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Theorem pwsdompw 9226
Description: Lemma for domtriom 9465. This is the equinumerosity version of the algebraic identity Σ𝑘𝑛(2↑𝑘) = (2↑𝑛) − 1. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
pwsdompw ((𝑛 ∈ ω ∧ ∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝐵𝑘) ≈ 𝒫 𝑘) → 𝑘𝑛 (𝐵𝑘) ≺ (𝐵𝑛))
Distinct variable group:   𝐵,𝑘,𝑛

Proof of Theorem pwsdompw
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suceq 5931 . . . . 5 (𝑛 = ∅ → suc 𝑛 = suc ∅)
21raleqdv 3293 . . . 4 (𝑛 = ∅ → (∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝐵𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 ↔ ∀𝑘 ∈ suc ∅(𝐵𝑘) ≈ 𝒫 𝑘))
3 iuneq1 4668 . . . . 5 (𝑛 = ∅ → 𝑘𝑛 (𝐵𝑘) = 𝑘 ∈ ∅ (𝐵𝑘))
4 fveq2 6330 . . . . 5 (𝑛 = ∅ → (𝐵𝑛) = (𝐵‘∅))
53, 4breq12d 4799 . . . 4 (𝑛 = ∅ → ( 𝑘𝑛 (𝐵𝑘) ≺ (𝐵𝑛) ↔ 𝑘 ∈ ∅ (𝐵𝑘) ≺ (𝐵‘∅)))
62, 5imbi12d 333 . . 3 (𝑛 = ∅ → ((∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝐵𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 𝑘𝑛 (𝐵𝑘) ≺ (𝐵𝑛)) ↔ (∀𝑘 ∈ suc ∅(𝐵𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 𝑘 ∈ ∅ (𝐵𝑘) ≺ (𝐵‘∅))))
7 suceq 5931 . . . . 5 (𝑛 = 𝑚 → suc 𝑛 = suc 𝑚)
87raleqdv 3293 . . . 4 (𝑛 = 𝑚 → (∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝐵𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 ↔ ∀𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵𝑘) ≈ 𝒫 𝑘))
9 iuneq1 4668 . . . . 5 (𝑛 = 𝑚 𝑘𝑛 (𝐵𝑘) = 𝑘𝑚 (𝐵𝑘))
10 fveq2 6330 . . . . 5 (𝑛 = 𝑚 → (𝐵𝑛) = (𝐵𝑚))
119, 10breq12d 4799 . . . 4 (𝑛 = 𝑚 → ( 𝑘𝑛 (𝐵𝑘) ≺ (𝐵𝑛) ↔ 𝑘𝑚 (𝐵𝑘) ≺ (𝐵𝑚)))
128, 11imbi12d 333 . . 3 (𝑛 = 𝑚 → ((∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝐵𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 𝑘𝑛 (𝐵𝑘) ≺ (𝐵𝑛)) ↔ (∀𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 𝑘𝑚 (𝐵𝑘) ≺ (𝐵𝑚))))
13 suceq 5931 . . . . 5 (𝑛 = suc 𝑚 → suc 𝑛 = suc suc 𝑚)
1413raleqdv 3293 . . . 4 (𝑛 = suc 𝑚 → (∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝐵𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 ↔ ∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵𝑘) ≈ 𝒫 𝑘))
15 iuneq1 4668 . . . . 5 (𝑛 = suc 𝑚 𝑘𝑛 (𝐵𝑘) = 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵𝑘))
16 fveq2 6330 . . . . 5 (𝑛 = suc 𝑚 → (𝐵𝑛) = (𝐵‘suc 𝑚))
1715, 16breq12d 4799 . . . 4 (𝑛 = suc 𝑚 → ( 𝑘𝑛 (𝐵𝑘) ≺ (𝐵𝑛) ↔ 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵𝑘) ≺ (𝐵‘suc 𝑚)))
1814, 17imbi12d 333 . . 3 (𝑛 = suc 𝑚 → ((∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝐵𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 𝑘𝑛 (𝐵𝑘) ≺ (𝐵𝑛)) ↔ (∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵𝑘) ≺ (𝐵‘suc 𝑚))))
19 0iun 4711 . . . 4 𝑘 ∈ ∅ (𝐵𝑘) = ∅
20 0ex 4924 . . . . . . 7 ∅ ∈ V
2120sucid 5945 . . . . . 6 ∅ ∈ suc ∅
22 fveq2 6330 . . . . . . . 8 (𝑘 = ∅ → (𝐵𝑘) = (𝐵‘∅))
23 pweq 4300 . . . . . . . 8 (𝑘 = ∅ → 𝒫 𝑘 = 𝒫 ∅)
2422, 23breq12d 4799 . . . . . . 7 (𝑘 = ∅ → ((𝐵𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 ↔ (𝐵‘∅) ≈ 𝒫 ∅))
2524rspcv 3456 . . . . . 6 (∅ ∈ suc ∅ → (∀𝑘 ∈ suc ∅(𝐵𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → (𝐵‘∅) ≈ 𝒫 ∅))
2621, 25ax-mp 5 . . . . 5 (∀𝑘 ∈ suc ∅(𝐵𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → (𝐵‘∅) ≈ 𝒫 ∅)
2720canth2 8267 . . . . . 6 ∅ ≺ 𝒫 ∅
28 ensym 8156 . . . . . 6 ((𝐵‘∅) ≈ 𝒫 ∅ → 𝒫 ∅ ≈ (𝐵‘∅))
29 sdomentr 8248 . . . . . 6 ((∅ ≺ 𝒫 ∅ ∧ 𝒫 ∅ ≈ (𝐵‘∅)) → ∅ ≺ (𝐵‘∅))
3027, 28, 29sylancr 575 . . . . 5 ((𝐵‘∅) ≈ 𝒫 ∅ → ∅ ≺ (𝐵‘∅))
3126, 30syl 17 . . . 4 (∀𝑘 ∈ suc ∅(𝐵𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ∅ ≺ (𝐵‘∅))
3219, 31syl5eqbr 4821 . . 3 (∀𝑘 ∈ suc ∅(𝐵𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 𝑘 ∈ ∅ (𝐵𝑘) ≺ (𝐵‘∅))
33 sssucid 5943 . . . . . . . . 9 suc 𝑚 ⊆ suc suc 𝑚
34 ssralv 3815 . . . . . . . . 9 (suc 𝑚 ⊆ suc suc 𝑚 → (∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ∀𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵𝑘) ≈ 𝒫 𝑘))
3533, 34ax-mp 5 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ∀𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵𝑘) ≈ 𝒫 𝑘)
36 pm2.27 42 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ((∀𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 𝑘𝑚 (𝐵𝑘) ≺ (𝐵𝑚)) → 𝑘𝑚 (𝐵𝑘) ≺ (𝐵𝑚)))
3735, 36syl 17 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ((∀𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 𝑘𝑚 (𝐵𝑘) ≺ (𝐵𝑚)) → 𝑘𝑚 (𝐵𝑘) ≺ (𝐵𝑚)))
3837adantl 467 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ω ∧ ∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵𝑘) ≈ 𝒫 𝑘) → ((∀𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 𝑘𝑚 (𝐵𝑘) ≺ (𝐵𝑚)) → 𝑘𝑚 (𝐵𝑘) ≺ (𝐵𝑚)))
39 vex 3354 . . . . . . . . . . . . 13 𝑚 ∈ V
4039sucid 5945 . . . . . . . . . . . 12 𝑚 ∈ suc 𝑚
41 elelsuc 5938 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ suc 𝑚𝑚 ∈ suc suc 𝑚)
42 fveq2 6330 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑚 → (𝐵𝑘) = (𝐵𝑚))
43 pweq 4300 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑚 → 𝒫 𝑘 = 𝒫 𝑚)
4442, 43breq12d 4799 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑚 → ((𝐵𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 ↔ (𝐵𝑚) ≈ 𝒫 𝑚))
4544rspcv 3456 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ suc suc 𝑚 → (∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → (𝐵𝑚) ≈ 𝒫 𝑚))
4640, 41, 45mp2b 10 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → (𝐵𝑚) ≈ 𝒫 𝑚)
47 cdaen 9195 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵𝑚) ≈ 𝒫 𝑚 ∧ (𝐵𝑚) ≈ 𝒫 𝑚) → ((𝐵𝑚) +𝑐 (𝐵𝑚)) ≈ (𝒫 𝑚 +𝑐 𝒫 𝑚))
4846, 46, 47syl2anc 573 . . . . . . . . . 10 (∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ((𝐵𝑚) +𝑐 (𝐵𝑚)) ≈ (𝒫 𝑚 +𝑐 𝒫 𝑚))
49 pwcda1 9216 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ω → (𝒫 𝑚 +𝑐 𝒫 𝑚) ≈ 𝒫 (𝑚 +𝑐 1𝑜))
50 nnord 7218 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ω → Ord 𝑚)
51 ordirr 5882 . . . . . . . . . . . . . 14 (Ord 𝑚 → ¬ 𝑚𝑚)
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ω → ¬ 𝑚𝑚)
53 cda1en 9197 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ ω ∧ ¬ 𝑚𝑚) → (𝑚 +𝑐 1𝑜) ≈ suc 𝑚)
5452, 53mpdan 667 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ω → (𝑚 +𝑐 1𝑜) ≈ suc 𝑚)
55 pwen 8287 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 +𝑐 1𝑜) ≈ suc 𝑚 → 𝒫 (𝑚 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝒫 suc 𝑚)
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ω → 𝒫 (𝑚 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝒫 suc 𝑚)
57 entr 8159 . . . . . . . . . . 11 (((𝒫 𝑚 +𝑐 𝒫 𝑚) ≈ 𝒫 (𝑚 +𝑐 1𝑜) ∧ 𝒫 (𝑚 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝒫 suc 𝑚) → (𝒫 𝑚 +𝑐 𝒫 𝑚) ≈ 𝒫 suc 𝑚)
5849, 56, 57syl2anc 573 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ω → (𝒫 𝑚 +𝑐 𝒫 𝑚) ≈ 𝒫 suc 𝑚)
59 entr 8159 . . . . . . . . . 10 ((((𝐵𝑚) +𝑐 (𝐵𝑚)) ≈ (𝒫 𝑚 +𝑐 𝒫 𝑚) ∧ (𝒫 𝑚 +𝑐 𝒫 𝑚) ≈ 𝒫 suc 𝑚) → ((𝐵𝑚) +𝑐 (𝐵𝑚)) ≈ 𝒫 suc 𝑚)
6048, 58, 59syl2an 583 . . . . . . . . 9 ((∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵𝑘) ≈ 𝒫 𝑘𝑚 ∈ ω) → ((𝐵𝑚) +𝑐 (𝐵𝑚)) ≈ 𝒫 suc 𝑚)
6139sucex 7156 . . . . . . . . . . . . 13 suc 𝑚 ∈ V
6261sucid 5945 . . . . . . . . . . . 12 suc 𝑚 ∈ suc suc 𝑚
63 fveq2 6330 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = suc 𝑚 → (𝐵𝑘) = (𝐵‘suc 𝑚))
64 pweq 4300 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = suc 𝑚 → 𝒫 𝑘 = 𝒫 suc 𝑚)
6563, 64breq12d 4799 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = suc 𝑚 → ((𝐵𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 ↔ (𝐵‘suc 𝑚) ≈ 𝒫 suc 𝑚))
6665rspcv 3456 . . . . . . . . . . . 12 (suc 𝑚 ∈ suc suc 𝑚 → (∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → (𝐵‘suc 𝑚) ≈ 𝒫 suc 𝑚))
6762, 66ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → (𝐵‘suc 𝑚) ≈ 𝒫 suc 𝑚)
6867ensymd 8158 . . . . . . . . . 10 (∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → 𝒫 suc 𝑚 ≈ (𝐵‘suc 𝑚))
6968adantr 466 . . . . . . . . 9 ((∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵𝑘) ≈ 𝒫 𝑘𝑚 ∈ ω) → 𝒫 suc 𝑚 ≈ (𝐵‘suc 𝑚))
70 entr 8159 . . . . . . . . 9 ((((𝐵𝑚) +𝑐 (𝐵𝑚)) ≈ 𝒫 suc 𝑚 ∧ 𝒫 suc 𝑚 ≈ (𝐵‘suc 𝑚)) → ((𝐵𝑚) +𝑐 (𝐵𝑚)) ≈ (𝐵‘suc 𝑚))
7160, 69, 70syl2anc 573 . . . . . . . 8 ((∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵𝑘) ≈ 𝒫 𝑘𝑚 ∈ ω) → ((𝐵𝑚) +𝑐 (𝐵𝑚)) ≈ (𝐵‘suc 𝑚))
7271ancoms 446 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ ω ∧ ∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵𝑘) ≈ 𝒫 𝑘) → ((𝐵𝑚) +𝑐 (𝐵𝑚)) ≈ (𝐵‘suc 𝑚))
73 nnfi 8307 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ω → 𝑚 ∈ Fin)
74 pwfi 8415 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑚 ∈ Fin)
75 isfinite 8711 . . . . . . . . . . . . 13 (𝒫 𝑚 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑚 ≺ ω)
7674, 75bitri 264 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑚 ≺ ω)
7773, 76sylib 208 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ω → 𝒫 𝑚 ≺ ω)
78 ensdomtr 8250 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵𝑚) ≈ 𝒫 𝑚 ∧ 𝒫 𝑚 ≺ ω) → (𝐵𝑚) ≺ ω)
7946, 77, 78syl2an 583 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵𝑘) ≈ 𝒫 𝑘𝑚 ∈ ω) → (𝐵𝑚) ≺ ω)
80 isfinite 8711 . . . . . . . . . 10 ((𝐵𝑚) ∈ Fin ↔ (𝐵𝑚) ≺ ω)
8179, 80sylibr 224 . . . . . . . . 9 ((∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵𝑘) ≈ 𝒫 𝑘𝑚 ∈ ω) → (𝐵𝑚) ∈ Fin)
8281ancoms 446 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ ω ∧ ∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵𝑘) ≈ 𝒫 𝑘) → (𝐵𝑚) ∈ Fin)
8339, 42iunsuc 5948 . . . . . . . . . . 11 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵𝑘) = ( 𝑘𝑚 (𝐵𝑘) ∪ (𝐵𝑚))
84 fvex 6340 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵𝑘) ∈ V
8539, 84iunex 7292 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝑚 (𝐵𝑘) ∈ V
86 fvex 6340 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵𝑚) ∈ V
87 uncdadom 9193 . . . . . . . . . . . 12 (( 𝑘𝑚 (𝐵𝑘) ∈ V ∧ (𝐵𝑚) ∈ V) → ( 𝑘𝑚 (𝐵𝑘) ∪ (𝐵𝑚)) ≼ ( 𝑘𝑚 (𝐵𝑘) +𝑐 (𝐵𝑚)))
8885, 86, 87mp2an 672 . . . . . . . . . . 11 ( 𝑘𝑚 (𝐵𝑘) ∪ (𝐵𝑚)) ≼ ( 𝑘𝑚 (𝐵𝑘) +𝑐 (𝐵𝑚))
8983, 88eqbrtri 4807 . . . . . . . . . 10 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵𝑘) ≼ ( 𝑘𝑚 (𝐵𝑘) +𝑐 (𝐵𝑚))
90 sdomtr 8252 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (( 𝑘𝑚 (𝐵𝑘) ≺ (𝐵𝑚) ∧ (𝐵𝑚) ≺ ω) → 𝑘𝑚 (𝐵𝑘) ≺ ω)
9180, 90sylan2b 581 . . . . . . . . . . . . . . 15 (( 𝑘𝑚 (𝐵𝑘) ≺ (𝐵𝑚) ∧ (𝐵𝑚) ∈ Fin) → 𝑘𝑚 (𝐵𝑘) ≺ ω)
92 isfinite 8711 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( 𝑘𝑚 (𝐵𝑘) ∈ Fin ↔ 𝑘𝑚 (𝐵𝑘) ≺ ω)
9391, 92sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . 14 (( 𝑘𝑚 (𝐵𝑘) ≺ (𝐵𝑚) ∧ (𝐵𝑚) ∈ Fin) → 𝑘𝑚 (𝐵𝑘) ∈ Fin)
94 finnum 8972 . . . . . . . . . . . . . 14 ( 𝑘𝑚 (𝐵𝑘) ∈ Fin → 𝑘𝑚 (𝐵𝑘) ∈ dom card)
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (( 𝑘𝑚 (𝐵𝑘) ≺ (𝐵𝑚) ∧ (𝐵𝑚) ∈ Fin) → 𝑘𝑚 (𝐵𝑘) ∈ dom card)
96 finnum 8972 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵𝑚) ∈ Fin → (𝐵𝑚) ∈ dom card)
9796adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13 (( 𝑘𝑚 (𝐵𝑘) ≺ (𝐵𝑚) ∧ (𝐵𝑚) ∈ Fin) → (𝐵𝑚) ∈ dom card)
98 cardacda 9220 . . . . . . . . . . . . 13 (( 𝑘𝑚 (𝐵𝑘) ∈ dom card ∧ (𝐵𝑚) ∈ dom card) → ( 𝑘𝑚 (𝐵𝑘) +𝑐 (𝐵𝑚)) ≈ ((card‘ 𝑘𝑚 (𝐵𝑘)) +𝑜 (card‘(𝐵𝑚))))
9995, 97, 98syl2anc 573 . . . . . . . . . . . 12 (( 𝑘𝑚 (𝐵𝑘) ≺ (𝐵𝑚) ∧ (𝐵𝑚) ∈ Fin) → ( 𝑘𝑚 (𝐵𝑘) +𝑐 (𝐵𝑚)) ≈ ((card‘ 𝑘𝑚 (𝐵𝑘)) +𝑜 (card‘(𝐵𝑚))))
100 ficardom 8985 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( 𝑘𝑚 (𝐵𝑘) ∈ Fin → (card‘ 𝑘𝑚 (𝐵𝑘)) ∈ ω)
10193, 100syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (( 𝑘𝑚 (𝐵𝑘) ≺ (𝐵𝑚) ∧ (𝐵𝑚) ∈ Fin) → (card‘ 𝑘𝑚 (𝐵𝑘)) ∈ ω)
102 ficardom 8985 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵𝑚) ∈ Fin → (card‘(𝐵𝑚)) ∈ ω)
103102adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15 (( 𝑘𝑚 (𝐵𝑘) ≺ (𝐵𝑚) ∧ (𝐵𝑚) ∈ Fin) → (card‘(𝐵𝑚)) ∈ ω)
104 cardid2 8977 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( 𝑘𝑚 (𝐵𝑘) ∈ dom card → (card‘ 𝑘𝑚 (𝐵𝑘)) ≈ 𝑘𝑚 (𝐵𝑘))
10593, 94, 1043syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (( 𝑘𝑚 (𝐵𝑘) ≺ (𝐵𝑚) ∧ (𝐵𝑚) ∈ Fin) → (card‘ 𝑘𝑚 (𝐵𝑘)) ≈ 𝑘𝑚 (𝐵𝑘))
106 simpl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (( 𝑘𝑚 (𝐵𝑘) ≺ (𝐵𝑚) ∧ (𝐵𝑚) ∈ Fin) → 𝑘𝑚 (𝐵𝑘) ≺ (𝐵𝑚))
107 cardid2 8977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵𝑚) ∈ dom card → (card‘(𝐵𝑚)) ≈ (𝐵𝑚))
108 ensym 8156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((card‘(𝐵𝑚)) ≈ (𝐵𝑚) → (𝐵𝑚) ≈ (card‘(𝐵𝑚)))
10996, 107, 1083syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵𝑚) ∈ Fin → (𝐵𝑚) ≈ (card‘(𝐵𝑚)))
110109adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (( 𝑘𝑚 (𝐵𝑘) ≺ (𝐵𝑚) ∧ (𝐵𝑚) ∈ Fin) → (𝐵𝑚) ≈ (card‘(𝐵𝑚)))
111 ensdomtr 8250 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((card‘ 𝑘𝑚 (𝐵𝑘)) ≈ 𝑘𝑚 (𝐵𝑘) ∧ 𝑘𝑚 (𝐵𝑘) ≺ (𝐵𝑚)) → (card‘ 𝑘𝑚 (𝐵𝑘)) ≺ (𝐵𝑚))
112 sdomentr 8248 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((card‘ 𝑘𝑚 (𝐵𝑘)) ≺ (𝐵𝑚) ∧ (𝐵𝑚) ≈ (card‘(𝐵𝑚))) → (card‘ 𝑘𝑚 (𝐵𝑘)) ≺ (card‘(𝐵𝑚)))
113111, 112sylan 569 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((card‘ 𝑘𝑚 (𝐵𝑘)) ≈ 𝑘𝑚 (𝐵𝑘) ∧ 𝑘𝑚 (𝐵𝑘) ≺ (𝐵𝑚)) ∧ (𝐵𝑚) ≈ (card‘(𝐵𝑚))) → (card‘ 𝑘𝑚 (𝐵𝑘)) ≺ (card‘(𝐵𝑚)))
114105, 106, 110, 113syl21anc 1475 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (( 𝑘𝑚 (𝐵𝑘) ≺ (𝐵𝑚) ∧ (𝐵𝑚) ∈ Fin) → (card‘ 𝑘𝑚 (𝐵𝑘)) ≺ (card‘(𝐵𝑚)))
115 cardon 8968 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (card‘ 𝑘𝑚 (𝐵𝑘)) ∈ On
116 cardon 8968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (card‘(𝐵𝑚)) ∈ On
117 onenon 8973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((card‘(𝐵𝑚)) ∈ On → (card‘(𝐵𝑚)) ∈ dom card)
118116, 117ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (card‘(𝐵𝑚)) ∈ dom card
119 cardsdomel 8998 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((card‘ 𝑘𝑚 (𝐵𝑘)) ∈ On ∧ (card‘(𝐵𝑚)) ∈ dom card) → ((card‘ 𝑘𝑚 (𝐵𝑘)) ≺ (card‘(𝐵𝑚)) ↔ (card‘ 𝑘𝑚 (𝐵𝑘)) ∈ (card‘(card‘(𝐵𝑚)))))
120115, 118, 119mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((card‘ 𝑘𝑚 (𝐵𝑘)) ≺ (card‘(𝐵𝑚)) ↔ (card‘ 𝑘𝑚 (𝐵𝑘)) ∈ (card‘(card‘(𝐵𝑚))))
121 cardidm 8983 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (card‘(card‘(𝐵𝑚))) = (card‘(𝐵𝑚))
122121eleq2i 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((card‘ 𝑘𝑚 (𝐵𝑘)) ∈ (card‘(card‘(𝐵𝑚))) ↔ (card‘ 𝑘𝑚 (𝐵𝑘)) ∈ (card‘(𝐵𝑚)))
123120, 122bitri 264 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((card‘ 𝑘𝑚 (𝐵𝑘)) ≺ (card‘(𝐵𝑚)) ↔ (card‘ 𝑘𝑚 (𝐵𝑘)) ∈ (card‘(𝐵𝑚)))
124114, 123sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . 15 (( 𝑘𝑚 (𝐵𝑘) ≺ (𝐵𝑚) ∧ (𝐵𝑚) ∈ Fin) → (card‘ 𝑘𝑚 (𝐵𝑘)) ∈ (card‘(𝐵𝑚)))
125 nnaordr 7852 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((card‘ 𝑘𝑚 (𝐵𝑘)) ∈ ω ∧ (card‘(𝐵𝑚)) ∈ ω ∧ (card‘(𝐵𝑚)) ∈ ω) → ((card‘ 𝑘𝑚 (𝐵𝑘)) ∈ (card‘(𝐵𝑚)) ↔ ((card‘ 𝑘𝑚 (𝐵𝑘)) +𝑜 (card‘(𝐵𝑚))) ∈ ((card‘(𝐵𝑚)) +𝑜 (card‘(𝐵𝑚)))))
126125biimpa 462 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((card‘ 𝑘𝑚 (𝐵𝑘)) ∈ ω ∧ (card‘(𝐵𝑚)) ∈ ω ∧ (card‘(𝐵𝑚)) ∈ ω) ∧ (card‘ 𝑘𝑚 (𝐵𝑘)) ∈ (card‘(𝐵𝑚))) → ((card‘ 𝑘𝑚 (𝐵𝑘)) +𝑜 (card‘(𝐵𝑚))) ∈ ((card‘(𝐵𝑚)) +𝑜 (card‘(𝐵𝑚))))
127101, 103, 103, 124, 126syl31anc 1479 . . . . . . . . . . . . . 14 (( 𝑘𝑚 (𝐵𝑘) ≺ (𝐵𝑚) ∧ (𝐵𝑚) ∈ Fin) → ((card‘ 𝑘𝑚 (𝐵𝑘)) +𝑜 (card‘(𝐵𝑚))) ∈ ((card‘(𝐵𝑚)) +𝑜 (card‘(𝐵𝑚))))
128 nnacl 7843 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((card‘(𝐵𝑚)) ∈ ω ∧ (card‘(𝐵𝑚)) ∈ ω) → ((card‘(𝐵𝑚)) +𝑜 (card‘(𝐵𝑚))) ∈ ω)
129102, 102, 128syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵𝑚) ∈ Fin → ((card‘(𝐵𝑚)) +𝑜 (card‘(𝐵𝑚))) ∈ ω)
130 cardnn 8987 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((card‘(𝐵𝑚)) +𝑜 (card‘(𝐵𝑚))) ∈ ω → (card‘((card‘(𝐵𝑚)) +𝑜 (card‘(𝐵𝑚)))) = ((card‘(𝐵𝑚)) +𝑜 (card‘(𝐵𝑚))))
131129, 130syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵𝑚) ∈ Fin → (card‘((card‘(𝐵𝑚)) +𝑜 (card‘(𝐵𝑚)))) = ((card‘(𝐵𝑚)) +𝑜 (card‘(𝐵𝑚))))
132131adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14 (( 𝑘𝑚 (𝐵𝑘) ≺ (𝐵𝑚) ∧ (𝐵𝑚) ∈ Fin) → (card‘((card‘(𝐵𝑚)) +𝑜 (card‘(𝐵𝑚)))) = ((card‘(𝐵𝑚)) +𝑜 (card‘(𝐵𝑚))))
133127, 132eleqtrrd 2853 . . . . . . . . . . . . 13 (( 𝑘𝑚 (𝐵𝑘) ≺ (𝐵𝑚) ∧ (𝐵𝑚) ∈ Fin) → ((card‘ 𝑘𝑚 (𝐵𝑘)) +𝑜 (card‘(𝐵𝑚))) ∈ (card‘((card‘(𝐵𝑚)) +𝑜 (card‘(𝐵𝑚)))))
134 cardsdomelir 8997 . . . . . . . . . . . . 13 (((card‘ 𝑘𝑚 (𝐵𝑘)) +𝑜 (card‘(𝐵𝑚))) ∈ (card‘((card‘(𝐵𝑚)) +𝑜 (card‘(𝐵𝑚)))) → ((card‘ 𝑘𝑚 (𝐵𝑘)) +𝑜 (card‘(𝐵𝑚))) ≺ ((card‘(𝐵𝑚)) +𝑜 (card‘(𝐵𝑚))))
135133, 134syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (( 𝑘𝑚 (𝐵𝑘) ≺ (𝐵𝑚) ∧ (𝐵𝑚) ∈ Fin) → ((card‘ 𝑘𝑚 (𝐵𝑘)) +𝑜 (card‘(𝐵𝑚))) ≺ ((card‘(𝐵𝑚)) +𝑜 (card‘(𝐵𝑚))))
136 ensdomtr 8250 . . . . . . . . . . . 12 ((( 𝑘𝑚 (𝐵𝑘) +𝑐 (𝐵𝑚)) ≈ ((card‘ 𝑘𝑚 (𝐵𝑘)) +𝑜 (card‘(𝐵𝑚))) ∧ ((card‘ 𝑘𝑚 (𝐵𝑘)) +𝑜 (card‘(𝐵𝑚))) ≺ ((card‘(𝐵𝑚)) +𝑜 (card‘(𝐵𝑚)))) → ( 𝑘𝑚 (𝐵𝑘) +𝑐 (𝐵𝑚)) ≺ ((card‘(𝐵𝑚)) +𝑜 (card‘(𝐵𝑚))))
13799, 135, 136syl2anc 573 . . . . . . . . . . 11 (( 𝑘𝑚 (𝐵𝑘) ≺ (𝐵𝑚) ∧ (𝐵𝑚) ∈ Fin) → ( 𝑘𝑚 (𝐵𝑘) +𝑐 (𝐵𝑚)) ≺ ((card‘(𝐵𝑚)) +𝑜 (card‘(𝐵𝑚))))
138 cardacda 9220 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵𝑚) ∈ dom card ∧ (𝐵𝑚) ∈ dom card) → ((𝐵𝑚) +𝑐 (𝐵𝑚)) ≈ ((card‘(𝐵𝑚)) +𝑜 (card‘(𝐵𝑚))))
13996, 96, 138syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵𝑚) ∈ Fin → ((𝐵𝑚) +𝑐 (𝐵𝑚)) ≈ ((card‘(𝐵𝑚)) +𝑜 (card‘(𝐵𝑚))))
140139ensymd 8158 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵𝑚) ∈ Fin → ((card‘(𝐵𝑚)) +𝑜 (card‘(𝐵𝑚))) ≈ ((𝐵𝑚) +𝑐 (𝐵𝑚)))
141140adantl 467 . . . . . . . . . . 11 (( 𝑘𝑚 (𝐵𝑘) ≺ (𝐵𝑚) ∧ (𝐵𝑚) ∈ Fin) → ((card‘(𝐵𝑚)) +𝑜 (card‘(𝐵𝑚))) ≈ ((𝐵𝑚) +𝑐 (𝐵𝑚)))
142 sdomentr 8248 . . . . . . . . . . 11 ((( 𝑘𝑚 (𝐵𝑘) +𝑐 (𝐵𝑚)) ≺ ((card‘(𝐵𝑚)) +𝑜 (card‘(𝐵𝑚))) ∧ ((card‘(𝐵𝑚)) +𝑜 (card‘(𝐵𝑚))) ≈ ((𝐵𝑚) +𝑐 (𝐵𝑚))) → ( 𝑘𝑚 (𝐵𝑘) +𝑐 (𝐵𝑚)) ≺ ((𝐵𝑚) +𝑐 (𝐵𝑚)))
143137, 141, 142syl2anc 573 . . . . . . . . . 10 (( 𝑘𝑚 (𝐵𝑘) ≺ (𝐵𝑚) ∧ (𝐵𝑚) ∈ Fin) → ( 𝑘𝑚 (𝐵𝑘) +𝑐 (𝐵𝑚)) ≺ ((𝐵𝑚) +𝑐 (𝐵𝑚)))
144 domsdomtr 8249 . . . . . . . . . 10 (( 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵𝑘) ≼ ( 𝑘𝑚 (𝐵𝑘) +𝑐 (𝐵𝑚)) ∧ ( 𝑘𝑚 (𝐵𝑘) +𝑐 (𝐵𝑚)) ≺ ((𝐵𝑚) +𝑐 (𝐵𝑚))) → 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵𝑘) ≺ ((𝐵𝑚) +𝑐 (𝐵𝑚)))
14589, 143, 144sylancr 575 . . . . . . . . 9 (( 𝑘𝑚 (𝐵𝑘) ≺ (𝐵𝑚) ∧ (𝐵𝑚) ∈ Fin) → 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵𝑘) ≺ ((𝐵𝑚) +𝑐 (𝐵𝑚)))
146145expcom 398 . . . . . . . 8 ((𝐵𝑚) ∈ Fin → ( 𝑘𝑚 (𝐵𝑘) ≺ (𝐵𝑚) → 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵𝑘) ≺ ((𝐵𝑚) +𝑐 (𝐵𝑚))))
14782, 146syl 17 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ ω ∧ ∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵𝑘) ≈ 𝒫 𝑘) → ( 𝑘𝑚 (𝐵𝑘) ≺ (𝐵𝑚) → 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵𝑘) ≺ ((𝐵𝑚) +𝑐 (𝐵𝑚))))
148 sdomentr 8248 . . . . . . . 8 (( 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵𝑘) ≺ ((𝐵𝑚) +𝑐 (𝐵𝑚)) ∧ ((𝐵𝑚) +𝑐 (𝐵𝑚)) ≈ (𝐵‘suc 𝑚)) → 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵𝑘) ≺ (𝐵‘suc 𝑚))
149148expcom 398 . . . . . . 7 (((𝐵𝑚) +𝑐 (𝐵𝑚)) ≈ (𝐵‘suc 𝑚) → ( 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵𝑘) ≺ ((𝐵𝑚) +𝑐 (𝐵𝑚)) → 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵𝑘) ≺ (𝐵‘suc 𝑚)))
15072, 147, 149sylsyld 61 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ω ∧ ∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵𝑘) ≈ 𝒫 𝑘) → ( 𝑘𝑚 (𝐵𝑘) ≺ (𝐵𝑚) → 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵𝑘) ≺ (𝐵‘suc 𝑚)))
15138, 150syld 47 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ω ∧ ∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵𝑘) ≈ 𝒫 𝑘) → ((∀𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 𝑘𝑚 (𝐵𝑘) ≺ (𝐵𝑚)) → 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵𝑘) ≺ (𝐵‘suc 𝑚)))
152151ex 397 . . . 4 (𝑚 ∈ ω → (∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ((∀𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 𝑘𝑚 (𝐵𝑘) ≺ (𝐵𝑚)) → 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵𝑘) ≺ (𝐵‘suc 𝑚))))
153152com23 86 . . 3 (𝑚 ∈ ω → ((∀𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 𝑘𝑚 (𝐵𝑘) ≺ (𝐵𝑚)) → (∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵𝑘) ≺ (𝐵‘suc 𝑚))))
1546, 12, 18, 32, 153finds1 7240 . 2 (𝑛 ∈ ω → (∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝐵𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 𝑘𝑛 (𝐵𝑘) ≺ (𝐵𝑛)))
155154imp 393 1 ((𝑛 ∈ ω ∧ ∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝐵𝑘) ≈ 𝒫 𝑘) → 𝑘𝑛 (𝐵𝑘) ≺ (𝐵𝑛))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  Vcvv 3351  cun 3721  wss 3723  c0 4063  𝒫 cpw 4297   ciun 4654   class class class wbr 4786  dom cdm 5249  Ord word 5863  Oncon0 5864  suc csuc 5866  cfv 6029  (class class class)co 6791  ωcom 7210  1𝑜c1o 7704   +𝑜 coa 7708  cen 8104  cdom 8105  csdm 8106  Fincfn 8107  cardccrd 8959   +𝑐 ccda 9189
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-inf2 8700
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-2o 7712  df-oadd 7715  df-er 7894  df-map 8009  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-card 8963  df-cda 9190
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