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Theorem pwsdompw 10198

Description: Lemma for domtriom 10437. This is the equinumerosity version of the algebraic identity Σ𝑘 ∈ 𝑛(2↑𝑘) = (2↑𝑛) − 1. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Feb-2013.)

**Assertion**
Ref	Expression
pwsdompw	⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ ∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘) → ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑛))

Distinct variable group: 𝐵,𝑘,𝑛

Proof of Theorem pwsdompw Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suceq 6430	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = ∅ → suc 𝑛 = suc ∅)
2	1	raleqdv 3325	. . . 4 ⊢ (𝑛 = ∅ → (∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 ↔ ∀𝑘 ∈ suc ∅(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘))
3		iuneq1 5013	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = ∅ → ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝐵‘𝑘) = ∪ 𝑘 ∈ ∅ (𝐵‘𝑘))
4		fveq2 6891	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = ∅ → (𝐵‘𝑛) = (𝐵‘∅))
5	3, 4	breq12d 5161	. . . 4 ⊢ (𝑛 = ∅ → (∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑛) ↔ ∪ 𝑘 ∈ ∅ (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘∅)))
6	2, 5	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑛 = ∅ → ((∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑛)) ↔ (∀𝑘 ∈ suc ∅(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ∪ 𝑘 ∈ ∅ (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘∅))))
7		suceq 6430	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → suc 𝑛 = suc 𝑚)
8	7	raleqdv 3325	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 ↔ ∀𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘))
9		iuneq1 5013	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝐵‘𝑘) = ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘))
10		fveq2 6891	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐵‘𝑛) = (𝐵‘𝑚))
11	9, 10	breq12d 5161	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑛) ↔ ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚)))
12	8, 11	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑛)) ↔ (∀𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚))))
13		suceq 6430	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = suc 𝑚 → suc 𝑛 = suc suc 𝑚)
14	13	raleqdv 3325	. . . 4 ⊢ (𝑛 = suc 𝑚 → (∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 ↔ ∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘))
15		iuneq1 5013	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = suc 𝑚 → ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝐵‘𝑘) = ∪ 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘))
16		fveq2 6891	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = suc 𝑚 → (𝐵‘𝑛) = (𝐵‘suc 𝑚))
17	15, 16	breq12d 5161	. . . 4 ⊢ (𝑛 = suc 𝑚 → (∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑛) ↔ ∪ 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘suc 𝑚)))
18	14, 17	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑛 = suc 𝑚 → ((∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑛)) ↔ (∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ∪ 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘suc 𝑚))))
19		0iun 5066	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ ∅ (𝐵‘𝑘) = ∅
20		0ex 5307	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
21	20	sucid 6446	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ suc ∅
22		fveq2 6891	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = ∅ → (𝐵‘𝑘) = (𝐵‘∅))
23		pweq 4616	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = ∅ → 𝒫 𝑘 = 𝒫 ∅)
24	22, 23	breq12d 5161	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = ∅ → ((𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 ↔ (𝐵‘∅) ≈ 𝒫 ∅))
25	24	rspcv 3608	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ suc ∅ → (∀𝑘 ∈ suc ∅(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → (𝐵‘∅) ≈ 𝒫 ∅))
26	21, 25	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ suc ∅(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → (𝐵‘∅) ≈ 𝒫 ∅)
27	20	canth2 9129	. . . . . 6 ⊢ ∅ ≺ 𝒫 ∅
28		ensym 8998	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵‘∅) ≈ 𝒫 ∅ → 𝒫 ∅ ≈ (𝐵‘∅))
29		sdomentr 9110	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ≺ 𝒫 ∅ ∧ 𝒫 ∅ ≈ (𝐵‘∅)) → ∅ ≺ (𝐵‘∅))
30	27, 28, 29	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝐵‘∅) ≈ 𝒫 ∅ → ∅ ≺ (𝐵‘∅))
31	26, 30	syl 17	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ suc ∅(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ∅ ≺ (𝐵‘∅))
32	19, 31	eqbrtrid 5183	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ suc ∅(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ∪ 𝑘 ∈ ∅ (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘∅))
33		sssucid 6444	. . . . . . . . 9 ⊢ suc 𝑚 ⊆ suc suc 𝑚
34		ssralv 4050	. . . . . . . . 9 ⊢ (suc 𝑚 ⊆ suc suc 𝑚 → (∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ∀𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘))
35	33, 34	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ∀𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘)
36		pm2.27 42	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ((∀𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚)) → ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚)))
37	35, 36	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ((∀𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚)) → ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚)))
38	37	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ ∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘) → ((∀𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚)) → ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚)))
39		vex 3478	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑚 ∈ V
40	39	sucid 6446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑚 ∈ suc 𝑚
41		elelsuc 6437	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ suc 𝑚 → 𝑚 ∈ suc suc 𝑚)
42		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐵‘𝑘) = (𝐵‘𝑚))
43		pweq 4616	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → 𝒫 𝑘 = 𝒫 𝑚)
44	42, 43	breq12d 5161	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 ↔ (𝐵‘𝑚) ≈ 𝒫 𝑚))
45	44	rspcv 3608	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ suc suc 𝑚 → (∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → (𝐵‘𝑚) ≈ 𝒫 𝑚))
46	40, 41, 45	mp2b 10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → (𝐵‘𝑚) ≈ 𝒫 𝑚)
47		djuen 10163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵‘𝑚) ≈ 𝒫 𝑚 ∧ (𝐵‘𝑚) ≈ 𝒫 𝑚) → ((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ≈ (𝒫 𝑚 ⊔ 𝒫 𝑚))
48	46, 46, 47	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ≈ (𝒫 𝑚 ⊔ 𝒫 𝑚))
49		pwdju1 10184	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ω → (𝒫 𝑚 ⊔ 𝒫 𝑚) ≈ 𝒫 (𝑚 ⊔ 1_o))
50		nnord 7862	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ ω → Ord 𝑚)
51		ordirr 6382	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Ord 𝑚 → ¬ 𝑚 ∈ 𝑚)
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ω → ¬ 𝑚 ∈ 𝑚)
53		dju1en 10165	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ ¬ 𝑚 ∈ 𝑚) → (𝑚 ⊔ 1_o) ≈ suc 𝑚)
54	52, 53	mpdan 685	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ω → (𝑚 ⊔ 1_o) ≈ suc 𝑚)
55		pwen 9149	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ⊔ 1_o) ≈ suc 𝑚 → 𝒫 (𝑚 ⊔ 1_o) ≈ 𝒫 suc 𝑚)
56	54, 55	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ω → 𝒫 (𝑚 ⊔ 1_o) ≈ 𝒫 suc 𝑚)
57		entr 9001	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝒫 𝑚 ⊔ 𝒫 𝑚) ≈ 𝒫 (𝑚 ⊔ 1_o) ∧ 𝒫 (𝑚 ⊔ 1_o) ≈ 𝒫 suc 𝑚) → (𝒫 𝑚 ⊔ 𝒫 𝑚) ≈ 𝒫 suc 𝑚)
58	49, 56, 57	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ω → (𝒫 𝑚 ⊔ 𝒫 𝑚) ≈ 𝒫 suc 𝑚)
59		entr 9001	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ≈ (𝒫 𝑚 ⊔ 𝒫 𝑚) ∧ (𝒫 𝑚 ⊔ 𝒫 𝑚) ≈ 𝒫 suc 𝑚) → ((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ≈ 𝒫 suc 𝑚)
60	48, 58, 59	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 ∧ 𝑚 ∈ ω) → ((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ≈ 𝒫 suc 𝑚)
61	39	sucex 7793	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ suc 𝑚 ∈ V
62	61	sucid 6446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ suc 𝑚 ∈ suc suc 𝑚
63		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = suc 𝑚 → (𝐵‘𝑘) = (𝐵‘suc 𝑚))
64		pweq 4616	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = suc 𝑚 → 𝒫 𝑘 = 𝒫 suc 𝑚)
65	63, 64	breq12d 5161	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = suc 𝑚 → ((𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 ↔ (𝐵‘suc 𝑚) ≈ 𝒫 suc 𝑚))
66	65	rspcv 3608	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (suc 𝑚 ∈ suc suc 𝑚 → (∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → (𝐵‘suc 𝑚) ≈ 𝒫 suc 𝑚))
67	62, 66	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → (𝐵‘suc 𝑚) ≈ 𝒫 suc 𝑚)
68	67	ensymd 9000	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → 𝒫 suc 𝑚 ≈ (𝐵‘suc 𝑚))
69	68	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 ∧ 𝑚 ∈ ω) → 𝒫 suc 𝑚 ≈ (𝐵‘suc 𝑚))
70		entr 9001	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ≈ 𝒫 suc 𝑚 ∧ 𝒫 suc 𝑚 ≈ (𝐵‘suc 𝑚)) → ((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ≈ (𝐵‘suc 𝑚))
71	60, 69, 70	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 ∧ 𝑚 ∈ ω) → ((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ≈ (𝐵‘suc 𝑚))
72	71	ancoms 459	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ ∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘) → ((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ≈ (𝐵‘suc 𝑚))
73		nnfi 9166	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ω → 𝑚 ∈ Fin)
74		pwfi 9177	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑚 ∈ Fin)
75		isfinite 9646	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝒫 𝑚 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑚 ≺ ω)
76	74, 75	bitri 274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑚 ≺ ω)
77	73, 76	sylib 217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ω → 𝒫 𝑚 ≺ ω)
78		ensdomtr 9112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵‘𝑚) ≈ 𝒫 𝑚 ∧ 𝒫 𝑚 ≺ ω) → (𝐵‘𝑚) ≺ ω)
79	46, 77, 78	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 ∧ 𝑚 ∈ ω) → (𝐵‘𝑚) ≺ ω)
80		isfinite 9646	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵‘𝑚) ∈ Fin ↔ (𝐵‘𝑚) ≺ ω)
81	79, 80	sylibr 233	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 ∧ 𝑚 ∈ ω) → (𝐵‘𝑚) ∈ Fin)
82	81	ancoms 459	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ ∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘) → (𝐵‘𝑚) ∈ Fin)
83	39, 42	iunsuc 6449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) = (∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ∪ (𝐵‘𝑚))
84		fvex 6904	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵‘𝑘) ∈ V
85	39, 84	iunex 7954	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ∈ V
86		fvex 6904	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵‘𝑚) ∈ V
87		undjudom 10161	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ∈ V ∧ (𝐵‘𝑚) ∈ V) → (∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ∪ (𝐵‘𝑚)) ≼ (∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ⊔ (𝐵‘𝑚)))
88	85, 86, 87	mp2an 690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ∪ (𝐵‘𝑚)) ≼ (∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ⊔ (𝐵‘𝑚))
89	83, 88	eqbrtri 5169	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≼ (∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ⊔ (𝐵‘𝑚))
90		sdomtr 9114	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) ∧ (𝐵‘𝑚) ≺ ω) → ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ ω)
91	80, 90	sylan2b 594	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) ∧ (𝐵‘𝑚) ∈ Fin) → ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ ω)
92		isfinite 9646	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ∈ Fin ↔ ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ ω)
93	91, 92	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) ∧ (𝐵‘𝑚) ∈ Fin) → ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ∈ Fin)
94		finnum 9942	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ∈ Fin → ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ∈ dom card)
95	93, 94	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) ∧ (𝐵‘𝑚) ∈ Fin) → ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ∈ dom card)
96		finnum 9942	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵‘𝑚) ∈ Fin → (𝐵‘𝑚) ∈ dom card)
97	96	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) ∧ (𝐵‘𝑚) ∈ Fin) → (𝐵‘𝑚) ∈ dom card)
98		cardadju 10188	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ∈ dom card ∧ (𝐵‘𝑚) ∈ dom card) → (∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ≈ ((card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))))
99	95, 97, 98	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) ∧ (𝐵‘𝑚) ∈ Fin) → (∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ≈ ((card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))))
100		ficardom 9955	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ∈ Fin → (card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ∈ ω)
101	93, 100	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) ∧ (𝐵‘𝑚) ∈ Fin) → (card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ∈ ω)
102		ficardom 9955	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵‘𝑚) ∈ Fin → (card‘(𝐵‘𝑚)) ∈ ω)
103	102	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) ∧ (𝐵‘𝑚) ∈ Fin) → (card‘(𝐵‘𝑚)) ∈ ω)
104		cardid2 9947	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ∈ dom card → (card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ≈ ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘))
105	93, 94, 104	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) ∧ (𝐵‘𝑚) ∈ Fin) → (card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ≈ ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘))
106		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) ∧ (𝐵‘𝑚) ∈ Fin) → ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚))
107		cardid2 9947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵‘𝑚) ∈ dom card → (card‘(𝐵‘𝑚)) ≈ (𝐵‘𝑚))
108		ensym 8998	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((card‘(𝐵‘𝑚)) ≈ (𝐵‘𝑚) → (𝐵‘𝑚) ≈ (card‘(𝐵‘𝑚)))
109	96, 107, 108	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵‘𝑚) ∈ Fin → (𝐵‘𝑚) ≈ (card‘(𝐵‘𝑚)))
110	109	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) ∧ (𝐵‘𝑚) ∈ Fin) → (𝐵‘𝑚) ≈ (card‘(𝐵‘𝑚)))
111		ensdomtr 9112	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ≈ ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚)) → (card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ≺ (𝐵‘𝑚))
112		sdomentr 9110	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ≺ (𝐵‘𝑚) ∧ (𝐵‘𝑚) ≈ (card‘(𝐵‘𝑚))) → (card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ≺ (card‘(𝐵‘𝑚)))
113	111, 112	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ≈ ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚)) ∧ (𝐵‘𝑚) ≈ (card‘(𝐵‘𝑚))) → (card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ≺ (card‘(𝐵‘𝑚)))
114	105, 106, 110, 113	syl21anc 836	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) ∧ (𝐵‘𝑚) ∈ Fin) → (card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ≺ (card‘(𝐵‘𝑚)))
115		cardon 9938	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ∈ On
116		cardon 9938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (card‘(𝐵‘𝑚)) ∈ On
117		onenon 9943	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((card‘(𝐵‘𝑚)) ∈ On → (card‘(𝐵‘𝑚)) ∈ dom card)
118	116, 117	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (card‘(𝐵‘𝑚)) ∈ dom card
119		cardsdomel 9968	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ∈ On ∧ (card‘(𝐵‘𝑚)) ∈ dom card) → ((card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ≺ (card‘(𝐵‘𝑚)) ↔ (card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ∈ (card‘(card‘(𝐵‘𝑚)))))
120	115, 118, 119	mp2an 690	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ≺ (card‘(𝐵‘𝑚)) ↔ (card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ∈ (card‘(card‘(𝐵‘𝑚))))
121		cardidm 9953	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (card‘(card‘(𝐵‘𝑚))) = (card‘(𝐵‘𝑚))
122	121	eleq2i 2825	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ∈ (card‘(card‘(𝐵‘𝑚))) ↔ (card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ∈ (card‘(𝐵‘𝑚)))
123	120, 122	bitri 274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ≺ (card‘(𝐵‘𝑚)) ↔ (card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ∈ (card‘(𝐵‘𝑚)))
124	114, 123	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) ∧ (𝐵‘𝑚) ∈ Fin) → (card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ∈ (card‘(𝐵‘𝑚)))
125		nnaordr 8619	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ∈ ω ∧ (card‘(𝐵‘𝑚)) ∈ ω ∧ (card‘(𝐵‘𝑚)) ∈ ω) → ((card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ∈ (card‘(𝐵‘𝑚)) ↔ ((card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))) ∈ ((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚)))))
126	125	biimpa 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ∈ ω ∧ (card‘(𝐵‘𝑚)) ∈ ω ∧ (card‘(𝐵‘𝑚)) ∈ ω) ∧ (card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ∈ (card‘(𝐵‘𝑚))) → ((card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))) ∈ ((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))))
127	101, 103, 103, 124, 126	syl31anc 1373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) ∧ (𝐵‘𝑚) ∈ Fin) → ((card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))) ∈ ((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))))
128		nnacl 8610	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((card‘(𝐵‘𝑚)) ∈ ω ∧ (card‘(𝐵‘𝑚)) ∈ ω) → ((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))) ∈ ω)
129	102, 102, 128	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵‘𝑚) ∈ Fin → ((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))) ∈ ω)
130		cardnn 9957	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))) ∈ ω → (card‘((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚)))) = ((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))))
131	129, 130	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵‘𝑚) ∈ Fin → (card‘((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚)))) = ((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))))
132	131	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) ∧ (𝐵‘𝑚) ∈ Fin) → (card‘((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚)))) = ((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))))
133	127, 132	eleqtrrd 2836	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) ∧ (𝐵‘𝑚) ∈ Fin) → ((card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))) ∈ (card‘((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚)))))
134		cardsdomelir 9967	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))) ∈ (card‘((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚)))) → ((card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))) ≺ ((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))))
135	133, 134	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) ∧ (𝐵‘𝑚) ∈ Fin) → ((card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))) ≺ ((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))))
136		ensdomtr 9112	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ≈ ((card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))) ∧ ((card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))) ≺ ((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚)))) → (∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ≺ ((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))))
137	99, 135, 136	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) ∧ (𝐵‘𝑚) ∈ Fin) → (∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ≺ ((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))))
138		cardadju 10188	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵‘𝑚) ∈ dom card ∧ (𝐵‘𝑚) ∈ dom card) → ((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ≈ ((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))))
139	96, 96, 138	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵‘𝑚) ∈ Fin → ((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ≈ ((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))))
140	139	ensymd 9000	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵‘𝑚) ∈ Fin → ((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))) ≈ ((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚)))
141	140	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) ∧ (𝐵‘𝑚) ∈ Fin) → ((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))) ≈ ((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚)))
142		sdomentr 9110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ≺ ((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))) ∧ ((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))) ≈ ((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚))) → (∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ≺ ((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚)))
143	137, 141, 142	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) ∧ (𝐵‘𝑚) ∈ Fin) → (∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ≺ ((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚)))
144		domsdomtr 9111	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≼ (∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ∧ (∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ≺ ((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚))) → ∪ 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≺ ((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚)))
145	89, 143, 144	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) ∧ (𝐵‘𝑚) ∈ Fin) → ∪ 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≺ ((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚)))
146	145	expcom 414	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵‘𝑚) ∈ Fin → (∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) → ∪ 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≺ ((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚))))
147	82, 146	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ ∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘) → (∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) → ∪ 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≺ ((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚))))
148		sdomentr 9110	. . . . . . . 8 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≺ ((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ∧ ((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ≈ (𝐵‘suc 𝑚)) → ∪ 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘suc 𝑚))
149	148	expcom 414	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ≈ (𝐵‘suc 𝑚) → (∪ 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≺ ((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚)) → ∪ 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘suc 𝑚)))
150	72, 147, 149	sylsyld 61	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ ∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘) → (∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) → ∪ 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘suc 𝑚)))
151	38, 150	syld 47	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ ∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘) → ((∀𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚)) → ∪ 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘suc 𝑚)))
152	151	ex 413	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ω → (∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ((∀𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚)) → ∪ 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘suc 𝑚))))
153	152	com23 86	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ ω → ((∀𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚)) → (∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ∪ 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘suc 𝑚))))
154	6, 12, 18, 32, 153	finds1 7891	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ ω → (∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑛)))
155	154	imp 407	1 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ ∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘) → ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑛))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 396 ∧ w3a 1087 = wceq 1541 ∈ wcel 2106 ∀wral 3061 Vcvv 3474 ∪ cun 3946 ⊆ wss 3948 ∅c0 4322 𝒫 cpw 4602 ∪ ciun 4997 class class class wbr 5148 dom cdm 5676 Ord word 6363 Oncon0 6364 suc csuc 6366 ‘cfv 6543 (class class class)co 7408 ωcom 7854 1_oc1o 8458 +_o coa 8462 ≈ cen 8935 ≼ cdom 8936 ≺ csdm 8937 Fincfn 8938 ⊔ cdju 9892 cardccrd 9929

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-rep 5285 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5363 ax-pr 5427 ax-un 7724 ax-inf2 9635

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3376 df-reu 3377 df-rab 3433 df-v 3476 df-sbc 3778 df-csb 3894 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-pss 3967 df-nul 4323 df-if 4529 df-pw 4604 df-sn 4629 df-pr 4631 df-op 4635 df-uni 4909 df-int 4951 df-iun 4999 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5574 df-eprel 5580 df-po 5588 df-so 5589 df-fr 5631 df-we 5633 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-rn 5687 df-res 5688 df-ima 5689 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-ov 7411 df-oprab 7412 df-mpo 7413 df-om 7855 df-1st 7974 df-2nd 7975 df-frecs 8265 df-wrecs 8296 df-recs 8370 df-rdg 8409 df-1o 8465 df-2o 8466 df-oadd 8469 df-er 8702 df-map 8821 df-en 8939 df-dom 8940 df-sdom 8941 df-fin 8942 df-dju 9895 df-card 9933

This theorem is referenced by: domtriomlem 10436

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