Theorem eldisjss 36776

Description: Subclass theorem for disjoint elementhood. (Contributed by Peter Mazsa, 23-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
eldisjss	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ( ElDisj 𝐵 → ElDisj 𝐴))

Proof of Theorem eldisjss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssres2 5908	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (◡ E ↾ 𝐴) ⊆ (◡ E ↾ 𝐵))
2	1	disjssd 36771	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ( Disj (◡ E ↾ 𝐵) → Disj (◡ E ↾ 𝐴)))
3		df-eldisj 36745	. 2 ⊢ ( ElDisj 𝐵 ↔ Disj (◡ E ↾ 𝐵))
4		df-eldisj 36745	. 2 ⊢ ( ElDisj 𝐴 ↔ Disj (◡ E ↾ 𝐴))
5	2, 3, 4	3imtr4g 295	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ( ElDisj 𝐵 → ElDisj 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ⊆ wss 3883   E cep 5485  ^◡ccnv 5579   ↾ cres 5582   Disj wdisjALTV 36294   ElDisj weldisj 36296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-br 5071  df-opab 5133  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-coss 36464  df-cnvrefrel 36570  df-funALTV 36720  df-disjALTV 36743  df-eldisj 36745

This theorem is referenced by:  eldisjssi  36777  eldisjssd  36778