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Theorem pssnn 8385
Description: A proper subset of a natural number is equinumerous to some smaller number. Lemma 6F of [Enderton] p. 137. (Contributed by NM, 22-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
pssnn ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ∃𝑥𝐴 𝐵𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem pssnn
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pssss 3863 . . . 4 (𝐵𝐴𝐵𝐴)
2 ssexg 4965 . . . 4 ((𝐵𝐴𝐴 ∈ ω) → 𝐵 ∈ V)
31, 2sylan 575 . . 3 ((𝐵𝐴𝐴 ∈ ω) → 𝐵 ∈ V)
43ancoms 450 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ V)
5 psseq2 3856 . . . . . . . 8 (𝑧 = ∅ → (𝑤𝑧𝑤 ⊊ ∅))
6 rexeq 3287 . . . . . . . 8 (𝑧 = ∅ → (∃𝑥𝑧 𝑤𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ∅ 𝑤𝑥))
75, 6imbi12d 335 . . . . . . 7 (𝑧 = ∅ → ((𝑤𝑧 → ∃𝑥𝑧 𝑤𝑥) ↔ (𝑤 ⊊ ∅ → ∃𝑥 ∈ ∅ 𝑤𝑥)))
87albidv 2015 . . . . . 6 (𝑧 = ∅ → (∀𝑤(𝑤𝑧 → ∃𝑥𝑧 𝑤𝑥) ↔ ∀𝑤(𝑤 ⊊ ∅ → ∃𝑥 ∈ ∅ 𝑤𝑥)))
9 psseq2 3856 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 → (𝑤𝑧𝑤𝑦))
10 rexeq 3287 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 → (∃𝑥𝑧 𝑤𝑥 ↔ ∃𝑥𝑦 𝑤𝑥))
119, 10imbi12d 335 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑤𝑧 → ∃𝑥𝑧 𝑤𝑥) ↔ (𝑤𝑦 → ∃𝑥𝑦 𝑤𝑥)))
1211albidv 2015 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑦 → (∀𝑤(𝑤𝑧 → ∃𝑥𝑧 𝑤𝑥) ↔ ∀𝑤(𝑤𝑦 → ∃𝑥𝑦 𝑤𝑥)))
13 psseq2 3856 . . . . . . . 8 (𝑧 = suc 𝑦 → (𝑤𝑧𝑤 ⊊ suc 𝑦))
14 rexeq 3287 . . . . . . . 8 (𝑧 = suc 𝑦 → (∃𝑥𝑧 𝑤𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ suc 𝑦𝑤𝑥))
1513, 14imbi12d 335 . . . . . . 7 (𝑧 = suc 𝑦 → ((𝑤𝑧 → ∃𝑥𝑧 𝑤𝑥) ↔ (𝑤 ⊊ suc 𝑦 → ∃𝑥 ∈ suc 𝑦𝑤𝑥)))
1615albidv 2015 . . . . . 6 (𝑧 = suc 𝑦 → (∀𝑤(𝑤𝑧 → ∃𝑥𝑧 𝑤𝑥) ↔ ∀𝑤(𝑤 ⊊ suc 𝑦 → ∃𝑥 ∈ suc 𝑦𝑤𝑥)))
17 psseq2 3856 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝐴 → (𝑤𝑧𝑤𝐴))
18 rexeq 3287 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝐴 → (∃𝑥𝑧 𝑤𝑥 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑤𝑥))
1917, 18imbi12d 335 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐴 → ((𝑤𝑧 → ∃𝑥𝑧 𝑤𝑥) ↔ (𝑤𝐴 → ∃𝑥𝐴 𝑤𝑥)))
2019albidv 2015 . . . . . 6 (𝑧 = 𝐴 → (∀𝑤(𝑤𝑧 → ∃𝑥𝑧 𝑤𝑥) ↔ ∀𝑤(𝑤𝐴 → ∃𝑥𝐴 𝑤𝑥)))
21 npss0 4176 . . . . . . . 8 ¬ 𝑤 ⊊ ∅
2221pm2.21i 117 . . . . . . 7 (𝑤 ⊊ ∅ → ∃𝑥 ∈ ∅ 𝑤𝑥)
2322ax-gen 1890 . . . . . 6 𝑤(𝑤 ⊊ ∅ → ∃𝑥 ∈ ∅ 𝑤𝑥)
24 nfv 2009 . . . . . . 7 𝑤 𝑦 ∈ ω
25 nfa1 2193 . . . . . . 7 𝑤𝑤(𝑤𝑦 → ∃𝑥𝑦 𝑤𝑥)
26 elequ1 2162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧𝑤𝑦𝑤))
2726biimpcd 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧𝑤 → (𝑧 = 𝑦𝑦𝑤))
2827con3d 149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧𝑤 → (¬ 𝑦𝑤 → ¬ 𝑧 = 𝑦))
2928adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑤 ⊊ suc 𝑦𝑧𝑤) → (¬ 𝑦𝑤 → ¬ 𝑧 = 𝑦))
30 pssss 3863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 ⊊ suc 𝑦𝑤 ⊆ suc 𝑦)
3130sseld 3760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑤 ⊊ suc 𝑦 → (𝑧𝑤𝑧 ∈ suc 𝑦))
32 elsuci 5974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 ∈ suc 𝑦 → (𝑧𝑦𝑧 = 𝑦))
3332ord 890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 ∈ suc 𝑦 → (¬ 𝑧𝑦𝑧 = 𝑦))
3433con1d 141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 ∈ suc 𝑦 → (¬ 𝑧 = 𝑦𝑧𝑦))
3531, 34syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 ⊊ suc 𝑦 → (𝑧𝑤 → (¬ 𝑧 = 𝑦𝑧𝑦)))
3635imp 395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑤 ⊊ suc 𝑦𝑧𝑤) → (¬ 𝑧 = 𝑦𝑧𝑦))
3729, 36syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑤 ⊊ suc 𝑦𝑧𝑤) → (¬ 𝑦𝑤𝑧𝑦))
3837impancom 443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑤 ⊊ suc 𝑦 ∧ ¬ 𝑦𝑤) → (𝑧𝑤𝑧𝑦))
3938ssrdv 3767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 ⊊ suc 𝑦 ∧ ¬ 𝑦𝑤) → 𝑤𝑦)
4039anim1i 608 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑤 ⊊ suc 𝑦 ∧ ¬ 𝑦𝑤) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑦) → (𝑤𝑦 ∧ ¬ 𝑤 = 𝑦))
41 dfpss2 3853 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤𝑦 ↔ (𝑤𝑦 ∧ ¬ 𝑤 = 𝑦))
4240, 41sylibr 225 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑤 ⊊ suc 𝑦 ∧ ¬ 𝑦𝑤) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑦) → 𝑤𝑦)
43 elelsuc 5980 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥𝑦𝑥 ∈ suc 𝑦)
4443anim1i 608 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝑦𝑤𝑥) → (𝑥 ∈ suc 𝑦𝑤𝑥))
4544reximi2 3156 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃𝑥𝑦 𝑤𝑥 → ∃𝑥 ∈ suc 𝑦𝑤𝑥)
4642, 45imim12i 62 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤𝑦 → ∃𝑥𝑦 𝑤𝑥) → (((𝑤 ⊊ suc 𝑦 ∧ ¬ 𝑦𝑤) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑦) → ∃𝑥 ∈ suc 𝑦𝑤𝑥))
4746exp4c 423 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤𝑦 → ∃𝑥𝑦 𝑤𝑥) → (𝑤 ⊊ suc 𝑦 → (¬ 𝑦𝑤 → (¬ 𝑤 = 𝑦 → ∃𝑥 ∈ suc 𝑦𝑤𝑥))))
4847sps 2217 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑤(𝑤𝑦 → ∃𝑥𝑦 𝑤𝑥) → (𝑤 ⊊ suc 𝑦 → (¬ 𝑦𝑤 → (¬ 𝑤 = 𝑦 → ∃𝑥 ∈ suc 𝑦𝑤𝑥))))
4948adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ω ∧ ∀𝑤(𝑤𝑦 → ∃𝑥𝑦 𝑤𝑥)) → (𝑤 ⊊ suc 𝑦 → (¬ 𝑦𝑤 → (¬ 𝑤 = 𝑦 → ∃𝑥 ∈ suc 𝑦𝑤𝑥))))
5049com4t 93 . . . . . . . . 9 𝑦𝑤 → (¬ 𝑤 = 𝑦 → ((𝑦 ∈ ω ∧ ∀𝑤(𝑤𝑦 → ∃𝑥𝑦 𝑤𝑥)) → (𝑤 ⊊ suc 𝑦 → ∃𝑥 ∈ suc 𝑦𝑤𝑥))))
51 anidm 560 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ⊊ suc 𝑦𝑤 ⊊ suc 𝑦) ↔ 𝑤 ⊊ suc 𝑦)
52 ssdif 3907 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ⊆ suc 𝑦 → (𝑤 ∖ {𝑦}) ⊆ (suc 𝑦 ∖ {𝑦}))
53 nnord 7271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ω → Ord 𝑦)
54 orddif 6001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Ord 𝑦𝑦 = (suc 𝑦 ∖ {𝑦}))
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ ω → 𝑦 = (suc 𝑦 ∖ {𝑦}))
5655sseq2d 3793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ω → ((𝑤 ∖ {𝑦}) ⊆ 𝑦 ↔ (𝑤 ∖ {𝑦}) ⊆ (suc 𝑦 ∖ {𝑦})))
5752, 56syl5ibr 237 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ω → (𝑤 ⊆ suc 𝑦 → (𝑤 ∖ {𝑦}) ⊆ 𝑦))
5830, 57syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ω → (𝑤 ⊊ suc 𝑦 → (𝑤 ∖ {𝑦}) ⊆ 𝑦))
59 pssnel 4199 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ⊊ suc 𝑦 → ∃𝑧(𝑧 ∈ suc 𝑦 ∧ ¬ 𝑧𝑤))
60 eleq2 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑤 ∖ {𝑦}) = 𝑦 → (𝑧 ∈ (𝑤 ∖ {𝑦}) ↔ 𝑧𝑦))
61 eldifi 3894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 ∈ (𝑤 ∖ {𝑦}) → 𝑧𝑤)
6260, 61syl6bir 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑤 ∖ {𝑦}) = 𝑦 → (𝑧𝑦𝑧𝑤))
6362adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑦𝑤𝑧 ∈ suc 𝑦) ∧ (𝑤 ∖ {𝑦}) = 𝑦) → (𝑧𝑦𝑧𝑤))
64 eleq1a 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦𝑤 → (𝑧 = 𝑦𝑧𝑤))
6533, 64sylan9r 504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦𝑤𝑧 ∈ suc 𝑦) → (¬ 𝑧𝑦𝑧𝑤))
6665adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑦𝑤𝑧 ∈ suc 𝑦) ∧ (𝑤 ∖ {𝑦}) = 𝑦) → (¬ 𝑧𝑦𝑧𝑤))
6763, 66pm2.61d 171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑦𝑤𝑧 ∈ suc 𝑦) ∧ (𝑤 ∖ {𝑦}) = 𝑦) → 𝑧𝑤)
6867ex 401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦𝑤𝑧 ∈ suc 𝑦) → ((𝑤 ∖ {𝑦}) = 𝑦𝑧𝑤))
6968con3d 149 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦𝑤𝑧 ∈ suc 𝑦) → (¬ 𝑧𝑤 → ¬ (𝑤 ∖ {𝑦}) = 𝑦))
7069expimpd 445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦𝑤 → ((𝑧 ∈ suc 𝑦 ∧ ¬ 𝑧𝑤) → ¬ (𝑤 ∖ {𝑦}) = 𝑦))
7170exlimdv 2028 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦𝑤 → (∃𝑧(𝑧 ∈ suc 𝑦 ∧ ¬ 𝑧𝑤) → ¬ (𝑤 ∖ {𝑦}) = 𝑦))
7259, 71syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦𝑤 → (𝑤 ⊊ suc 𝑦 → ¬ (𝑤 ∖ {𝑦}) = 𝑦))
7358, 72im2anan9r 614 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦𝑤𝑦 ∈ ω) → ((𝑤 ⊊ suc 𝑦𝑤 ⊊ suc 𝑦) → ((𝑤 ∖ {𝑦}) ⊆ 𝑦 ∧ ¬ (𝑤 ∖ {𝑦}) = 𝑦)))
7451, 73syl5bir 234 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝑤𝑦 ∈ ω) → (𝑤 ⊊ suc 𝑦 → ((𝑤 ∖ {𝑦}) ⊆ 𝑦 ∧ ¬ (𝑤 ∖ {𝑦}) = 𝑦)))
75 dfpss2 3853 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤 ∖ {𝑦}) ⊊ 𝑦 ↔ ((𝑤 ∖ {𝑦}) ⊆ 𝑦 ∧ ¬ (𝑤 ∖ {𝑦}) = 𝑦))
7674, 75syl6ibr 243 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦𝑤𝑦 ∈ ω) → (𝑤 ⊊ suc 𝑦 → (𝑤 ∖ {𝑦}) ⊊ 𝑦))
77 psseq1 3855 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 = 𝑧 → (𝑤𝑦𝑧𝑦))
78 breq1 4812 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = 𝑧 → (𝑤𝑥𝑧𝑥))
7978rexbidv 3199 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 = 𝑧 → (∃𝑥𝑦 𝑤𝑥 ↔ ∃𝑥𝑦 𝑧𝑥))
8077, 79imbi12d 335 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 = 𝑧 → ((𝑤𝑦 → ∃𝑥𝑦 𝑤𝑥) ↔ (𝑧𝑦 → ∃𝑥𝑦 𝑧𝑥)))
8180cbvalvw 2136 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑤(𝑤𝑦 → ∃𝑥𝑦 𝑤𝑥) ↔ ∀𝑧(𝑧𝑦 → ∃𝑥𝑦 𝑧𝑥))
82 vex 3353 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑤 ∈ V
83 difss 3899 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 ∖ {𝑦}) ⊆ 𝑤
8482, 83ssexi 4964 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∖ {𝑦}) ∈ V
85 psseq1 3855 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑤 ∖ {𝑦}) → (𝑧𝑦 ↔ (𝑤 ∖ {𝑦}) ⊊ 𝑦))
86 breq1 4812 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = (𝑤 ∖ {𝑦}) → (𝑧𝑥 ↔ (𝑤 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥))
8786rexbidv 3199 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑤 ∖ {𝑦}) → (∃𝑥𝑦 𝑧𝑥 ↔ ∃𝑥𝑦 (𝑤 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥))
8885, 87imbi12d 335 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝑤 ∖ {𝑦}) → ((𝑧𝑦 → ∃𝑥𝑦 𝑧𝑥) ↔ ((𝑤 ∖ {𝑦}) ⊊ 𝑦 → ∃𝑥𝑦 (𝑤 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥)))
8984, 88spcv 3451 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑧(𝑧𝑦 → ∃𝑥𝑦 𝑧𝑥) → ((𝑤 ∖ {𝑦}) ⊊ 𝑦 → ∃𝑥𝑦 (𝑤 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥))
9081, 89sylbi 208 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑤(𝑤𝑦 → ∃𝑥𝑦 𝑤𝑥) → ((𝑤 ∖ {𝑦}) ⊊ 𝑦 → ∃𝑥𝑦 (𝑤 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥))
9176, 90sylan9 503 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦𝑤𝑦 ∈ ω) ∧ ∀𝑤(𝑤𝑦 → ∃𝑥𝑦 𝑤𝑥)) → (𝑤 ⊊ suc 𝑦 → ∃𝑥𝑦 (𝑤 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥))
92 ordsucelsuc 7220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Ord 𝑦 → (𝑥𝑦 ↔ suc 𝑥 ∈ suc 𝑦))
9392biimpd 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Ord 𝑦 → (𝑥𝑦 → suc 𝑥 ∈ suc 𝑦))
9453, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ ω → (𝑥𝑦 → suc 𝑥 ∈ suc 𝑦))
9594adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦𝑤𝑦 ∈ ω) → (𝑥𝑦 → suc 𝑥 ∈ suc 𝑦))
9695adantrd 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦𝑤𝑦 ∈ ω) → ((𝑥𝑦 ∧ (𝑤 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥) → suc 𝑥 ∈ suc 𝑦))
97 elnn 7273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥𝑦𝑦 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
98 snex 5064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 {⟨𝑦, 𝑥⟩} ∈ V
99 vex 3353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑦 ∈ V
100 vex 3353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑥 ∈ V
10199, 100f1osn 6359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 {⟨𝑦, 𝑥⟩}:{𝑦}–1-1-onto→{𝑥}
102 f1oen3g 8176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (({⟨𝑦, 𝑥⟩} ∈ V ∧ {⟨𝑦, 𝑥⟩}:{𝑦}–1-1-onto→{𝑥}) → {𝑦} ≈ {𝑥})
10398, 101, 102mp2an 683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 {𝑦} ≈ {𝑥}
104103jctr 520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑤 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥 → ((𝑤 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥 ∧ {𝑦} ≈ {𝑥}))
105 nnord 7271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ ω → Ord 𝑥)
106 orddisj 5946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (Ord 𝑥 → (𝑥 ∩ {𝑥}) = ∅)
107105, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ ω → (𝑥 ∩ {𝑥}) = ∅)
108 incom 3967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ({𝑦} ∩ (𝑤 ∖ {𝑦})) = ((𝑤 ∖ {𝑦}) ∩ {𝑦})
109 disjdif 4200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ({𝑦} ∩ (𝑤 ∖ {𝑦})) = ∅
110108, 109eqtr3i 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑤 ∖ {𝑦}) ∩ {𝑦}) = ∅
111107, 110jctil 515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ω → (((𝑤 ∖ {𝑦}) ∩ {𝑦}) = ∅ ∧ (𝑥 ∩ {𝑥}) = ∅))
112 unen 8247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑤 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥 ∧ {𝑦} ≈ {𝑥}) ∧ (((𝑤 ∖ {𝑦}) ∩ {𝑦}) = ∅ ∧ (𝑥 ∩ {𝑥}) = ∅)) → ((𝑤 ∖ {𝑦}) ∪ {𝑦}) ≈ (𝑥 ∪ {𝑥}))
113104, 111, 112syl2an 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑤 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥𝑥 ∈ ω) → ((𝑤 ∖ {𝑦}) ∪ {𝑦}) ≈ (𝑥 ∪ {𝑥}))
114 difsnid 4495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦𝑤 → ((𝑤 ∖ {𝑦}) ∪ {𝑦}) = 𝑤)
115114eqcomd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦𝑤𝑤 = ((𝑤 ∖ {𝑦}) ∪ {𝑦}))
116 df-suc 5914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 suc 𝑥 = (𝑥 ∪ {𝑥})
117116a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦𝑤 → suc 𝑥 = (𝑥 ∪ {𝑥}))
118115, 117breq12d 4822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦𝑤 → (𝑤 ≈ suc 𝑥 ↔ ((𝑤 ∖ {𝑦}) ∪ {𝑦}) ≈ (𝑥 ∪ {𝑥})))
119113, 118syl5ibr 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦𝑤 → (((𝑤 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥𝑥 ∈ ω) → 𝑤 ≈ suc 𝑥))
12097, 119sylan2i 599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦𝑤 → (((𝑤 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥 ∧ (𝑥𝑦𝑦 ∈ ω)) → 𝑤 ≈ suc 𝑥))
121120exp4d 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦𝑤 → ((𝑤 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥 → (𝑥𝑦 → (𝑦 ∈ ω → 𝑤 ≈ suc 𝑥))))
122121com24 95 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦𝑤 → (𝑦 ∈ ω → (𝑥𝑦 → ((𝑤 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥𝑤 ≈ suc 𝑥))))
123122imp4b 412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦𝑤𝑦 ∈ ω) → ((𝑥𝑦 ∧ (𝑤 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥) → 𝑤 ≈ suc 𝑥))
12496, 123jcad 508 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦𝑤𝑦 ∈ ω) → ((𝑥𝑦 ∧ (𝑤 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥) → (suc 𝑥 ∈ suc 𝑦𝑤 ≈ suc 𝑥)))
125 breq2 4813 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = suc 𝑥 → (𝑤𝑧𝑤 ≈ suc 𝑥))
126125rspcev 3461 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((suc 𝑥 ∈ suc 𝑦𝑤 ≈ suc 𝑥) → ∃𝑧 ∈ suc 𝑦𝑤𝑧)
127124, 126syl6 35 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦𝑤𝑦 ∈ ω) → ((𝑥𝑦 ∧ (𝑤 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥) → ∃𝑧 ∈ suc 𝑦𝑤𝑧))
128127exlimdv 2028 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝑤𝑦 ∈ ω) → (∃𝑥(𝑥𝑦 ∧ (𝑤 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥) → ∃𝑧 ∈ suc 𝑦𝑤𝑧))
129 df-rex 3061 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑥𝑦 (𝑤 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥𝑦 ∧ (𝑤 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥))
130 breq2 4813 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑧 → (𝑤𝑥𝑤𝑧))
131130cbvrexv 3320 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑥 ∈ suc 𝑦𝑤𝑥 ↔ ∃𝑧 ∈ suc 𝑦𝑤𝑧)
132128, 129, 1313imtr4g 287 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦𝑤𝑦 ∈ ω) → (∃𝑥𝑦 (𝑤 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ suc 𝑦𝑤𝑥))
133132adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦𝑤𝑦 ∈ ω) ∧ ∀𝑤(𝑤𝑦 → ∃𝑥𝑦 𝑤𝑥)) → (∃𝑥𝑦 (𝑤 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ suc 𝑦𝑤𝑥))
13491, 133syld 47 . . . . . . . . . 10 (((𝑦𝑤𝑦 ∈ ω) ∧ ∀𝑤(𝑤𝑦 → ∃𝑥𝑦 𝑤𝑥)) → (𝑤 ⊊ suc 𝑦 → ∃𝑥 ∈ suc 𝑦𝑤𝑥))
135134expl 449 . . . . . . . . 9 (𝑦𝑤 → ((𝑦 ∈ ω ∧ ∀𝑤(𝑤𝑦 → ∃𝑥𝑦 𝑤𝑥)) → (𝑤 ⊊ suc 𝑦 → ∃𝑥 ∈ suc 𝑦𝑤𝑥)))
13682eqelsuc 5989 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑦𝑤 ∈ suc 𝑦)
13782enref 8193 . . . . . . . . . . 11 𝑤𝑤
138 breq2 4813 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑤 → (𝑤𝑥𝑤𝑤))
139138rspcev 3461 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ suc 𝑦𝑤𝑤) → ∃𝑥 ∈ suc 𝑦𝑤𝑥)
140136, 137, 139sylancl 580 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑦 → ∃𝑥 ∈ suc 𝑦𝑤𝑥)
1411402a1d 26 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑦 → ((𝑦 ∈ ω ∧ ∀𝑤(𝑤𝑦 → ∃𝑥𝑦 𝑤𝑥)) → (𝑤 ⊊ suc 𝑦 → ∃𝑥 ∈ suc 𝑦𝑤𝑥)))
14250, 135, 141pm2.61ii 177 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ω ∧ ∀𝑤(𝑤𝑦 → ∃𝑥𝑦 𝑤𝑥)) → (𝑤 ⊊ suc 𝑦 → ∃𝑥 ∈ suc 𝑦𝑤𝑥))
143142ex 401 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ω → (∀𝑤(𝑤𝑦 → ∃𝑥𝑦 𝑤𝑥) → (𝑤 ⊊ suc 𝑦 → ∃𝑥 ∈ suc 𝑦𝑤𝑥)))
14424, 25, 143alrimd 2248 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ω → (∀𝑤(𝑤𝑦 → ∃𝑥𝑦 𝑤𝑥) → ∀𝑤(𝑤 ⊊ suc 𝑦 → ∃𝑥 ∈ suc 𝑦𝑤𝑥)))
1458, 12, 16, 20, 23, 144finds 7290 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → ∀𝑤(𝑤𝐴 → ∃𝑥𝐴 𝑤𝑥))
146 psseq1 3855 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝐵 → (𝑤𝐴𝐵𝐴))
147 breq1 4812 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝐵 → (𝑤𝑥𝐵𝑥))
148147rexbidv 3199 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝐵 → (∃𝑥𝐴 𝑤𝑥 ↔ ∃𝑥𝐴 𝐵𝑥))
149146, 148imbi12d 335 . . . . . 6 (𝑤 = 𝐵 → ((𝑤𝐴 → ∃𝑥𝐴 𝑤𝑥) ↔ (𝐵𝐴 → ∃𝑥𝐴 𝐵𝑥)))
150149spcgv 3445 . . . . 5 (𝐵 ∈ V → (∀𝑤(𝑤𝐴 → ∃𝑥𝐴 𝑤𝑥) → (𝐵𝐴 → ∃𝑥𝐴 𝐵𝑥)))
151145, 150syl5 34 . . . 4 (𝐵 ∈ V → (𝐴 ∈ ω → (𝐵𝐴 → ∃𝑥𝐴 𝐵𝑥)))
152151com3l 89 . . 3 (𝐴 ∈ ω → (𝐵𝐴 → (𝐵 ∈ V → ∃𝑥𝐴 𝐵𝑥)))
153152imp 395 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → (𝐵 ∈ V → ∃𝑥𝐴 𝐵𝑥))
1544, 153mpd 15 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ∃𝑥𝐴 𝐵𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  wal 1650   = wceq 1652  wex 1874  wcel 2155  wrex 3056  Vcvv 3350  cdif 3729  cun 3730  cin 3731  wss 3732  wpss 3733  c0 4079  {csn 4334  cop 4340   class class class wbr 4809  Ord word 5907  suc csuc 5910  1-1-ontowf1o 6067  ωcom 7263  cen 8157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-br 4810  df-opab 4872  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-om 7264  df-en 8161
This theorem is referenced by:  ssnnfi  8386
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