Theorem eqvrelqseqdisj2 39531

Description: Implication of eqvreldisj2 39527, lemma for The Main Theorem of Equivalences mainer 39547. (Contributed by Peter Mazsa, 23-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
eqvrelqseqdisj2	⊢ (( EqvRel 𝑅 ∧ (𝐵 / 𝑅) = 𝐴) → ElDisj 𝐴)

Proof of Theorem eqvrelqseqdisj2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqvreldisj2 39527	. . 3 ⊢ ( EqvRel 𝑅 → ElDisj (𝐵 / 𝑅))
2	1	adantr 485	. 2 ⊢ (( EqvRel 𝑅 ∧ (𝐵 / 𝑅) = 𝐴) → ElDisj (𝐵 / 𝑅))
3		eldisjeq 39440	. . 3 ⊢ ((𝐵 / 𝑅) = 𝐴 → ( ElDisj (𝐵 / 𝑅) ↔ ElDisj 𝐴))
4	3	adantl 486	. 2 ⊢ (( EqvRel 𝑅 ∧ (𝐵 / 𝑅) = 𝐴) → ( ElDisj (𝐵 / 𝑅) ↔ ElDisj 𝐴))
5	2, 4	mpbid 235	1 ⊢ (( EqvRel 𝑅 ∧ (𝐵 / 𝑅) = 𝐴) → ElDisj 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1568   / cqs 8696   EqvRel weqvrel 38799   ElDisj weldisj 38820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-sep 5262  ax-pr 5408

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rmo 3376  df-rab 3424  df-v 3464  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-br 5115  df-opab 5179  df-id 5560  df-eprel 5565  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-ec 8699  df-qs 8703  df-coss 39100  df-refrel 39191  df-cnvrefrel 39206  df-symrel 39223  df-trrel 39257  df-eqvrel 39268  df-funALTV 39366  df-disjALTV 39389  df-eldisj 39391

This theorem is referenced by:  disjimeldisjdmqs  39532  fences3  39543  mainer  39547