( ElDisj 𝐵 ↔ Disj ( E ↾ 𝐵))
52, 3, 43bitr4g 314 1 (𝐴 = 𝐵 → ( ElDisj 𝐴 ↔ ElDisj 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1534   E cep 5575  ccnv 5671  cres 5674   Disj wdisjALTV 37676   ElDisj weldisj 37678
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3472  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4319  df-if 4525  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-br 5143  df-opab 5205  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-coss 37877  df-cnvrefrel 37993  df-funALTV 38148  df-disjALTV 38171  df-eldisj 38173
This theorem is referenced by:  eldisjeqi  38208  eldisjeqd  38209  eqvrelqseqdisj2  38295
  Copyright terms: Public domain W3C validator