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Theorem pwsdompw 10187

Description: Lemma for domtriom 10428. This is the equinumerosity version of the algebraic identity Σ𝑘 ∈ 𝑛(2↑𝑘) = (2↑𝑛) − 1. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Feb-2013.)

**Assertion**
Ref	Expression
pwsdompw	⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ ∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘) → ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑛))

Distinct variable group: 𝐵,𝑘,𝑛

Proof of Theorem pwsdompw Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suceq 6431	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = ∅ → suc 𝑛 = suc ∅)
2	1	raleqdv 3323	. . . 4 ⊢ (𝑛 = ∅ → (∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 ↔ ∀𝑘 ∈ suc ∅(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘))
3		iuneq1 4974	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = ∅ → ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝐵‘𝑘) = ∪ 𝑘 ∈ ∅ (𝐵‘𝑘))
4		fveq2 6883	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = ∅ → (𝐵‘𝑛) = (𝐵‘∅))
5	3, 4	breq12d 5123	. . . 4 ⊢ (𝑛 = ∅ → (∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑛) ↔ ∪ 𝑘 ∈ ∅ (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘∅)))
6	2, 5	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑛 = ∅ → ((∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑛)) ↔ (∀𝑘 ∈ suc ∅(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ∪ 𝑘 ∈ ∅ (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘∅))))
7		suceq 6431	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → suc 𝑛 = suc 𝑚)
8	7	raleqdv 3323	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 ↔ ∀𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘))
9		iuneq1 4974	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝐵‘𝑘) = ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘))
10		fveq2 6883	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐵‘𝑛) = (𝐵‘𝑚))
11	9, 10	breq12d 5123	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑛) ↔ ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚)))
12	8, 11	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑛)) ↔ (∀𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚))))
13		suceq 6431	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = suc 𝑚 → suc 𝑛 = suc suc 𝑚)
14	13	raleqdv 3323	. . . 4 ⊢ (𝑛 = suc 𝑚 → (∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 ↔ ∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘))
15		iuneq1 4974	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = suc 𝑚 → ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝐵‘𝑘) = ∪ 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘))
16		fveq2 6883	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = suc 𝑚 → (𝐵‘𝑛) = (𝐵‘suc 𝑚))
17	15, 16	breq12d 5123	. . . 4 ⊢ (𝑛 = suc 𝑚 → (∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑛) ↔ ∪ 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘suc 𝑚)))
18	14, 17	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑛 = suc 𝑚 → ((∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑛)) ↔ (∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ∪ 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘suc 𝑚))))
19		0iun 5028	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ ∅ (𝐵‘𝑘) = ∅
20		0ex 5271	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
21	20	sucid 6447	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ suc ∅
22		fveq2 6883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = ∅ → (𝐵‘𝑘) = (𝐵‘∅))
23		pweq 4577	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = ∅ → 𝒫 𝑘 = 𝒫 ∅)
24	22, 23	breq12d 5123	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = ∅ → ((𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 ↔ (𝐵‘∅) ≈ 𝒫 ∅))
25	24	rspcv 3578	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ suc ∅ → (∀𝑘 ∈ suc ∅(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → (𝐵‘∅) ≈ 𝒫 ∅))
26	21, 25	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ suc ∅(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → (𝐵‘∅) ≈ 𝒫 ∅)
27	20	canth2 9119	. . . . . 6 ⊢ ∅ ≺ 𝒫 ∅
28		ensym 9001	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵‘∅) ≈ 𝒫 ∅ → 𝒫 ∅ ≈ (𝐵‘∅))
29		sdomentr 9100	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ≺ 𝒫 ∅ ∧ 𝒫 ∅ ≈ (𝐵‘∅)) → ∅ ≺ (𝐵‘∅))
30	27, 28, 29	sylancr 598	. . . . 5 ⊢ ((𝐵‘∅) ≈ 𝒫 ∅ → ∅ ≺ (𝐵‘∅))
31	26, 30	syl 18	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ suc ∅(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ∅ ≺ (𝐵‘∅))
32	19, 31	eqbrtrid 5147	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ suc ∅(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ∪ 𝑘 ∈ ∅ (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘∅))
33		sssucid 6445	. . . . . . . . 9 ⊢ suc 𝑚 ⊆ suc suc 𝑚
34		ssralv 4007	. . . . . . . . 9 ⊢ (suc 𝑚 ⊆ suc suc 𝑚 → (∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ∀𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘))
35	33, 34	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ∀𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘)
36		pm2.27 43	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ((∀𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚)) → ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚)))
37	35, 36	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ((∀𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚)) → ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚)))
38	37	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ ∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘) → ((∀𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚)) → ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚)))
39		vex 3459	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑚 ∈ V
40	39	sucid 6447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑚 ∈ suc 𝑚
41		elelsuc 6438	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ suc 𝑚 → 𝑚 ∈ suc suc 𝑚)
42		fveq2 6883	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐵‘𝑘) = (𝐵‘𝑚))
43		pweq 4577	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → 𝒫 𝑘 = 𝒫 𝑚)
44	42, 43	breq12d 5123	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 ↔ (𝐵‘𝑚) ≈ 𝒫 𝑚))
45	44	rspcv 3578	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ suc suc 𝑚 → (∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → (𝐵‘𝑚) ≈ 𝒫 𝑚))
46	40, 41, 45	mp2b 10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → (𝐵‘𝑚) ≈ 𝒫 𝑚)
47		djuen 10154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵‘𝑚) ≈ 𝒫 𝑚 ∧ (𝐵‘𝑚) ≈ 𝒫 𝑚) → ((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ≈ (𝒫 𝑚 ⊔ 𝒫 𝑚))
48	46, 46, 47	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ≈ (𝒫 𝑚 ⊔ 𝒫 𝑚))
49		pwdju1 10175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ω → (𝒫 𝑚 ⊔ 𝒫 𝑚) ≈ 𝒫 (𝑚 ⊔ 1_o))
50		nnord 7871	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ ω → Ord 𝑚)
51		ordirr 6380	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Ord 𝑚 → ¬ 𝑚 ∈ 𝑚)
52	50, 51	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ω → ¬ 𝑚 ∈ 𝑚)
53		dju1en 10156	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ ¬ 𝑚 ∈ 𝑚) → (𝑚 ⊔ 1_o) ≈ suc 𝑚)
54	52, 53	mpdan 699	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ω → (𝑚 ⊔ 1_o) ≈ suc 𝑚)
55		pwen 9139	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ⊔ 1_o) ≈ suc 𝑚 → 𝒫 (𝑚 ⊔ 1_o) ≈ 𝒫 suc 𝑚)
56	54, 55	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ω → 𝒫 (𝑚 ⊔ 1_o) ≈ 𝒫 suc 𝑚)
57		entr 9004	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝒫 𝑚 ⊔ 𝒫 𝑚) ≈ 𝒫 (𝑚 ⊔ 1_o) ∧ 𝒫 (𝑚 ⊔ 1_o) ≈ 𝒫 suc 𝑚) → (𝒫 𝑚 ⊔ 𝒫 𝑚) ≈ 𝒫 suc 𝑚)
58	49, 56, 57	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ω → (𝒫 𝑚 ⊔ 𝒫 𝑚) ≈ 𝒫 suc 𝑚)
59		entr 9004	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ≈ (𝒫 𝑚 ⊔ 𝒫 𝑚) ∧ (𝒫 𝑚 ⊔ 𝒫 𝑚) ≈ 𝒫 suc 𝑚) → ((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ≈ 𝒫 suc 𝑚)
60	48, 58, 59	syl2an 607	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 ∧ 𝑚 ∈ ω) → ((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ≈ 𝒫 suc 𝑚)
61	39	sucex 7806	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ suc 𝑚 ∈ V
62	61	sucid 6447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ suc 𝑚 ∈ suc suc 𝑚
63		fveq2 6883	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = suc 𝑚 → (𝐵‘𝑘) = (𝐵‘suc 𝑚))
64		pweq 4577	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = suc 𝑚 → 𝒫 𝑘 = 𝒫 suc 𝑚)
65	63, 64	breq12d 5123	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = suc 𝑚 → ((𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 ↔ (𝐵‘suc 𝑚) ≈ 𝒫 suc 𝑚))
66	65	rspcv 3578	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (suc 𝑚 ∈ suc suc 𝑚 → (∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → (𝐵‘suc 𝑚) ≈ 𝒫 suc 𝑚))
67	62, 66	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → (𝐵‘suc 𝑚) ≈ 𝒫 suc 𝑚)
68	67	ensymd 9003	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → 𝒫 suc 𝑚 ≈ (𝐵‘suc 𝑚))
69	68	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 ∧ 𝑚 ∈ ω) → 𝒫 suc 𝑚 ≈ (𝐵‘suc 𝑚))
70		entr 9004	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ≈ 𝒫 suc 𝑚 ∧ 𝒫 suc 𝑚 ≈ (𝐵‘suc 𝑚)) → ((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ≈ (𝐵‘suc 𝑚))
71	60, 69, 70	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 ∧ 𝑚 ∈ ω) → ((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ≈ (𝐵‘suc 𝑚))
72	71	ancoms 463	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ ∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘) → ((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ≈ (𝐵‘suc 𝑚))
73		nnfi 9153	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ω → 𝑚 ∈ Fin)
74		pwfi 9279	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑚 ∈ Fin)
75		isfinite 9622	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝒫 𝑚 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑚 ≺ ω)
76	74, 75	bitri 278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑚 ≺ ω)
77	73, 76	sylib 221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ω → 𝒫 𝑚 ≺ ω)
78		ensdomtr 9102	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵‘𝑚) ≈ 𝒫 𝑚 ∧ 𝒫 𝑚 ≺ ω) → (𝐵‘𝑚) ≺ ω)
79	46, 77, 78	syl2an 607	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 ∧ 𝑚 ∈ ω) → (𝐵‘𝑚) ≺ ω)
80		isfinite 9622	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵‘𝑚) ∈ Fin ↔ (𝐵‘𝑚) ≺ ω)
81	79, 80	sylibr 237	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 ∧ 𝑚 ∈ ω) → (𝐵‘𝑚) ∈ Fin)
82	81	ancoms 463	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ ∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘) → (𝐵‘𝑚) ∈ Fin)
83	39, 42	iunsuc 6450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) = (∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ∪ (𝐵‘𝑚))
84		fvex 6896	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵‘𝑘) ∈ V
85	39, 84	iunex 7966	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ∈ V
86		fvex 6896	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵‘𝑚) ∈ V
87		undjudom 10152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ∈ V ∧ (𝐵‘𝑚) ∈ V) → (∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ∪ (𝐵‘𝑚)) ≼ (∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ⊔ (𝐵‘𝑚)))
88	85, 86, 87	mp2an 704	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ∪ (𝐵‘𝑚)) ≼ (∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ⊔ (𝐵‘𝑚))
89	83, 88	eqbrtri 5133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≼ (∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ⊔ (𝐵‘𝑚))
90		sdomtr 9104	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) ∧ (𝐵‘𝑚) ≺ ω) → ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ ω)
91	80, 90	sylan2b 605	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) ∧ (𝐵‘𝑚) ∈ Fin) → ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ ω)
92		isfinite 9622	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ∈ Fin ↔ ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ ω)
93	91, 92	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) ∧ (𝐵‘𝑚) ∈ Fin) → ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ∈ Fin)
94		finnum 9935	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ∈ Fin → ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ∈ dom card)
95	93, 94	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) ∧ (𝐵‘𝑚) ∈ Fin) → ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ∈ dom card)
96		finnum 9935	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵‘𝑚) ∈ Fin → (𝐵‘𝑚) ∈ dom card)
97	96	adantl 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) ∧ (𝐵‘𝑚) ∈ Fin) → (𝐵‘𝑚) ∈ dom card)
98		cardadju 10179	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ∈ dom card ∧ (𝐵‘𝑚) ∈ dom card) → (∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ≈ ((card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))))
99	95, 97, 98	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) ∧ (𝐵‘𝑚) ∈ Fin) → (∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ≈ ((card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))))
100		ficardom 9948	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ∈ Fin → (card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ∈ ω)
101	93, 100	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) ∧ (𝐵‘𝑚) ∈ Fin) → (card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ∈ ω)
102		ficardom 9948	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵‘𝑚) ∈ Fin → (card‘(𝐵‘𝑚)) ∈ ω)
103	102	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) ∧ (𝐵‘𝑚) ∈ Fin) → (card‘(𝐵‘𝑚)) ∈ ω)
104		cardid2 9940	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ∈ dom card → (card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ≈ ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘))
105	93, 94, 104	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) ∧ (𝐵‘𝑚) ∈ Fin) → (card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ≈ ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘))
106		simpl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) ∧ (𝐵‘𝑚) ∈ Fin) → ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚))
107		cardid2 9940	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵‘𝑚) ∈ dom card → (card‘(𝐵‘𝑚)) ≈ (𝐵‘𝑚))
108		ensym 9001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((card‘(𝐵‘𝑚)) ≈ (𝐵‘𝑚) → (𝐵‘𝑚) ≈ (card‘(𝐵‘𝑚)))
109	96, 107, 108	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵‘𝑚) ∈ Fin → (𝐵‘𝑚) ≈ (card‘(𝐵‘𝑚)))
110	109	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) ∧ (𝐵‘𝑚) ∈ Fin) → (𝐵‘𝑚) ≈ (card‘(𝐵‘𝑚)))
111		ensdomtr 9102	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ≈ ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚)) → (card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ≺ (𝐵‘𝑚))
112		sdomentr 9100	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ≺ (𝐵‘𝑚) ∧ (𝐵‘𝑚) ≈ (card‘(𝐵‘𝑚))) → (card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ≺ (card‘(𝐵‘𝑚)))
113	111, 112	sylan 591	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ≈ ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚)) ∧ (𝐵‘𝑚) ≈ (card‘(𝐵‘𝑚))) → (card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ≺ (card‘(𝐵‘𝑚)))
114	105, 106, 110, 113	syl21anc 850	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) ∧ (𝐵‘𝑚) ∈ Fin) → (card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ≺ (card‘(𝐵‘𝑚)))
115		cardon 9931	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ∈ On
116		cardon 9931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (card‘(𝐵‘𝑚)) ∈ On
117		onenon 9936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((card‘(𝐵‘𝑚)) ∈ On → (card‘(𝐵‘𝑚)) ∈ dom card)
118	116, 117	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (card‘(𝐵‘𝑚)) ∈ dom card
119		cardsdomel 9961	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ∈ On ∧ (card‘(𝐵‘𝑚)) ∈ dom card) → ((card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ≺ (card‘(𝐵‘𝑚)) ↔ (card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ∈ (card‘(card‘(𝐵‘𝑚)))))
120	115, 118, 119	mp2an 704	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ≺ (card‘(𝐵‘𝑚)) ↔ (card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ∈ (card‘(card‘(𝐵‘𝑚))))
121		cardidm 9946	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (card‘(card‘(𝐵‘𝑚))) = (card‘(𝐵‘𝑚))
122	121	eleq2i 2855	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ∈ (card‘(card‘(𝐵‘𝑚))) ↔ (card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ∈ (card‘(𝐵‘𝑚)))
123	120, 122	bitri 278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ≺ (card‘(𝐵‘𝑚)) ↔ (card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ∈ (card‘(𝐵‘𝑚)))
124	114, 123	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) ∧ (𝐵‘𝑚) ∈ Fin) → (card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ∈ (card‘(𝐵‘𝑚)))
125		nnaordr 8607	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ∈ ω ∧ (card‘(𝐵‘𝑚)) ∈ ω ∧ (card‘(𝐵‘𝑚)) ∈ ω) → ((card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ∈ (card‘(𝐵‘𝑚)) ↔ ((card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))) ∈ ((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚)))))
126	125	biimpa 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ∈ ω ∧ (card‘(𝐵‘𝑚)) ∈ ω ∧ (card‘(𝐵‘𝑚)) ∈ ω) ∧ (card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) ∈ (card‘(𝐵‘𝑚))) → ((card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))) ∈ ((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))))
127	101, 103, 103, 124, 126	syl31anc 1400	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) ∧ (𝐵‘𝑚) ∈ Fin) → ((card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))) ∈ ((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))))
128		nnacl 8598	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((card‘(𝐵‘𝑚)) ∈ ω ∧ (card‘(𝐵‘𝑚)) ∈ ω) → ((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))) ∈ ω)
129	102, 102, 128	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵‘𝑚) ∈ Fin → ((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))) ∈ ω)
130		cardnn 9950	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))) ∈ ω → (card‘((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚)))) = ((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))))
131	129, 130	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵‘𝑚) ∈ Fin → (card‘((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚)))) = ((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))))
132	131	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) ∧ (𝐵‘𝑚) ∈ Fin) → (card‘((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚)))) = ((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))))
133	127, 132	eleqtrrd 2866	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) ∧ (𝐵‘𝑚) ∈ Fin) → ((card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))) ∈ (card‘((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚)))))
134		cardsdomelir 9960	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))) ∈ (card‘((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚)))) → ((card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))) ≺ ((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))))
135	133, 134	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) ∧ (𝐵‘𝑚) ∈ Fin) → ((card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))) ≺ ((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))))
136		ensdomtr 9102	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ≈ ((card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))) ∧ ((card‘∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))) ≺ ((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚)))) → (∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ≺ ((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))))
137	99, 135, 136	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) ∧ (𝐵‘𝑚) ∈ Fin) → (∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ≺ ((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))))
138		cardadju 10179	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵‘𝑚) ∈ dom card ∧ (𝐵‘𝑚) ∈ dom card) → ((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ≈ ((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))))
139	96, 96, 138	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵‘𝑚) ∈ Fin → ((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ≈ ((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))))
140	139	ensymd 9003	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵‘𝑚) ∈ Fin → ((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))) ≈ ((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚)))
141	140	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) ∧ (𝐵‘𝑚) ∈ Fin) → ((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))) ≈ ((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚)))
142		sdomentr 9100	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ≺ ((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))) ∧ ((card‘(𝐵‘𝑚)) +_o (card‘(𝐵‘𝑚))) ≈ ((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚))) → (∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ≺ ((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚)))
143	137, 141, 142	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) ∧ (𝐵‘𝑚) ∈ Fin) → (∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ≺ ((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚)))
144		domsdomtr 9101	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≼ (∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ∧ (∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ≺ ((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚))) → ∪ 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≺ ((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚)))
145	89, 143, 144	sylancr 598	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) ∧ (𝐵‘𝑚) ∈ Fin) → ∪ 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≺ ((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚)))
146	145	expcom 418	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵‘𝑚) ∈ Fin → (∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) → ∪ 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≺ ((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚))))
147	82, 146	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ ∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘) → (∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) → ∪ 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≺ ((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚))))
148		sdomentr 9100	. . . . . . . 8 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≺ ((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ∧ ((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ≈ (𝐵‘suc 𝑚)) → ∪ 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘suc 𝑚))
149	148	expcom 418	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚)) ≈ (𝐵‘suc 𝑚) → (∪ 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≺ ((𝐵‘𝑚) ⊔ (𝐵‘𝑚)) → ∪ 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘suc 𝑚)))
150	72, 147, 149	sylsyld 62	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ ∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘) → (∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚) → ∪ 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘suc 𝑚)))
151	38, 150	syld 48	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ ∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘) → ((∀𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚)) → ∪ 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘suc 𝑚)))
152	151	ex 417	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ω → (∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ((∀𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚)) → ∪ 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘suc 𝑚))))
153	152	com23 87	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ ω → ((∀𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ∪ 𝑘 ∈ 𝑚 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑚)) → (∀𝑘 ∈ suc suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ∪ 𝑘 ∈ suc 𝑚(𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘suc 𝑚))))
154	6, 12, 18, 32, 153	finds1 7897	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ ω → (∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑛)))
155	154	imp 411	1 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ ∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝐵‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘) → ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝐵‘𝑘) ≺ (𝐵‘𝑛))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 400 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∈ wcel 2143 ∀wral 3079 Vcvv 3455 ∪ cun 3904 ⊆ wss 3906 ∅c0 4287 𝒫 cpw 4563 ∪ ciun 4957 class class class wbr 5110 dom cdm 5663 Ord word 6361 Oncon0 6362 suc csuc 6364 ‘cfv 6538 (class class class)co 7412 ωcom 7863 1_oc1o 8447 +_o coa 8451 ≈ cen 8941 ≼ cdom 8942 ≺ csdm 8943 Fincfn 8944 ⊔ cdju 9885 cardccrd 9922

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1825 ax-4 1839 ax-5 1940 ax-6 1997 ax-7 2038 ax-8 2145 ax-9 2153 ax-10 2176 ax-11 2192 ax-12 2213 ax-ext 2735 ax-rep 5239 ax-sep 5258 ax-nul 5270 ax-pow 5338 ax-pr 5406 ax-un 7734 ax-inf2 9611

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 401 df-or 861 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1810 df-nf 1814 df-sb 2097 df-mo 2567 df-eu 2597 df-clab 2742 df-cleq 2755 df-clel 2838 df-nfc 2912 df-ne 2959 df-ral 3080 df-rex 3090 df-rmo 3369 df-reu 3370 df-rab 3417 df-v 3457 df-sbc 3746 df-csb 3855 df-dif 3909 df-un 3911 df-in 3913 df-ss 3923 df-pss 3926 df-nul 4288 df-if 4489 df-pw 4565 df-sn 4591 df-pr 4593 df-op 4597 df-uni 4874 df-int 4914 df-iun 4959 df-br 5111 df-opab 5175 df-mpt 5194 df-tr 5220 df-id 5558 df-eprel 5563 df-po 5571 df-so 5572 df-fr 5616 df-we 5618 df-xp 5669 df-rel 5670 df-cnv 5671 df-co 5672 df-dm 5673 df-rn 5674 df-res 5675 df-ima 5676 df-pred 6304 df-ord 6365 df-on 6366 df-lim 6367 df-suc 6368 df-iota 6494 df-fun 6540 df-fn 6541 df-f 6542 df-f1 6543 df-fo 6544 df-f1o 6545 df-fv 6546 df-ov 7415 df-oprab 7416 df-mpo 7417 df-om 7864 df-1st 7987 df-2nd 7988 df-frecs 8279 df-wrecs 8310 df-recs 8359 df-rdg 8398 df-1o 8454 df-2o 8455 df-oadd 8458 df-er 8695 df-map 8827 df-en 8945 df-dom 8946 df-sdom 8947 df-fin 8948 df-dju 9888 df-card 9926

This theorem is referenced by: domtriomlem 10427

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