Theorem eldisjeq 39550

Description: Equality theorem for disjoint elementhood. (Contributed by Peter Mazsa, 23-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
eldisjeq	⊢ (𝐴 = 𝐵 → ( ElDisj 𝐴 ↔ ElDisj 𝐵))

Proof of Theorem eldisjeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reseq2 5975	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (◡ E ↾ 𝐴) = (◡ E ↾ 𝐵))
2	1	disjeqd 39545	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ( Disj (◡ E ↾ 𝐴) ↔ Disj (◡ E ↾ 𝐵)))
3		df-eldisj 39501	. 2 ⊢ ( ElDisj 𝐴 ↔ Disj (◡ E ↾ 𝐴))
4		df-eldisj 39501	. 2 ⊢ ( ElDisj 𝐵 ↔ Disj (◡ E ↾ 𝐵))
5	2, 3, 4	3bitr4g 317	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ( ElDisj 𝐴 ↔ ElDisj 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   E cep 5562  ^◡ccnv 5662   ↾ cres 5665   Disj wdisjALTV 38928   ElDisj weldisj 38930

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-11 2195  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-br 5112  df-opab 5176  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-coss 39210  df-cnvrefrel 39316  df-funALTV 39476  df-disjALTV 39499  df-eldisj 39501

This theorem is used by:  eldisjeqi  39551  eldisjeqd  39552  eqvrelqseqdisj2  39641