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Theorem pwsdompw 9615

Description: Lemma for domtriom 9854. This is the equinumerosity version of the algebraic identity Σ𝑘 ∈ 𝑛(2↑𝑘) = (2↑𝑛) − 1. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Feb-2013.)

**Assertion**
Ref	Expression
pwsdompw	⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ ∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘) → ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑛))

Distinct variable group: 𝐵,𝑘,𝑛

Proof of Theorem pwsdompw Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suceq 6224	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = ∅ → suc 𝑛 = suc ∅)
2	1	raleqdv 3364	. . . 4 ⊢ (𝑛 = ∅ → (∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 ↔ ∀𝑘 ∈ suc ∅(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘))
3		iuneq1 4897	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = ∅ → ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝐵‘𝑘) = ∪ 𝑘 ∈ ∅ (𝐵‘𝑘))
4		fveq2 6645	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = ∅ → (𝐵‘𝑛) = (𝐵‘∅))
5	3, 4	breq12d 5043	. . . 4 ⊢ (𝑛 = ∅ → (∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑛) ↔ ∪ 𝑘 ∈ ∅ (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘∅)))
6	2, 5	imbi12d 348	. . 3 ⊢ (𝑛 = ∅ → ((∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑛)) ↔ (∀𝑘 ∈ suc ∅(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ∪ 𝑘 ∈ ∅ (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘∅))))
7		suceq 6224	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → suc 𝑛 = suc 𝑚)
8	7	raleqdv 3364	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 ↔ ∀𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘))
9		iuneq1 4897	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝐵‘𝑘) = ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘))
10		fveq2 6645	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐵‘𝑛) = (𝐵‘𝑚))
11	9, 10	breq12d 5043	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑛) ↔ ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚)))
12	8, 11	imbi12d 348	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑛)) ↔ (∀𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚))))
13		suceq 6224	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = suc 𝑚 → suc 𝑛 = suc suc 𝑚)
14	13	raleqdv 3364	. . . 4 ⊢ (𝑛 = suc 𝑚 → (∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 ↔ ∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘))
15		iuneq1 4897	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = suc 𝑚 → ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝐵‘𝑘) = ∪ 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘))
16		fveq2 6645	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = suc 𝑚 → (𝐵‘𝑛) = (𝐵‘suc 𝑚))
17	15, 16	breq12d 5043	. . . 4 ⊢ (𝑛 = suc 𝑚 → (∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑛) ↔ ∪ 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘suc 𝑚)))
18	14, 17	imbi12d 348	. . 3 ⊢ (𝑛 = suc 𝑚 → ((∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑛)) ↔ (∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ∪ 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘suc 𝑚))))
19		0iun 4949	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ ∅ (𝐵‘𝑘) = ∅
20		0ex 5175	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
21	20	sucid 6238	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ suc ∅
22		fveq2 6645	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = ∅ → (𝐵‘𝑘) = (𝐵‘∅))
23		pweq 4513	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = ∅ → 𝒫 𝑘 = 𝒫 ∅)
24	22, 23	breq12d 5043	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = ∅ → ((𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 ↔ (𝐵‘∅) ≈ 𝒫 ∅))
25	24	rspcv 3566	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ suc ∅ → (∀𝑘 ∈ suc ∅(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → (𝐵‘∅) ≈ 𝒫 ∅))
26	21, 25	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ suc ∅(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → (𝐵‘∅) ≈ 𝒫 ∅)
27	20	canth2 8654	. . . . . 6 ⊢ ∅ ≺ 𝒫 ∅
28		ensym 8541	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵‘∅) ≈ 𝒫 ∅ → 𝒫 ∅ ≈ (𝐵‘∅))
29		sdomentr 8635	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ≺ 𝒫 ∅ ∧ 𝒫 ∅ ≈ (𝐵‘∅)) → ∅ ≺ (𝐵‘∅))
30	27, 28, 29	sylancr 590	. . . . 5 ⊢ ((𝐵‘∅) ≈ 𝒫 ∅ → ∅ ≺ (𝐵‘∅))
31	26, 30	syl 17	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ suc ∅(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ∅ ≺ (𝐵‘∅))
32	19, 31	eqbrtrid 5065	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ suc ∅(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ∪ 𝑘 ∈ ∅ (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘∅))
33		sssucid 6236	. . . . . . . . 9 ⊢ suc 𝑚 ⊆ suc suc 𝑚
34		ssralv 3981	. . . . . . . . 9 ⊢ (suc 𝑚 ⊆ suc suc 𝑚 → (∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ∀𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘))
35	33, 34	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ∀𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘)
36		pm2.27 42	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ((∀𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚)) → ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚)))
37	35, 36	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ((∀𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚)) → ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚)))
38	37	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ ∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘) → ((∀𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚)) → ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚)))
39		vex 3444	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑚 ∈ V
40	39	sucid 6238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑚 ∈ suc 𝑚
41		elelsuc 6231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ suc 𝑚 → 𝑚 ∈ suc suc 𝑚)
42		fveq2 6645	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐵‘𝑘) = (𝐵‘𝑚))
43		pweq 4513	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → 𝒫 𝑘 = 𝒫 𝑚)
44	42, 43	breq12d 5043	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 ↔ (𝐵‘𝑚) ≈ 𝒫 𝑚))
45	44	rspcv 3566	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ suc suc 𝑚 → (∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → (𝐵‘𝑚) ≈ 𝒫 𝑚))
46	40, 41, 45	mp2b 10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → (𝐵‘𝑚) ≈ 𝒫 𝑚)
47		djuen 9580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵‘𝑚) ≈ 𝒫 𝑚 ∧ (𝐵‘𝑚) ≈ 𝒫 𝑚) → ((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ≈ (𝒫 𝑚 ⊔ 𝒫 𝑚))
48	46, 46, 47	syl2anc 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ≈ (𝒫 𝑚 ⊔ 𝒫 𝑚))
49		pwdju1 9601	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ω → (𝒫 𝑚 ⊔ 𝒫 𝑚) ≈ 𝒫 (𝑚 ⊔ 1_o))
50		nnord 7568	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ ω → Ord 𝑚)
51		ordirr 6177	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Ord 𝑚 → ¬ 𝑚 ∈ 𝑚)
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ω → ¬ 𝑚 ∈ 𝑚)
53		dju1en 9582	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ ¬ 𝑚 ∈ 𝑚) → (𝑚 ⊔ 1_o) ≈ suc 𝑚)
54	52, 53	mpdan 686	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ω → (𝑚 ⊔ 1_o) ≈ suc 𝑚)
55		pwen 8674	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ⊔ 1_o) ≈ suc 𝑚 → 𝒫 (𝑚 ⊔ 1_o) ≈ 𝒫 suc 𝑚)
56	54, 55	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ω → 𝒫 (𝑚 ⊔ 1_o) ≈ 𝒫 suc 𝑚)
57		entr 8544	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝒫 𝑚 ⊔ 𝒫 𝑚) ≈ 𝒫 (𝑚 ⊔ 1_o) ∧ 𝒫 (𝑚 ⊔ 1_o) ≈ 𝒫 suc 𝑚) → (𝒫 𝑚 ⊔ 𝒫 𝑚) ≈ 𝒫 suc 𝑚)
58	49, 56, 57	syl2anc 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ω → (𝒫 𝑚 ⊔ 𝒫 𝑚) ≈ 𝒫 suc 𝑚)
59		entr 8544	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ≈ (𝒫 𝑚 ⊔ 𝒫 𝑚) ∧ (𝒫 𝑚 ⊔ 𝒫 𝑚) ≈ 𝒫 suc 𝑚) → ((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ≈ 𝒫 suc 𝑚)
60	48, 58, 59	syl2an 598	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 ∧ 𝑚 ∈ ω) → ((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ≈ 𝒫 suc 𝑚)
61	39	sucex 7506	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ suc 𝑚 ∈ V
62	61	sucid 6238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ suc 𝑚 ∈ suc suc 𝑚
63		fveq2 6645	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = suc 𝑚 → (𝐵‘𝑘) = (𝐵‘suc 𝑚))
64		pweq 4513	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = suc 𝑚 → 𝒫 𝑘 = 𝒫 suc 𝑚)
65	63, 64	breq12d 5043	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = suc 𝑚 → ((𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 ↔ (𝐵‘suc 𝑚) ≈ 𝒫 suc 𝑚))
66	65	rspcv 3566	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (suc 𝑚 ∈ suc suc 𝑚 → (∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → (𝐵‘suc 𝑚) ≈ 𝒫 suc 𝑚))
67	62, 66	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → (𝐵‘suc 𝑚) ≈ 𝒫 suc 𝑚)
68	67	ensymd 8543	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → 𝒫 suc 𝑚 ≈ (𝐵‘suc 𝑚))
69	68	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 ∧ 𝑚 ∈ ω) → 𝒫 suc 𝑚 ≈ (𝐵‘suc 𝑚))
70		entr 8544	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ≈ 𝒫 suc 𝑚 ∧ 𝒫 suc 𝑚 ≈ (𝐵‘suc 𝑚)) → ((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ≈ (𝐵‘suc 𝑚))
71	60, 69, 70	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 ∧ 𝑚 ∈ ω) → ((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ≈ (𝐵‘suc 𝑚))
72	71	ancoms 462	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ ∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘) → ((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ≈ (𝐵‘suc 𝑚))
73		nnfi 8696	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ω → 𝑚 ∈ Fin)
74		pwfi 8803	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑚 ∈ Fin)
75		isfinite 9099	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝒫 𝑚 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑚 ≺ ω)
76	74, 75	bitri 278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑚 ≺ ω)
77	73, 76	sylib 221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ω → 𝒫 𝑚 ≺ ω)
78		ensdomtr 8637	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵‘𝑚) ≈ 𝒫 𝑚 ∧ 𝒫 𝑚 ≺ ω) → (𝐵‘𝑚) ≺ ω)
79	46, 77, 78	syl2an 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 ∧ 𝑚 ∈ ω) → (𝐵‘𝑚) ≺ ω)
80		isfinite 9099	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵‘𝑚) ∈ Fin ↔ (𝐵‘𝑚) ≺ ω)
81	79, 80	sylibr 237	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 ∧ 𝑚 ∈ ω) → (𝐵‘𝑚) ∈ Fin)
82	81	ancoms 462	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ ∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘) → (𝐵‘𝑚) ∈ Fin)
83	39, 42	iunsuc 6241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) = (∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ∪ (𝐵‘𝑚))
84		fvex 6658	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵‘𝑘) ∈ V
85	39, 84	iunex 7651	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ∈ V
86		fvex 6658	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵‘𝑚) ∈ V
87		undjudom 9578	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ∈ V ∧ (𝐵‘𝑚) ∈ V) → (∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ∪ (𝐵‘𝑚)) ≼ (∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ⊔ (𝐵‘𝑚)))
88	85, 86, 87	mp2an 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ∪ (𝐵‘𝑚)) ≼ (∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ⊔ (𝐵‘𝑚))
89	83, 88	eqbrtri 5051	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≼ (∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ⊔ (𝐵‘𝑚))
90		sdomtr 8639	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) ∧ (𝐵‘𝑚) ≺ ω) → ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ ω)
91	80, 90	sylan2b 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) ∧ (𝐵‘𝑚) ∈ Fin) → ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ ω)
92		isfinite 9099	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ∈ Fin ↔ ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ ω)
93	91, 92	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) ∧ (𝐵‘𝑚) ∈ Fin) → ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ∈ Fin)
94		finnum 9361	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ∈ Fin → ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ∈ dom card)
95	93, 94	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) ∧ (𝐵‘𝑚) ∈ Fin) → ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ∈ dom card)
96		finnum 9361	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵‘𝑚) ∈ Fin → (𝐵‘𝑚) ∈ dom card)
97	96	adantl 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) ∧ (𝐵‘𝑚) ∈ Fin) → (𝐵‘𝑚) ∈ dom card)
98		cardadju 9605	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ∈ dom card ∧ (𝐵‘𝑚) ∈ dom card) → (∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ≈ ((card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))))
99	95, 97, 98	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) ∧ (𝐵‘𝑚) ∈ Fin) → (∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ≈ ((card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))))
100		ficardom 9374	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ∈ Fin → (card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ∈ ω)
101	93, 100	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) ∧ (𝐵‘𝑚) ∈ Fin) → (card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ∈ ω)
102		ficardom 9374	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵‘𝑚) ∈ Fin → (card‘(𝐵‘𝑚)) ∈ ω)
103	102	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) ∧ (𝐵‘𝑚) ∈ Fin) → (card‘(𝐵‘𝑚)) ∈ ω)
104		cardid2 9366	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ∈ dom card → (card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ≈ ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘))
105	93, 94, 104	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) ∧ (𝐵‘𝑚) ∈ Fin) → (card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ≈ ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘))
106		simpl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) ∧ (𝐵‘𝑚) ∈ Fin) → ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚))
107		cardid2 9366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵‘𝑚) ∈ dom card → (card‘(𝐵‘𝑚)) ≈ (𝐵‘𝑚))
108		ensym 8541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((card‘(𝐵‘𝑚)) ≈ (𝐵‘𝑚) → (𝐵‘𝑚) ≈ (card‘(𝐵‘𝑚)))
109	96, 107, 108	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵‘𝑚) ∈ Fin → (𝐵‘𝑚) ≈ (card‘(𝐵‘𝑚)))
110	109	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) ∧ (𝐵‘𝑚) ∈ Fin) → (𝐵‘𝑚) ≈ (card‘(𝐵‘𝑚)))
111		ensdomtr 8637	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ≈ ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚)) → (card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ≺ (𝐵‘𝑚))
112		sdomentr 8635	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ≺ (𝐵‘𝑚) ∧ (𝐵‘𝑚) ≈ (card‘(𝐵‘𝑚))) → (card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ≺ (card‘(𝐵‘𝑚)))
113	111, 112	sylan 583	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ≈ ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚)) ∧ (𝐵‘𝑚) ≈ (card‘(𝐵‘𝑚))) → (card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ≺ (card‘(𝐵‘𝑚)))
114	105, 106, 110, 113	syl21anc 836	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) ∧ (𝐵‘𝑚) ∈ Fin) → (card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ≺ (card‘(𝐵‘𝑚)))
115		cardon 9357	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ∈ On
116		cardon 9357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (card‘(𝐵‘𝑚)) ∈ On
117		onenon 9362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((card‘(𝐵‘𝑚)) ∈ On → (card‘(𝐵‘𝑚)) ∈ dom card)
118	116, 117	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (card‘(𝐵‘𝑚)) ∈ dom card
119		cardsdomel 9387	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ∈ On ∧ (card‘(𝐵‘𝑚)) ∈ dom card) → ((card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ≺ (card‘(𝐵‘𝑚)) ↔ (card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ∈ (card‘(card‘(𝐵‘𝑚)))))
120	115, 118, 119	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ≺ (card‘(𝐵‘𝑚)) ↔ (card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ∈ (card‘(card‘(𝐵‘𝑚))))
121		cardidm 9372	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (card‘(card‘(𝐵‘𝑚))) = (card‘(𝐵‘𝑚))
122	121	eleq2i 2881	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ∈ (card‘(card‘(𝐵‘𝑚))) ↔ (card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ∈ (card‘(𝐵‘𝑚)))
123	120, 122	bitri 278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ≺ (card‘(𝐵‘𝑚)) ↔ (card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ∈ (card‘(𝐵‘𝑚)))
124	114, 123	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) ∧ (𝐵‘𝑚) ∈ Fin) → (card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ∈ (card‘(𝐵‘𝑚)))
125		nnaordr 8229	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ∈ ω ∧ (card‘(𝐵‘𝑚)) ∈ ω ∧ (card‘(𝐵‘𝑚)) ∈ ω) → ((card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ∈ (card‘(𝐵‘𝑚)) ↔ ((card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))) ∈ ((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚)))))
126	125	biimpa 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ∈ ω ∧ (card‘(𝐵‘𝑚)) ∈ ω ∧ (card‘(𝐵‘𝑚)) ∈ ω) ∧ (card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ∈ (card‘(𝐵‘𝑚))) → ((card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))) ∈ ((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))))
127	101, 103, 103, 124, 126	syl31anc 1370	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) ∧ (𝐵‘𝑚) ∈ Fin) → ((card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))) ∈ ((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))))
128		nnacl 8220	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((card‘(𝐵‘𝑚)) ∈ ω ∧ (card‘(𝐵‘𝑚)) ∈ ω) → ((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))) ∈ ω)
129	102, 102, 128	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵‘𝑚) ∈ Fin → ((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))) ∈ ω)
130		cardnn 9376	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))) ∈ ω → (card‘((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚)))) = ((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))))
131	129, 130	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵‘𝑚) ∈ Fin → (card‘((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚)))) = ((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))))
132	131	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) ∧ (𝐵‘𝑚) ∈ Fin) → (card‘((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚)))) = ((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))))
133	127, 132	eleqtrrd 2893	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) ∧ (𝐵‘𝑚) ∈ Fin) → ((card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))) ∈ (card‘((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚)))))
134		cardsdomelir 9386	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))) ∈ (card‘((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚)))) → ((card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))) ≺ ((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))))
135	133, 134	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) ∧ (𝐵‘𝑚) ∈ Fin) → ((card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))) ≺ ((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))))
136		ensdomtr 8637	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ≈ ((card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))) ∧ ((card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))) ≺ ((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚)))) → (∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ≺ ((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))))
137	99, 135, 136	syl2anc 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) ∧ (𝐵‘𝑚) ∈ Fin) → (∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ≺ ((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))))
138		cardadju 9605	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵‘𝑚) ∈ dom card ∧ (𝐵‘𝑚) ∈ dom card) → ((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ≈ ((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))))
139	96, 96, 138	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵‘𝑚) ∈ Fin → ((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ≈ ((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))))
140	139	ensymd 8543	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵‘𝑚) ∈ Fin → ((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))) ≈ ((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚)))
141	140	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) ∧ (𝐵‘𝑚) ∈ Fin) → ((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))) ≈ ((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚)))
142		sdomentr 8635	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ≺ ((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))) ∧ ((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))) ≈ ((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚))) → (∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ≺ ((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚)))
143	137, 141, 142	syl2anc 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) ∧ (𝐵‘𝑚) ∈ Fin) → (∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ≺ ((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚)))
144		domsdomtr 8636	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≼ (∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ∧ (∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ≺ ((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚))) → ∪ 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≺ ((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚)))
145	89, 143, 144	sylancr 590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) ∧ (𝐵‘𝑚) ∈ Fin) → ∪ 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≺ ((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚)))
146	145	expcom 417	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵‘𝑚) ∈ Fin → (∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) → ∪ 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≺ ((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚))))
147	82, 146	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ ∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘) → (∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) → ∪ 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≺ ((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚))))
148		sdomentr 8635	. . . . . . . 8 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≺ ((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ∧ ((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ≈ (𝐵‘suc 𝑚)) → ∪ 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘suc 𝑚))
149	148	expcom 417	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ≈ (𝐵‘suc 𝑚) → (∪ 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≺ ((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚)) → ∪ 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘suc 𝑚)))
150	72, 147, 149	sylsyld 61	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ ∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘) → (∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) → ∪ 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘suc 𝑚)))
151	38, 150	syld 47	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ ∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘) → ((∀𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚)) → ∪ 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘suc 𝑚)))
152	151	ex 416	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ω → (∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ((∀𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚)) → ∪ 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘suc 𝑚))))
153	152	com23 86	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ ω → ((∀𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚)) → (∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ∪ 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘suc 𝑚))))
154	6, 12, 18, 32, 153	finds1 7592	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ ω → (∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑛)))
155	154	imp 410	1 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ ∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘) → ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑛))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 399 ∧ w3a 1084 = wceq 1538 ∈ wcel 2111 ∀wral 3106 Vcvv 3441 ∪ cun 3879 ⊆ wss 3881 ∅c0 4243 𝒫 cpw 4497 ∪ ciun 4881 class class class wbr 5030 dom cdm 5519 Ord word 6158 Oncon0 6159 suc csuc 6161 ‘cfv 6324 (class class class)co 7135 ωcom 7560 1_oc1o 8078 +_o coa 8082 ≈ cen 8489 ≼ cdom 8490 ≺ csdm 8491 Fincfn 8492 ⊔ cdju 9311 cardccrd 9348

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1911 ax-6 1970 ax-7 2015 ax-8 2113 ax-9 2121 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2175 ax-ext 2770 ax-rep 5154 ax-sep 5167 ax-nul 5174 ax-pow 5231 ax-pr 5295 ax-un 7441 ax-inf2 9088

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 400 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1541 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2070 df-mo 2598 df-eu 2629 df-clab 2777 df-cleq 2791 df-clel 2870 df-nfc 2938 df-ne 2988 df-ral 3111 df-rex 3112 df-reu 3113 df-rmo 3114 df-rab 3115 df-v 3443 df-sbc 3721 df-csb 3829 df-dif 3884 df-un 3886 df-in 3888 df-ss 3898 df-pss 3900 df-nul 4244 df-if 4426 df-pw 4499 df-sn 4526 df-pr 4528 df-tp 4530 df-op 4532 df-uni 4801 df-int 4839 df-iun 4883 df-br 5031 df-opab 5093 df-mpt 5111 df-tr 5137 df-id 5425 df-eprel 5430 df-po 5438 df-so 5439 df-fr 5478 df-we 5480 df-xp 5525 df-rel 5526 df-cnv 5527 df-co 5528 df-dm 5529 df-rn 5530 df-res 5531 df-ima 5532 df-pred 6116 df-ord 6162 df-on 6163 df-lim 6164 df-suc 6165 df-iota 6283 df-fun 6326 df-fn 6327 df-f 6328 df-f1 6329 df-fo 6330 df-f1o 6331 df-fv 6332 df-ov 7138 df-oprab 7139 df-mpo 7140 df-om 7561 df-1st 7671 df-2nd 7672 df-wrecs 7930 df-recs 7991 df-rdg 8029 df-1o 8085 df-2o 8086 df-oadd 8089 df-er 8272 df-map 8391 df-en 8493 df-dom 8494 df-sdom 8495 df-fin 8496 df-dju 9314 df-card 9352

This theorem is referenced by: domtriomlem 9853

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