Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmla0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmla0 34992
Description: The valid Godel formulas of height 0 is the set of all formulas of the form vi ∈ vj ("Godel-set of membership") coded as βŸ¨βˆ…, βŸ¨π‘–, π‘—βŸ©βŸ©. (Contributed by AV, 14-Sep-2023.)
Assertion
Ref Expression
fmla0 (Fmlaβ€˜βˆ…) = {π‘₯ ∈ V ∣ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ π‘₯ = (π‘–βˆˆπ‘”π‘—)}
Distinct variable group:   𝑖,𝑗,π‘₯

Proof of Theorem fmla0
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano1 7894 . . 3 βˆ… ∈ Ο‰
2 elelsuc 6442 . . 3 (βˆ… ∈ Ο‰ β†’ βˆ… ∈ suc Ο‰)
3 fmlafv 34990 . . 3 (βˆ… ∈ suc Ο‰ β†’ (Fmlaβ€˜βˆ…) = dom ((βˆ… Sat βˆ…)β€˜βˆ…))
41, 2, 3mp2b 10 . 2 (Fmlaβ€˜βˆ…) = dom ((βˆ… Sat βˆ…)β€˜βˆ…)
5 satf00 34984 . . 3 ((βˆ… Sat βˆ…)β€˜βˆ…) = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (𝑦 = βˆ… ∧ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ π‘₯ = (π‘–βˆˆπ‘”π‘—))}
65dmeqi 5907 . 2 dom ((βˆ… Sat βˆ…)β€˜βˆ…) = dom {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (𝑦 = βˆ… ∧ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ π‘₯ = (π‘–βˆˆπ‘”π‘—))}
7 0ex 5307 . . . . . 6 βˆ… ∈ V
87isseti 3487 . . . . 5 βˆƒπ‘¦ 𝑦 = βˆ…
9 19.41v 1946 . . . . 5 (βˆƒπ‘¦(𝑦 = βˆ… ∧ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ π‘₯ = (π‘–βˆˆπ‘”π‘—)) ↔ (βˆƒπ‘¦ 𝑦 = βˆ… ∧ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ π‘₯ = (π‘–βˆˆπ‘”π‘—)))
108, 9mpbiran 708 . . . 4 (βˆƒπ‘¦(𝑦 = βˆ… ∧ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ π‘₯ = (π‘–βˆˆπ‘”π‘—)) ↔ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ π‘₯ = (π‘–βˆˆπ‘”π‘—))
1110abbii 2798 . . 3 {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘¦(𝑦 = βˆ… ∧ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ π‘₯ = (π‘–βˆˆπ‘”π‘—))} = {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ π‘₯ = (π‘–βˆˆπ‘”π‘—)}
12 dmopab 5918 . . 3 dom {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (𝑦 = βˆ… ∧ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ π‘₯ = (π‘–βˆˆπ‘”π‘—))} = {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘¦(𝑦 = βˆ… ∧ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ π‘₯ = (π‘–βˆˆπ‘”π‘—))}
13 rabab 3500 . . 3 {π‘₯ ∈ V ∣ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ π‘₯ = (π‘–βˆˆπ‘”π‘—)} = {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ π‘₯ = (π‘–βˆˆπ‘”π‘—)}
1411, 12, 133eqtr4i 2766 . 2 dom {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (𝑦 = βˆ… ∧ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ π‘₯ = (π‘–βˆˆπ‘”π‘—))} = {π‘₯ ∈ V ∣ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ π‘₯ = (π‘–βˆˆπ‘”π‘—)}
154, 6, 143eqtri 2760 1 (Fmlaβ€˜βˆ…) = {π‘₯ ∈ V ∣ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ π‘₯ = (π‘–βˆˆπ‘”π‘—)}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1534  βˆƒwex 1774   ∈ wcel 2099  {cab 2705  βˆƒwrex 3067  {crab 3429  Vcvv 3471  βˆ…c0 4323  {copab 5210  dom cdm 5678  suc csuc 6371  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Ο‰com 7870  βˆˆπ‘”cgoe 34943   Sat csat 34946  Fmlacfmla 34947
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-map 8847  df-goel 34950  df-sat 34953  df-fmla 34955
This theorem is referenced by:  fmla0xp  34993  fmlafvel  34995  fmla1  34997  fmlaomn0  35000  gonan0  35002  goaln0  35003  gonar  35005  goalr  35007  fmla0disjsuc  35008  satfv0fvfmla0  35023  sategoelfvb  35029
  Copyright terms: Public domain W3C validator