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Theorem pssnn 8582
Description: A proper subset of a natural number is equinumerous to some smaller number. Lemma 6F of [Enderton] p. 137. (Contributed by NM, 22-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
pssnn ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ∃𝑥𝐴 𝐵𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem pssnn
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pssss 3993 . . . 4 (𝐵𝐴𝐵𝐴)
2 ssexg 5118 . . . 4 ((𝐵𝐴𝐴 ∈ ω) → 𝐵 ∈ V)
31, 2sylan 580 . . 3 ((𝐵𝐴𝐴 ∈ ω) → 𝐵 ∈ V)
43ancoms 459 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ V)
5 psseq2 3986 . . . . . . . 8 (𝑧 = ∅ → (𝑤𝑧𝑤 ⊊ ∅))
6 rexeq 3366 . . . . . . . 8 (𝑧 = ∅ → (∃𝑥𝑧 𝑤𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ∅ 𝑤𝑥))
75, 6imbi12d 346 . . . . . . 7 (𝑧 = ∅ → ((𝑤𝑧 → ∃𝑥𝑧 𝑤𝑥) ↔ (𝑤 ⊊ ∅ → ∃𝑥 ∈ ∅ 𝑤𝑥)))
87albidv 1898 . . . . . 6 (𝑧 = ∅ → (∀𝑤(𝑤𝑧 → ∃𝑥𝑧 𝑤𝑥) ↔ ∀𝑤(𝑤 ⊊ ∅ → ∃𝑥 ∈ ∅ 𝑤𝑥)))
9 psseq2 3986 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 → (𝑤𝑧𝑤𝑦))
10 rexeq 3366 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 → (∃𝑥𝑧 𝑤𝑥 ↔ ∃𝑥𝑦 𝑤𝑥))
119, 10imbi12d 346 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑤𝑧 → ∃𝑥𝑧 𝑤𝑥) ↔ (𝑤𝑦 → ∃𝑥𝑦 𝑤𝑥)))
1211albidv 1898 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑦 → (∀𝑤(𝑤𝑧 → ∃𝑥𝑧 𝑤𝑥) ↔ ∀𝑤(𝑤𝑦 → ∃𝑥𝑦 𝑤𝑥)))
13 psseq2 3986 . . . . . . . 8 (𝑧 = suc 𝑦 → (𝑤𝑧𝑤 ⊊ suc 𝑦))
14 rexeq 3366 . . . . . . . 8 (𝑧 = suc 𝑦 → (∃𝑥𝑧 𝑤𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ suc 𝑦𝑤𝑥))
1513, 14imbi12d 346 . . . . . . 7 (𝑧 = suc 𝑦 → ((𝑤𝑧 → ∃𝑥𝑧 𝑤𝑥) ↔ (𝑤 ⊊ suc 𝑦 → ∃𝑥 ∈ suc 𝑦𝑤𝑥)))
1615albidv 1898 . . . . . 6 (𝑧 = suc 𝑦 → (∀𝑤(𝑤𝑧 → ∃𝑥𝑧 𝑤𝑥) ↔ ∀𝑤(𝑤 ⊊ suc 𝑦 → ∃𝑥 ∈ suc 𝑦𝑤𝑥)))
17 psseq2 3986 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝐴 → (𝑤𝑧𝑤𝐴))
18 rexeq 3366 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝐴 → (∃𝑥𝑧 𝑤𝑥 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑤𝑥))
1917, 18imbi12d 346 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐴 → ((𝑤𝑧 → ∃𝑥𝑧 𝑤𝑥) ↔ (𝑤𝐴 → ∃𝑥𝐴 𝑤𝑥)))
2019albidv 1898 . . . . . 6 (𝑧 = 𝐴 → (∀𝑤(𝑤𝑧 → ∃𝑥𝑧 𝑤𝑥) ↔ ∀𝑤(𝑤𝐴 → ∃𝑥𝐴 𝑤𝑥)))
21 npss0 4311 . . . . . . . 8 ¬ 𝑤 ⊊ ∅
2221pm2.21i 119 . . . . . . 7 (𝑤 ⊊ ∅ → ∃𝑥 ∈ ∅ 𝑤𝑥)
2322ax-gen 1777 . . . . . 6 𝑤(𝑤 ⊊ ∅ → ∃𝑥 ∈ ∅ 𝑤𝑥)
24 nfv 1892 . . . . . . 7 𝑤 𝑦 ∈ ω
25 nfa1 2121 . . . . . . 7 𝑤𝑤(𝑤𝑦 → ∃𝑥𝑦 𝑤𝑥)
26 elequ1 2088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧𝑤𝑦𝑤))
2726biimpcd 250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧𝑤 → (𝑧 = 𝑦𝑦𝑤))
2827con3d 155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧𝑤 → (¬ 𝑦𝑤 → ¬ 𝑧 = 𝑦))
2928adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑤 ⊊ suc 𝑦𝑧𝑤) → (¬ 𝑦𝑤 → ¬ 𝑧 = 𝑦))
30 pssss 3993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 ⊊ suc 𝑦𝑤 ⊆ suc 𝑦)
3130sseld 3888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑤 ⊊ suc 𝑦 → (𝑧𝑤𝑧 ∈ suc 𝑦))
32 elsuci 6132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 ∈ suc 𝑦 → (𝑧𝑦𝑧 = 𝑦))
3332ord 859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 ∈ suc 𝑦 → (¬ 𝑧𝑦𝑧 = 𝑦))
3433con1d 147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 ∈ suc 𝑦 → (¬ 𝑧 = 𝑦𝑧𝑦))
3531, 34syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 ⊊ suc 𝑦 → (𝑧𝑤 → (¬ 𝑧 = 𝑦𝑧𝑦)))
3635imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑤 ⊊ suc 𝑦𝑧𝑤) → (¬ 𝑧 = 𝑦𝑧𝑦))
3729, 36syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑤 ⊊ suc 𝑦𝑧𝑤) → (¬ 𝑦𝑤𝑧𝑦))
3837impancom 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑤 ⊊ suc 𝑦 ∧ ¬ 𝑦𝑤) → (𝑧𝑤𝑧𝑦))
3938ssrdv 3895 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 ⊊ suc 𝑦 ∧ ¬ 𝑦𝑤) → 𝑤𝑦)
4039anim1i 614 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑤 ⊊ suc 𝑦 ∧ ¬ 𝑦𝑤) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑦) → (𝑤𝑦 ∧ ¬ 𝑤 = 𝑦))
41 dfpss2 3983 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤𝑦 ↔ (𝑤𝑦 ∧ ¬ 𝑤 = 𝑦))
4240, 41sylibr 235 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑤 ⊊ suc 𝑦 ∧ ¬ 𝑦𝑤) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑦) → 𝑤𝑦)
43 elelsuc 6138 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥𝑦𝑥 ∈ suc 𝑦)
4443anim1i 614 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝑦𝑤𝑥) → (𝑥 ∈ suc 𝑦𝑤𝑥))
4544reximi2 3208 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃𝑥𝑦 𝑤𝑥 → ∃𝑥 ∈ suc 𝑦𝑤𝑥)
4642, 45imim12i 62 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤𝑦 → ∃𝑥𝑦 𝑤𝑥) → (((𝑤 ⊊ suc 𝑦 ∧ ¬ 𝑦𝑤) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑦) → ∃𝑥 ∈ suc 𝑦𝑤𝑥))
4746exp4c 433 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤𝑦 → ∃𝑥𝑦 𝑤𝑥) → (𝑤 ⊊ suc 𝑦 → (¬ 𝑦𝑤 → (¬ 𝑤 = 𝑦 → ∃𝑥 ∈ suc 𝑦𝑤𝑥))))
4847sps 2148 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑤(𝑤𝑦 → ∃𝑥𝑦 𝑤𝑥) → (𝑤 ⊊ suc 𝑦 → (¬ 𝑦𝑤 → (¬ 𝑤 = 𝑦 → ∃𝑥 ∈ suc 𝑦𝑤𝑥))))
4948adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ω ∧ ∀𝑤(𝑤𝑦 → ∃𝑥𝑦 𝑤𝑥)) → (𝑤 ⊊ suc 𝑦 → (¬ 𝑦𝑤 → (¬ 𝑤 = 𝑦 → ∃𝑥 ∈ suc 𝑦𝑤𝑥))))
5049com4t 93 . . . . . . . . 9 𝑦𝑤 → (¬ 𝑤 = 𝑦 → ((𝑦 ∈ ω ∧ ∀𝑤(𝑤𝑦 → ∃𝑥𝑦 𝑤𝑥)) → (𝑤 ⊊ suc 𝑦 → ∃𝑥 ∈ suc 𝑦𝑤𝑥))))
51 anidm 565 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ⊊ suc 𝑦𝑤 ⊊ suc 𝑦) ↔ 𝑤 ⊊ suc 𝑦)
52 ssdif 4037 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ⊆ suc 𝑦 → (𝑤 ∖ {𝑦}) ⊆ (suc 𝑦 ∖ {𝑦}))
53 nnord 7444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ω → Ord 𝑦)
54 orddif 6159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Ord 𝑦𝑦 = (suc 𝑦 ∖ {𝑦}))
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ ω → 𝑦 = (suc 𝑦 ∖ {𝑦}))
5655sseq2d 3920 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ω → ((𝑤 ∖ {𝑦}) ⊆ 𝑦 ↔ (𝑤 ∖ {𝑦}) ⊆ (suc 𝑦 ∖ {𝑦})))
5752, 56syl5ibr 247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ω → (𝑤 ⊆ suc 𝑦 → (𝑤 ∖ {𝑦}) ⊆ 𝑦))
5830, 57syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ω → (𝑤 ⊊ suc 𝑦 → (𝑤 ∖ {𝑦}) ⊆ 𝑦))
59 pssnel 4334 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ⊊ suc 𝑦 → ∃𝑧(𝑧 ∈ suc 𝑦 ∧ ¬ 𝑧𝑤))
60 eleq2 2871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑤 ∖ {𝑦}) = 𝑦 → (𝑧 ∈ (𝑤 ∖ {𝑦}) ↔ 𝑧𝑦))
61 eldifi 4024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 ∈ (𝑤 ∖ {𝑦}) → 𝑧𝑤)
6260, 61syl6bir 255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑤 ∖ {𝑦}) = 𝑦 → (𝑧𝑦𝑧𝑤))
6362adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑦𝑤𝑧 ∈ suc 𝑦) ∧ (𝑤 ∖ {𝑦}) = 𝑦) → (𝑧𝑦𝑧𝑤))
64 eleq1a 2878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦𝑤 → (𝑧 = 𝑦𝑧𝑤))
6533, 64sylan9r 509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦𝑤𝑧 ∈ suc 𝑦) → (¬ 𝑧𝑦𝑧𝑤))
6665adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑦𝑤𝑧 ∈ suc 𝑦) ∧ (𝑤 ∖ {𝑦}) = 𝑦) → (¬ 𝑧𝑦𝑧𝑤))
6763, 66pm2.61d 180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑦𝑤𝑧 ∈ suc 𝑦) ∧ (𝑤 ∖ {𝑦}) = 𝑦) → 𝑧𝑤)
6867ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦𝑤𝑧 ∈ suc 𝑦) → ((𝑤 ∖ {𝑦}) = 𝑦𝑧𝑤))
6968con3d 155 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦𝑤𝑧 ∈ suc 𝑦) → (¬ 𝑧𝑤 → ¬ (𝑤 ∖ {𝑦}) = 𝑦))
7069expimpd 454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦𝑤 → ((𝑧 ∈ suc 𝑦 ∧ ¬ 𝑧𝑤) → ¬ (𝑤 ∖ {𝑦}) = 𝑦))
7170exlimdv 1911 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦𝑤 → (∃𝑧(𝑧 ∈ suc 𝑦 ∧ ¬ 𝑧𝑤) → ¬ (𝑤 ∖ {𝑦}) = 𝑦))
7259, 71syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦𝑤 → (𝑤 ⊊ suc 𝑦 → ¬ (𝑤 ∖ {𝑦}) = 𝑦))
7358, 72im2anan9r 620 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦𝑤𝑦 ∈ ω) → ((𝑤 ⊊ suc 𝑦𝑤 ⊊ suc 𝑦) → ((𝑤 ∖ {𝑦}) ⊆ 𝑦 ∧ ¬ (𝑤 ∖ {𝑦}) = 𝑦)))
7451, 73syl5bir 244 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝑤𝑦 ∈ ω) → (𝑤 ⊊ suc 𝑦 → ((𝑤 ∖ {𝑦}) ⊆ 𝑦 ∧ ¬ (𝑤 ∖ {𝑦}) = 𝑦)))
75 dfpss2 3983 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤 ∖ {𝑦}) ⊊ 𝑦 ↔ ((𝑤 ∖ {𝑦}) ⊆ 𝑦 ∧ ¬ (𝑤 ∖ {𝑦}) = 𝑦))
7674, 75syl6ibr 253 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦𝑤𝑦 ∈ ω) → (𝑤 ⊊ suc 𝑦 → (𝑤 ∖ {𝑦}) ⊊ 𝑦))
77 psseq1 3985 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 = 𝑧 → (𝑤𝑦𝑧𝑦))
78 breq1 4965 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = 𝑧 → (𝑤𝑥𝑧𝑥))
7978rexbidv 3260 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 = 𝑧 → (∃𝑥𝑦 𝑤𝑥 ↔ ∃𝑥𝑦 𝑧𝑥))
8077, 79imbi12d 346 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 = 𝑧 → ((𝑤𝑦 → ∃𝑥𝑦 𝑤𝑥) ↔ (𝑧𝑦 → ∃𝑥𝑦 𝑧𝑥)))
8180cbvalvw 2020 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑤(𝑤𝑦 → ∃𝑥𝑦 𝑤𝑥) ↔ ∀𝑧(𝑧𝑦 → ∃𝑥𝑦 𝑧𝑥))
82 vex 3440 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑤 ∈ V
8382difexi 5123 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∖ {𝑦}) ∈ V
84 psseq1 3985 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑤 ∖ {𝑦}) → (𝑧𝑦 ↔ (𝑤 ∖ {𝑦}) ⊊ 𝑦))
85 breq1 4965 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = (𝑤 ∖ {𝑦}) → (𝑧𝑥 ↔ (𝑤 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥))
8685rexbidv 3260 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑤 ∖ {𝑦}) → (∃𝑥𝑦 𝑧𝑥 ↔ ∃𝑥𝑦 (𝑤 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥))
8784, 86imbi12d 346 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝑤 ∖ {𝑦}) → ((𝑧𝑦 → ∃𝑥𝑦 𝑧𝑥) ↔ ((𝑤 ∖ {𝑦}) ⊊ 𝑦 → ∃𝑥𝑦 (𝑤 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥)))
8883, 87spcv 3548 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑧(𝑧𝑦 → ∃𝑥𝑦 𝑧𝑥) → ((𝑤 ∖ {𝑦}) ⊊ 𝑦 → ∃𝑥𝑦 (𝑤 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥))
8981, 88sylbi 218 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑤(𝑤𝑦 → ∃𝑥𝑦 𝑤𝑥) → ((𝑤 ∖ {𝑦}) ⊊ 𝑦 → ∃𝑥𝑦 (𝑤 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥))
9076, 89sylan9 508 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦𝑤𝑦 ∈ ω) ∧ ∀𝑤(𝑤𝑦 → ∃𝑥𝑦 𝑤𝑥)) → (𝑤 ⊊ suc 𝑦 → ∃𝑥𝑦 (𝑤 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥))
91 ordsucelsuc 7393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Ord 𝑦 → (𝑥𝑦 ↔ suc 𝑥 ∈ suc 𝑦))
9291biimpd 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Ord 𝑦 → (𝑥𝑦 → suc 𝑥 ∈ suc 𝑦))
9353, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ ω → (𝑥𝑦 → suc 𝑥 ∈ suc 𝑦))
9493adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦𝑤𝑦 ∈ ω) → (𝑥𝑦 → suc 𝑥 ∈ suc 𝑦))
9594adantrd 492 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦𝑤𝑦 ∈ ω) → ((𝑥𝑦 ∧ (𝑤 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥) → suc 𝑥 ∈ suc 𝑦))
96 elnn 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥𝑦𝑦 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
97 snex 5223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 {⟨𝑦, 𝑥⟩} ∈ V
98 vex 3440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑦 ∈ V
99 vex 3440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑥 ∈ V
10098, 99f1osn 6522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 {⟨𝑦, 𝑥⟩}:{𝑦}–1-1-onto→{𝑥}
101 f1oen3g 8373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (({⟨𝑦, 𝑥⟩} ∈ V ∧ {⟨𝑦, 𝑥⟩}:{𝑦}–1-1-onto→{𝑥}) → {𝑦} ≈ {𝑥})
10297, 100, 101mp2an 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 {𝑦} ≈ {𝑥}
103102jctr 525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑤 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥 → ((𝑤 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥 ∧ {𝑦} ≈ {𝑥}))
104 nnord 7444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ ω → Ord 𝑥)
105 orddisj 6104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (Ord 𝑥 → (𝑥 ∩ {𝑥}) = ∅)
106104, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ ω → (𝑥 ∩ {𝑥}) = ∅)
107 incom 4099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ({𝑦} ∩ (𝑤 ∖ {𝑦})) = ((𝑤 ∖ {𝑦}) ∩ {𝑦})
108 disjdif 4335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ({𝑦} ∩ (𝑤 ∖ {𝑦})) = ∅
109107, 108eqtr3i 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑤 ∖ {𝑦}) ∩ {𝑦}) = ∅
110106, 109jctil 520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ω → (((𝑤 ∖ {𝑦}) ∩ {𝑦}) = ∅ ∧ (𝑥 ∩ {𝑥}) = ∅))
111 unen 8444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑤 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥 ∧ {𝑦} ≈ {𝑥}) ∧ (((𝑤 ∖ {𝑦}) ∩ {𝑦}) = ∅ ∧ (𝑥 ∩ {𝑥}) = ∅)) → ((𝑤 ∖ {𝑦}) ∪ {𝑦}) ≈ (𝑥 ∪ {𝑥}))
112103, 110, 111syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑤 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥𝑥 ∈ ω) → ((𝑤 ∖ {𝑦}) ∪ {𝑦}) ≈ (𝑥 ∪ {𝑥}))
113 difsnid 4650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦𝑤 → ((𝑤 ∖ {𝑦}) ∪ {𝑦}) = 𝑤)
114113eqcomd 2801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦𝑤𝑤 = ((𝑤 ∖ {𝑦}) ∪ {𝑦}))
115 df-suc 6072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 suc 𝑥 = (𝑥 ∪ {𝑥})
116115a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦𝑤 → suc 𝑥 = (𝑥 ∪ {𝑥}))
117114, 116breq12d 4975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦𝑤 → (𝑤 ≈ suc 𝑥 ↔ ((𝑤 ∖ {𝑦}) ∪ {𝑦}) ≈ (𝑥 ∪ {𝑥})))
118112, 117syl5ibr 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦𝑤 → (((𝑤 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥𝑥 ∈ ω) → 𝑤 ≈ suc 𝑥))
11996, 118sylan2i 605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦𝑤 → (((𝑤 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥 ∧ (𝑥𝑦𝑦 ∈ ω)) → 𝑤 ≈ suc 𝑥))
120119exp4d 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦𝑤 → ((𝑤 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥 → (𝑥𝑦 → (𝑦 ∈ ω → 𝑤 ≈ suc 𝑥))))
121120com24 95 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦𝑤 → (𝑦 ∈ ω → (𝑥𝑦 → ((𝑤 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥𝑤 ≈ suc 𝑥))))
122121imp4b 422 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦𝑤𝑦 ∈ ω) → ((𝑥𝑦 ∧ (𝑤 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥) → 𝑤 ≈ suc 𝑥))
12395, 122jcad 513 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦𝑤𝑦 ∈ ω) → ((𝑥𝑦 ∧ (𝑤 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥) → (suc 𝑥 ∈ suc 𝑦𝑤 ≈ suc 𝑥)))
124 breq2 4966 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = suc 𝑥 → (𝑤𝑧𝑤 ≈ suc 𝑥))
125124rspcev 3559 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((suc 𝑥 ∈ suc 𝑦𝑤 ≈ suc 𝑥) → ∃𝑧 ∈ suc 𝑦𝑤𝑧)
126123, 125syl6 35 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦𝑤𝑦 ∈ ω) → ((𝑥𝑦 ∧ (𝑤 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥) → ∃𝑧 ∈ suc 𝑦𝑤𝑧))
127126exlimdv 1911 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝑤𝑦 ∈ ω) → (∃𝑥(𝑥𝑦 ∧ (𝑤 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥) → ∃𝑧 ∈ suc 𝑦𝑤𝑧))
128 df-rex 3111 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑥𝑦 (𝑤 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥𝑦 ∧ (𝑤 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥))
129 breq2 4966 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑧 → (𝑤𝑥𝑤𝑧))
130129cbvrexv 3404 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑥 ∈ suc 𝑦𝑤𝑥 ↔ ∃𝑧 ∈ suc 𝑦𝑤𝑧)
131127, 128, 1303imtr4g 297 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦𝑤𝑦 ∈ ω) → (∃𝑥𝑦 (𝑤 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ suc 𝑦𝑤𝑥))
132131adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦𝑤𝑦 ∈ ω) ∧ ∀𝑤(𝑤𝑦 → ∃𝑥𝑦 𝑤𝑥)) → (∃𝑥𝑦 (𝑤 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ suc 𝑦𝑤𝑥))
13390, 132syld 47 . . . . . . . . . 10 (((𝑦𝑤𝑦 ∈ ω) ∧ ∀𝑤(𝑤𝑦 → ∃𝑥𝑦 𝑤𝑥)) → (𝑤 ⊊ suc 𝑦 → ∃𝑥 ∈ suc 𝑦𝑤𝑥))
134133expl 458 . . . . . . . . 9 (𝑦𝑤 → ((𝑦 ∈ ω ∧ ∀𝑤(𝑤𝑦 → ∃𝑥𝑦 𝑤𝑥)) → (𝑤 ⊊ suc 𝑦 → ∃𝑥 ∈ suc 𝑦𝑤𝑥)))
13582eqelsuc 6147 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑦𝑤 ∈ suc 𝑦)
13682enref 8390 . . . . . . . . . . 11 𝑤𝑤
137 breq2 4966 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑤 → (𝑤𝑥𝑤𝑤))
138137rspcev 3559 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ suc 𝑦𝑤𝑤) → ∃𝑥 ∈ suc 𝑦𝑤𝑥)
139135, 136, 138sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑦 → ∃𝑥 ∈ suc 𝑦𝑤𝑥)
1401392a1d 26 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑦 → ((𝑦 ∈ ω ∧ ∀𝑤(𝑤𝑦 → ∃𝑥𝑦 𝑤𝑥)) → (𝑤 ⊊ suc 𝑦 → ∃𝑥 ∈ suc 𝑦𝑤𝑥)))
14150, 134, 140pm2.61ii 184 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ω ∧ ∀𝑤(𝑤𝑦 → ∃𝑥𝑦 𝑤𝑥)) → (𝑤 ⊊ suc 𝑦 → ∃𝑥 ∈ suc 𝑦𝑤𝑥))
142141ex 413 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ω → (∀𝑤(𝑤𝑦 → ∃𝑥𝑦 𝑤𝑥) → (𝑤 ⊊ suc 𝑦 → ∃𝑥 ∈ suc 𝑦𝑤𝑥)))
14324, 25, 142alrimd 2180 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ω → (∀𝑤(𝑤𝑦 → ∃𝑥𝑦 𝑤𝑥) → ∀𝑤(𝑤 ⊊ suc 𝑦 → ∃𝑥 ∈ suc 𝑦𝑤𝑥)))
1448, 12, 16, 20, 23, 143finds 7464 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → ∀𝑤(𝑤𝐴 → ∃𝑥𝐴 𝑤𝑥))
145 psseq1 3985 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝐵 → (𝑤𝐴𝐵𝐴))
146 breq1 4965 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝐵 → (𝑤𝑥𝐵𝑥))
147146rexbidv 3260 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝐵 → (∃𝑥𝐴 𝑤𝑥 ↔ ∃𝑥𝐴 𝐵𝑥))
148145, 147imbi12d 346 . . . . . 6 (𝑤 = 𝐵 → ((𝑤𝐴 → ∃𝑥𝐴 𝑤𝑥) ↔ (𝐵𝐴 → ∃𝑥𝐴 𝐵𝑥)))
149148spcgv 3538 . . . . 5 (𝐵 ∈ V → (∀𝑤(𝑤𝐴 → ∃𝑥𝐴 𝑤𝑥) → (𝐵𝐴 → ∃𝑥𝐴 𝐵𝑥)))
150144, 149syl5 34 . . . 4 (𝐵 ∈ V → (𝐴 ∈ ω → (𝐵𝐴 → ∃𝑥𝐴 𝐵𝑥)))
151150com3l 89 . . 3 (𝐴 ∈ ω → (𝐵𝐴 → (𝐵 ∈ V → ∃𝑥𝐴 𝐵𝑥)))
152151imp 407 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → (𝐵 ∈ V → ∃𝑥𝐴 𝐵𝑥))
1534, 152mpd 15 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ∃𝑥𝐴 𝐵𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wal 1520   = wceq 1522  wex 1761  wcel 2081  wrex 3106  Vcvv 3437  cdif 3856  cun 3857  cin 3858  wss 3859  wpss 3860  c0 4211  {csn 4472  cop 4478   class class class wbr 4962  Ord word 6065  suc csuc 6068  1-1-ontowf1o 6224  ωcom 7436  cen 8354
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-ral 3110  df-rex 3111  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-br 4963  df-opab 5025  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-om 7437  df-en 8358
This theorem is referenced by:  ssnnfi  8583
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