Theorem elelsuc 6440

Description: Membership in a successor. (Contributed by NM, 20-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
elelsuc	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ suc 𝐵)

Proof of Theorem elelsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orc 881	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵))
2		elsucg 6435	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ suc 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
3	1, 2	mpbird 260	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ suc 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  suc csuc 6366

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-tru 1573  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-v 3459  df-un 3911  df-sn 4592  df-suc 6370

This theorem is used by:  suctr  6453  pssnn  9160  ttrcltr  9692  ttrclss  9696  ttrclselem2  9702  pwsdompw  10202  fin1a2lem4  10402  grur1a  10819  bnj570  35358  fineqvnttrclselem3  35593  satom  35885  satfv0  35887  satfvsuc  35890  satf00  35903  satf0suc  35905  sat1el2xp  35908  fmla  35910  fmla0  35911  fmlasuc0  35913  satfdmfmla  35929  nmulprop  36719  finxpsuclem  38100