Theorem eldisjeq 38859

Description: Equality theorem for disjoint elementhood. (Contributed by Peter Mazsa, 23-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
eldisjeq	⊢ (𝐴 = 𝐵 → ( ElDisj 𝐴 ↔ ElDisj 𝐵))

Proof of Theorem eldisjeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reseq2 5927	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (◡ E ↾ 𝐴) = (◡ E ↾ 𝐵))
2	1	disjeqd 38854	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ( Disj (◡ E ↾ 𝐴) ↔ Disj (◡ E ↾ 𝐵)))
3		df-eldisj 38825	. 2 ⊢ ( ElDisj 𝐴 ↔ Disj (◡ E ↾ 𝐴))
4		df-eldisj 38825	. 2 ⊢ ( ElDisj 𝐵 ↔ Disj (◡ E ↾ 𝐵))
5	2, 3, 4	3bitr4g 314	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ( ElDisj 𝐴 ↔ ElDisj 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   E cep 5518  ^◡ccnv 5618   ↾ cres 5621   Disj wdisjALTV 38276   ElDisj weldisj 38278

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-11 2162  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-br 5094  df-opab 5156  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-coss 38533  df-cnvrefrel 38639  df-funALTV 38800  df-disjALTV 38823  df-eldisj 38825

This theorem is referenced by:  eldisjeqi  38860  eldisjeqd  38861  eqvrelqseqdisj2  38947