Theorem eldisjss 38340

Description: Subclass theorem for disjoint elementhood. (Contributed by Peter Mazsa, 23-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
eldisjss	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ( ElDisj 𝐵 → ElDisj 𝐴))

Proof of Theorem eldisjss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssres2 6010	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (◡ E ↾ 𝐴) ⊆ (◡ E ↾ 𝐵))
2	1	disjssd 38335	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ( Disj (◡ E ↾ 𝐵) → Disj (◡ E ↾ 𝐴)))
3		df-eldisj 38309	. 2 ⊢ ( ElDisj 𝐵 ↔ Disj (◡ E ↾ 𝐵))
4		df-eldisj 38309	. 2 ⊢ ( ElDisj 𝐴 ↔ Disj (◡ E ↾ 𝐴))
5	2, 3, 4	3imtr4g 295	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ( ElDisj 𝐵 → ElDisj 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ⊆ wss 3944   E cep 5581  ^◡ccnv 5677   ↾ cres 5680   Disj wdisjALTV 37813   ElDisj weldisj 37815

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5429

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3419  df-v 3463  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-br 5150  df-opab 5212  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-coss 38013  df-cnvrefrel 38129  df-funALTV 38284  df-disjALTV 38307  df-eldisj 38309

This theorem is referenced by:  eldisjssi  38341  eldisjssd  38342