Theorem eqvrelqseqdisj2 39667

Description: Implication of eqvreldisj2 39663, lemma for The Main Theorem of Equivalences mainer 39683. (Contributed by Peter Mazsa, 23-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
eqvrelqseqdisj2	⊢ (( EqvRel 𝑅 ∧ (𝐵 / 𝑅) = 𝐴) → ElDisj 𝐴)

Proof of Theorem eqvrelqseqdisj2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqvreldisj2 39663	. . 3 ⊢ ( EqvRel 𝑅 → ElDisj (𝐵 / 𝑅))
2	1	adantr 486	. 2 ⊢ (( EqvRel 𝑅 ∧ (𝐵 / 𝑅) = 𝐴) → ElDisj (𝐵 / 𝑅))
3		eldisjeq 39576	. . 3 ⊢ ((𝐵 / 𝑅) = 𝐴 → ( ElDisj (𝐵 / 𝑅) ↔ ElDisj 𝐴))
4	3	adantl 487	. 2 ⊢ (( EqvRel 𝑅 ∧ (𝐵 / 𝑅) = 𝐴) → ( ElDisj (𝐵 / 𝑅) ↔ ElDisj 𝐴))
5	2, 4	mpbid 235	1 ⊢ (( EqvRel 𝑅 ∧ (𝐵 / 𝑅) = 𝐴) → ElDisj 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   / cqs 8698   EqvRel weqvrel 38935   ElDisj weldisj 38956

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-br 5108  df-opab 5172  df-id 5554  df-eprel 5559  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ec 8701  df-qs 8705  df-coss 39236  df-refrel 39327  df-cnvrefrel 39342  df-symrel 39359  df-trrel 39393  df-eqvrel 39404  df-funALTV 39502  df-disjALTV 39525  df-eldisj 39527

This theorem is used by:  disjimeldisjdmqs  39668  fences3  39679  mainer  39683