MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin1a2lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fin1a2lem4 10401
Description: Lemma for fin1a2 10413. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
fin1a2lem.b ๐ธ = (๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰ โ†ฆ (2o ยทo ๐‘ฅ))
Assertion
Ref Expression
fin1a2lem4 ๐ธ:ฯ‰โ€“1-1โ†’ฯ‰

Proof of Theorem fin1a2lem4
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fin1a2lem.b . . 3 ๐ธ = (๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰ โ†ฆ (2o ยทo ๐‘ฅ))
2 2onn 8644 . . . 4 2o โˆˆ ฯ‰
3 nnmcl 8615 . . . 4 ((2o โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (2o ยทo ๐‘ฅ) โˆˆ ฯ‰)
42, 3mpan 687 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰ โ†’ (2o ยทo ๐‘ฅ) โˆˆ ฯ‰)
51, 4fmpti 7114 . 2 ๐ธ:ฯ‰โŸถฯ‰
61fin1a2lem3 10400 . . . . . 6 (๐‘Ž โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐ธโ€˜๐‘Ž) = (2o ยทo ๐‘Ž))
71fin1a2lem3 10400 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐ธโ€˜๐‘) = (2o ยทo ๐‘))
86, 7eqeqan12d 2745 . . . . 5 ((๐‘Ž โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐ธโ€˜๐‘Ž) = (๐ธโ€˜๐‘) โ†” (2o ยทo ๐‘Ž) = (2o ยทo ๐‘)))
9 2on 8483 . . . . . . 7 2o โˆˆ On
109a1i 11 . . . . . 6 ((๐‘Ž โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ฯ‰) โ†’ 2o โˆˆ On)
11 nnon 7864 . . . . . . 7 (๐‘Ž โˆˆ ฯ‰ โ†’ ๐‘Ž โˆˆ On)
1211adantr 480 . . . . . 6 ((๐‘Ž โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ On)
13 nnon 7864 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ ฯ‰ โ†’ ๐‘ โˆˆ On)
1413adantl 481 . . . . . 6 ((๐‘Ž โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ๐‘ โˆˆ On)
15 0lt1o 8507 . . . . . . . . 9 โˆ… โˆˆ 1o
16 elelsuc 6438 . . . . . . . . 9 (โˆ… โˆˆ 1o โ†’ โˆ… โˆˆ suc 1o)
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . 8 โˆ… โˆˆ suc 1o
18 df-2o 8470 . . . . . . . 8 2o = suc 1o
1917, 18eleqtrri 2831 . . . . . . 7 โˆ… โˆˆ 2o
2019a1i 11 . . . . . 6 ((๐‘Ž โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ฯ‰) โ†’ โˆ… โˆˆ 2o)
21 omcan 8572 . . . . . 6 (((2o โˆˆ On โˆง ๐‘Ž โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ 2o) โ†’ ((2o ยทo ๐‘Ž) = (2o ยทo ๐‘) โ†” ๐‘Ž = ๐‘))
2210, 12, 14, 20, 21syl31anc 1372 . . . . 5 ((๐‘Ž โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((2o ยทo ๐‘Ž) = (2o ยทo ๐‘) โ†” ๐‘Ž = ๐‘))
238, 22bitrd 278 . . . 4 ((๐‘Ž โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐ธโ€˜๐‘Ž) = (๐ธโ€˜๐‘) โ†” ๐‘Ž = ๐‘))
2423biimpd 228 . . 3 ((๐‘Ž โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐ธโ€˜๐‘Ž) = (๐ธโ€˜๐‘) โ†’ ๐‘Ž = ๐‘))
2524rgen2 3196 . 2 โˆ€๐‘Ž โˆˆ ฯ‰ โˆ€๐‘ โˆˆ ฯ‰ ((๐ธโ€˜๐‘Ž) = (๐ธโ€˜๐‘) โ†’ ๐‘Ž = ๐‘)
26 dff13 7257 . 2 (๐ธ:ฯ‰โ€“1-1โ†’ฯ‰ โ†” (๐ธ:ฯ‰โŸถฯ‰ โˆง โˆ€๐‘Ž โˆˆ ฯ‰ โˆ€๐‘ โˆˆ ฯ‰ ((๐ธโ€˜๐‘Ž) = (๐ธโ€˜๐‘) โ†’ ๐‘Ž = ๐‘)))
275, 25, 26mpbir2an 708 1 ๐ธ:ฯ‰โ€“1-1โ†’ฯ‰
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105  โˆ€wral 3060  โˆ…c0 4323   โ†ฆ cmpt 5232  Oncon0 6365  suc csuc 6367  โŸถwf 6540  โ€“1-1โ†’wf1 6541  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  ฯ‰com 7858  1oc1o 8462  2oc2o 8463   ยทo comu 8467
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7728
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-omul 8474
This theorem is referenced by:  fin1a2lem5  10402  fin1a2lem6  10403  fin1a2lem7  10404
  Copyright terms: Public domain W3C validator