Theorem elelsuc 6433

Description: Membership in a successor. (Contributed by NM, 20-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
elelsuc	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ suc 𝐵)

Proof of Theorem elelsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orc 881	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵))
2		elsucg 6428	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ suc 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
3	1, 2	mpbird 260	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ suc 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  suc csuc 6359

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-tru 1573  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-v 3452  df-un 3904  df-sn 4585  df-suc 6363

This theorem is used by:  suctr  6446  pssnn  9163  ttrcltr  9695  ttrclss  9699  ttrclselem2  9705  pwsdompw  10205  fin1a2lem4  10405  grur1a  10828  bnj570  35414  fineqvnttrclselem3  35649  satom  35935  satfv0  35937  satfvsuc  35940  satf00  35953  satf0suc  35955  sat1el2xp  35958  fmla  35960  fmla0  35961  fmlasuc0  35963  satfdmfmla  35979  nmulprop  36770  finxpsuclem  38151