Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eqvrelqseqdisj2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eqvrelqseqdisj2 38831
Description: Implication of eqvreldisj2 38827, lemma for The Main Theorem of Equivalences mainer 38836. (Contributed by Peter Mazsa, 23-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
eqvrelqseqdisj2 (( EqvRel 𝑅 ∧ (𝐵 / 𝑅) = 𝐴) → ElDisj 𝐴)

Proof of Theorem eqvrelqseqdisj2
StepHypRef Expression
1 eqvreldisj2 38827 . . 3 ( EqvRel 𝑅 → ElDisj (𝐵 / 𝑅))
21adantr 480 . 2 (( EqvRel 𝑅 ∧ (𝐵 / 𝑅) = 𝐴) → ElDisj (𝐵 / 𝑅))
3 eldisjeq 38743 . . 3 ((𝐵 / 𝑅) = 𝐴 → ( ElDisj (𝐵 / 𝑅) ↔ ElDisj 𝐴))
43adantl 481 . 2 (( EqvRel 𝑅 ∧ (𝐵 / 𝑅) = 𝐴) → ( ElDisj (𝐵 / 𝑅) ↔ ElDisj 𝐴))
52, 4mpbid 232 1 (( EqvRel 𝑅 ∧ (𝐵 / 𝑅) = 𝐴) → ElDisj 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1539   / cqs 8745   EqvRel weqvrel 38200   ElDisj weldisj 38219
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-rab 3436  df-v 3481  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-br 5143  df-opab 5205  df-id 5577  df-eprel 5583  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-ec 8748  df-qs 8752  df-coss 38413  df-refrel 38514  df-cnvrefrel 38529  df-symrel 38546  df-trrel 38576  df-eqvrel 38587  df-funALTV 38684  df-disjALTV 38707  df-eldisj 38709
This theorem is referenced by:  fences3  38832  mainer  38836
  Copyright terms: Public domain W3C validator