Theorem eqvrelqseqdisj2 39212

Description: Implication of eqvreldisj2 39208, lemma for The Main Theorem of Equivalences mainer 39228. (Contributed by Peter Mazsa, 23-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
eqvrelqseqdisj2	⊢ (( EqvRel 𝑅 ∧ (𝐵 / 𝑅) = 𝐴) → ElDisj 𝐴)

Proof of Theorem eqvrelqseqdisj2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqvreldisj2 39208	. . 3 ⊢ ( EqvRel 𝑅 → ElDisj (𝐵 / 𝑅))
2	1	adantr 480	. 2 ⊢ (( EqvRel 𝑅 ∧ (𝐵 / 𝑅) = 𝐴) → ElDisj (𝐵 / 𝑅))
3		eldisjeq 39121	. . 3 ⊢ ((𝐵 / 𝑅) = 𝐴 → ( ElDisj (𝐵 / 𝑅) ↔ ElDisj 𝐴))
4	3	adantl 481	. 2 ⊢ (( EqvRel 𝑅 ∧ (𝐵 / 𝑅) = 𝐴) → ( ElDisj (𝐵 / 𝑅) ↔ ElDisj 𝐴))
5	2, 4	mpbid 232	1 ⊢ (( EqvRel 𝑅 ∧ (𝐵 / 𝑅) = 𝐴) → ElDisj 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   / cqs 8646   EqvRel weqvrel 38480   ElDisj weldisj 38501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-pr 5381

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-br 5101  df-opab 5163  df-id 5529  df-eprel 5534  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-ec 8649  df-qs 8653  df-coss 38781  df-refrel 38872  df-cnvrefrel 38887  df-symrel 38904  df-trrel 38938  df-eqvrel 38949  df-funALTV 39047  df-disjALTV 39070  df-eldisj 39072

This theorem is referenced by:  disjimeldisjdmqs  39213  fences3  39224  mainer  39228